术语和定义
注1：每一章学习完后，可以选择性完善当前章节的“术语和定义”
注2：复习完可以选择性重构
向量算子：加法，数乘，点积，叉积；转置
矩阵算子：加法，数乘，乘法；幂，转置，逆元
向量-矩阵算子：乘法
Tip
- 多项式：n 次多项式记为 \([a_n,\dots,a_0]\)（应用：求解特征值）
- 两大研究方法：矩阵分解(如：LU, QR, (正交)对角化分解, 楚列斯基分解，奇异值分解SVD)，向量(变量)代换
- 可逆矩阵定理：参考 2.3，2.9，3.2，4.6，5.2，7.4
graph LR
1(矩阵)<-->2(线性方程组)
1<-->3(线性组合)
1<-->4(向量方程)
1<-->5(张成)
1<-->6(矩阵方程)
1-->7>行化简]
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1. 线性方程组
重要概念
- 方程的 3 个性质：齐次/非齐次，平凡解/非平凡解，线性无关/线性相关
- 3 个方程：线性方程组，向量方程，矩阵方程
- 增广矩阵/系数矩阵，相容/不相容，标准变量/自由变量，线性组合，张成
span
注：记 \(\mathbb R^{m\times n}\) 为所有 \(m\times n\) 矩阵的集合
(1)线性方程组 思维导图
矩阵
<--> 线性方程组
<--> 线性组合
- 向量组的线性相关性(线性相关，线性无关)
<--> 向量方程
<--> 张成
<--> 矩阵方程
(增广)矩阵
-->|行化简1| 阶梯型：表明相容性，主元列，标准/自由变量
-->|行化简2| 简化阶梯型
--> 参数形式
以上 3 种方程(组)的性质：相容性，唯一性；齐次性
齐次方程的性质：唯一性 <=> 非平凡解存在性
注2：1.6，1.10 不讨论
1. 线性方程组
- 线性方程：包含 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的线性方程为 \(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i = b\)（\(x_i\) 为变量；\(a_i,b\in \mathbb C\)）
- 线性方程组：由多个包含 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的线性方程形成的方程组
- 解：替换 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 后能使所有线性方程成立的一组数，记作 \((s_1,s_2,\dots,s_n)\)
- 解集：方程组所有可能的解的集合
- 等价：两个线性方程组等价，当且仅当 它们具有相同的解集
- 线性方程组解的情况：无解，有唯一解，有无穷多解
- 几何意义，如：2个二维线性方程表示的集合为一个点或一条线或空集；3个三维线性方程表示的集合为一条线或一个平面或空集
- 相容性：线性方程组有 唯一解 或 无穷多解，则称该方程组是 相容的；若无解，则称它是 不相容的
- 线性方程组生成矩阵
- 系数矩阵：将每个变量的系数分别写在一列，这些列从左到右依次排列，即可得到线性方程组的系数矩阵
- 增广矩阵：在系数矩阵最右侧添加上一列线性方程组最右侧的常系数列，即可得到增广矩阵
- 注：将增广矩阵变换为三角矩阵后，最后一行不矛盾，则该线性方程组相容
- 初等行变换：
- 倍加变换：把某一行换成它本身与另一行的倍数的和，即 \(L_i \leftarrow L_i+kL_j\)
- 对换变换：交换两行，即 \(L_i \leftrightarrow L_j\)
- 倍乘变换：把某一行的所有元素乘以同一个非零数，即 \(L_i \leftarrow kL_i\)
- 注：初等行变换后的线性方程组，与原方程组行等价；若矩阵 A 和 B 行等价，那么 \(A\sim B\)
-
线性方程组的两个基本问题：相容性，解的唯一性
-
先导元素：矩阵中非零行 \(L_i\) 从左到右第一个非零元素（非零行中至少有一个非零元素）
- 行阶梯型(阶梯型)：一个矩阵称为阶梯型(行阶梯型)，当且仅当满足如下 3 个性质：
- 非零行居于所有零行之上
- 非零行的先导元素居于上一非零行（如果存在）的先导元素的严格右下方
- 先导元素的正下方的元素皆是 0（即性质 2 的推论）
- 简化行阶梯型(简化阶梯型)：一个行阶梯型称为简化行阶梯型，当且仅当满足如下 2 个性质：
- 非零行的先导元素是 1
- 先导元素正上方和正下方均是 0
- 注：任意矩阵 与其 简化型矩阵 一一对应；简化阶梯型记为 \(\text{RREF}\)
- 主元
- 主元位置：矩阵 A 对应的行阶梯型 B 中，非零行从左往右第一个非零元素所在的位置，称为 主元位置
- 主元列：A 的某行中主元位置所在的列，称为 主元列
- 主元：非零行主元位置上的元素
- 注：任意矩阵唯一对应一组主元列和主元位置；主元列可以选择任一非零元素作为主元
- 行化简算法：
- 从左开始选取第一个非零列作为当前的 主元列；此时 主元位置 为主元列最上方的位置
- 从主元列中选择一个非零元素作为 主元，将该行与主元位置所在的行进行交换
- 将主元行倍加到下方的行，使其正下方的元素为 0
- 去除主元所在的行和列；若矩阵非空，则执行前三个步骤
- 从最后一个主元开始迭代，若主元不为 1，则用倍乘变换使其变为 1；使用倍加变换使每个主元正上方的元素变为 0
- 注：前 4 步可以构造阶梯型；前 5 步可以构造简化阶梯型
- 线性方程组的解：
- 基本变量：主元列对应的变量
- 自由变量：非主元列对应的变量 （自由变量可以表示基本变量，仅当线性方程组相容）
- 通解：将所有基本变量用自由变量来表示的方程组
- 参数表示法：以自由变量为参数来表示方程组解集的方法
- 存在与唯一性？：线性方程组相容，当且仅当 其增广矩阵的最右列不是主元列（换句话说，增广矩阵的阶梯型没有形如 \([0~\dots~0~b],~b\ne 0\) 的行）
-
线性方程组解法：
- 写出方程组的增广矩阵
- 使用 行化简算法 将增广矩阵化为 阶梯型；若方程组不相容，则方程组 无解
- 继续行阶梯算法得到 简化阶梯型，得到对应的方程组
- 将得到的方程组表示为 “基本变量由自由变量表示” 的形式
-
向量：\(\mathbb R^n\) 中的向量定义为一组有序数，以 \(\mathbf a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\ a_n\end{bmatrix}\) 表示，简记为 \((a_1,a_2,\dots, a_n)\)
- 算子：向量加法 \(\mathbf u + \mathbf v\)，数乘向量 \(a \mathbf u\)
- 性质：向量加法(交换性，结合性，单位元，逆元)；向量和实数的乘法分配率；实数乘法和数乘向量的结合性
- 线性组合：\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_p \in \mathbb R^n\) 组合成的向量 \(y=c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 + \dots + c_p\mathbf v_p\) （\(c_i\in \mathbb R\)）称为向量 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_p\) 以 \(c_1,c_2\dots,c_p\) 为权的线性组合
- 向量方程：\(\sum\limits_{i=1}^n\mathbf a_ix_i=\mathbf b\) （注意与线性方程区分）
- 向量方程唯一对应线性方程组，同时对应增广矩阵 \([\mathbf a_1~\mathbf a_2~\dots~\mathbf a_n~\mathbf b]\)
-
张成：由向量组 \(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots, \mathbf v_p\in\mathbb R^n\) 的线性组合所生成(张成)的集合，记为 \(\text {Span}\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots, \mathbf v_p\} = \{ c_1\mathbf v_1 + c_2\mathbf v_2 + \dots + c_p\mathbf v_p~|~c_i \in \mathbb R\}\)
- 意义：\(\mathbf b \in \text {Span}\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots, \mathbf v_p\}\) \(\iff\) 向量方程 \(x_1\mathbf v_1 + x_2\mathbf v_2 + \dots + x_p\mathbf v_p = \mathbf b\) 有解 \(\iff\) 增广矩阵 \([\mathbf v_1~\mathbf v_2~\dots~\mathbf v_p~\mathbf b]\) 相容
- 特别地：\(\text{Span}\{\mathbf u\}\) 表示 \(\mathbf u\) 的倍数的集合；在 \(\mathbb R^3\) 上表示 \(\mathbf 0\) 或 直线；假设 \(\mathbf u,\mathbf v \ne \mathbf 0\)，且 \(\mathbf u \ne k\mathbf v\)（k 为变量），那么 \(\mathbb R^3\) 上 \(\text{Span}\{\mathbf u, \mathbf v\}\) 表示一个平面
-
矩阵(阵列)：由向量组 \(\mathbf a_1, \mathbf a_2,\dots, \mathbf a_n\in\mathbb R^m\) 从左到右依次排列组成的 \(m\times n\) 矩阵，记为 \(A = A_{m\times n} = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\dots&\mathbf a_n\end{bmatrix}\)
- 矩阵与向量的积：矩阵 \(A_{m\times n}\) 与向量 \(\mathbf x\in \mathbb R^n\) 的积为 A 的各列以 \(\mathbf x\) 中的对应元素为权的线性组合，记为 \(A\mathbf x = \begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\dots&\mathbf a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\\vdots\\ x_n\end{bmatrix} = \sum\limits_{i=1}^nx_i\mathbf a_i\)
- 注：\(A\mathbf x\) 中的第 i 个元素是 A 的第 i 个行向量 与列向量 \(\mathbf x\) 的点积，仅当 \(A\mathbf x\) 有定义
- 若 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\)，\(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^n\)，\(c\in\mathbb R\)；那么 \(A(\mathbf u + \mathbf v) = A\mathbf u + A\mathbf v\)，\(A(c\mathbf u) = c(A\mathbf u)\)
- 矩阵方程：\(A\mathbf x = \mathbf b\) （\(A\in \mathbb R^{m\times n}, \mathbf x\in \mathbb R^n, \mathbf b\in \mathbb R^m\)）
- 定理1(解集的等价性)：设 \(A\in\mathbb R^{m\times n}, \mathbf a_i,\mathbf b\in \mathbb R^m, \mathbf x\in \mathbb R^n\)，则以下三者有等价的解集：矩阵方程 \(A\mathbf x = \mathbf b\) \(\iff\) 向量方程 \(x_1\mathbf a_1 + x_2\mathbf a_2 + \dots + x_n\mathbf a_n = \mathbf b\) \(\iff\) 增广矩阵为 \(\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\dots&\mathbf a_n&b\end{bmatrix}\) 的线性方程组
- 相关概念：线性方程(组)，向量方程，矩阵方程；增广矩阵，线性组合，
span
- 相关概念：线性方程(组)，向量方程，矩阵方程；增广矩阵，线性组合，
- 定理2(等价命题)：对于 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\)
- 系数矩阵 A 在每一行都有主元位置 \(\iff\) 对于所有 \(\mathbf b\in\mathbb R^m\)，\(\mathbf b\) 都是 A 的各列的一个线性组合 \(\iff\) 对于所有 \(\mathbf b\in\mathbb R^m\)，都存在 \(\mathbf x\) 使得 \(A\mathbf x = \mathbf b\) \(\iff\) A 的各列 \(\mathbf a_1, \mathbf a_2,\dots,\mathbf a_n\) 张成 \(\mathbb R^m\)（\(\mathbf{Span}\{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\dots,\mathbf a_n\}=\mathbb R^m\)）
-
单位矩阵：主对角线上的元素均为 1，其他元素均为 0, 的 \(n\times n\) 矩阵称为单位矩阵；记为 \(I=I_n\)
- 性质：\(I_n\mathbf x = \mathbf x\) （仅当 \(\mathbf x\in \mathbb R^n\)）
- 注：矩阵有对角线，仅当该矩阵为方阵
-
齐次线性方程组：\(A\mathbf x=\mathbf 0\) （\(A\in\mathbb R^{m\times n}, \mathbf x\in \mathbb R^n, \mathbf 0\in\mathbb R^m\)）
- 性质1：齐次线性方程组总有一个平凡解 \(\mathbf x=\mathbf 0\)（\(\mathbf 0\in \mathbb R^n\)）
- 性质2：\(A\mathbf x=\mathbf 0\) 有非平凡解，当且仅当 方程至少有一个自由变量（自由变量数 \(p\ge1\)）
- 参数向量形式：线性方程组的解向量的表示形式，形如 \(\mathbf x=\mathbf v_0+V\mathbf t=\mathbf v_0+\begin{bmatrix}\mathbf v_1&\mathbf v_2&\dots&\mathbf v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t_1\\t_2\\\vdots\\t_n \end{bmatrix} = \mathbf v_0+\sum\limits_{i=1}^nt_i\mathbf v_i\)
- 其中 \(\mathbf v_0,\mathbf v_i,\mathbf u\in\mathbb R^n\)，\(V\in\mathbb R^{n\times n}\)；由于 \(\mathbf u,\mathbf x\) 意义的不同，记 \(u_i=x_i\)
- 齐次线性方程组的解：齐次线性方程组的解向量可以表示为 \(\mathbf x=\mathbf 0+V\mathbf t=\mathbf 0+\begin{bmatrix}\mathbf v_1&\mathbf v_2&\dots&\mathbf v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t_1\\t_2\\\vdots\\t_n \end{bmatrix} = \mathbf 0+\sum\limits_{i=1}^nt_i\mathbf v_i\) （\(V\in\mathbb R^{n\times n}\)，\(\mathbf 0,\mathbf v_i,\mathbf u\in\mathbb R^n\)）
- 注1：\(V_{ii}=1\)，仅当 \(\mathbf x_i\) 是自由变量；\(V_{ii}=0\)，仅当 \(\mathbf x_i\) 是基本变量
- 注2：等式右端称为 参数向量方程
- 非齐次方程组的解：线性方程组 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 的解可以表示为 \(\mathbf x=\mathbf v_0+V\mathbf t=\mathbf v_0+\begin{bmatrix}\mathbf v_1&\mathbf v_2&\dots&\mathbf v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t_1\\t_2\\\vdots\\t_n \end{bmatrix} = \mathbf v_0+\sum\limits_{i=1}^nt_i\mathbf v_i\)
-
[算法]将相容方程组的解集表示成参数向量形式：
- 将增广矩阵行化简为简化阶梯型
- 把每个基本变量用自由变量表示
- 把一般解 \(\mathbf x\) 表示成向量，如果有自由变量，其元素依赖于自由变量
- 把 \(\mathbf x\) 分解为向量的线性组合，将方程右侧的自由变量替换为参数
-
线性方程组的应用：经济学（“投入-产出”模型），化学（化学方程式配平），图论（网络流）
-
线性无关：\(\mathbb R^n\) 中一组向量 \(\{\mathbf v_1,\dots, \mathbf v_p\}\) 线性无关，当且仅当 齐次向量方程 \(\sum\limits_{i=1}^nx_i\mathbf v_i=0\) 只有平凡解（即 \(\mathbf x=\mathbf 0\)）；该向量组称为 线性无关组
- 矩阵 A 的各列线性无关，当且仅当 \(A\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^px_i\mathbf a_i=\mathbf 0\) 仅有平凡解
- 向量组 \(\{\mathbf v\}\) 线性无关 \(\iff\) \(\mathbf v\ne \mathbf 0\)
- 向量组 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 线性无关 \(\iff\) \(\mathbf v_1\ne k\mathbf v_2\)（\(k\in \mathbb R\)）
-
线性相关：\(\mathbb R^n\) 中一组向量 \(\{\mathbf v_1,\dots, \mathbf v_p\}\) 线性相关，当且仅当 齐次向量方程 \(\sum\limits_{i=1}^px_i\mathbf v_i=0\) 有非平凡解；该向量组称为 线性相关组
- 充要条件：\(S=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p\}\) 线性相关（\(|S|\ge 2\)） \(\iff\) 存在 \(\mathbf v_i\in \mathbf{Span}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_{i-1}\}\)
- 充分性1：存在 \(\mathbf v_i=\mathbf 0\)，那么该向量组 S 线性相关
- 充分性2：向量组向量个数 n 严格大于该每个向量的元素个数 m，那么 S 线性相关
-
变换(函数/映射)：T 是 \(\mathbb R^n\) 到 \(\mathbb R^m\) 的规则，记为 \(T:~\mathbb R^n\to \mathbb R^m\)
- 集合 \(\mathbb R^n\) 称为 T 的定义域，而 \(\mathbb R^m\) 称为 T 的余定义域（或取值空间）
- \(\mathbf x\in \mathbb R^n\) 称为原像，\(T(\mathbf x) \in \mathbb R^m\) 称为 \(\mathbf x\) 在 T 作用下的像，\(\{T(\mathbf x)~|~ \mathbf x \in \mathbb R^n \}\) 称为 T 的值域
- 矩阵变换：变换 \(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) 称为矩阵变换，记为 \(\mathbf x\to A\mathbf x\) （\(A\in\mathbb R^{m\times n}\)）
- 注：向量的矩阵逆变换不一定存在；“像”向量在 T 下可能 不存在/存在且唯一/存在多个 “原像”向量
- 举例：投影变换(A 中仅有主对角线中的元素可以取 1)，剪切变换(A 的主对角线的元素均为 1...)
-
线性变换：T 为线性变换，当且仅当满足如下 2 个条件：\(T(\mathbf u + \mathbf v) = T(\mathbf u) + T(\mathbf v)\)，\(T(c\mathbf u)=cT(\mathbf u)\)
- 性质：\(T(\mathbf 0)=\mathbf 0\)，\(T(c\mathbf u + d\mathbf v)=cT(\mathbf u)+dT(\mathbf v)\)
- 例子：矩阵变换，压缩变换/拉伸变换(\(T(\mathbf x)=r\mathbf x\))，旋转变换
- 注：\(S,T\) 是线性变换，那么 \((S\circ T)\) 也是线性变换（仅当 \(S\circ T\) 存在）
-
线性变换的模型：若 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^m\) 为线性变换，则存在唯一的 \(A\in\mathbb A^{m\times n}\) 使得使得所有 \(\mathbf x\in\mathbb R^n\) 都有 \(T(\mathbf x) = A\mathbf x\)；A 称为线性变换 T 的标准矩阵
- 其中 \(A = \begin{bmatrix}T(\mathbf e_1)&\dots&T(\mathbf e_n)\end{bmatrix}\)（\(e_i\) 是 n 阶单位矩阵 \(I_n\) 的第 i 列）
- \(\mathbb R^2\) 中常见的几何线性变换
- 关于 \(x_1\) 对称（\(\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1 \end{bmatrix}\)），关于 \(x_2\) 对称(\(\begin{bmatrix} -1&0\\0&1 \end{bmatrix}\))；关于 \(x_2=x_1\) 对称（\(\begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix}\)），关于 \(x_2=-x_1\) 对称(\(\begin{bmatrix} 0&-1\\-1&0 \end{bmatrix}\))，关于原点对称(\(\begin{bmatrix} -1&0\\0&-1 \end{bmatrix}\))
- 水平收缩与拉伸(\(\begin{bmatrix} k&0\\0&1 \end{bmatrix}\))，垂直收缩与拉伸(\(\begin{bmatrix} 1&0\\0&k \end{bmatrix}\))；水平剪切(\(\begin{bmatrix} 1&k\\0&1 \end{bmatrix}\))，垂直剪切(\(\begin{bmatrix} 1&0\\k&1 \end{bmatrix}\))
- 投影到 \(x_1\) 轴上(\(\begin{bmatrix} 1&0\\0&0 \end{bmatrix}\))，投影到 \(x_2\) 轴上(\(\begin{bmatrix} 0&0\\0&1 \end{bmatrix}\))
- 旋转变换(\(\begin{bmatrix}\cos \phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}\))
- 满射(\(\mathbb R^m\) 上的映射)：对于所有 \(\mathbf b\in\mathbb R^m\)，至少有一个映射 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^m\) 下的原像 \(\mathbf x\)；那么 T 称为 满射 或 \(\mathbb R^m\) 上的映射
- 单射(一对一映射)：对于所有 \(\mathbf b\in\mathbb R^m\)，有且仅有一个映射 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^m\) 下的原像 \(\mathbf x\)；那么 T 称为 单射 或 一对一映射
- 充要条件：线性变换 \(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^m\) 为单射，当且仅当 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 仅有平凡解；当且仅当 A 的各列线性无关
2. 矩阵代数
2. 矩阵代数
- 矩阵相关概念
- \(A=[\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n]\)
- \(a_{ij}\)：A 的第 i 行第 j 列元素，称为 A 的 \((i,j)\) 元素 或 第 j 个列向量的第 i 个元素
- 主对角线：\(A=[a_{ij}]\) 的主对角线元素是 \(a_{ii}\)
- 例子：对角矩阵(非对角线元素全是 0 的方阵)，单位矩阵(对角线元素全是 1 的对角矩阵)，零矩阵(元素全是 0 的矩阵，记作 \(\mathbf 0\) 或 \(\mathbf 0_{m\times n}\))
- 矩阵相等：矩阵 A 与 B 相等，当且仅当它们具有相同的维数，并且对应元素相等
- 矩阵标准运算
- 矩阵加法：假设矩阵 A 与 B 具有相同维数，那么它们的和 A+B 具有相同维数，而且每个元素是 A 与 B 对应元素之和
- 满足 交换律，结合律，单位元 \(0\)
- 矩阵标量乘法：标量 r 乘以矩阵 A，得到与 A 具有相同维数的矩阵 rA，并且每个元素是 A 对应元素的 r 倍
- 注：矩阵加法和标量乘法相互满足 乘法分配律
- 矩阵加法：假设矩阵 A 与 B 具有相同维数，那么它们的和 A+B 具有相同维数，而且每个元素是 A 与 B 对应元素之和
- 矩阵乘法：矩阵 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 与 \(B\in\mathbb R^{n\times p}\) 的乘积记为 \(AB = A[\mathbf b_1, \mathbf b_2, \dots, \mathbf b_p] = [A\mathbf b_1, A\mathbf b_2, \dots, A\mathbf b_p]\)
- 注1：\((AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\text{row}_i(A)\text{col}_j(A)\)
- 注2：\(\text{row}_i(AB)=\text{row}_i(A)B\)，\(\text{col}_i(AB)=A\mathbf b_i\)
- 注3：\(AB=\sum\limits_{i=1}^n\text{col}_i(A)\text{row}_i(B)\)
- 矩阵乘法的性质：
- 结合律：\(A(BC)=(AB)C\)，左分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)，右分配律：\((B+C)A=BA+CA\)（）
- \(r(AB)=(rA)B=A(rB)\)
- 恒等式：\(I_mA=A=AI_n\) （左单位元，右单位元）
- 注：逆元不一定存在；通常不满足交换律；不满足消去律（若 \(AB=AC\)，一般 \(B=C\) 不成立）
- 矩阵的乘幂：\(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 的 k 次幂为 \(A^k = \prod\limits_{i=1}^k A\) （\(k\in\mathbb N^+\)）
- 特别地 \(A^0 = I_n\)
-
矩阵的转置：\(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 的转置矩阵记为 \(A^T\in\mathbb R^{n\times m}\)，\(A^T\) 的列由 A 的对应行构成
- 性质：\((A^T)^T=A\)，\((A+B)^T=A^T+B^T\)，\((rA)^T=rA^T\)，\((AB)^T=B^TA^T\)
- \((\prod\limits_{i=1}^nA)^T=\prod\limits_{i=n}^1A^T\)
-
可逆性：\(A\in\mathbb R^{n\times n}\) 可逆，当且仅当存在矩阵 C 使得 \(CA=I\) 并且 \(AC=I\)；那么 C 是 A 的逆，记作 \(C=A^{-1}\)
- 性质1：矩阵的逆唯一，仅当矩阵的逆存在
- 性质2：可逆矩阵不是零矩阵
- 非奇异矩阵：可逆矩阵；奇异矩阵：不可逆矩阵
- 二维矩阵的逆：\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 的逆为 \(A^{-1}=\frac 1{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\) （仅当 A 的行列式 \(\text{det} A = ad-bc\ne 0\)）
- (可逆)矩阵方程的解：\(A\in \mathbb R^{n\times n}\) 可逆，那么对于所有 \(\mathbf b\in R^n\)，方程 \(A\mathbf x = \mathbf b\) 有唯一解 \(\mathbf x=A^{-1}\mathbf b\)
- 可逆矩阵的性质：\(A,B\in \mathbb R^{n\times n}\) 可逆；那么 \(A^{-1},A^T,AB\) 也可逆，并且 \((A^{-1})^{-1}=A\)，\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)，\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- 初等行变换的推论：对 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\)，\(I_m\) 进行同一初等行变换；那么 \(A\sim EA\)，\(I\sim E\) 同时成立
- 推论：\([A~I] \sim [EA~E]\)
- 注：E 可以表示为 \(E=\prod\limits_{i=p}^1E_i=E_p\dots E_1\)
- 注2：E 称为 倍加/交换/倍乘(矩阵)，当且仅当 E 通过 I 进行 倍加/交换/倍乘 变换得到
-
矩阵逆元算法：使用同一初等行变换，使得 \(A\in\mathbb R^{m\times n}\) 化简为 \(I_n\) 的同时，\(I_n\) 会化简为 \(A^{-1}\)（当且仅当 \(A^{-1}\) 存在）；简记为 \(\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}\)
- 由 (11) 有 \([A~I] \sim [EA~E]\)，若 \(E=A^{-1}\) 有 \(\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}EA&E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A^{-1}A&A^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}\)
- 推广：上述变换过程可以视作“求解 n 个有关 \(\mathbf b=\mathbf e_i\) 的方程”，即 \(\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A&\mathbf e_1&\mathbf e_2&\dots&\mathbf e_n\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}I&\mathbf v_1&\mathbf v_2&\dots&\mathbf v_n\end{bmatrix}\) （此结论可以求解 \(A^{-1}\) 的分量）
-
可逆矩阵定理：\(A\in \mathbb R^{n\times n}\) 可逆，那么其与以下命题等价：
- 同时存在 \(C,D\) 使得 \(CA=I_n,AD=I_n\)；\(A^T\) 可逆
- A 的各列 \(\mathbf a_1, \mathbf a_2,\dots,\mathbf a_n\) 张成 \(\mathbb R^m\)（\(\mathbf{Span}\{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\dots,\mathbf a_n\}=\mathbb R^m\)）；A 的各列线性无关
- 线性变换 \(\mathbf x\mapsto A\mathbf x\) 是单射
- 齐次方程 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 仅有平凡解；对于所有 \(\mathbf b\in\mathbb R^n\) 非齐次方程 \(A\mathbf x=\mathbf b\) 至少有一个解
- A 有 n 个主元位置；\(I\sim A\)
- 可逆线性变换：\(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 可逆，当且仅当存在函数 \(S~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 使得 \(S(T(\mathbf x))=T(S(\mathbf x))=\mathbf x\)（对应所有 \(\mathbf x\in\mathbb R^n\)）
- 性质1：\(T~:~\mathbb R^n \to \mathbb R^n\) 可逆，当且仅当 T 的标准矩阵 A 可逆；称 S 是 T 的逆，记作 \(S=T^{-1}\)
- 性质2：若 T 是一对一线性变换，那么 T 是可逆线性变换