2.矩阵代数

2.3 的逆矩阵定理把之前的概念联系在一起

2.4~2.5 研究分块矩阵和矩阵分解，该内容得到了广泛应用

2.6~2.7 给出了矩阵代数在经济学和计算机图形学的有趣应用

1.矩阵运算

矩阵：\(m\times n\) 矩阵定义为 \(m\times n\) 的阵列，记为 \(A=[\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n]\)（\(\forall i=1..n,\mathbf a_i\in\mathbb R^m\)）；\(a_{ij}\) 表示阵列中的地 i 行第 j 列元素 或 A 的 \((i,j)\) 元素

矩阵相等：矩阵 A 与 B 相等，当且仅当它们具有相同的维数，并且对应元素相等

矩阵加法：假设矩阵 A 与 B 具有相同维数，那么它们的和 \(A+B\) 具有相同维数，而且每个元素是 A 与 B 对应元素之和

矩阵标量乘法：标量 r 乘以矩阵 A，得到与 A 具有相同维数的矩阵 rA，并且每个元素是 A 对应元素的 r 倍

矩阵空间：由 \(m\times n\) 矩阵构成的非空集合 \(M_{m\times n}\)

\(M_{m\times n}\) 中定义了两种运算：加法，标量乘法

假设 \(A,B,C\in M_{m\times n}\)，\(c,d\in\mathbb R\)，\(M_{m\times n}\) 满足以下公理：

1. 加法封闭性 \(A+B\in M_{m\times n}\)
2. 加法交换律 \(A+B=B+A\)，加法结合性 \((A+B)+C=A+(B+C)\)
3. 加法单位元 \(\exists 0\in M_{m\times n},A+0=A\)，加法逆元 \(\exists-A\in M_{m\times n},A+(-A)=0\)
4. 标量乘法封闭性 \(cA\in M_{m\times n}\)
5. 加法与标量乘法的相互分配律 \(c(A+B)=cA+cB,(c+d)A=cA+dA\)
6. 实数乘法与标量乘法的结合律 \(c(dA)=(cd)A\)
7. 标量乘法单位元 \(1A=A\)

注：矩阵空间本质上属于向量空间（详见第 4 章），于是该公理也是向量空间的“子公理”；通过定义矩阵，矩阵相等，矩阵加法，矩阵标量乘法等概念和它们的记号后，便可证明矩阵空间是向量空间了

假设 A 是 \(m\times n\) 矩阵，\(\mathbf x\in\mathbb R^m\)，那么 A 和 \(\mathbf x\) 的乘法定义为 \(A\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^nx_i\mathbf a_i\)

注：该乘法实际上是 \(\mathbf x\) 的线性变换：\(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)

若 B 是 \(m\times n\) 矩阵， A 是 \(n\times p\) 矩阵

乘积 \(BA\) 是 \(m\times p\) 矩阵，它的各列是 \(B\mathbf a_1,\cdots, B\mathbf a_p\)

换句话说 \(BA = B[\mathbf a_1, \cdots, \mathbf a_p] = [A\mathbf b_1, A\mathbf b_2, \dots, A\mathbf b_p]\)

证明：\(B(A\mathbf x)=(BA)\mathbf x\)

\(B(A\mathbf x)=B[x_1\mathbf a_1\cdots x_p\mathbf a_p]=[B(x_1\mathbf a_1)\cdots B(x_p\mathbf a_p)]=[x_1B\mathbf a_1\cdots x_pB\mathbf a_p]\)

\((BA)\mathbf x=[B\mathbf a_1\cdots B\mathbf a_p]\mathbf x=[x_1B\mathbf a_1\cdots x_pB\mathbf a_p]\)

于是 \(B(A\mathbf x)=(BA)\mathbf x\)

这意味着复合线性变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\mapsto B(A\mathbf x)\) 与线性变换 \(\mathbf x\mapsto (AB)\mathbf x\) 是等价的

\(\blacksquare\)

若 AB 有定义，那么 AB 的第 i 行第 j 列的元素是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积之和

若 \((AB)_{ij}\) 表示 AB 的 \((i,j)\) 元素，A 为 \(m\times n\) 矩阵，则 \((AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\)

推论：定义 \(\text{row}_iA,\text{Col}_iA\) 分别表示矩阵 A 的第 i 行，第 i 列

1. \(\text{row}_i(AB)=\text{row}_i(A)B\)
2. \(\text{col}_i(AB)=A\text{col}_i(B)=A\mathbf b_i\)
3. \((AB)_{ij}=\text{row}_i(A)\text{col}_j(B)\)

1. 乘法结合律：\(A(BC)=(AB)C\)
2. 乘法与加法的分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)，\((B+C)A=BA+CA\)
3. 矩阵乘法与标量乘法的结合律：\(r(AB)=(rA)B=A(rB)\)
4. 乘法单位元：\(I_mA=A=AI_n\)

注：乘法不满足交换律，一些矩阵通常没有乘法逆元

若 A 是 \(n\times n\) 矩阵，\(k\in\mathbb N^+\)，则 \(A^k\) 表示 k 个 A 的乘积，

\(A^k=\begin{cases}\prod\limits_{i=1}^kA&k\in\mathbb N^+\\I_n&k=0\end{cases}\)

若 A 是 \(m\times n\) 矩阵，那么其转置矩阵定义为 \(A^T\)，而且它是 \(n\times m\) 矩阵，它的列由 A 的对应行构成

性质：

1. \((A^T)^T=A\)
2. \((A+B)^T=A^T+B^T\)
3. \((rA)^T=rA^T\)
4. \((AB)^T=B^TA^T\)

1. \(A=\begin{bmatrix}\mathbf a_1^T\\\vdots\\\mathbf a_n^T\end{bmatrix}^T\)
2. \(AB^T=[\mathbf a_1\dots\mathbf a_n]\begin{bmatrix}\mathbf b_1^T\\\vdots\\\mathbf b_n^T\end{bmatrix}^{TT}=[\mathbf a_1\dots\mathbf a_n]\begin{bmatrix}\mathbf b_1^T\\\vdots\\\mathbf b_n^T\end{bmatrix}=\sum\limits_{i=1}^n\mathbf a_i\mathbf b_i^T\)
3. \(M\cap\mathbb R^n=M_{n\times 1},M\cap\mathbb R=M_{1\times 1}\)

1. \(\text{Row}_i(ABC)=\text{Row}_i(A)BC\)，\(\text{Col}_i(ABC)=AB\text{Col}_i(C)=AB\mathbf c_i\)
2. \(AB=[A\mathbf b_1~~\cdots~~A\mathbf b_n]\)

(2) \(\forall i=1..,j=1..n\)

1. \((AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\)
2. \(([A\mathbf b_1~~\cdots~~A\mathbf b_n])_{ij}=\text{Row}_i(A\mathbf b_j)=\text{Row}_i(A)\mathbf b_j=\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\)

于是 \((AB)_{ij}=([A\mathbf b_1~~\cdots~~A\mathbf b_n])_{ij}\)，最后 \(AB=[A\mathbf b_1~~\cdots~~A\mathbf b_n]\)

\(\blacksquare\)

以下总结了线性代数常见集合及其内部的运算：

\(\mathbb R,\mathbb R^n,M_{m\times n}\) 中任意两个集合的运算可以归结为 \(\mathbb R,M_{m\times n}\) 之间的运算（因为 \(\mathbb R^n\subset M_{m\times n}\)），而 \(\mathbb R,M_{m\times n}\) 之间的运算就是标量乘法

1. 矩阵，矩阵相等\((A=B)\)，矩阵加法\((A+B)\)，矩阵标量乘法\((cA)\)
2. 矩阵公理：\(M_{m\times n}\) 满足[向量空间公理]，并且具有该公理的所有性质和推论
3. 矩阵向量乘法：\(A\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^nx_i\mathbf a_i\)（即线性变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\)）
4. 矩阵乘法：假设 B 是 \(m\times n\) 矩阵，A 是 \(n\times p\) 矩阵，\(BA=B[\mathbf a_1, \cdots, \mathbf a_p] = [B\mathbf a_1, \dots, B\mathbf a_p]\)；线性变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\mapsto B(A\mathbf x)\) 与 \(\mathbf x\mapsto (BA)\mathbf x\) 等价
5. 矩阵乘法的行列式法则：(1) \(\text{row}_i(AB)=\text{row}_i(A)B\)，(2) \(\text{col}_i(AB)=A\text{col}_i(B)=A\mathbf b_i\)，(3) \((AB)_{ij}=\text{row}_i(A)\text{col}_j(B)=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\)
6. 矩阵乘法的性质：乘法结合律 \(A(BC)=(AB)C\)，乘法与加法的分配律 \(A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA\)，矩阵乘法与标量乘法的结合律 \(r(AB)=(rA)B=A(rB)\)，乘法单位元 \(I_mA=A=AI_n\)；矩阵乘法不满足交换律，一些矩阵通常没有乘法逆元
7. 矩阵乘幂：\(A^k=\begin{cases}\prod\limits_{i=1}^kA&k\in\mathbb N^+\\I_n&k=0\end{cases}\)
8. 矩阵转置：若 A 是 \(m\times n\) 矩阵，那么 A 的转置矩阵定义为 \(n\times m\) 矩阵 \(A^T\)，它的列依次为 A 的行（反之亦然）
9. 矩阵转置的性质：(1) \((A^T)^T=A\)，(2) 转置是线性变换 \((A+B)^T=A^T+B^T,(rA)^T=rA^T\)，(3) 反乘性 \((AB)^T=B^TA^T\)

1. 假定 \(A,D\) 是 \(n\times n\) 矩阵，D 是对角矩阵（\(\forall i\ne j,d_{ij}=0\)），那么：(1) \(AD\) 表示 D 将 A 的各列分别放大 \(d_{ii}\) 倍，(2) \(DA\) 表示 D 将 A 的各行分别放大 \(d_{ii}\) 倍
2. \(AB=(\text{row}_1(A),\cdots,\text{row}_m(A))B=(\text{row}_1(A)B,\cdots,\text{row}_m(A)B)\)

1. 假设 \(A\in M_{m\times n}\)，\(A\mathbf x=\mathbf b\) 有解，当且仅当 \(\text{Col}A=\mathbb R^m\)
2. 假设 \(A\in M_{m\times n},B\in M_{m\times p}\)，\(AX=B\) 有解，当且仅当 \(\text{Col}A=\mathbb R^m\)，其解为与 A 和 B 的各列相关的非齐次方程的解构成的矩阵
3. 矩阵复合运算

\(D\)	\(A+B\)	\(AB\)	\(cA\)	\(A^{-1}\)	\(A^T\)
\(D^{-1}\)		\(B^{-1}A^{-1}\)	\(\frac1cA^{-1}\)	\(A\)	\((A^{-1})^T\)
\(D^T\)	\(A^T+B^T\)	\(B^TA^T\)	\(cA^T\)	\((A^T)^{-1}\)	\(A\)
\(\det D\)		\((\det A)(\det B)\)	\(c^n\det A\)	\(\frac1{\det A}\)	\(\det A\)

(4) \(-2A=\begin{bmatrix}-4&0&2\\-8&10&-4\end{bmatrix},B-2A=\begin{bmatrix}3&-5&3\\-7&6&-7\end{bmatrix}\)，\(AC\) 没有定义（\(A\in M_{2\times 3},C\in M_{2\times 2}\)，而 \(2\ne3\)），\(CD=\begin{bmatrix}1&13\\-7&-6\end{bmatrix}\)

\(A+2B=\begin{bmatrix}16&-10&1\\6&-13&-4\end{bmatrix}\)，\(3C-E\) 没有定义（\(3C\in M_{2\times 2},(-1)E\in M_{2\times 1}\)，\(M_{2\times 2}\cap M_{2\times 1}=\emptyset\)），\(CB=\begin{bmatrix}9&-13&-5\\-13&6&-5\end{bmatrix}\)，\(EB\) 没有定义（\(E\in M_{2\times 1},B\in M_{2\times 3}\)，而 \(1\ne2\)）

(9) \(AD=\begin{bmatrix}2&3&5\\2&6&15\\2&12&25\end{bmatrix},DA=\begin{bmatrix}2&2&2\\3&6&9\\5&20&25\end{bmatrix}\)；可以构造 \(B=kI_3\)（\(k\ne0\)）

(10) \(A\sim\begin{bmatrix}1&-2\\0&0\end{bmatrix}\)，其中 \(B=\begin{bmatrix}2s&2t\\s&t\end{bmatrix}\)（\(s,t\in\mathbb R\)）；A 不行等价于初等矩阵，所以 A 不可逆，于是非齐次方程 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 没有唯一解

(11) \(\begin{bmatrix}7&-8&1\\4&-5&1\end{bmatrix}\)

(12)

1. \(AB\) 的前两列相等（因为 \(AB=[A\mathbf b_1~~A\mathbf b_2\cdots]\)）
2. \(BA\) 的前两行相等（因为 \(BA=(\text{row}_1(B)A,\text{row}_2(B)A,\cdots)\)）
3. \(AB\) 的第 i 列也是 \(1..i-1\) 列的线性组合，因为 \(\text{col}_i(AB)=A\mathbf b_i=A\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\mathbf b_j=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_jA\mathbf b_j=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\text{col}_j(AB)\)
4. \(BA\) 的第 i 列也是 \(1..i-1\) 行的线性组合，因为 \(\text{row}_i(BA)=\text{row}_i(B)A=(\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\text{row}_j(B))A=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\text{row}_j(B)A=\sum\limits_{j=1}^{i-1}c_j\text{row}_j(BA)\)
5. 参见上两小问的讨论
6. \(\text{col}_i(AB)=A\mathbf b_i=\mathbf 0\)，该齐次方程却有非零解 \(\mathbf b_i\ne\mathbf 0\)，于是 A 的各列线性相关

(13)

1. 假设 \(\exists\mathbf x\)，\(A\mathbf x=\mathbf 0\)，于是 \(CA\mathbf x=C\mathbf 0\)，即 \(I_m\mathbf x=\mathbf 0\)，即 \(\mathbf x=\mathbf 0\)；这意味着 A 的每一列都有主元位置，蕴涵 A 的行数至少为 n
2. 假设 \(\forall\mathbf b\in\mathbb R^m\)，而 \(AD=I_m\)，即 \((AD)\mathbf b=I_m\mathbf b=\mathbf b\)，即 \(A(D\mathbf b)=\mathbf b\)，即 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 的一个解为 \(\mathbf x=D\mathbf b\)；这意味着 A 的每一行都有主元位置，蕴涵 A 的列数至少为 m
3. \(CA=I_n\) 蕴涵 \(CAD=I_nD=D\)；\(AD=I_m\) 蕴涵 \(CAD=CI_m=C\)；于是 \(C=D\)，蕴涵 \(n=m\)
4. 求解 \(\forall i=1..m,A\mathbf d_i=\mathbf e_i\) 这 m 个矩阵方程即可
5. \(\mathbf x=D\mathbf b\)，而非 \(\mathbf x=C\mathbf b\)

(14)

1. \(\mathbf u^T\mathbf v=\mathbf v^T\mathbf u=-2a+3b-4c,\mathbf u\mathbf v^T=\begin{bmatrix}-2a&-2b&-2c\\3a&3b&3c\\-4a&-4b&-4c\end{bmatrix},\mathbf v\mathbf u^T=\begin{bmatrix}-2a&3a&-4a\\-2b&3b&-4b\\-2c&3c&-4c\end{bmatrix}\)
2. \(\mathbf u^T\mathbf v=\mathbf v^T\mathbf u\)，\(\mathbf u\mathbf v^T=(\mathbf v\mathbf u^T)^T\)

2.矩阵的逆

一个 \(n\times n\) 矩阵 A 是可逆的，若存在一个 \(n\times n\) 矩阵 C 使 \(CA=I\) 且 \(AC=I\)

其中 \(I=I_n\) 是 \(n\times n\) 单位矩阵，称 C 是 A 的逆，记 \(C=A^{-1}\)

注：矩阵的逆唯一，仅当该矩阵的逆存在

另外，不可逆矩阵称为 奇异矩阵，而可逆举矩阵也称为 非奇异矩阵

证明 A 的逆的唯一性：

假设 A 存有两个逆，即 \(\exists B\ne C\in M_{n\times n}\) 使得 \(CA=I_n=AC,BA=I_n=AB\)

于是 \(B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C\)，与假设矛盾，于是 A 的逆不存在或唯一

\(\blacksquare\)

若 A 是可逆 \(n\times n\) 矩阵，则对于每一个 \(\mathbf b\in R^n\)，方程 \(A\mathbf x = \mathbf b\) 有唯一解 \(\mathbf x=A^{-1}\mathbf b\)

证明：

假设 \(\forall\mathbf b\in R^n\)

(1) 存在性：存在 \(\mathbf x=A^{-1}\mathbf b\)，使得 \(A\mathbf x=A(\mathbf x=A^{-1}\mathbf b)=(AA^{-1})\mathbf b=I_n\mathbf b=\mathbf b\)

(2) 唯一性：假设 \(\mathbf x\) 是 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 任意一个解，等价于 \(A^{-1}(A\mathbf x)=A^{-1}\mathbf b\)，即 \((A^{-1}A)\mathbf x=A^{-1}\mathbf b\)，即 \(\mathbf x=A^{-1}\mathbf b\)（等式右侧的常量唯一，所以左侧的 \(\mathbf x\) 唯一）

\(\blacksquare\)

假设 A，B 均是 \(n\times n\) 可逆矩阵

1. \(A^{-1}\) 也是可逆矩阵，而且 \((A^{-1})^{-1}=A\)
2. \(AB\) 也是可逆矩阵，而且 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
3. \(A^T\) 也是可逆矩阵，而且 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)

假设 \(\exists A^{-1},AA^{-1}=I_n,A^{-1}A=I_n\)；\(\exists B^{-1},BB^{-1}=I_n,B^{-1}B=I_n\)

(1) 证明 \(\exists C,CA^{-1}=I_n,A^{-1}C=I_n\)：若 \(C=A\)，那么 \(CA^{-1}=I_n,A^{-1}C=I_n\)

(2) 证明 \(\exists C,C(AB)=I_n,(AB)C=I_n\)：若 \(C=B^{-1}A^{-1}\)，那么 \((B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I_n\) 且 \((AB)(B^{-1}A^{-1})=A^{-1}(B^{-1}B)A=A^{-1}A=I_n\)

(3) 证明 \(\exists C,CA^T=I_n,A^TC=I_n\)：若 \(C=(A^{-1})^T\)，那么 \((A^{-1})^TA^T=(AA^{-1})^T=I_n^T=I_n\) 且 \(A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I_n^T=I_n\)

\(\blacksquare\)

若对 \(A\in M_{m\times n}\) 矩阵进行初等行变换，所得矩阵可以表示成 \(EA\)

其中 E 是 \(m\times m\) 矩阵，它是由 \(I_m\) 进行同一行变换所得

另外，初等矩阵 E 是可逆的，E 的逆是一个同类型的初等矩阵，它把 E 变回 I

把单位矩阵 \(I_n\) 进行一次初等行变换，就能得到初等矩阵；初等矩阵是可逆的（因为初等行变换是可逆的）

3 种初等矩阵：

1. 行倍加（矩阵）：初等矩阵 E 是一个行倍加，若 E 是由单位矩阵 I 经一行加另一行的倍数而得到
2. 交换（矩阵）：初等矩阵 E 是一个交换，若 E 是由单位矩阵 I 交换两行而得到
3. r 倍乘（矩阵）：初等矩阵 E 是一个 r 倍乘，若 E 是由单位矩阵 I 的某一行乘以一个非零数而得到

\(n\times n\) 矩阵 A 是可逆的，当且仅当 A 行等价于 \(I_n\)；A 可以表示为 \(A=E_p\cdots E_1I_n\)

初等行变换 E 使得 A 化简为 \(I_n\)，同时也可以使得 \(I_n\) 化简为 \(A^{-1}\)

矩阵逆元算法：\([A~I_n] \sim [I_n~A^{-1}]\)，仅当 \(A\) 行等价于 \(I\)（否则 A 不可逆）

证明详见 p123

证明 \([A~I_n] \sim [I_n~A^{-1}]\)：\([A~I_n] \sim [A^{-1}A~~A^{-1}I_n]=[I_n~A^{-1}]\)（A 可逆，蕴涵 \(A^{-1}\) 可逆，蕴涵 \(A^{-1}\) 可以表示为初等矩阵的连乘积）

\(\blacksquare\)

大部分关于矩阵乘法逆元，转置的基本性质如下：（假设 \(A,B\) 可逆；以下两个表格表示上一行等于下一行）

1. 可逆，非奇异：矩阵 \(A\in M_{n\times n}\) 可逆，若 \(\exists C\in M_{n\times n},CA=I_n,AC=I_n\)，蕴涵 C 唯一，于是记 \(C=A^{-1}\)；可逆矩阵，又称非奇异矩阵（相反的，\(不可逆矩阵=奇异矩阵\)）
2. 矩阵方程的唯一解：假设 \(A\in M_{n\times n}\)，若 A 可逆
3. 可逆矩阵基本定理：假设 \(A,B\) 可逆，那么 \(A^{-1},(AB)^{-1}m,A^T\) 均可逆，并且：(1) 自封性 \((A^{-1})^{-1}=A\)，(2) 反乘性 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)，(3) \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
4. 初等矩阵：单位矩阵 \(I_n\) 经过一次初等行变换得到的矩阵，称为初等矩阵；初等矩阵分为三类：(1) 行倍加(矩阵)，(2) 交换(矩阵)，(3) r 倍乘(矩阵)
5. 定理：A 可逆，当且仅当 \(A\sim I_n\)
6. 可逆矩阵分解定理：A 可逆，蕴涵 \(A=E_p\cdots E_1I_n\)（\(E_i\) 之间满足交换律）
7. 矩阵乘法逆元有关算法：假设 A 可逆，那么 \([A~I_n]\sim[I_n~~A^{-1}],[A~B]\sim[I_n~~A^{-1}B],[A~\mathbf b]\sim[I_n~~A^{-1}\mathbf b]\)

(1) \(\det A=36\ne0\)，\(\det B=20\)，\(\det C=0\)；\(A,B\) 可逆，C 不可逆

另外，计算逆元有三种方法：(1) [行化简算法]（\(O(n^3)\)），(2) 克拉默法则（\(O(n^5)\) 或 \(O(n^2)\)），(3) 余因子表示方法（\(O(n^4)\)）

(2) 假设 A 可逆，并使用[行化简算法]：\([A~|~I_n]\sim\begin{bmatrix}1&-2&-1&|&1&0&0\\0&3&5&|&1&1&0\\0&0&0&|&-7&-2&1\end{bmatrix}\)，然而 A 不行等价于 \(I_n\)，于是 A 不可逆

(5) 法1：\([A~~\mathbf b_1~~\mathbf b_2~~\mathbf b_3~~\mathbf b_4]\sim[I_n~~A^{-1}\mathbf b_1~~A^{-1}\mathbf b_2~~A^{-1}\mathbf b_3~~A^{-1}\mathbf b_4]\)；法2：计算 \(A^{-1}\)，然后得到 \(\mathbf x_1=A^{-1}\mathbf b_1,\mathbf x_2=A^{-1}\mathbf b_2,\mathbf x_3=A^{-1}\mathbf b_3,\mathbf x_4=A^{-1}\mathbf b_4\)

(7) 若 \(\exists D,DA=I_n\)，那么 \(D(AB)=D(AC)\)，即 \((DA)B=(DA)C\)，即 \(B=C\)

\(DA=I_n\)，即 \(A^TD^T=I_n^T=I_n\)，设 \(X=D^T\) 有 \(A^TX=I_n\)

于是，若 \(A^TX=I_n\) 相容（即 \(A^T\) 的主元列个数等于 \([A^T~~I_n]\) 的主元列个数），那么 \(B=C\)

(10) B 可逆，蕴涵 \(B^{-1}\) 可逆

而 \(AB=AB\)，即 \(A=(AB)B^{-1}\)，其中 \(AB,B^{-1}\) 均可逆，那么 A 也可逆（可逆矩阵的连乘积也可逆）

(11)

1. \(A-AX\) 可逆，蕴涵 \((A-AX)^{-1}\) 可逆；\((A-AX)^{-1}=X^{-1}B\)，蕴涵 \(B=X(A-AX)^{-1}\)，其中 B 是可逆矩阵的连乘积，蕴涵 B 可逆
2. \((A-AX)^{-1}=X^{-1}B\)，蕴涵 \(X=B(A-AX)=BA-BAX\)，蕴涵 \(X(I_n+BA)=BA\)；\(A,B\) 可逆，蕴涵 \(BA\) 可逆；而 \(X^{-1}\) 也可逆，所以 \((I_n+BA)\) 可逆，于是 \(X=BA(I_n+BA)^{-1}\)

3.可逆矩阵的特征

假设 \(A\in M_{n\times n}\)，那么：

(1) \(\begin{cases}A可逆\\A有n个主元位置\\A行等价于单位矩阵I_n\end{cases}\) \(\iff\) (2) \(\begin{cases}\exists C\in M_{n\times n},CA=I_n\\方程A\mathbf x=\mathbf 0仅有平凡解\\A的各列线性无关\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x是一对一的\end{cases}\) \(\iff\) (3) \(\begin{cases}\exists D\in M_{n\times n},AD=I_n\\方程\forall\mathbf b\in\mathbb R^n,A\mathbf x=\mathbf b有解\\A的各列生成\mathbb R^n\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x把\mathbb R^n映上到\mathbb R^n\end{cases}\)

\(\iff\) \(A^{-1}可逆\)

注：大花括号内部各行相互等价，不同大括号之间的不同行也相互等价

证明以下三个命题环：

1. \((1.1)\implies(2.1)\implies(2.2)\implies(1.2)\implies(1.3)\implies(1.1)\)
2. \((1.1)\implies(3.1)\implies(3.2)\implies(1.1)\)
3. \((2.2)\iff(2.3)\iff(2.4)\)（对任意矩阵都成立）

\(\blacksquare\)

设 A 和 B 为方阵，若 AB=I，则 A 和 B 都是可逆的，且 \(A=B^{-1}, B=A^{-1}\)

线性变换 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 称为 可逆的，若存在函数 \(S~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 使得：

\(S(T(\mathbf x))=\mathbf x\)，\(T(S(\mathbf x))=\mathbf x\) （对于所有 \(\mathbf x\in\mathbb R^n\)）

定理：线性变换 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 是可逆的，当且仅当 T 的标准矩阵 A 是可逆的，此时称 S 是 T 的逆，记 \(S=T^{-1}\)

充分性：若 T 是一对一线性变换，那么 T 是可逆线性变换

1. 矩阵可逆定理(v2.0)：假设 \(A\in M_{n\times n}\)：(1) \(\begin{cases}A可逆\\A有n个主元位置\\A行等价于单位矩阵I_n\\A的列构成\mathbb R^n的一个基\\\det A\ne0\\0不是A的特征值\\A有n个非零奇异值\end{cases}\) \(\iff\) (2) \(\begin{cases}\exists C\in M_{n\times n},CA=I_n\\方程A\mathbf x=\mathbf 0仅有平凡解\\A的各列线性无关\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x是一对一的\\\text{Nul}A=\{\mathbf 0\}\\\dim\text{Nul}A=0\end{cases}\) \(\iff\) (3) \(\begin{cases}\exists D\in M_{n\times n},AD=I_n\\方程\forall\mathbf b\in\mathbb R^n,A\mathbf x=\mathbf b有解\\A的各列生成\mathbb R^n\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x把\mathbb R^n映上到\mathbb R^n\\\text{Col}A=\mathbb R^n\\\dim\text{Col}A=n\\\text{rank}A=n\end{cases}\)
2. 矩阵定理：假设 \(A\in M_{m\times n}\)：(1) \(\begin{cases}\forall i=1..m,\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j=b_i\\\sum\limits_{i=1}^nx_i\mathbf a_i=\mathbf b\\A\mathbf x=\mathbf b\end{cases}\)，(2) \(\begin{cases}\text{rank}A=\text{rank}[A~~\mathbf b]\\A\mathbf x=\mathbf b相容\\\mathbf b是\mathbf a_1,\cdots,\mathbf a_n的线性组合\\\mathbf b\in\text{Span}\{\mathbf a_1,\cdots,\mathbf a_n\}\end{cases}\)，(3) \(\begin{cases}\exists C\in M_{n\times m},CA=I_n\\方程A\mathbf x=\mathbf 0仅有平凡解\\A的各列线性无关\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x是一对一的\\\text{Nul}A=\{\mathbf 0\}\\\dim\text{Nul}A=0\\\forall\mathbf b\in\mathbb R^m,A\mathbf x=\mathbf b有唯一的最小二乘解\hat x=(A^TA)^{-1}A^T\mathbf b\\A^TA可逆\end{cases}\)，(4) \(\begin{cases}\exists D\in M_{n\times m},AD=I_m\\方程\forall\mathbf b\in\mathbb R^m,A\mathbf x=\mathbf b有解\\A的各列生成\mathbb R^m\\线性变换\mathbf x\mapsto A\mathbf x把\mathbb R^n映上到\mathbb R^m\\\text{Col}A=\mathbb R^m\\\dim\text{Col}A=m\\\text{rank}A=m\\\forall\mathbf b\in\mathbb R^m是\mathbf a_1,\cdots,\mathbf a_n的线性组合\\A的每一行都有主元位置\end{cases}\)；\((4)\implies(2)\)

(3) “\(L\mathbf x=\mathbf 0\) 有平凡解”不能提供“L 的各列是否张成 \(\mathbb R^n\)”的任何信息

(4) A 各列线性无关，蕴涵 A 可逆，蕴涵 \(A^2\) 可逆，蕴涵 \(A^2\) 的各列生成 \(\mathbb R^n\)

(5) \(AB\) 可逆，蕴涵 \(\exists W,(AB)W=I_n,W(AB)=I_n\)，即 \(A(BW)=I_n,(WA)B=I_n\)，于是 A 和 B 都可逆

4.分块矩阵

目前为止，我们讨论了矩阵 A 可以看作一个数字的矩形表，也可以看作一组列向量

本节将介绍将 A 按照水平线和竖直线分成多块，以更加精确地描述矩阵的内部结构，并讨论更多性质

矩阵 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 可以写成具有 \(s(s\le m)\) 行 \(t(t\le n)\) 列的分块矩阵

块 \((i,j)\) 记作 \(A_{ij}\)；第 i 块行记作 \(\text{row}_i(A)\)，第 i 块列记作 \(\text{col}_i(A)\)

加法：\(A + B\) 的每一块恰好是 A 和 B 对应分块(的矩阵)的和（仅当 A 和 B 维数相同，并且分块方式相同）

数乘：\(cA\) 的每一块为 \((cA)_{ij}=cA_{ij}\)

乘法：\(AB\) 的每一块为 \((AB)_{ij} = \text{row}_{i}(A)\text{col}_j(B) = \sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\)；或者 \(AB = \sum\limits_{i=1}^n\text{col}_i(A)\text{row}_i(B)\)

转置：\(AB\) 的每一块为 \((A^T)_{ij} = A_{ji}\)

对于 分块上三角矩阵 \(A = \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}\)，假设其逆矩阵为 \(B = \begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}\)（\(A,B\in\mathbb R^{(p+q)\times (p+q)}\)），

因而 \(AB = \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_p&0\\0&I_q\end{bmatrix}\)

所以 \(\begin{cases}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=\mathbf I_p\\A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=0\\A_{22}B_{21}=0\\A_{22}B_{22}=\mathbf I_q\end{cases} \implies \begin{cases}B_{21}=A_{22}^{-1}0=0\\B_{22}=A_{22}^{-1}\mathbf I_q=A_{22}^{-1}\\B_{11}=A_{11}^{-1}(\mathbf I_p-A_{12}B_{21})=A_{11}^{-1}\\B_{12}=A_{11}^{-1}(-A_{12}B_{22})=-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\\end{cases}\) （仅当 \(A_{11}^{-1},A_{22}^{-1}\) 存在）

对于 分块上三角矩阵 \(A = \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}\) 的逆矩阵为 \(A^{-1} = \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\0&A_{22}^{-1}\end{bmatrix}\)

仅当 \(A_{11}^{-1},A_{22}^{-1}\) 存在；其中 \(A_{11}\in\mathbb R^{p\times p},A_{22}\in\mathbb R^{q\times q}\)

另外 \(\begin{bmatrix}A_{11}&0\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}&0\\-A_{22}^{-1}A_{12}A_{11}^{-1}&A_{22}^{-1}\end{bmatrix}\)

分块对角矩阵：除了主对角线上各分块外，其余全是零分块，记为 \(A = \begin{bmatrix}\ddots\\&A_{ii}\\&&\ddots\end{bmatrix}\)（注：主对角线上的块均是非零矩阵）

分块对角矩阵的逆：\(A^{-1} = \begin{bmatrix}\ddots\\&A_{ii}^{-1}\\&&\ddots\end{bmatrix}\)

注：A 的划分方法可以是用若干子矩形将对角线进行划分，其中子矩阵越小越好

1. 分块矩阵乘法：假设 \(A\in M_{m\times n},B\in M_{n\times p}\)，并且 A 的列和 B 的行有相同的分割方法，则 \(\forall i,j,(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^sA_{ik}B_{kj}\)（\(A_{ij}\) 表示 A 的 \((i,j)\) 块）
2. 矩阵乘法的列行展开：假设 \(A\in M_{m\times n},B\in M_{n\times p}\)，那么 \(AB=\sum\limits_{k=1}^n\text{col}_i(A)\text{row}_i(B)\)
3. 分块三角矩阵的逆：\(\begin{cases}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\0&A_{22}^{-1}\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}A_{11}&0\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}&0\\-A_{22}^{-1}A_{12}A_{11}^{-1}&A_{22}^{-1}\end{bmatrix}\end{cases}\)
4. 分块对角矩阵的逆：\(\begin{bmatrix}A_{11}\\&\ddots\\&&A_{nn}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_{11}^{-1}\\&\ddots\\&&A_{nn}^{-1}\end{bmatrix}\)，\(\newcommand\iddots{\mathinner{ \kern1mu\raise1pt{.} \kern2mu\raise4pt{.} \kern2mu\raise7pt{\Rule{0pt}{7pt}{0pt}.} \kern1mu}}\begin{bmatrix}&&A_{11}\\&\dots\\A_{nn}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}&&A_{nn}^{-1}\\&\iddots\\A_{11}^{-1}\end{bmatrix}\)

(1) \(\begin{bmatrix}I_n&\mathbf 0\\A&I_m\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}I_n^{-1}&\mathbf 0\\-I_m^{-1}AI_{n}^{-1}&I_m^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_n&\mathbf 0\\-A&I_m\end{bmatrix}\)

(2) \(X^TX=\begin{bmatrix}X_1^T\\X_2^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}X_1^TX_1&X_1^TX_2\\X_2^TX_1&X_2^TX_2\end{bmatrix}\)（注：\(X^TX\ne\begin{bmatrix}X_1X_1&X_1X_2\\X_2X_1&X_2X_2\end{bmatrix}\)）

(3)

1. \(\begin{bmatrix}I_n&\mathbf 0\\E&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C+EA&D+EB\end{bmatrix}\)
2. \(\begin{bmatrix}E&\mathbf 0\\\mathbf 0&F\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}EA&EB\\FC&FD\end{bmatrix}\)
3. \(\begin{bmatrix}\mathbf 0&I_n\\I_n&\mathbf 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C&D\\A&B\end{bmatrix}\)
4. \(\begin{bmatrix}I_n&\mathbf 0\\-X&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C-XA&D-XB\end{bmatrix}\)

5. 矩阵因式分解

假设 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 可以行倍加简化为阶梯形

对 A 只进行倍加变换的初等行变换以得到阶梯型 U（如果可能）

那么 \(\exists E\) 使得 \(\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}EA&E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U&E\end{bmatrix}\) （\(E=\prod\limits_{i=p}^1E_i\)；E 可逆）

记 \(U=EA, L=E^{-1}\)，有 \(A=E^{-1}U=LU\)

这里的 \(E^{-1}\) 显然是下三角矩阵

由于只进行了从上往下的倍加变换，因而 L 也是下三角矩阵，

并且对于 \(i>j\) 有 \(L_{ij} = -E_{ij}\)；\(L_{ii} = 1\)

对 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 只进行倍加变换的初等行变换以得到 U（如果可能）

构造 L，满足：对于 \(i>j\) 有 \(L_{ij} = -E_{ij}\)；\(L_{ii} = 1\)；其他元素均为 0

因而 \(A = LU\) （如果 L 和 U 都存在）

注：复杂度为 \(O(n^3)\)；\(L\in\mathbb R^{m\times m}, U\in\mathbb R^{m\times n}\)

对于 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 和一系列向量 \(\mathbf b_i\) 大量求解矩阵方程 \(A\mathbf x=\mathbf b_i\)

\(A\mathbf x=\mathbf b_i \iff \begin{cases}L\mathbf y=\mathbf b_i\\U\mathbf x=\mathbf y\end{cases}\)

先求解 \(\mathbf y\) 再求得 \(\mathbf x\)

注：随机的矩阵方程 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 的求解复杂度是 \(O(n^3)\)；而三角或阶梯型矩阵方程 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 的求解复杂度是 \(O(n^2)\)

1. LU 分解：仅使用行倍加将 A 行化简为阶梯型 U，即若存在初等矩阵 \(E\in M_{m\times m}\) 使得 \(\begin{bmatrix}A&I_m\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}EA&E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U&E\end{bmatrix}\)，那么 \(A=E^{-1}U\)（记 \(L=E^{-1}\)；对于 \(\forall i=1..m\)，每次 \(A'\) 第 i 行的主元下方的元素变为零；建议在 A 行化简为 U 后再通过化简的步骤中得到矩阵 L）
2. LU 分解计算矩阵方程：若矩阵 A 能 LU 分解，那么 \(A\mathbf x=\mathbf b \iff \begin{cases}L\mathbf y=\mathbf b\\U\mathbf x=\mathbf y\end{cases}\)（\(\mathbf y,\mathbf x\) 未知）
3. LU 分解计算乘法逆元：\(A^{-1}=(LU)^{-1}=U^{-1}L^{-1}\)

1. \(U=\begin{bmatrix}2&-4&-2&3\\0&3&1&-1\\0&0&0&5\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，\(L=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&\underline{0}&0&0\\1&-1&1&0&0\\2&2&-1&1&0\\-3&-3&2&0&1\end{bmatrix}\)
2. \(L=\begin{bmatrix}1&&0&&0\\-1&&1&&0\\2&&-5&&1\end{bmatrix},U=\begin{bmatrix}3&&-7&&-2\\0&&-2&&-1\\0&&0&&-1\end{bmatrix}\)；\([L~~\mathbf b]\sim[I_m~~L^{-1}\mathbf b]=[I_m~~\mathbf y]\)，其中 \(\mathbf y=\begin{bmatrix}-7\\-2\\6\end{bmatrix}\)；\([U~~\mathbf y]\sim[V~~\mathbf x]\)，其中 \(\mathbf x=\begin{bmatrix}3\\4\\-6\end{bmatrix}\)（V 为简化阶梯型）

6. 列昂惕夫投入产出模型

\(\text{总产出} = \text{中间需求} + \text{最终需求}\)

\(\mathbf x = C\mathbf x+\mathbf d\)

注：C 是消耗矩阵

7. 计算机图形学中的应用

8. \(\mathbb R^n\) 的子空间

温馨提示：阅读过 2.8 和 2.9 后，可以跳过第 3/4 章大部分内容，而直接阅读第 5 章

\(\mathbb R^n\) 的子空间是 \(\mathbb R^n\) 中重要的向量子集，通常与某个矩阵 A 有关，并提供关于矩阵方程的有用信息

\(H \subset \mathbb R^n\) 为 \(\mathbb R^n\) 的子空间，当且仅当满足以下三个条件：

1. \(\mathbf 0\in H\)
2. 对于任意 \(\mathbf u,\mathbf v\in H\)，有 \(\mathbf u+\mathbf v\in H\)
3. 对于任意 \(\mathbf u\in H,c\in\mathbb R\)，有 \(c\mathbf u\in H\)

换句话说包含零向量 \(\mathbf 0\) 的向量集合 H 对加法和标量乘法封闭，当且仅当 H 是 \(\mathbb R^n\) 的子空间

例子：\(\mathbf{Span}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p\}\)，\(\{\mathbf 0\}\)(零子空间) 都是子空间

矩阵 \(A\in \mathbb R^{m\times n}\) 的列空间是 A 的各列的线性组合的集合，记作 \(\text{Col}A = \mathbf{Span}\{\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_n\} \subset \mathbb R^m\)

性质1：A 的列空间是 \(\mathbb R^m\) 的子空间

性质2：\(\text{Col} A\) 的基为 A 的主元列的集合（A 的阶梯型 B 的主元列集合通常不在 \(\text{Col} A\) 内；注意区分 A 的主元列与 B 的主元列）

性质3：维数 \(\dim{\text{Col}A}=A 的基本变量或主元列的个数\)（等于 \(\text{rank}A\)）

注1：A 的列空间是使方程组 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 有解的向量 \(\mathbf b\) 的集合

注2：\(\mathbf v\in\text{Col} A\)，当且仅当 \(A\mathbf x=\mathbf v\) 有解

矩阵 \(A\in \mathbb R^{m\times n}\) 的零空间是齐次方程 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 所有解的集合，记为 \(\text{Nul} A\)

性质1：A 的零空间是 \(\mathbb R^n\) 的子空间

性质2：\(\text{Nul}A\) 的基为 \(A\mathbf v=\mathbf 0\) 的解集的参数向量形式

性质3：维数 \(\dim{\text{Nul}A}=A 的自由变量的个数\)

注：\(\mathbf v\in\text{Nul} A\)，当且仅当 \(A\mathbf v=\mathbf 0\) 成立

\(\mathbb R^n\) 中的子空间 H 的一组基是线性无关集，它生成 H

\(\mathbb R^n\) 的标准基：\(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n\}\)

性质：子空间 H 的每个基包含的向量的个数恒为常数 p

1. \(\mathbb R^n\) 的子空间：[参见4.1总结]
2. 矩阵 A 的列空间，零空间：[参见4.2总结]
3. 基：[参见4.3总结]

(1.1) \(A\bf u=0\)，于是 \(\mathbf u\in\text{Nul}A\)

(1.2) \([A~~\mathbf u]\sim\begin{bmatrix}1&-1&5&-7\\0&2&-3&17\\0&0&0&49\end{bmatrix}\)，蕴含方程 \(A\bf x=u\) 不相容，于是 \(\mathbf u\not\in\text{Col}A\)

(2) \(\text{Nul}A=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\},\text{Col}A=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}\)，于是 \(\text{Nul}A\cap\text{Col}A=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}\)

(3) 根据[可逆矩阵定理]，\(\text{Col}A=\mathbb R^n,\text{Nul}A=\{\bf 0\}\)

9. 维数和秩

假设 \(\mathcal B=\{\mathbf b_1,\mathbf b_2,\dots,\mathbf b_p\}\) 是子空间 H 的一组基

权 \(c_1,\dots,c_p\) 是 \(\mathbf x\in H\) 相对于基 \(\cal B\) 的坐标，当且仅当 \(\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\dots+c_p\mathbf b_p\)

称 \([\mathbf x]_\mathcal B=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_p\end{bmatrix}\) 为 \(\mathbf x\) 相对于基 \(\mathcal B\) 的坐标向量（或 \(\mathbf x\) 的 \(\mathcal B-\)坐标向量）

如果 \(\mathcal B = \{\mathbf b_1,\mathbf b_2,\dots,\mathbf b_p\}\) 是 H 的基，则映射 \(x\mapsto[\mathbf x]_\mathcal B\) 是使 H 与 \(\mathbb R^p\) 的形态一样的一一映射

非零子空间 H 的维是它的任意一个基的向量个数，记作 \(\text{dim}H\)

特别地，零子空间 \(\{\mathbf 0\}\) 的维数为 0

注1：\(\text{dim} \mathbb R^n = n\)（\(\mathbb R^n\) 是自己的子空间）

注2：\(\mathbb R^n\) 的子空间的维数不大于 n（若 H 是 \(\mathbb R^n\) 的子空间，那么 \(\text{dim}H\le n\)）

矩阵 A 的秩定义为 A 的列空间的维数，记为 \(\text{rank}A\)

秩定理：对于 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\)，有 \(\dim\text{Col}A + \dim\text{Nul}A=n\) 或 \(\text{rank}A + \dim\text{Nul}A=n\)

（\(\dim(\text{Col}A) + \dim(\text{Nul}A)=n\)）

基定理：设 H 是 \(\mathbb R^n\) 的 p 维子空间，H 中的任何恰好由 p 个元素组成的线性无关集构成 H 的一个基，并且 H 中任何生成 H 的 p 个向量集也构成 H 的一个基（？？？）

设 \(A\in\mathbb R^{n\times n}\)，则“A 是可逆矩阵”与下列命题均等价：

1. A 的列向量构成 \(\mathbb R^n\) 的一个基
2. \(\text{Col}A=\mathbb R^n\)，\(\text{rank}A=\dim\text{Col}A=n\)
3. \(\text{Nul}A=\{0\}\)，\(\dim\text{Nul}A=0\)

1. \(\mathbb R^n\) 上的坐标系（唯一表示定理）：[参见4.4总结]
2. 同构：[参见4.4总结]
3. 子空间的维数：[参见4.5总结]
4. 秩：[参见4.6总结]
5. 秩与可逆矩阵定理

(1) \(A=\begin{bmatrix}2&3&-1\\-8&-7&6\\6&-1&-7\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}2&3&-1\\0&5&2\\0&0&0\end{bmatrix}\)，A 有两个主元列，于是 \(\dim H=2\)

(2) \(\mathbf x=\begin{bmatrix}1&0.2\\0.2&1\end{bmatrix}[\mathbf x]_{\cal B}=\begin{bmatrix}3.4\\2.6\end{bmatrix}\)