可逆矩阵定理
\(\begin{cases}A有n个主元位置\\A,A^T可逆\\\det A=|A|\ne0\\\text{rank}A=r(A)=n\\\forall i=1..n,\lambda_i\ne0\end{cases}\iff\begin{cases}A的各列(行)线性无关\\A\mathbf x=\mathbf0只有平凡解\mathbf x=\mathbf0\\\forall\mathbf b\in\mathbb R^n,A\mathbf x=\mathbf b总有唯一解\end{cases}\iff\begin{cases}A与I_n等价？\\A=\prod\limits_{i=1}^sE_i（E_i是行初等矩阵）\\A^TA是正定矩阵？\end{cases}\)
注：该定理的否命题也同样重要；\(\text{rank} A=0..n\)
注2：若 A 是正定矩阵 \(\implies\) \(\begin{cases}A是对角矩阵\\\forall i=1..n,\lambda_i>0（\lambda_i是A 的特征值）\\Q(\mathbf x)=\mathbf x^TA\mathbf x 是二次型\end{cases}\)
断言
- 等价：若同型矩阵 A，B 等价，那么存在 P 和 Q 使得 \(B=PAQ\)；等价于 \(\text{rank} A=\text{rank} B\)
- 合同：若同型矩阵 A，B 合同，那么存在可逆矩阵 P 使得 \(B=P^TAP\)；A 与 B 的秩，正负惯性指数相同？
- 相似：若同型矩阵 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P 使得 \(B=P^{-1}AP\)；A 与 B 的秩，正负惯性指数，特征值均相同
\(\begin{cases}向量组等价\\矩阵等价(\cong)\\矩阵合同(\simeq)\\矩阵相似(\sim)\end{cases}\xrightarrow{具有}反身性，对称性，传递性\)
关系：A 与 B 相似 或 A 与 B 合同 \(\implies\) A 与 B 等价；正交矩阵 A 与 B 相似 \(\implies\) A 与 B 合同
\(\text{tr}A=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}\)