1.向量空间

线性代数研究 有限维向量空间上的线性映射，我们以后会知道这些术语的含义

本章给出向量空间的定义，并讨论向量空间的基本性质

如果既讨论实数，也考虑复数，会得到更好的定理，本书也是怎么做的

我们把平面和普通空间推广到 \(\mathbb R^n\) 与 \(\mathbb C^n\)，然后进一步推广到向量空间

接下来讨论子空间，子空间 与 向量空间 的关系相当于 子集 之于 集合；最后我们讨论子空间的和（类似于子集的并集），子空间的直和（类似于不相交集合的并集）

1. \(\mathbb R^n\) 与 \(\mathbb C^n\)

一个复数是一个有序对 (a,b)，满足 \(a,b\in \mathbb R\)，记作 \(a+bi\)，其中 \(i=\sqrt {-1}\)

所有复数构成的集合记为 \(\mathbb = \{ a+bi:~a,b\in \mathbb R\}\)

\(\mathbb C\) 上的加法和乘法定义：

• \((a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i\)
• \((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\)

（\(a,b,c,d\in \mathbb R\)）

假设 \(\alpha,\beta,\lambda \in \mathbb C\)，那么：

交换性 commutativity：\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)，\(\alpha\beta=\beta\alpha\)

结合性 associativitty：\((\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)\)，\((\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)\)

单位元 identities：\(\lambda+0=\lambda\)，\(\lambda~1=\lambda\)

加法逆元 additive inverse：对每一个 \(\alpha \in \mathbb C\) 都存在唯一的 \(\beta\in\mathbb C\)，使得 \(\alpha+\beta = 0\)

乘法逆元 additive inverse：对每一个 \(\alpha \in \mathbb C, \alpha\ne 0\) 都存在唯一的 \(\beta\in\mathbb C\)，使得 \(\alpha\beta = 1\)

分配性质 distributive property：\(\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta\)

注：上述性质可以通过实数性质来证明

令 \(-\alpha\) 表示 \(\alpha\) 的加法逆元，因此 \(-\alpha\) 是使得 \(\alpha+(-\alpha)=0\) 的唯一复数

因而 \(\mathbb C\) 上的减法定义为：\(\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)\)

令 \(1/\alpha\) 表示 \(\alpha\) 的乘法逆元，因此 \(1/\alpha\) 是使得 \(\alpha(1/\alpha)=1\) 的唯一复数 （其中 \(\alpha\ne0\)）

因而 \(\mathbb C\) 上的除法定义为：\(\beta/\alpha=\beta/(1/\alpha)\)

一个域是一个集合，它至少包含两个元素：0 和 1，并且带有 加法 和 乘法运算

若某个集合是一个域，那么该集合记为 \(\mathbb F\)

注：本教程中，\(\mathbf F\) 总是表示 \(\mathbb R\) 或 \(\mathbb C\)（因为 \(\mathbb R\) 和 \(\mathbb C\) 都是域）

假设 n 是非负整数

长度为 n 的组是 n 个有顺序的元素，这些元素以逗号分隔，两端以括弧括起来

记为：\((x_1,x_2,\dots,x_n)\)

注：两个组相等 \(\iff\) 它们的长度相等，所含元素相同，所含元素顺序相同；“元素”指的是 数，其他组 或 更抽象的东西

另外，长度为 2 的组称为 有序对 pair；长度为 3 的组称为 有序三元组 triple；长度为 0 的组记为 \(()\)

\(\mathbb F^n\) 是 \(\mathbb F\) 中元素组成的长度为 n 的组的集合：

\(\mathbb F^n = \{ (x_1,\dots,x_n):~ x_i\in \mathbb F, i=1..n \}\)

注：\(x_i\) 称为 \((x_1,\dots,x_n)\) 的第 i 个坐标

加法：\((x_1,\dots,x_n) + (y_1,\dots,y_n) = (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)\)

• 交换性：若 \(x,y\in \mathbb F^n\)，则 \(x+y=y+x\)
• 结合性：
• 单位元：0，约定 \(0=(0,\dots,0)\)
• 逆元：对于 \(x\in \mathbb F^n\)，x 的加法逆元记为 \(-x\)（\(-x\in \mathbb F^n\)），满足：\(x+(-x)=0\)；换言之，若 \(x=(x_1,\dots,x_n)\)，那么 \(-x=(-x_1,\dots,-x_n)\)

标量乘法：\(\lambda(x_1,\dots,x_n) = (\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)\) （\(\lambda\in \mathbb F, (x_1,\dots,x_n)\in \mathbb F^n\)）

• 单位元：1

注：第 6 章将讨论 内积，但在此前会讨论 点积

2.向量空间的定义

向量空间是一个集合 \(V\)，该集合带有 加法 和 标量乘法，并满足：

• 集合 V 上的加法是一个函数，它把每一对 \(u,v\in V\) 都对应到 V 的一个元素 \((u+x) \in V\)
• 集合 V 上的标量乘法是一个函数，它把任意 \(\lambda\in\mathbb F\) 和 \(v\in V\) 都对应到 V 的一个元素 \(\lambda v \in V\)

向量空间是一个带有 加法 和 标量乘法 的集合 V，满足如下性质：

假设 \(u,v,w\in V\)，\(a,b\in \mathbb F\)

• 加法交换性：\(u+v=v+u\)
• 结合性：\((u+v)+w=u+(v+w)\)，\((ab)v = a(bv)\)
• 加法单位元：存在 \(0\in V\) 使得对所有 \(v\in V\) 都有 \(v+0=v\)
• 加法逆元：对所有 \(v\in V\) 都存在 \(w\in V\) 使得 \(v+w=0\)
• 乘法单位元：对所有 \(v\in V\) 都有 \(1v=v\)
• 分配性质：\(a(u+v) = au+av\)，\((a+b)v = av + bv\)

换句话说，\(\mathbb F\) 是向量空间，当且仅当 \(\mathbb F\) 满足 加法结合性/交换性/单位元/逆元，标量乘法结合性，加法与标量乘法的分配性质

向量空间中的元素称为 向量 vector 或 点 point

实向量空间：\(\mathbb R\) 上的向量空间 复向量空间：\(\mathbb C\) 上的向量空间

设 S 是一个集合，记 \(\mathbb F^S\) 表示 S 到 \(\mathbb F\) 的所有函数的集合，即 \(\{f|~f:~S\to \mathbb F\}\)

如：\(\mathbb R^{[0,1]}\) 指所有定义在区间 [0,1] 上的实值函数构成的集合

• 对于 \(f,g\in\mathbb F^S\)，规定和 \(f+g \in \mathbb F^S\) 是如下函数：

\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)，对 \(x\in S\)

• 对于 \(\lambda \in \mathbb F\) 和 \(f\in \mathbb F^S\)，规定乘积 \(\lambda f \in \mathbb F^S\) 是如下函数：

\((\lambda f)(x) = \lambda f(x)\)

1. 若 S 是非空集合，则 \(\mathbb F^S\) 是 \(\mathbb F\) 上的向量空间
2. \(\mathbb F^S\) 上的加法单位元为函数 \(0:~S\to \mathbb F\)：\(0(x) = 0\)，对所有 \(x\in S\)
3. 对于所有 \(f\in \mathbb F^S\)，f 的加法逆元是函数 \(-f:~S\to \mathbb F\)：\((-f)(x) = -f(x)\)，对所有 \(x\in S\)

1. 加法单位元唯一
2. 加法逆元唯一

注：证明方法较简单，任取两个具有相同性质的向量，证明它们总是相等即可（这里的向量指向量空间中的某个元素）

设 \(v,w\in V\)，那么：

• 记 \(-v\) 是 v 的加法逆元
• 记 \(w-v = w + (-v)\)

\(0v=\mathbf 0\)，对任意 \(v\in V\) \(a\mathbf 0=\mathbf 0\)，对任意 \(a\in\mathbb F\) \((-1)v=-v\)，对任意 \(v\in V\)

3.子空间

如果 V 的子集 U（采用与 V 相同的加法和标量乘法）也是向量空间，则 U 是 V 的子空间

V 的子集 U 是 V 的子空间，当且 U 仅当满足以下三个条件：

• 加法单位元：\(0\in U\)
• 加法封闭性：\(u,w\in U \to u+w\in U\)（\(\to\) 表示 蕴涵）
• 标量乘法封闭性：\(a\in \mathbb F, u\in U \to au\in U\)