真题

2018

1. 多项式定理：\(\left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right)^k=\sum\limits_{i_1+\cdots+i_n=k}\binom{k}{i_1,\cdots,i_n}\prod\limits_{j=1}^na_j^{i_j}\)

2019

(1) \(A^2+A=2E\) 蕴涵 A 的部分的特征方程为 \(\lambda^2+\lambda=2\)，解得 \(\lambda_1=1,\lambda_2=-2\)

又由 \(|A|=4\) 和 \(|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)，得 \(\lambda_3=-2\)

于是 A 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 2，于是 A 的规范型有 1 个

于是 A 的标准型为 \(y_1^2-y_2^2-y_3^2\)

(2) 根据图示，三个平面不相交，蕴涵 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 不相容，蕴涵 \(r(A)\ne r(\overline A)\) 或 \(r(A)<r(\overline A)\)

三张平面两两相交，交线相互平行，蕴涵 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 只有 1 个线性无关解？？？

于是 \(r(A)=2\) ？

(3) \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，蕴涵 \(r(A)\ge2\)；\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关，蕴涵 \(r(A)<3\)；于是 \(r(A)=2\)

于是 \(A\mathbf x=0\) 的基础解系中有 1 个向量（根据秩定理，\(\dim\text{Nul}A=n-2=1\)）

\(\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2\)，等价于 \(\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3=\mathbf 0\)，即 \(A\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}=\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3=\mathbf 0\)

于是 \(\mathbf 0\ne\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}\in\text{Nul}A\)，而 \(\dim\text{Nul}A=1\)，于是 \(\text{Nul}A=\text{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}\right\}\)

也就是说，\(A\mathbf x=\mathbf 0\) 的通解是 \(k\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix},k\in\mathbb R\) 或 \(k(1,-2,1)^T,k\in\mathbb R\)

(4.1) \(\beta\) 在 \(\mathbb R^3\) 的基 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 下的坐标为 \((b,c,1)^T\)

蕴涵 \(\begin{bmatrix}1&1&1\\2&3&a\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b\\c\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\)，等价于 \(\begin{bmatrix}1&1&0\\2&3&1\\1&2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix}\)，解得 \(\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-2\\3\end{bmatrix}\)

即 \(a=3,b=2,c=-2\)

(4.2) \(|A|=|\alpha_2~~\alpha_3~~\beta|=\begin{vmatrix}1&1&1\\3&3&1\\2&3&1\end{vmatrix}=2\ne0\)，蕴涵 A 是可逆的，蕴涵 A 的各列是 \(\mathbb R^3\) 的一个基（或者使用[初等行变换]证明方阵 A 是线性无关的）

(4.3)

存在 C 使得 \([\alpha_2~~\alpha_3~~\beta]C=[\alpha_1~~\alpha_2~~\alpha_3]\)

解得 \(C=[\alpha_2~~\alpha_3~~\beta]^{-1}[\alpha_1~~\alpha_2~~\alpha_3]=\begin{bmatrix}1&1&0\\-1/2&0&1\\1/2&0&0\end{bmatrix}\)

（假设 \(A,B\in\mathbf M_n\) 的各列均是 \(\mathbb R^n\) 基，那么 A 到 B 的过度矩阵为 C，满足 \(AC=B\)？）

(5.1) A 与 B 相似，蕴涵 A 与 B 的特征值集相同，蕴涵 \(\text{tr}A=\text{tr}B\)，\(|A|=|B|\)

即 \(-4+x=1+y,-2(-2x+4)=-2y\)，解得 \(x=3,y=-2\)

(5.2) 由于 A 和 B 相似，存在 \(P_1,P_2,D\) 使得 \(A,B\) 的对角化分别为 \(A=P_1DP_1^{-1},B=P_2DP_2^{-1}\)

于是 \(P_1^{-1}AP_1=D=P_2^{-1}BP_2\)，于是 \(P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}=B\)，于是 \((P_1P_2^{-1})^{-1}AP_1P_2^{-1}=B\)

即存在 \(P=P_1P_2^{-1}\)，使得 \(P^{-1}AP=B\)

经一些列计算，\(P_1,P_2\) 可以为 \(P_1=\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2&1&-2\\0&0&-4\end{bmatrix},P_2=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-3&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，于是 \(P=P_1P_2^{-1}=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&-1&-2\\0&0&-4\end{bmatrix}\)

1. 若方阵 \(A\in\mathbf M_n\) 满足 \(\sum\limits_{i=0}^pc_iA^i=0\)，那么 A 的部分特征值 \(\lambda\) 满足方程 \(\sum\limits_{i=0}^pc_i\lambda^i=0\)
2. 若 \(A\in\mathbf M_{m\times n}\) 的任意 p 列线性无关，那么 \(\text{rank}A\ge p\)
3. 若 \(A\in\mathbf M_{m\times n}\) 的任意 p 列线性相关，那么 \(\text{rank}A<p\)
4. 若矩阵 A 与 B 相似，那么 (1) \(\det(A-\lambda I_n)=\det(A-\lambda I_n)\)，(2) \(\text{tr}A=\text{tr}=B\)，(3) \(\det A=\det B\)，(4) \(\text{rank}A=\text{rank}B\) (5) 存在 \(P=P_1P_2^{-1}\) 使得 \(P^{-1}AP=B\)（\(A,B\) 分别对角化为 \(A=P_1DP_1^{-1},B=P_2DP_2^{-1}\)）

形式：\(考研的某术语=书中的某术语\)

\(E=I\)，\(规范形=不含交叉乘积项并且二次项系数为1的二次型形式\)？，\(|A|=\det A\)，

\(正惯性指数=二次型对应的矩阵的正特征值个数\)，\(负惯性指数=二次型对应的矩阵的负特征值个数\)

\(r(A)=\text{rank}A\)

\(A的基础解系=\text{Nul}A\)？，\(A的基础解系的向量个数=\dim\text{Nul}A\)？

\((a,b,c)^T=(a,b,c)=[a~~b~~c]^T\)

2020

(1) \(\exists P\)，\(AP=B\) 或 \(A=BP\)

(2) 直线 \(l_1,l_2\) 分别等价于方程 \(\frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{z-c_2}{c_1}=s\)（\(s\in\mathbb R\)），\(\frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}=t\)（\(t\in\mathbb R\)）

令 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 分别表示直线 \(l_1,l_2\) 有：\(\mathbf v_1=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix}=\alpha_2+s\alpha_1,\mathbf v_2=\begin{bmatrix}a_3\\b_3\\c_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix}=\alpha_3+t\alpha_2\)

由于 \(l_1\) 和 \(l_2\) 相交与一点，所以 \(\mathbf v_1=\mathbf v_2\) 相容且有唯一解，即 \(\alpha_2+s\alpha_1=\alpha_3+t\alpha_2\) 有唯一解，

于是 \(s\alpha_1+(1-t)\alpha_2+\alpha_3=0\)，蕴涵 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关（\(\alpha_3\) 的系数是 \(1\ne0\)），并且 \(\alpha_3\) 能被 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表示

(3) \(\begin{vmatrix}a&0&-1&1\\0&a&1&-1\\-1&1&a&0\\1&-1&0&a\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0&-1&1\\0&a&1&-1\\-1&1&a&0\\0&0&a&a\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0&-2&1\\0&a&2&-1\\-1&1&a&0\\0&0&0&a\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&a&a^2-2&1\\0&a&2&-1\\-1&1&a&0\\0&0&0&a\end{vmatrix}\)

\(=a(-1)\begin{vmatrix}a&a^2-2\\a&2\end{vmatrix}=-a^2\begin{vmatrix}1&a^2-2\\1&2\end{vmatrix}=a^2(a^2-4)\)

(4.1) \(f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2\) 等价于 \(f(\mathbf x)=\mathbf x^TA\mathbf x\)（\(A=\begin{bmatrix}1&-2\\-2&4\end{bmatrix}\)）

\(g(y_1,y_2)=ay_1^2+4y_1y_2+by_2^2\) 等价于 \(g(\mathbf y)=\mathbf y^TB\mathbf y\)（\(B=\begin{bmatrix}a&2\\2&b\end{bmatrix}\)）

题意暗含 \(f(\mathbf x)=g(\mathbf y)\)，而且 \(\mathbf x=Q\mathbf y\)，于是 \(f(\mathbf x)=\mathbf x^TA\mathbf x=(Q\mathbf y)^TA(Q\mathbf y)=\mathbf y^T(Q^TAQ)\mathbf y\)

所以 \(B=Q^TAQ\)

由于 Q 是正交矩阵，所以 \(Q^T=Q^{-1}\)，于是 B 与 A 相似，蕴涵 \(\text{tr}A=\text{tr}B,\det A=\det B\)

即 \(5=a+b,0=ab-4\)，又由 \(a\ge b\)，解得 \(a=4,b=1\)

(4.2) 类似于[2019-5.2]，\(Q=P_1P_2^T\)，其中 \(A,B\) 正交对角化为 \(A=P_1DP_1^T,B=P_2DP_2^T\)

（还有更简单的解法）

(5.1) 有多种解法

1. 反证：假设 A 不可逆，蕴涵 \(\alpha,A\alpha\) 线性相关，而 \(\alpha\ne\mathbf 0\)，于是 \(\exists k,\alpha=k(A\alpha)\)（可证 \(k\ne0\)），\(\frac1k\alpha=A\alpha\)，于是 \(\alpha\) 是 A 的特征向量，矛盾
2. \(\alpha\) 不是 A 的特征向量，蕴涵 \(\not\exists k,A\alpha=k\alpha\)，而 \(\alpha\ne\mathbf 0\)，于是方程 \(x_1\alpha+x_2(A\alpha)=\mathbf 0\) 只有平凡解，于是 P 可逆

(5.2) \(AP=A[\alpha~~A\alpha]=[A\alpha~~A^2\alpha]=[A\alpha~~6\alpha-A\alpha]=[\alpha~~A\alpha]\begin{bmatrix}0&6\\1&-1\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}0&6\\1&-1\end{bmatrix}\)

于是 \(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}0&6\\1&-1\end{bmatrix}\)

(5.3) \(A\in\mathbf M_n\) 可相似对角化的一个充分条件是 A 有 n 的相异特征向量

记 \(B=P^{-1}AP\)，有 A 与 B 相似

解方程 \(|\lambda E-B|=0\)，得到 B 的特征值分别是 \(2,-3\)

于是 A 的特征值也是 \(2,-3\)，两个特征值相异，于是 A 可相似对角化

1. 若 A 与 B 列等价，那么 \(\exists E_1,\cdots,E_p,B=AE_1\cdots E_p\) 或 \(A=B(E_1\cdots E_p)^{-1}\)
2. 若 A 与 B 列等价，那么 \(\det A=\det B\)
3. 列变换分解：\(\begin{bmatrix}\Box&\cdots&\Box\end{bmatrix}\) 通常可以分解为 \(\begin{bmatrix}\Box&\cdots&\Box\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&\cdots&a_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}=\mathbf a^TB\)（其中 B 是实矩阵，而 \(\forall a_i\) 的数域不确定，可以是实数/向量/矩阵/多项式等等）
4. 行变换分解：\(\begin{bmatrix}\Box\\\vdots\\\Box\end{bmatrix}\) 通常可以分解为 \(\begin{bmatrix}\Box\\\vdots\\\Box\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1m}\\\vdots&&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nm}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}=B\mathbf a\)
5. 相似变换的计算：假设 \(B=P^{-1}AP\)，即 \(PB=AP\)，此时只要表示出 \(AP\)，然后对其进行[列变换分解]得到 \(PB\) 的形式

2021

(1) \(f(\mathbf x)=\mathbf x^TA\mathbf x\)，其中 \(A=\begin{bmatrix}0&1&1\\1&2&1\\1&1&0\end{bmatrix}\)

\(\det(A-\lambda I_n)=\lambda(\lambda+1)(\lambda-3)\)，解得 \(\lambda_1=3,\lambda_2=0,\lambda_3=-1\)

于是正惯性指数为 1，负惯性指数为 1

(2) 易知 \(\beta_1=\alpha_1,\beta_2=\alpha_2-k\beta_1,\beta_3=\alpha_3-l_1\beta_1-l_2\beta_2\) 是 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_2\}\) 的[施密特正交化]

于是 \(k=\frac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]},l_1=\frac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]},l_2=\frac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}\)

(3)

1. \(\text{rank}\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}=\text{rank}A+\text{rank}A^TA=2n\)
2. 设关于 E 的方程 \(\begin{bmatrix}I_n&E\\\mathbf 0&I_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&BA\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}\)，即 \((-E)A^TA=BA\)，仅当 A 可逆时有唯一解；设关于 F 的方程 \(\begin{bmatrix}A&BA\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n&F\\\mathbf 0&I_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}\)，即 \(A(-F)=BA\)，仅当 A 可逆时有唯一解；于是 \(\text{rank}\begin{bmatrix}A&BA\\\mathbf 0&A^TA\end{bmatrix}=2n\) 不总是成立，或者信息不充分
3. 类似地，设方程 \(EA^T=AB\)，但方程不总是有解；设方程 \(AF=AB\)，该方程至少有 \(F=B\) 一个解，于是 \(\text{rank}\begin{bmatrix}A&AB\\\mathbf 0&A^T\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0&A^T\end{bmatrix}=2n\)
4. 设方程 \(EA=BA\)，该方程至少有 \(E=B\) 一个解，于是 \(\text{rank}\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\BA&A^T\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0\end{bmatrix}=2n\)

(4) 根据[3.3结论1.3]与 A 的每行元素之和均为 2，有 \(A^*\) 的各行之和为 \(A_{11}+A_{21}+A_{31}=(\det A)/2=3/2\)

(5.1) 直接计算特征值有些不便，于是计算 \(\det A\) 得 \(\det A=(a+2)(a-1)^2\)，

根据 \(\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)，假设 \(\lambda_1=a+2,\lambda_2=\lambda_3=a-1\)，而 \(\forall \det(A-\lambda_iE_3)=0\)，于是 \(\forall i=1..3,\lambda_i\) 是 A 的特征值

对 A 进行正交对角化为 \(A=PDP^T\)，其中 \(P=\begin{bmatrix}1/\sqrt3&-1/\sqrt2&-1\sqrt6\\1/\sqrt3&1/\sqrt2&1/\sqrt6\\-1/\sqrt3&0&2/\sqrt6\end{bmatrix}\)，\(D=\begin{bmatrix}a+2&0&0\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{bmatrix}\)

(5.2) 根据 (5.1) 的正交对角化，方程 \(C^2=(a+3)E_3-A=(a+3)PP^T-PDP^T=P[(a+3)E_3]P^T-PDP^T=P[(a+3)E_3-D]P^T\)

其中 \((a+3)E_3-D=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{bmatrix}\)

于是有理由假设 \(C=P\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}P^T\)，

此时 \(C^2=P\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}P^TP\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}P^T=P\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}^2P^T=P\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{bmatrix}P^T\)

1. 若 \(\text{rank}A=n\)，那么 \(\text{rank}A^T=n\)，\(\text{rank}A^TA=n\)
2. \(\text{rank}\begin{bmatrix}A&\mathbf 0\\\mathbf 0&B\end{bmatrix}=\text{rank}A+\text{rank}B\)
3. 假设 \(A\in\mathbf M_{m\times n}\)，E 是 m 阶初等矩阵之积，那么 \(\text{rank}(EA)=\text{rank}A\)