3.行列式

3.1 引入行列式，3.2 介绍了方阵可逆性的充分条件，3.3 解释如何测度一个线性变换对图形面积的改变量（当局部地应用时，这一意义回答了两极附近的地图的扩张比例问题．这种思想以雅可比式在多元微积分）

1. 行列式

\(A\in \mathbb R^{n\times n}\) 的行列式的递归定义为 \(\det A=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i-1}a_{1i}\det A_{1i}\)（仅当 \(n\ge 2\)）（有时行列式简记为 \(|A|=\det A\)）

特别地 \(n=1\) 时，\(\det A=a_{11}\)

注1：此处 \(\det A_{ij}\) 为矩阵 A 删除第 i 行和第 j 列后得到的矩阵

注2：\(T(n)\approx nT(n-1)+n-1 \implies T(n)=O(n!)\)

记 \(C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\)

余因子：\(C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\)

第 i 行的余因子展开式：\(\det A=\sum\limits_{j=1}a_{ij}\cdot C_{ij}\)

第 j 列的余因子展开式：\(\det A=\sum\limits_{i=1}a_{ij}\cdot C_{ij}\)

原理：由于行列式可以用余因子展开，某列或某行的零较多时，行列式的计算次数会大大减少

每次选择某 列/行（该 列/行 的零的个数最多）进行余因子展开，递归计算 \(\det A\)

推论：若 A 为三角矩阵，那么 \(\det A = \prod\limits_{i=1}^na_{ii}\)

1. 行列式，子矩阵，余因子，余因子展开式：\(n\times n\) 矩阵的行列式定义为 \(\det A=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{k+i}a_{ki}\det A_{ki}=\sum\limits_{i=1}^na_{ki}C_{ki}\) 或 \(\det A=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}\det A_{ik}=\sum\limits_{i=1}^na_{ik}C_{ik}\)（\(\forall k=1..n\)），并且 \(\det A\ne0\) 等价于 A 可逆；\(A_{ij}\)（\(i,j=1..n\)）是 A 去掉第 i 行和第 j 列后的 \((n-1)\times(n-1)\) 的子矩阵；余因子定义为 \(C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\)（行列式等于第 k 行或第 k 列的余因子展开式）
2. 定理：若 A 为三角矩阵，则 \(\det A\) 等于 A 的主对角线上元素的乘积

1. 假设 \(A,B\) 是 \(n\times n\) 矩阵，那么：\(\det kA=k^n\det A\)（\(k\in\mathbb R\)），\(\det AB=(\det A)(\det B)\)，\(\det A^T=\det A\)，\(\det A^{-1}=\frac1{\det A}\)

1. \(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^2\) 对应的平行四边形的面积为 \(|\det[\mathbf u~~\mathbf v]|\)

(1) 每次寻找零的个数最多的行或列进行余因子展开，若有些行或列的零的个数相等，则通过观察选择其中一个合适的行或列

(2) 参考 p183 左上角的习题

2. 行列式的性质

若 A 是方阵

1. A 进行倍加变换得到 B：\(\det B=\det A\)（\(L_i \leftarrow L_i+kL_j\)）
2. A 进行对换变换得到 B：\(\det B=-\det A\)（\(L_i \leftrightarrow L_j\)）
3. A 进行倍乘变换得到 B：\(\det B=k\cdot \det A\)（\(L_i \leftarrow kL_i\)）

注1：一般倍加变换就够用了；倍乘变换可以用于提取公因子

注2：列变换也具有相同效果

行列式算法2：使用如上结论将 A 化简为阶梯型（复杂度：\(O(n^3)\)）

另一种描述：假设 A 是 \(n\times n\) 矩阵，E 是 \(n\times n\) 初等矩阵，则：

\(\det EA=(\det E)(\det A)\)（其中 \(\det E=\begin{cases}1&E是一个行倍加\\-1&E是一个交换\\r&E是一个r倍乘\end{cases}\)）

推论：\(\det A=\begin{cases}(-1)^r\cdot(U的主元的乘积)&A可逆\\0&A不可逆(奇异)\end{cases}\)（U 为 A 的阶梯型，r 为 A 变换为 U 时使用的交换对换的次数）

1. \(n=2\) 时，易证
2. \(n\ge3\) 时，设 \(B=EA\)，那么存在 \(\alpha\) 使得 \(\det B_{ij}=\alpha\det A_{ij}\)（对于 \(i,j=1..n\)）（？？）

于是 \(\det EA=\sum\limits_{i=1}^na_{ki}(-1)^{k+i}\det B_{ki}=\alpha\sum\limits_{i=1}^na_{ki}(-1)^{k+i}\det A_{ki}=\alpha\det A\)（对于所有方阵 A）

设 \(A=I_n\)，有 \(\alpha=\det E=\begin{cases}1&E是一个行倍加\\-1&E是一个交换\\r&E是一个r倍乘\end{cases}\)

\(\blacksquare\)

方阵 A 可逆，当且仅当 \(\det A\ne0\)

推论1：A 的列线性相关，则 \(\det A=0\)

推论2：A 的行线性相关，则 \(\det A=0\)（因为 A 可逆，当且仅当 \(A^T\) 可逆）

若 \(A,B\in\mathbb R^{n\times n}\)，那么

1. 总是有 \(\det(A+B)\ne \det A+\det B\)
2. \(\det AB = (\det A)(\det B)\)
3. \(\det A^T=\det A\)
4. 线性性质：若 \(T(\mathbf x)=\det[\mathbf a_1\dots \mathbf x\dots \mathbf a_n]\)，那么有 \(T(c\mathbf x)=cT(\mathbf x)\)，\(T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)\)

证明：

(2)

1. 若 A 不可逆，由[2.3习题27]，\(AB\) 也不可逆，即 \(\det AB=0=0\cdot\det B=(\det A)(\det B)\)
2. 若 A 可逆，由[可逆矩阵定理]，A 与 \(I_n\) 行等价，即存在初等矩阵 \(E_1,\cdots,E_p\) 使得 \(A=E_p\cdots E_1I_n=E_p\cdots E_1\)，于是 \(|AB|=|E_p\cdots E_1B|=|E_p|\cdots|E_1|\cdot|B|=|E_p\cdots E_1|\cdot|B|=|A|\cdot|B|\)

(4) 参见[习题43]

\(\blacksquare\)

1. 行变换定理：假设 A 是 \(n\times n\) 矩阵，E 是 \(n\times n\) 初等矩阵，则：\(\det EA=(\det E)(\det A)=\begin{cases}\det A&E是一个行倍加\\-\det A&E是一个交换\\r\det A&E是一个r倍乘\end{cases}\)；推论：\(\det A=\begin{cases}(-1)^r\cdot(U的主元的乘积)&A可逆\\0&A不可逆(奇异)\end{cases}\)（U 为 A 的阶梯型，r 为 A 变换为 U 时使用的交换对换的次数）
2. 方阵的可逆性：方阵 A 可逆，当且仅当 \(\det A\ne0\)；推论：A 的行或 A 的列线性相关，那么 \(\det A=0\)（A 是奇异矩阵）
3. 行列式基本性质：假设 \(A,B\) 是 \(n\times n\) 矩阵，那么 \(\det AB=(\det A)(\det B),\det A^T=\det A\)
4. 定理：设 \(T(\mathbf x)=\det[\mathbf a_1\dots \mathbf x\dots \mathbf a_n]\)（\(T~:~\mathbb R^n\to\mathbb R\)），那么 (1) \(T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)\)，(2) \(T(c\mathbf x)=cT(\mathbf x)\)

1. \(\det kA=k^n\det A\)，\(\det A^n=(\det A)^n\)，\(\det A^{-1}=\frac1{\det A}\)（由于行列式是“乘性函数” \(\det AB=(\det A)(\det B)\)）

(3) \(A^2=I\)，蕴涵 \(\det A^2=\det I\)，蕴涵 \((\det A)^2=1\)，蕴涵 \(\det A=\pm1\)

(8) 只需使用行列式变换的乘性性质即可

3. 克拉默法则，体积，线性变换

设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 可逆，则 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 的唯一解由下式给出：

\(x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A}=\frac{\det[\mathbf a_1\dots\mathbf b\dots\mathbf a_n]}{\det[\mathbf a_1\dots\mathbf a_i\dots\mathbf a_n]}\) （\(1\le i\le n\)）

其中 \(A_i(\mathbf b) = [\mathbf a_1\dots\mathbf a_{i-1}~~\mathbf b~~\mathbf a_{i+1}\dots\mathbf a_n]\) （显然有 \(A\cdot I_i(\mathbf x)=A_i(A\mathbf x)\)）

注：克拉默法则显式地给出了线性方程组的解，因而可以直接表达方程组的解（初等行变换算法通常无法求解）

注2：克拉默法则可用于研究 \(\mathbf b\) 或 A 变化时，\(A\mathbf x=\mathbf b\) 的解的变化

推广：方程 \(AX=B\)（\(A,X,B\) 均为矩阵；\(A,B\) 已知）的解为 \(\forall i,j=1..n\)，\(x_{ij}=\frac{\det A_i(\mathbf b_j)}{\det A}\)

设 \(A_i(\mathbf x) = [\mathbf a_1\dots\mathbf a_{i-1}~~\mathbf x~~\mathbf a_{i+1}\dots\mathbf a_n]\)，易得 \(AI_i(\mathbf x)=A_i(A\mathbf x)\)

于是 \(AI_i(\mathbf x)=A_i(A\mathbf x)=A_i(\mathbf b)\)

对两边取行列式有，\(\det(AI_i(\mathbf x))=\det A_i(\mathbf b)\) 或 \((\det A)(\det I_i(\mathbf x))=\det A_i(\mathbf b)\) 或 \(\det I_i(\mathbf x)=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A}\)

其中 \(\det I_i(\mathbf x)\) 为 \(\mathbf x\) 的第 i 个元素 \(x_i\)，于是 \(x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A}\)

\(\blacksquare\)

方阵 A 的伴随矩阵定义为 \(\text{adj}A=\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\\vdots&\ddots\\C_{1n}&&C_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{1n}\\\vdots&\ddots\\C_{n1}&&C_{nn}\end{bmatrix}^T\)

矩阵 \(A\in \mathbb R^{n\times n}\) 的逆由下式给出：\(\forall i,j=1..n\)，\(x_{ij}=\frac{C_{ji}}{\det A}\)（\(x_{ij}\) 是 \(A^{-1}\) 的第 i 行第 j 列的元素）

也即 \(A^{-1}=\frac{\text{adj}A}{\det A}\)

或者 \(A(\text{adj}A)=(\det A)I_n\)（蕴涵 \(\forall i=1..n,\det A=\text{Row}_i(A)\text{Col}_i(\text{adj}A)\)）

注：p194 例 3，用 \(O(n^5)\) 先求伴随矩阵，再用它以 \(O(n^2)\) 求 \(\det A\)；不如直接用初等行变换 \(O(n^3)\)

计算方程 \(AX=I_n\) 的解（X 即为 A 的逆）

由[克拉默法则的推广]有 \(x_{ij}=\frac{\det A_i(\mathbf e_j)}{\det A}\)

对 \(\det A_i(\mathbf e_j)\) 的第 i 列进行余因子展开，得到 \(\det A_i(\mathbf e_j)=C_{ji}\)（其中 \(C_{ji}\) 是 A 的第 j 行第 i 列的余因子）

于是 \(\forall i,j=1..n\)，\(x_{ij}=\frac{C_{ji}}{\det A}\)

也就是说 \(X=\frac1{\det A}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\\vdots&\ddots\\C_{1n}&&C_{nn}\end{bmatrix}=\frac1{\det A}\text{adj}A\)

\(A(\text{adj}A)=(\det A)I_n\)

\(\blacksquare\)

由 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 的列确定的平行四边形的面积 或 平行六面体的体积等于 \(|\det A|\) （\(n\le 3\)）

补充：对于 \(\mathbf a_1,\mathbf a_2\ne\mathbf 0\)，\(c\in\mathbb R\)；由 \(\mathbf a_1,\mathbf a_2\) 确定的平行四边形面积等于由 \(\mathbf a_1,\mathbf a_2+c\mathbf a_1\) 确定的平行四边形面积

设 S 是线性变换 \(T~:~\mathbb R^n\to\mathbb R^n\) 的定义域内的一个集合，\(T(S)\) 表示 S 中的点的像集 （\(n\le3\)）

若 S 是 \(\mathbb R^2\) 上的平行四边形，那么 \(\{T(S)的面积\}=|\det A|\cdot \{S的面积\}\)

若 S 是 \(\mathbb R^3\) 上的平行六面体，那么 \(\{T(S)的体积\}=|\det A|\cdot \{S的体积\}\)

推广：对于任意 \(\mathbb R^n\) 上的区域 S，\(\{T(S)的超体积\}=|\det A|\cdot \{S的超体积\}\)

以下给出推广形式的证明：

假设 \(f(S)\) 为区域 S 的超体积，\(T(\mathbf x)=A\mathbf x\)（A 为 \(n\times n\) 矩阵，\(\mathbf x\in\mathbb R^n\)；并且非正式地记 \(T(S)\) 是 S 中的各个点作线性变换 T 后的区域）

\(\mathbb R^n\) 上由 \(n\times n\) 的矩阵 B 的各列构成的以原点为端点的平行区域为 \(S=\left\{\sum\limits_{i=1}^nc_i\mathbf b_i~:~\forall i=1..n,c_i\in[0,1]\right\}\)，而 \(T(S)=\left\{T(\sum\limits_{i=1}^nc_i\mathbf b_i)~:~\forall i=1..n,c_i\in[0,1]\right\}=\left\{\sum\limits_{i=1}^nc_iA\mathbf b_i~:~\forall i=1..n,c_i\in[0,1]\right\}\)

于是分别有 \(f(S)=\det B\)，\(f(T(S))=\det AB=(\det A)(\det B)\)

所以 \(f(T(S))=(\det A)f(S)\)

由于区域 S 做平移后超体积不会改变，所以上式中可以推广为 S 是 \(\mathbb R^n\) 上的任意平行区域的情况

\(\blacksquare\)

1. 克拉默法则：A 是 \(n\times n\) 可逆矩阵，那么矩阵方程 \(A\mathbf x=\mathbf b\)（\(\forall\mathbf b\in\mathbb R^n\)）的唯一解为 \(\forall i=1..n\)，\(x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A}=\frac{\det[\mathbf a_1\dots\mathbf b\dots\mathbf a_n]}{\det[\mathbf a_1\dots\mathbf a_i\dots\mathbf a_n]}\)；推广：\(AX=B\) 的解为 \(\forall i,j=1..n\)，\(x_{ij}=\frac{\det A_i(\mathbf b_j)}{\det A}\)
2. 伴随矩阵：方阵 A 的伴随矩阵为 \(\text{adj}A=\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\\vdots&\ddots\\C_{1n}&&C_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{1n}\\\vdots&\ddots\\C_{n1}&&C_{nn}\end{bmatrix}^T\)
3. 方阵的逆：\(n\times n\) 矩阵的逆为 \(A^{-1}=\frac{\text{adj}A}{\det A}\)；推论：\(\forall i=1..n,\det A=\text{Row}_i(A)\text{Col}_i(\text{adj}A)\)
4. 面积，体积：\(2\times 2\) 的矩阵 A 的各列所确定的平行四边形的面积为 \(|\det A|\)；\(3\times 3\) 的矩阵 A 的各列所确定的平行六面体的面积为 \(|\det A|\)；\(\forall \mathbf a_1,\mathbf a_2\ne\mathbf 0,c\in\mathbb R\)，\(\mathbf a_1,\mathbf a_2\) 所确定的平行四边形的面积等于\(\mathbf a_1,\mathbf a_2+c\mathbf a_1\) 所确定的平行四边形的面积；\([\mathbf a_1~~\mathbf a_2~~\mathbf a_3]\) 和 \([\mathbf a_1~~\mathbf a_2+c\mathbf a_1~~\mathbf a_3]\) 所确定的平行六面体的体积相等
5. 线性变换定理：假设 S 是 \(\mathbb R^n\) 上的任意区域，\(T(\mathbf x)=A\mathbf x\) 是线性变换，那么 \(f(T(S))=|\det A|f(S)\)（\(f(S)\) 表示区域 S 的超体积）

1. \((\text{adj}A)^{-1}=\frac 1{\det A}A\)（由 \(\frac1{\det A}(\text{adj}A)A=I_n\)）
2. \(\det A^{-1}=\frac1{\det A}\)，\(\det(\text{adj}A)=(\det A)^{n-1}\)，\(\det((\text{adj}A)^{-1})=(\det A)^{1-n}\)（根据 \(\det\) 的乘性和方阵的可逆性）

1. 伴随矩阵的性质：(1) \(AA^*=A^*A=(\det A)I_n\)，(2) \(A^*\mathbf v=\frac{\det A}{\lambda}\mathbf v\)（\(\mathbf v\) 同为 A 和 \(A^*\) 的特征向量），(3) 若 A 的各行之和都为 \(\lambda\)，那么 \(A^*\) 的各行之和均为 \((\det A)/\lambda\)

(1) \(f(T(S))=|\det A|f(S)=|2-0|\cdot|1-15|=28\)

(5) \((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) 平移得到 \((x_1-x_3,y_1-y_3),(x_2-x_3,y_2-y_3),(0,0)\)

于是 \(S=\frac12\left|\det\begin{bmatrix}x_1-x_3&x_2-x_3\\y_1-y_3&y_2-y_3\end{bmatrix}\right|\)

而 \(\det\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}x_1-x_3&y_1-y_3&0\\x_2-x_3&y_2-y_3&0\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}x_1-x_3&y_1-y_3\\x_2-x_3&y_2-y_3\end{bmatrix}\)

最后 \(S=\frac12\left|\det\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}\right|\)

(6) \(f(T(S))=|\det A|f(S)=abc\cdot\frac43\pi\)

(7) 记 S 为 \(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\) 构造的四面体，其体积为 \(f(S)=(1/3)(1/2)1=1/6\)

一个线性变换 T 的变换矩阵可以记为 \(A=[A\mathbf e_1~~A\mathbf e_2~~A\mathbf e_3]=[T(\mathbf e_1)~~T(\mathbf e_2)~~T(\mathbf e_3)]\)

令 \(\forall i=1..3,T(e_i)=\mathbf v_i\)，于是 \(A=[\mathbf v_1~~\mathbf v_2~~\mathbf v_3]\)，其中 T 将 S 映射为 \(T(S)\)

于是 \(f(T(S))=|\det A|f(S)=\frac16(\det A)\)

补充习题

(4)

1. \(\det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}b-a&b^2-a^2\\c-a&c^2-a^2\end{bmatrix}\) \(=(b-a)(c-a)\det\begin{bmatrix}1&b+a\\1&c+a\end{bmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)\)
2. \(f(t)=\det V=\det\begin{bmatrix}1&t&t^2&t^3\\1&x_1&x_1^2&x_1^3\\1&x_2&x_2^2&x_2^3\\1&x_3&x_3^2&x_3^3\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}1&t&t^2&t^3\\0&x_1-t&x_1^2-t^2&x_1^3-t^3\\0&x_2-t&x_2^2-t^2&x_2^3-t^3\\0&x_3-t&x_3^2-t^2&x_3^3-t^3\end{bmatrix}\) \(=\det\begin{bmatrix}x_1-t&x_1^2-t^2&x_1^3-t^3\\x_2-t&x_2^2-t^2&x_2^3-t^3\\x_3-t&x_3^2-t^2&x_3^3-t^3\end{bmatrix}=(x_1-t)(x_2-t)(x_3-t)\det\begin{bmatrix}1&x_1+t&x_1^2+x_1t+t^2\\1&x_2+t&x_2^2+x_2t+t^2\\1&x_3+t&x_3^2+x_3t+t^2\end{bmatrix}\) \(=(x_1-t)(x_2-t)(x_3-t)\det\begin{bmatrix}1&x_1+t&x_1^2+x_1t+t^2\\0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2+(x_2-x_1)t\\0&x_3-x_1&x_3^2-x_1^2+(x_3-x_1)t\end{bmatrix}\) \(=(x_1-t)(x_2-t)(x_3-t)(x_2-x_1)(x_3-x_1)\det\begin{bmatrix}1&x_2+x_1+t\\1&x_3+x_1+t\end{bmatrix}\) \(=(x_1-t)(x_2-t)(x_3-t)(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\)，于是 \(f(t)\) 是 3 次多项式，且 \(t=x_1,t=x_2,t=x_3\) 分别是 \(f(t)=0\) 的三个根

(7.1) \(\det\begin{bmatrix}A&0\\0&I_n\end{bmatrix}=(-1)^{2n+2n}\det\begin{bmatrix}A&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}=\cdots=\det A\)

(7.2) \(\det\begin{bmatrix}I_n&0\\C&D\end{bmatrix}=(-1)^{1+1}\det\begin{bmatrix}I_{n-1}&0\\C'&D\end{bmatrix}=\cdots=\det D\)

(7.3) \(\det\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}=\det\left(\begin{bmatrix}A&0\\0&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n&0\\C&D\end{bmatrix}\right)=\det\begin{bmatrix}A&0\\0&I_n\end{bmatrix}\det\begin{bmatrix}I_n&0\\C&D\end{bmatrix}=\det A\det D\)

而 \(\det\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}^T=\det\begin{bmatrix}A^T&0\\B^T&D^T\end{bmatrix}=\det A^T\det D^T=\det A\det D\)

(8.1) \(\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_n&0\\X&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\0&Y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\XA&BX+Y\end{bmatrix}\)

于是 \(C=XA,D=XB+Y\)，解得 \(X=CA^{-1},Y=D-CA^{-1}B\)

(8.2) 根据 (1) 有，\(\det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}I_n&0\\X&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\0&Y\end{bmatrix}=\det A\det Y=(\det A)\det(D-CA^{-1}B)\)

(8.3) 根据 (2) 有，\(\det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=(\det A)\det(D-CA^{-1}B)=\det[A(D-CA^{-1}B)]\)

\(=\det(AD-ACA^{-1}B)=\det(AD-CAA^{-1}B)=\det(AD-CB)\)

(9) \(\det\begin{bmatrix}a&b&b&\cdots&b\\b&a&b&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\b&b&b&\cdots&a\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}a-b&b-a&0&\cdots&0\\0&a-b&b-a&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\b&b&b&\cdots&a\end{bmatrix}\)

\(=\det\begin{bmatrix}a-b&0&0&\cdots&0\\0&a-b&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\b&2b&3b&\cdots&(n-1)b+a\end{bmatrix}=(a-b)^{n-1}[(n-1)b+a]\)

（注：对各行进行反方向的差分，然后对各列做前缀和）

(10) \(\det B=(a-b)[(a-b)^{n-2}[a+(n-2)b]]=(a-b)^{n-1}[a+(n-2)b]\)

而 \(\det C=\det \begin{bmatrix}b&b&b&\cdots&b\\b&a&b&\cdots&b\\b&b&a&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\b&b&b&\cdots&a\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}b&b&b&\cdots&b\\0&a-b&0&\cdots&0\\0&b-a&a-b&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a-b\end{bmatrix}\)

\(=\det\begin{bmatrix}b&2b&3b&\cdots&nb\\0&a-b&a-b&\cdots&a-b\\0&b-a&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a-b\end{bmatrix}=(b-a)^{n-2}(-1)^{n-2}\det\begin{bmatrix}b&nb\\0&a-b\end{bmatrix}=b(a-b)^{n-1}\)

于是 \(\det A=\det B+\det C\)