5.特征值&特征向量

本章目的是剖析线性变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\) 的作用，把它分解为容易理解的元素

除了 5.4，整章中出现的矩阵都是方阵

特征值的应用：离散动力学系统，微积分

1. 特征向量，特征值

假设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，\(\mathbf x\ne\mathbf 0\)

若存在 \(\lambda\in\mathbb R\) 使得 \(A\mathbf x=\lambda\mathbf x\) （或 \((A-\lambda I)\mathbf x=\mathbf 0\)）有非平凡解 \(\mathbf x\)

那么 \(\lambda\) 称为 A 的特征值，\(\mathbf x\) 称为 A 对应于 \(\lambda\) 的特征向量

注：根据定义和可逆矩阵定理可以方便地验证 A 的 特征值 或 特征向量

特征空间：A 的对应于 \(\lambda\) 的特征空间为 \(\text{Nul}(A-\lambda I)\)（即方程的解集）

注2：\(A\mathbf x=\lambda\mathbf x\) \(\implies\) \(A^n\mathbf x=\lambda^n\mathbf x\)（证明：数学归纳法）

注3：A 的对应于其第 i 个特征值 \(\lambda_i\) 的特征向量 \(\mathbf x_{ij}\in \text{Nul}(A-\lambda I)\)，因而任意多个 \(\mathbf x_{ij}\) 的非零线性组合也是特征向量

注4：\(\{A对应于\lambda的特征空间\}=\{A对应于\lambda的特征向量集\}\cup\{\mathbf 0\}\)

假设有三角矩阵 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)

根据可逆矩阵定理，\((A-\lambda I)\mathbf x=\mathbf 0\) 有非平凡解，当且仅当 \(\det(A-\lambda I)=0\)

即\((A-\lambda I)\mathbf x=\mathbf 0\) 有非平凡解，当且仅当 存在 \(\lambda\) 使得 \(\lambda = a_{ii}\)

1. 三角矩阵 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 的对角线元素 \(\lambda = a_{ii}\) 是其特征值（特征值个数 \(\le n\)）

2. \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\) 是 \(n\times n\) 矩阵 A 的特征值(对于所有 \(i\ne j,\lambda_i\ne\lambda_j\))，\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\) 是分别与 \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\) 对应的特征向量；那么向量集合 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\}\) 线性无关

3. 性质：由 A 对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量之间的非零线性组合也是特征向量（如 \(c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2\ne\mathbf 0\)）

2)证明：\(\forall i=1..r, A\mathbf v_i=\lambda_i\mathbf v_i,\mathbf v_i\ne\mathbf0\)（其中 \(\forall i\ne j,\lambda_i\ne\lambda_j\)），那么 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\}线性无关\)

证明 \(\neg q\to p\) 矛盾：

若 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\}\) 线性相关，即根据[1.7] 蕴涵（有必要时对特征向量集进行重排） \(\exists c_i\ne0,\mathbf v_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\mathbf v_j\)（1）

（这里的 i 应满足 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_{i-1}\}\) 线性无关）

将（1）两边左乘 A 有 \(A\mathbf v_i=A\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\mathbf v_j\) 或 \(\lambda_i\mathbf v_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\lambda_j\mathbf v_j\)（2）

将（1）两边乘以 \(\lambda_i\) 有 \(\lambda_i\mathbf v_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\lambda_i\mathbf v_j\)（3）

将（2）和（3）相减有：\(\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j(\lambda_i-\lambda_j)\mathbf v_j=\mathbf0\)

由于 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_{i-1}\}\) 线性无关，有 \(c_1(\lambda_i-\lambda_1)=\dots=c_{i-1}(\lambda_i-\lambda_{i-1})=0\)；而 \(\lambda_i-\lambda_j\ne0\)，于是 \(c_1=\dots=c_{i-1}=0\)，这与（1）矛盾（因为特征向量 \(\mathbf v_i\) 是非零向量）

\(\blacksquare\)

一阶差分方程 \(\mathbf x_i=A\mathbf x_{i-1}\) 的解为 \(\mathbf x_i=\lambda^i\mathbf x_0\) （其中 \(A\mathbf x_0=\lambda\mathbf x_0\)）

另：形如 \(\lambda^i\mathbf x_0\) 的线性组合也是解？

假设 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)

记 \(A=b^2-3ac,B=bc-9ad,C=c^2-3bd\)，\(\Delta=B^2-4AC\)

1. \(\Delta=0\) 时，有 3 个实根，有 1 个二重根；\(A=B=0\) 时，有三重根
2. \(\Delta<0\) 时，有 3 个不等实根
3. \(\Delta>0\) 时，有一个实根，一对共轭复根

1. \(\sum\limits_{i=0}^nc_iA^i=\mathbf0\)，等价于 \(\sum\limits_{i=0}^nc_i\lambda^i=\mathbf0\)
2. \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，那么 \(\det A=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i\)

(1) 由于 \(\sum\limits_{i=0}^nc_iA^i=\mathbf0\)，有：

\(\blacksquare\)

1. 特征值，特征向量，特征空间：假设 \(A\in M_{n\times n}\)，若 \(\exists\lambda\in\mathbb R\) 使得 \(A\bf x=\lambda x\) 或 \((A-\lambda I_n)\bf x=0\)（而 \(\mathbf x\ne\mathbf 0\)），那么 \(\lambda\) 称为 A 的特征值，\(\bf x\) 称为 A 的对应于 \(\lambda\) 的特征向量；A 的对应于 \(\lambda\) 的特征空间为 \(A\bf x=\lambda x\) 的解集 \(\text{Nul}(A-\lambda I_n)\)
2. 特征判定定理：(1) \(\lambda是A的特征值\iff方程A\mathbf x=\lambda\mathbf x存在非平凡解\iff A-\lambda I_n不可逆\iff\det(A-\lambda I_n)=0\)；(2) \(\mathbf x是A的特征向量\iff\exists\lambda\in\mathbb R,A\mathbf x=\lambda\mathbf x\)
3. 定理：\(\lambda_1,\dots,\lambda_r\) 是方阵 A 的不同特征值，\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\) 分别与 \(\lambda_1,\dots,\lambda_r\)，那么 \(\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\}\) 线性无关

1. 方阵 A 不可逆 \(\iff\) A 有零特征值
2. 若 \(A\in M_{n\times n}\) 是三角矩阵，那么 \(\forall i=1..n\)，第 i 个特征值为 \(\lambda_i=a_{ii}\)
3. 方阵 A 对应于某个特征值 \(\lambda\) 的多个特征向量的非零线性组合仍是特征向量
4. 方阵 A 的各列之和（或各行之和）为 s，那么 A 有一个特征值 s；特别地，\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，则 A 的特征值为 \(\lambda_1=s,\lambda_2=a+d-s=(\det A)/s\)

(1) \(A-5I_n=\begin{bmatrix}1&-3&1\\3&-5&5\\2&2&1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&1\\0&4&2\\0&0&1\end{bmatrix}\)，于是 \(A-5I_n=\begin{bmatrix}1&-3&1\\3&-5&5\\2&2&1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&-3&1\\0&4&2\\0&0&-5\end{bmatrix}\)，即 \(A-5I_n\) 不可逆，所以 5 不是 A 的特征值

(2) \(A^n\mathbf x=\lambda^n\mathbf x\)

(5.7) 若矩阵 A 的同一特征值对应的特征空间的基元素个数不小于 2，那么存在两个特征空间中的向量线性无关（如：特征空间的基为 \(\{\bf v_1,v_2\}\)，那么 \(c\bf v_1\) 与 \(d\bf v_2\) 线性无关）

(6) \(A\mathbf x=\lambda\mathbf x\) 和 A 可逆，蕴涵 \(\mathbf x=A^{-1}(\lambda\mathbf x)=\lambda(A^{-1}\mathbf x)\)

而 \(A^{-1}\) 可逆，蕴涵 \(A^{-1}\ne\mathbf 0\)，又因 \(\mathbf x\ne0\)，于是 \(\lambda\ne0\)，于是 \(\lambda\) 有乘法逆元

最后 \(A^{-1}\mathbf x=\lambda^{-1}\mathbf x\)

(7) 设 \(\lambda\) 是 A 的特征值，蕴涵 \(A\mathbf x=\lambda\mathbf x,A^2\mathbf x=\lambda^2\mathbf x\)

\(A^2=\mathbf 0\)，蕴涵 \(A^2\mathbf x=\mathbf 0\mathbf x=\mathbf 0\)，于是 \(\lambda^2\mathbf x=\mathbf 0\)

由于 \(\mathbf x\ne\mathbf 0\)，于是 \(\lambda=0\)

(8) 两个方程 \(A\mathbf x=\lambda\mathbf x\) 与 \(A^T\mathbf x=\lambda\mathbf x\)（\(\mathbf x\ne\mathbf 0\)）有相同的 \(\lambda\) 解集，当且仅当 \(\det(A-\lambda I_n)=\det(A^T-\lambda I_n)\)

而 \(\det(A-\lambda I_n)=\det[(A-\lambda I_n)^T]=\det(A^T-\lambda I_n^T)=\det(A^T-\lambda I_n)\)，

于是 A 与 \(A^T\) 具有相同的特征值解集

(9) 若 \(\mathbf v\) 是 A 的特征向量（其中 \(\mathbf v\) 的各个元素为 1），有 \(A\mathbf v=s\mathbf v\)

(10) 由 (8) 和 (9) 有 A 与 \(A^T\) 有相同的特征值解集，而 s 是 \(A^T\) 的特征值，于是 s 也是 \(A\) 的特征值

2. 特征方程

\(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 可逆，当且仅当：

1. 0 不是 A 的特征值
2. \(\det A\ne 0\)

\(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 的特征多项式：\(\det(A-\lambda I)\)（n 次多项式）

A 的特征方程：\(\det(A-\lambda I)=0\)

性质：\(\lambda\in\mathbb R\) 是 A 的特征值，当且仅当 \(\lambda\) 是 \(\det(A-\lambda I)=0\) 的根

根的重数：特征方程的不重解集中第 i 个特征值 \(\lambda_i\) 作为特征方程根的重数称为 (代数)重数

复根(复特征值)：特征方程的复数根

设 \(A,B\in\mathbb R^{n\times n}\)

相似：A 和 B 相似，当且仅当 \(P^{-1}AP=B\)（或 \(AP=PB\)；\(PAP^{-1}=B\)，\(PA=BP\)）

相似变换：\(T~:~A\to P^{-1}AP\)

定理：A 和 B 相似，那么它们具有相同的特征多项式

证：

\(\det(P^{-1}AP-\lambda I_n)=\det[P^{-1}AP-\lambda(P^{-1}I_nP)]=\det[P^{-1}(A-\lambda I_n)P]\)

\(=(\det P^{-1})\det(A-\lambda I_n)(\det P)=\det(A-\lambda I_n)\)

于是 A 与 \(B=P^{-1}AP\) 有相同的特征多项式

\(\blacksquare\)

假设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)

A 的特征方程为 \(\det(A-\lambda I)=0\)；解得特征值集合 \(S_\lambda=\{\lambda_i~|~\det(A-\lambda_i I)=0\}\) （涉及到多项式求根）

对于所有 \(\lambda_i\in S_{\lambda}\)，使用初等行变换求得 \((A-\lambda_i I)\mathbf x=\mathbf 0\) 的特解 \(\mathbf x_i^*\)

最后得到特征空间 \(\text{Nul}(A-\lambda I)\) 的一组基 \(\text B = \{\mathbf x_i^*\}\)（其中 \(A\mathbf x_i^*=\lambda_i\mathbf x_i^*\)）

有差分方程 \(\mathbf x_i=A\mathbf x_{i-1}\)，\(\mathbf x_0=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}\)

A 的特征空间 \(\text{Nul}(A-\lambda I)\) 的一组基为 \(\text B = \{\mathbf x_i^*\}\)（其中 \(A\mathbf x_i^*=\lambda_i\mathbf x_i^*\)；\(\mathbf b_i=\mathbf x_i^*\)）

由于 \(\mathbf x_0=\text B[\mathbf x_0]_\text B\)，有 \([\mathbf x_0]_\text B = \text B^{-1}\mathbf x_0\)（\(\mathbf x_0\) 分解为 基矩阵 与 基的坐标向量 乘积的形式）

（注：这里 B 既表示基也表示基构成的方阵；由于基 B 是线性无关的，所以矩阵 B 可逆）

令 \([\mathbf x_0]_\text B\) 的第 i 个元素为 \(c_i=([\mathbf x_0]_\text B)_i\)；那么 \(\mathbf x_0=\text B[\mathbf x_0]_\text B = \sum\limits_{i=1}^nc_i\mathbf b_i\)

由于 B 的各列 \(\mathbf b_i\) 满足 \(A\mathbf b_i = \lambda_i\mathbf b_i\)

那么 \(\mathbf x_k = A^k\mathbf x_0 = A^k\sum\limits_{i=1}^nc_i\mathbf b_i = \sum\limits_{i=1}^nc_iA^k\mathbf b_i=\sum\limits_{i=1}^nc_i\lambda_i^k\mathbf b_i\)

于是 \(\mathbf x_k = \sum\limits_{i=1}^nc_i\lambda_i^k\mathbf b_i\)

1. 特征多项式，特征方程，根的重数：假设 \(A\in M_{n\times n}\)，\(\lambda\) 是 A 的特征值，\(\det(A-\lambda I_n)\) 称为特征多项式，\(\det(A-\lambda I_n)=0\) 称为特征方程；特征方程根的重数称为 \(\lambda\) 的(代数)重数
2. 特征向量基：若 A 存在 n 个线性无关的特征向量，那么这些向量张成 \(\mathbb R^n\)，称这个向量集称为特征向量基
3. 相似，相似变换：\(n\times n\) 矩阵 A 与 B 相似，若存在矩阵 P 使得 \(P^{-1}AP=B\) 或 \(P^{-1}BP=A\)；\(A\mapsto P^{-1}AP\) 称为相似变换
4. 相似定理：若 A 与 B 相似，那么它们具有相同的特征多项式（即特征值解集相同），即 \(\det(A-\lambda I_n)=\det(B-\lambda I_n)\)

1. 矩阵的特征值 \(\lambda\) 的代数重数不小于其特征空间的维数
2. \(\det A=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i\)
3. 若 A 与 B 有相同的特征多项式（\(\det(A-\lambda I_n)=\det(B-\lambda I_n)\)），那么 \(\det A=\det B\)；推论：A 与 B 相似，那么 \(\det A=\det B\)

1. 特征值算法：假设 A 是方阵：(0) 常规算法是解方程 \(\det(A-\lambda I_n)=0\)，(1) \(\text{tr}A=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i\)，(2) \(\det A=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i\)，(3) 若 A 的各列之和或各行之和为 s，那么一个特征值为 s，(4) 若已知 \(\bf v\) 是特征向量，使用[特征向量的检验算法]可以间接求出一个特征值，(5) 对 A 执行 n 次 QR 分解
2. \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 的特征值为 \(\frac{(a+d)\pm\sqrt{(a-d)^2+4bc}}2\)
3. 假设 \(3\times 3\) 的矩阵 A 有一个特征值 \(\lambda_1\)，那么其余特征值是方程 \(\lambda^2-(\det A/\lambda_1)\lambda+(\det A-\lambda_1)=0\) 的根
4. 若已知方阵 A 的一些特征值或特征向量，那么 A 的特征值的计算将大大简化
5. 若矩阵 A 与 B 相似，那么 (1) \(\det(A-\lambda I_n)=\det(A-\lambda I_n)\)，(2) \(\text{tr}A=\text{tr}=B\)，(3) \(\det A=\det B\)，(4) \(\text{rank}A=\text{rank}B\) (5) 存在 \(P=P_1P_2^{-1}\) 使得 \(P^{-1}AP=B\)（\(A,B\) 分别对角化为 \(A=P_1DP_1^{-1},B=P_2DP_2^{-1}\)）

(1) \(0=\det(A-\lambda I_n)=\begin{bmatrix}1-\lambda&-4\\4&2-\lambda\end{bmatrix}=\lambda^2-3\lambda+18\)

解得特征值 \(\lambda=\frac{3\pm\sqrt{-63}}2\)

(3)

1. \(\det\begin{bmatrix}1-\lambda&0&-1\\2&3-\lambda&-1\\0&6&0-\lambda\end{bmatrix}=[-1,1][1,-3,6]-12=[-1,4,-9,6]\)（其中方括号 \([~]\) 表示关于 \(\lambda\) 的多项式向量），枚举 6 的正负整数因子 k，发现不存在 \(\lambda+k\) 能整除特征多项式，于是特征方程没有整数解（无法简单的用手计算特征值）
2. 上三角矩阵 A 的特征值分别为 4（重数为 1），3（重数为 2），1（重数为 1）

(4) \(A-5I_n=\begin{bmatrix}0&-2&6&-1\\0&-2&h&0\\0&0&0&4\\0&0&0&-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}0&1&-3&0\\0&0&6-h&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，仅当 \(h=5\) 时，A 的特征值 5 对应的特征空间是 2 维的

(5) 由于 \(\forall\lambda_i\) 是 A 的特征值，蕴涵 \(\det(A-\lambda I_n)=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda_i-\lambda)\)

令 \(\lambda=0\)，有 \(\det A=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i\)

(7) 证明 \(\exists P,QR=P^{-1}RQP\)：令 \(P=Q^{-1}\)，有 \(P^{-1}RQP=(Q^{-1})^{-1}RQQ^{-1}=QR\)

(8)

1. \(\det(A-\lambda I_n)=(\lambda-1)(\lambda-0.3)\)（注：A 的各列之和为 1，根据[5.1练习10]有 \(\lambda=1\)），于是 \(\lambda_1=1,\lambda_2=0.3\)；分别计算 1 和 \(0.3\) 对应的特征方程的基有 \(\left\{\begin{bmatrix}3/4\\1\end{bmatrix}\right\},\left\{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\right\}\)；由于 A 的所有特征空间的基的向量（共有 2 个）之间线性无关，于是这些向量构成\(\mathbb R^2\) 的一个基，即 \(\left\{\begin{bmatrix}3/4\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\right\}\)
2. 解方程 \(\begin{bmatrix}3/4&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.5\\0.5\end{bmatrix}\)：\(\begin{bmatrix}3/4&-1&0.5\\1&1&0.5\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&0&4/7\\0&1&-1/14\end{bmatrix}\)，于是 \(\mathbf x_0=c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2=(4/7)\begin{bmatrix}3/4\\1\end{bmatrix}+(-1/14)\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)；\(\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0=A^k(c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2)=c_1\lambda_1^k\mathbf v_1+c_2\lambda_2^k\mathbf v_2=(4/7)(1)^k\begin{bmatrix}3/4\\1\end{bmatrix}+(-1/14)(0.3)^k\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)，于是 \(\lim\limits_{k\to+∞}\mathbf x_k=(4/7)\begin{bmatrix}3/4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3/7\\4/7\end{bmatrix}\)

(9)

1. \(A\mathbf v_1=\mathbf v_1,A\mathbf v_2=0.5\mathbf v_2,A\mathbf v_3=0.2\mathbf v_3\)；于是 \(\lambda_1=1,\lambda_2=0.5,\lambda_3=0.2\)
2. 令 \(\mathbf x_0=c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+c_3\mathbf v_3\)，于是 \(1=[1~1~1]\mathbf x_0=[1~1~1](c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+c_3\mathbf v_3)=c_1\)，即 \(\mathbf x_0=\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+c_3\mathbf v_3\)，蕴涵 \(\mathbf x_k=A^k\mathbf x_0=\lambda_1^k\mathbf v_1+c_2\lambda_2^k\mathbf v_2+c_3\lambda_3^k\mathbf v_3=\mathbf v_1+c_2(0.5)^k\mathbf v_2+c_3(0.2)^k\mathbf v_3\)，于是 \(\lim\limits_{k\to+∞}\mathbf x_k=\mathbf v_1\)

3. 对角化

对角矩阵 \(D\in\mathbb R^{n\times n}\) 除了对角线上的元素外均为 0

性质1：\((D^k)_{ii}=d_{ii}^k\)

性质2：\(D=I\mathbf d\)

若 \(A,D\in\mathbb R^{n\times n}\)（其中 D 为对角矩阵）相似，即 \(A=PDP^{-1}\)

那么 \(A^k = \prod\limits_{i=1}^k(PDP^{-1})=PD^kP^{-1}\)

\(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 可对角化，当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量（当且仅当 A 的特征向量的集合(基)张成 \(\mathbb R^n\)；该集合称为 特征向量基）

可对角化：存在对角矩阵 \(D\in\mathbb R^{n\times n}\) 使得 \(A=PDP^{-1}\)

证明：详见p296

对角化算法：

1. 通过特征多项式 \(\det(A-\lambda I_n)=0\) 计算特征值集合 \(\mathbf u=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)，此时 \(D=I_n\mathbf u\)
2. \(\forall i=1..n\)，计算特征空间 \(\text{Nul}(A-\lambda_i I_n)\)；得到线性无关的特征向量构成的矩阵 \(P=\begin{bmatrix}\mathbf v_1\cdots\mathbf v_n\end{bmatrix}\)（即 D 以特征向量基作为各列）
3. 得到 A 的对角化形式 \(A=PDP^{-1}\)

假设 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) 是 A 的特征值，\(\mathbf v_1,\cdots,\mathbf v_n\) 是 A 的特征向量（\(\forall i\)，\(\lambda_i\) 与 \(\mathbf v_i\) 相对应）

\(AP=A[\mathbf v_1\cdots\mathbf v_n]=[A\mathbf v_1\cdots A\mathbf v_n]=[\lambda_1\mathbf v_1\cdots\lambda_n\mathbf v_n]\)

\(PD=[\mathbf v_1\cdots\mathbf v_n]I_n\begin{bmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n\end{bmatrix}=[\lambda_1\mathbf v_1\cdots\lambda_n\mathbf v_n]\)

于是 \(AP=PD\)

若 P 可逆，那么 \(\mathbf v_1,\cdots,\mathbf v_n\) 线性无关，于是 \(A=PDP^{-1}\)

\(\blacksquare\)

有 n 个本质不同的特征值的方阵 A 可以对角化

推论：若 A 是对角线元素互不相同的三角矩阵，那么 A 可以对角化

若 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，其本质不同(相异)的特征值是 \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\)，那么：

1. 多于所有 \(1\le i\le p\)，\(\lambda_i\) 的特征空间的维数不大于 \(\lambda_i\) 的代数重数
2. 矩阵 A 可对角化，当且仅当 所有不同特征空间的维数之和为 n（即 特征多项式可完全分解为线性因子；每个 \(\lambda_i\) 的特征空间的维数等于 \(\lambda_i\) 的代数重数）
3. 若 A 可对角化，那么 \(\cal B_i\) 是对应于 \(\lambda_i\) 的特征空间的基，则集合 \(\{\cal B_1,\dots,\cal B_p\}\) 中所有向量的集合是 \(\mathbb R^n\) 的特征向量基

注：证明参考 p298 下的脚注

1. 对角矩阵：\(n\times n\) 矩阵 D 除了对角线上的元素外均为零，称 D 为对角矩阵，
2. 对角化定理：\(n\times n\) 矩阵 A 可对角化，当且仅当具有特征向量基（即 \(A=PDP^{-1}\) 中，D 是对角矩阵，当且仅当 P 的各列是 A 的特征向量基；蕴涵 D 的主对角线元素是对应于 P 中特征向量的特征值）
3. 可对角化的充分性：(1) A 具有 n 个相异的特征值，(2) A 是对角线元素互不相同的三角矩阵
4. 定理：假设 \(n\times n\) 矩阵 A 有 p 个相异的特征值，那么：(1) \(\forall i=1..p,\dim\text{Nul}(A-\lambda_i I_n)\le\lambda_i的重数\)，(2) A 可对角化，当且仅当特征空间维数之和为 n，即 \(\sum\limits_{i=1}^p\dim\text{Nul}(A-\lambda_i I_n)=n\)，(3) 假设 A 可对角化，\(\cal B_i\) 是特征空间 \(\text{Nul}(A-\lambda I_n)\) 的基，那么 \(\bigcap\limits_{i=1}^p\mathcal B_i\) 是 \(\mathbb R^n\) 的特征向量基

1. 若 D 为对角矩阵，那么 \(\forall i=1..n,(D^n)_{ii}=d_{ii}^n\)
2. 矩阵 A 做对角化变换有 \(P^{-1}AP=D\)，那么 \(A^k=\prod\limits_{i=1}^k(PDP^{-1})=PD^kP^{-1}\)
3. 若可逆矩阵 A 可对角化，那么 \(A^{-1}\) 也可逆并且可对角化，\(A^{-1}\) 的特征值分别为 \(1/\lambda_1,\cdots,1/\lambda_n\)，\(A^{-1}\) 的特征空间与 A 的特征空间相同
4. 若矩阵 A 对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，那么 \(A^T\) 也可对角化，有 \(A^T=QD^TQ^{-1}\)（\(Q=(P^T)^{-1}\)）
5. 若方阵 A 对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，那么 \(\forall\mathbf x\in\mathbb R^n,A^k\mathbf x=A^kP[\mathbf x]_{\cal P}=A^k\sum\limits_{i=1}^nc_i\mathbf p_i=\sum\limits_{i=1}^nc_i(A^k\mathbf p_i)=\sum\limits_{i=1}^nc_i(\lambda_i^k\mathbf p_i)\)（其中 \([\mathbf x]_{\cal P}\) 是 \(\mathbf x\) 在特征向量基下的坐标）；或者 \(A^k\mathbf x=(PDP^{-1})^k\mathbf x=PD^kP^{-1}\mathbf x\)

(1) \(\det(A-\lambda I_n)=(\lambda-1)(\lambda-2)\)，有 \(\lambda_1=1,\lambda_2=2\)，记 $$；进而 \(\text{Nul}(A-\lambda_1 I_n)=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\},\text{Nul}(A-\lambda_2 I_n)=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1.5\\1\end{bmatrix}\right\}\)，记 \(P=\begin{bmatrix}1&1.5\\1&1\end{bmatrix}\)；于是 \(A=PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&1.5\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}^8\begin{bmatrix}1&1.5\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}3\cdot2^8-2&3-3\cdot2^8\\2^9-2&3-2^9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}766&-765\\510&-509\end{bmatrix}\)

(2) \(A\mathbf v_1=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\mathbf v_1,A\mathbf v_2=\begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}=3\mathbf v_2\)，记 \(D=\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\)

记 \(P=\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}\)

有 \(A=PDP^{-1}\)

(3) \(\dim\text{Nul}(A-3I_n)=2,\dim\text{Nul}(A-5I_n)\ge1,\dim\text{Nul}(A-(-2)I_n)\ge1\)，所以各特征空间之和不小于 4，而各特征空间之和个数不大于 4，于是各特征空间之和为 4，于是 A 可对角化

(4.4) 一个反例：A 具有 0 特征值，蕴涵 D 不可逆，于是 A 不可逆；(4.6) 相异特征值个数小于 n，A 也可能可以对角化；(4.8) 一个反例：\(\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\)

(5) \(A=\begin{bmatrix}3&4\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&4\\1&-3\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}3&4\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&4\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\)，于是 \(A^k=(-1)^k\begin{bmatrix}3&4\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}^k\begin{bmatrix}3&4\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}4-3\cdot2^k&12(2^k-1)\\1-2^k&2^{k+2}-3\end{bmatrix}\)

(6) 特征值为 \(\lambda_1=5\)（重数为 2），\(\lambda_2=4\)（重数为 1）；两个特征值对应的特征空间的基分别为 \(\left\{\begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\},\left\{\begin{bmatrix}-1\\2\\0\end{bmatrix}\right\}\)

(7) 假设 A 的对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，由于 A 可逆，那么 \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\)

(8) 假设 A 的对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，于是 \(A^T=(PDP^{-1})^T=(P^T)^{-1}D^TP^T\)；令 \(Q=(P^T)^{-1}\)，有 \(A^T=QD^TQ^{-1}\)，即 \(A^T\) 可对角化

4. 特征向量，线性变换

在本节，我们将矩阵分解 \(A=PDP^{-1}\) 理解为线性变换；我们还将看到变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\) 的是指是简单的映射 \(\mathbf u\mapsto D\mathbf u\)

设 \(V, W\) 分别 \(n,m\) 维向量空间，\(\cal B,C\) 分别为 \(V,W\) 的基；有线性变换 \(T~:~V\to W\)

若 \(\mathbf x\in V, [\mathbf x]_{\cal B}\in\mathbb R^n\)，\(T(\mathbf x)\in W,[T(\mathbf x)]_{\cal C}\in\mathbb R^m\)

那么 \(T(\mathbf x)\) 在 W 中以 \({\cal C}\) 为基的坐标为 \([T(\mathbf x)]_{\cal C} = M[\mathbf x]_{\cal B}\) （其中 \(M=\begin{bmatrix}[T(\mathbf b_1)]_{\cal C}\dots [T(\mathbf b_n)]_{\cal C}\end{bmatrix}\)，称为T相对于基 \(\cal B\) 和 \(\cal C\) 的矩阵）

另外，\(\forall\mathbf v\in\mathbb R^n\)，\(\mathbf v\mapsto M\mathbf v\)（或 \([\mathbf x]_{\cal B}\to M[\mathbf x]_{\cal B}\)） 将 V 的坐标映射到 W 中的坐标

设 \(V, W\) 分别 \(n,m\) 维向量空间，\(\cal B,C\) 分别为 \(V,W\) 的基；线性变换 \(T~:~V\to W\)

即给定了几种映射关系：\(V\underset{P_{\cal B}}{\overset{[~]_{\cal B}}\rightleftharpoons}\mathbb R^n,W\underset{P_{\cal C}}{\overset{[~]_{\cal C}}\rightleftharpoons}\mathbb R^m,V\overset{T}\longrightarrow W\)

\(\forall\mathbf x\in V\)，计算映射 \(S:~\mathbf x\mapsto[T(\mathbf x)]_{\cal C}\)：

根据[4.4唯一表示定理]有 \(\mathbf x=P_{\cal B}[\mathbf x]_{\cal B}=[\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n][\mathbf x]_{\cal B}\)

由于 T 是线性变换，于是 \(T(\mathbf x)=T([\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n][\mathbf x]_{\cal B})=[T(\mathbf b_1)\cdots T(\mathbf b_n)][\mathbf x]_{\cal B}\)

由于坐标映射 \([]_{\cal C}\) 也是线性变换，于是 \([T(\mathbf x)]_{\cal C}=[[T(\mathbf b_1)]_{\cal C}\cdots[T(\mathbf b_n)]_{\cal C}][\mathbf x]_{\cal B}\)

记 \([T(\mathbf x)]_{\cal C} = M[\mathbf x]_{\cal C}\) （其中 \(M=\begin{bmatrix}[T(\mathbf b_1)]_{\cal C}\dots [T(\mathbf b_n)]_{\cal C}\end{bmatrix}\)）

\(\blacksquare\)

设 V 为 n 维向量空间，\({\cal B}\) 为 V 的基；有线性变换 \(T~:~V\to V\)

若 \(\mathbf x,T(\mathbf x)\in V\)，\([\mathbf x]_{\cal B}, [T(\mathbf x)]_{\cal B}\in\mathbb R^n\)

那么 \(T(\mathbf x)\) 在 V 中以 \({\cal B}\) 为基的坐标为 \([T(\mathbf x)]_{\cal B}=[T]_{\cal B}[\mathbf x]_{\cal B}\)（其中 \([T]_{\cal B}=\begin{bmatrix}[T(\mathbf b_1)]_{\cal B}\dots [T(\mathbf b_n)]_{\cal B}\end{bmatrix}\)）

注：\(M=[T]_{\cal B}\) 称为 T 相对于 \({\cal B}\) 的矩阵，简称为 T 的 \({\cal B}-\)矩阵

设 A 可对角化，即其特征空间的基 \({\cal B}\) 张成 \(\mathbb R^n\)，而且 \(A=PDP^{-1}\)（\({\cal B}=\{\mathbf b_1\dots\mathbf b_n\}, P=[\mathbf b_1\dots\mathbf b_n], D=I\mathbf\lambda\)）

若 \(T~:~\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)，那么 D 是变换 T 的 \({\cal B}-\) 矩阵（换句话说 \([T(\mathbf x)]_{\cal B} = D[\mathbf x]_{\cal B}\)）

注：\(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\) 和 \(\mathbf u\mapsto D\mathbf u\) 描述的是相对于不同基的同一个线性变换

证：

假设矩阵 A 可对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，其中 \(P=[\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n]\)，\(\mathbb R^n\) 的特征向量基为 \(\mathcal B=\{\mathbf b_1,\cdots,\mathbf b_n\}\)

假设有线性变换 \(T:\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)，那么 \(T的\cal B-矩阵\) 为 \([T]_{\cal B}=[[T(\mathbf b_1)]_{\cal B}\cdots[T(\mathbf b_n)]_{\cal B}]=[[A\mathbf b_1]\cdots[A\mathbf b_n]]\)

\(=[P^{-1}A\mathbf b_1\cdots P^{-1}A\mathbf b_n]=P^{-1}A[\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n]=P^{-1}AP=D\)

即 \([T]_{\cal B}=D\)

\(\blacksquare\)

有关向量线性变换的矩阵：

若 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 在基 \({\cal B}\) 的列向量构成的矩阵 P 之下，与 C 相似，即 \(A=PCP^{-1}\)（其中 \(P=[\mathbf b_1\dots\mathbf b_n]\)）

那么 C 是 \(T~:~\mathbf x\mapsto A\mathbf x\) 的 \({\cal B}-\) 矩阵（即 \([T(\mathbf x)]_{\cal B} = C[\mathbf x]_{\cal B}\)）

反之，若 \(T~:~\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)，\({\cal B}\) 是 \(\mathbb R^n\) 的一个基，那么 T 的 \({\cal B}-\) 矩阵相似于 A

注：若 P 是以 \({\cal B}\) 的向量作为列构成的矩阵，那么 \([T(\mathbf x)]_{\cal B}=P^{-1}AP\)

1. \(V\to W\) 的线性变换，线性变换相当于基 \(\cal B,C\) 的矩阵：假设 \(V,W\) 分别为 \(n,m\) 维向量空间，\(\cal B,C\) 分别为 \(V,W\) 的基，有线性变换 \(T:V\to W\)，那么 \(\forall\mathbf x\in V\)，有 \([T(\mathbf x)]_{\cal C}=M[\mathbf x]_{\cal C}=[[T(\mathbf b_1)]_{\cal C}\cdots[T(\mathbf b_n)]_{\cal C}][\mathbf x]_{\cal B}\)；M 称为T 相对于基 \(\cal B\) 和 \(\cal C\) 的矩阵
2. \(V\to V\) 的线性变换，线性变换的 \(\cal B-矩阵\)：假设 V 是 n维向量空间，\(\cal B\) 为 V 的基，有线性变换 \(T:V\to V\)，那么 \(T(\mathbf x)\) 在 V 中以 \(\cal B\) 为基的坐标为 \([T(\mathbf x)]_{\cal B}=[T]_{\cal B}[\mathbf x]_{\cal B}=\begin{bmatrix}[T(\mathbf b_1)]_{\cal B}\dots [T(\mathbf b_n)]_{\cal B}\end{bmatrix}[\mathbf x]_{\cal B}\)；\([T]_{\cal B}\) 称为T 相当于基 \(\cal B\) 的矩阵或T 的 \(\cal B\) 矩阵
3. \(\mathbb R^n\to\mathbb R^n\) 的线性变换：假设矩阵 A 可对角化为 \(A=PDP^{-1}\)，其中 \(P=[\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n]\)，\(\mathbb R^n\) 对应于 A 的特征向量基为 \(\mathcal B=\{\mathbf b_1,\cdots,\mathbf b_n\}\)，有线性变换 \(T:\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)，那么 \(T的\cal B-矩阵\) 为 \([T]_{\cal B}=D\)

(1) \([T(a_0+a_1t+a_2t^2)]_{\cal B}=[T]_{\cal B}[a_0+a_1t+a_2t^2]_{\cal B}=\begin{bmatrix}3&4&0\\0&5&-1\\1&-2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3a_0+4a_1\\5a_1-a_2\\a_0-2a_1+7a_2\end{bmatrix}\)，于是 \(T(a_0+a_1t+a_2t^2)=P_{\cal B}[T(a_0+a_1t+a_2t^2)]_{\cal B}=[1~~t~~t^2]\begin{bmatrix}3a_0+4a_1\\5a_1-a_2\\a_0-2a_1+7a_2\end{bmatrix}=(3a_0+4a_1)+(5a_1-a_2)t+(a_0-2a_1+7a_2)t^2\)

(2)

1. \(A=I_n^{-1}AI_n\)，所以 A 相似于 A
2. 由假设，存在可逆矩阵 \(P,Q\) 使得 \(B=P^{-1}AP,C=Q^{-1}BQ\)，蕴涵 \(C=Q^{-1}P^{-1}APQ=(PQ)^{-1}A(PQ)\)，于是 A 相似于 C

(3) \(M=\begin{bmatrix}3&-1&0\\-5&6&4\end{bmatrix}\)

(4)

1. \(T(\mathbf e_1)=-\mathbf b_2+\mathbf b_3,T(\mathbf e_2)=-\mathbf b_1-\mathbf b_3,T(\mathbf e_3)=\mathbf b_1-\mathbf b_2\)
2. \([T(\mathbf e_1)]_{\cal B}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix},[T(\mathbf e_2)]_{\cal B}=\begin{bmatrix}-1\\0\\-1\end{bmatrix},[T(\mathbf e_1)]_{\cal B}=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}\)
3. \(M=\begin{bmatrix}0&-1&1\\-1&0&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}\)

(5) \(\begin{bmatrix}2&-4&5\\0&-1&3\end{bmatrix}\)

(6) A 相似于 B，蕴涵存在矩阵 P 使得 \(B=P^{-1}AP\)，那么 \(B^k=P^{-1}A^kP\)，于是 \(A^k\) 相似于 \(B^k\)

(7) 由假设存在矩阵 \(P,Q\) 使得 \(A=P^{-1}BP,A=Q^{-1}CQ\)，蕴涵 \(P^{-1}BP=Q^{-1}CQ\)，蕴涵 \(C=(PQ^{-1})^{-1}BPQ^{-1}\)，即 B 相似于 C

(8) A 可对角化，蕴涵存在 \(P,D\) 使得 \(A=PDP^{-1}\)；B 相似于 A，蕴涵存在 Q 使得 \(A=Q^{-1}BQ\)；于是 \(B=(QP)D(QP)^{-1}\)，即 B 可对角化

(9)

1. A 与 B 相似，蕴涵 \(B=P^{-1}AP\)；由 [4补充习题13,14] 和 P 的可逆性有 \(\text{rank}B=\text{rank}(P^{-1}AP)=\text{rank}(AP)=\text{rank}A\)
2. A 与 B 相似，蕴涵 \(B=P^{-1}AP\)；\(\text{tr}B=\text{tr}(P^{-1}AP)=\text{tr}((P^{-1}A)P)=\text{tr}(P(P^{-1}A))=\text{tr}((P^{-1}P)A)=\text{tr}A\)
3. 若 A 可对角化，蕴涵存在 \(D,P\) 使得 \(A=PDP^{-1}\)（A 与 D 相似），根据 (9.2) 有 \(\text{tr}A=\text{tr}D=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i\)；若 A 不可对角化，

(10)

1. \(\forall i=1..n,[I(\mathbf b_i)]_{\cal E}=[\mathbf b_i]_{\cal E}=\mathbf b_i\)，于是 \(M=[\mathbf b_1\cdots\mathbf b_n]=P_{\cal B}\)，于是 M 为从 \(\cal B\) 到 \(\cal E\) 的坐标变换矩阵（\((\mathbb R^n,\mathcal B;\mathbb R^n,\mathcal E)\)）
2. \(\forall i=1..n,[I(\mathbf b_i)]_{\cal C}=[\mathbf b_i]_{\cal C}\)，于是 \(M=[[\mathbf b_1]_{\cal C}\cdots[\mathbf b_n]_{\cal C}]=\underset{\cal C\leftarrow B}P\)，于是 M 为由 \(\cal B\) 到 \(\cal C\) 的坐标变换矩阵（\((V,\mathcal B;V,\mathcal C)\)）
3. \([I]_{\cal B}=[[I(\mathbf b_1)]_{\cal B}\cdots [I(\mathbf b_n)]_{\cal B}]=[[\mathbf b_1]_{\cal B}\cdots [\mathbf b_n]_{\cal B}]=[\mathbf e_1\cdots\mathbf e_n]=I_n\)

5. 复特征值

\(n\times n\) 矩阵的特征方程是 n 次多项式，若考虑复根，则方程恰好有 n 个根

将实空间情况推广到复空间，目的是 (1) 方便讨论有关方阵 A 的关键信息，(2) 开辟线性代数的新领域

假设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，\(\mathbf x\ne\mathbf 0\)（\(\mathbf x\in\mathbb C\)）

若存在 \(\mathbf \lambda\in\mathbb C\) 使得 \(A\mathbf x=\lambda\mathbf x\) 有非平凡解 \(\mathbf x\)（当且仅当 \(\det(A-\lambda I)=0\)）

那么 \(\lambda\) 称为 A 的(复)特征值，\(\mathbf x\) 称为 A 对应于 \(\lambda\) 的(复)特征向量

假设 \(\mathbf x\in\mathbb C^n\)，\(B\in\mathbb C^{n\times n}\)

(复向量的)实部，虚部：\(\text{Re}~\mathbf x,\text{Im}~\mathbf x\) 分别称为 \(\mathbf x\) 的实部和虚部

共轭向量：\(\overline{\mathbf x}\in\mathbb C^n\) 的各分量分别是 \(\mathbf x\) 中对应分量的共轭复数

共轭矩阵：\(\overline B\) 的各元素分别是 B 中对应分量的共轭复数

共轭运算性质：\(\overline{r\mathbf x}=\overline{r}~\overline{\mathbf x}, \overline{B\mathbf x}=\overline{B}~\overline{\mathbf x}, \overline{BC}=\overline{B}~\overline{C}, \overline{rB}=\overline{r}~\overline{B}\)

假设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，\(\lambda\) 是 A 的特征值，\(\mathbf x\) 是对应的特征向量

那么 \(\bar\lambda\) 也是 A 的特征值，\(\bar{\bf x}\) 是对应的特征向量

于是 \(\overline{\lambda},\overline{\mathbf x}\) 也分别是 A 的特征值和特征向量

换句话说复特征值和复特征向量成对出现

注：此处的复数指的是 \(a+ib\)（\(b\ne0\)）

由于 \(\overline{A\mathbf x}=\overline{A}~\overline{\mathbf x}=A\overline{\mathbf x}\) 有 \(A\overline{\mathbf x}=\overline{A\mathbf x}=\overline{\lambda\mathbf x}=\overline{\lambda}~\overline{\mathbf x}\)

\(\blacksquare\)

具有复特征值的实矩阵隐含旋转性质

\(A\in\mathbb R^{2\times2}\)，有复特征值 \(\lambda=a-bi\)（\(b\ne0\)）及对应的特征向量 \(\mathbf v\in\mathbb C^2\)，

那么 \(A=PCP^{-1}\) （其中 \(P=[\text{Re}~\mathbf v~~\text{Im}~\mathbf v]\)，\(C=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}\)）

注：\(C=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a/(\sqrt{a^2+b^2})&-b/(\sqrt{a^2+b^2})\\b/(\sqrt{a^2+b^2})&a/(\sqrt{a^2+b^2})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{a^2+b^2}&0\\0&\sqrt{a^2+b^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)（即先旋转一个角度 \(\theta\)，然后伸长 \(\sqrt{a^2+b^2}\) 倍）

6. 离散动力系统

根据第 2 节的讨论，对于动力系统 \(\mathbf x_i=A\mathbf x_{i-1}\)，有 \(\mathbf x_k = \sum\limits_{i=1}^nc_i\lambda_i^k\mathbf b_i\)（\(\mathbf x_0=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}\)）

假设以 \(|\lambda_i|\ge|\lambda_{i+1}|\) 对 \(\lambda\) 的值进行排序，

当 \(k\to∞\) 时，\(\lambda_1\) 确定了系统的最终变化趋势

例子：捕食者-食饵系统，解的几何意义（\(A\in\mathbb R^{2\times2}\)）

另一种推导（？）：A 可对角化 \(A=PDP^{-1}\)

由于 \(\mathbf x_k=A\mathbf x_{k-1}=PDP^{-1}\mathbf x_{k-1}\)，有 \(P^{-1}\mathbf x_k=DP^{-1}\mathbf x_{i-1}\)

令 \(\mathbf y_k=P^{-1}\mathbf x_k\) 有 \(\mathbf y_k=D\mathbf y_{k-1}\)，因而 \(\mathbf y_k=D^n\mathbf y_0=\mathbf x_0=\begin{bmatrix}\lambda_1^kc_1\\\vdots\\\lambda_n^k c_n\end{bmatrix}\)

于是 \(\mathbf x_k=P\mathbf y_k=[\mathbf b_1\dots\mathbf b_n]\begin{bmatrix}\lambda_1^kc_1\\\vdots\\\lambda_n^k c_n\end{bmatrix}=\sum\limits_{i=1}^nc_i\lambda_i^k\mathbf b_i\)

7. 微分方程中的应用

8. 特征值的迭代估计