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练习

约定

  1. \(A\cap B\) 简记为 \(AB\)
  2. \(\cap\) 的结合性比 \(\cup\) 强

1. 样本空间&概率

1.1 集合

  1. 验证：\((A\cup B)^c=A^cB^c\)，\((AB)^c=A^c\cup B^c\)
  2. 证明：\(A=AB\cup AB^c\)；\((AB)^c=A^cB\cup AB^c\cup A^cB^c\)
  3. *证明：\(A\cup\bigcap\limits_{i=1}^∞B_i=\bigcap\limits_{i=1}^∞(A\cup B_i)\)
  4. *康托尔的三角论证方法：指出单位区间 \([0,1]\) 是不可数集合，即 \([0,1]\) 中的数不能排成一个数列
  1. “裂项定理”：\(P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(AB_i)\)（仅当 \(B_i\) 为 \(\Omega\) 的分割，进而互不相容）；推论：\(P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_iB)=P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_iB)+P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_iB^c)\) 或 \(P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_iB)=P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i)-P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_iB^c)\)
  2. 多事件之并：
    1. \(P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(\bigcap\limits_{j=1}^{i-1}A_j^c\cap A_i)\)；\(P(A\cup B)=P(A)+P(A^cB)\)
    2. \(P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i-1}\sum\limits_{S\in2^{\{1..n\}},|S|=i}P(\bigcap\limits_{j\in S}A_j)\)；\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
    3. \(P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)\ge\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)\)（不等式取等号，仅当 \(A_i\) 互不相容，如：\(A_i\) 为试验结果(样本点)）
  3. 多事件之交：
    1. 邦费罗尼不等式：\(P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i)\ge\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)-(n-1)\)；\(P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1\)

1.2 概率模型

  1. \(P(A)=0.6,P(B)=0.7,P(AB)=0.4\)；计算\(P(A^cB^c)\)
  2. 6 面骰子偶数面出现概率为奇数面大一倍，不同的奇数面或偶数面出现概率相同；建立概论律，并求点数不小于 4 的概率
  3. 4 面骰子持续抛掷若干次，直到出现偶数面为止；该试验的样本空间是什么
  4. 4 人下象棋，每个人与其他三个下象棋，赢两场算得胜，胜负概率与比赛次序有关；证：将最弱者排在第二位时，你是胜者的概率最大
  5. \(\{S_1,\dots,S_n\}\) 是 \(\Omega\) 的分割：证：(1) \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(AS_i)\)；(2) \(P(A)=P(AB)+P(AC)+P(AB^cC^c)-P(ABC)\)
  6. 证明：\(P(AB^c\cup A^cB)=P(A)+P(B)-2P(AB)\)
  7. 证明：(1) \(P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1\)，(2) \(P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i)\ge\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)-(n-1)\)
  8. 证明容斥恒等式：(1) \(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BS)+P(ABC)\)，(2) \(P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i-1}\sum\limits_{S\in2^{\{1..n\}},|S|=i}P(\bigcap\limits_{j\in S}A_j)\)
  9. 证明概率的连续性：
    1. \(A_1,A_2,\dots\) 是单调递增的事件序列（\(A_i\subset A_{i+1}\)），令 \(A=\bigcup\limits_{i=1}^∞A_i\)，证明 \(P(A)=\lim\limits_{n\to∞}P(A_i)\)
    2. \(A_1,A_2,\dots\) 是单调减增的事件序列（\(A_i\supset A_{i+1}\)），令 \(A=\bigcap\limits_{i=1}^∞A_i\)，证明 \(P(A)=\lim\limits_{n\to∞}P(A_i)\)
    3. 证明：(1) \(P([0,∞))=\lim\limits_{n\to∞}P([0,n])\)，(2) \(\lim\limits_{n\to∞}P([n,∞))=0\)
  1. \(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)（仅当 \(P(B)>0\)）
  2. \(P(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i)=\prod\limits_{i=1}^nP(A_i|\bigcap\limits_{i=1}^{j-1}A_j)\)

1.3 条件概率