1.实数系与复数系

数学分析研究的是以某种方式与实数有关的概念，所以我们从对实数系的讨论开始我们的研究

可以用几种不同的方法介绍实数，一种方法是从正整数开始，扩展到正整数之商（即正有理数），以及它们相反的数和零，然后再扩展到无理数（如：\(\sqrt2,e,\pi,\cdots\)）；有理数和无理数共同组成实数系

1. 集合

集合表示一堆元素

假设 \(S,T\) 是集合，

1. 元素 x 再 S 内，记为 \(x\in S\)，否则记为 \(x\not\in S\)
2. 若 S 是 T 的子集，记为 \(S\subseteq T\)
3. 若至少有一个元素在 S 内，称 S 是非空的，否则记 \(S=\emptyset\)
4. 记号 \(\{x:x满足P\}\) 表示由满足性质 P 的全部实数 x 构成的集合

2. 实数公理

假设存在一个由称为实数的对象组成的非空集合 \(\mathbb R\)，实数满足 10 条公理，并且按照性质可以分为三组：域公理，序公理，完全公理（即 上确界公理，连续性公理）

假设实数集 \(\mathbb R\) 存在两种运算：加法，乘法

那么，对于 \(\forall x,y\in\mathbb R\)（和 \(x+y\)，乘积 \(xy\) 均由 x 和 y 唯一确定），满足：

1. 交换律 \(x+y=y+x,xy=yx\)
2. 结合律 \(x+(y+z)=(x+y)+z,x(yz)=(xy)z\)
3. 分配率 \(x(y+z)=xy+xz\)
4. \(\exists c\in\mathbb R\)，\(x+c=y\)，记 \(c=y-x\)；定义 \(x-x=0\)（加法单位元；但不依赖于 x），\(0-x=-x\)（加法逆元；称为与 x 相反的数）
5. 若 \(x\ne0\)，那么 \(\exists c\in\mathbb R\)，使得 \(xc=y\)，记 \(c=y/x\)；定义 \(x/x=1\)（乘法单位元），\(1/x=x^{-1}\)（乘法逆元；称为 x 的倒数）

推论：\(-(-x)=x,(x^{-1})^{-1}=x,-(x-y)=y-x,x-y=x+(-y),\cdots\)

假设存在一种关系 \(<\)，用以再实数中建立顺序

对于 \(\forall x,y,z\in\mathbb R\)，满足：

1. \(x=y,x<y,x>y\) 恰有一个成立（\(x<y\) 与 \(y>x\) 是等价的）
2. 若 \(x<y\)，那么 \(\forall c\in\mathbb R,x+c<y+c\)
3. 若 \(x>0,y>0\)，那么 \(xy>0\)
4. 若 \(x>y,y>z\)，那么 \(x>z\)

推论：

1. \(x<y,c>0\)，蕴含 \(cx<cy\)
2. \(x<y,c<0\)，蕴含 \(cx>cy\)
3. 若 \(\forall \epsilon>0\)，有 \(a\le b+\epsilon\)，那么 \(a\le b\)

(3) 假设 \(a>b\)，设 \(\epsilon=(a-b)/2\)，有 \(b+\epsilon=b+(a-b)/2=(a+b)/2<(a+a)/2=a\)，即 \(b+\epsilon<a\)，矛盾

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3. 实数的几何表示，区间

实数经常被几何地表示为一条直线（称为实线或实轴）上的点

在直线上去一个点表示 0，另一个点表示 1，这种选择将确定比例尺

在一个适当的对于欧几里得几何建立的公理体系下，实线上的每一个点对应于且仅对应于一个实数（一个实数由且仅由实线上的一个点表示；我们通常说“点 x”，而不会说“实数 x 确定的点”）

注：若 \(x<y\)，则点 x 严格位于点 y 的左边；正数在 0 的右边，而负数在 0 的左边；\(a<x<b\) 表示 x 在 a 和 b 之间

假设 \(a<b\)

1. 区间：由位于 a 和 b 之间的全部点组成的集合称为一个区间
2. 开区间：开区间 \((a,b)\) 定义为集合 \((a,b)=\{x:a<x<b\}\)
3. 闭区间：闭区间 \([a,b]\) 定义为集合 \([a,b]=\{x:a\le x\le b\}\)
4. 半开区间：半开区间 \((a,b],[a,b)\) 分别定义为 \((a,b]=\{x:a<x\le b\},[a,b)=\{x:a\le x<b\}\)
5. 无穷区间：(1) \((a,+∞)=\{x:x>a\}\)，(2) \([a,+∞)=\{x:x\ge a\}\)，(3) \((-∞,a)=\{x:x<a\}\)，(4) \((-∞,a]=\{x:x\le a\}\)，(5) \((-∞,+∞)=\mathbb R\)

注：一个点可认为是“退化的”区间；\(+∞,-∞\) 纯粹是为了表示方便，而非实数

4. 整数

全体整数集是 \(\mathbb R\) 的一个特殊子集

一个实数集 S 称为归纳集，若满足：

1. \(1\in S\)
2. \(\forall x\in S\)，蕴含 \(x+1\in S\)

例子：\(\mathbb R,\mathbb R^+\) 都是归纳集

一个实数称为正整数，若它属于每一个归纳集；正整数构成的集合记为 \(\mathbb Z^+\)

换句话说，\(\mathbb Z^+\) 是所有归纳集的子集，我们可以认为 \(\mathbb Z^+\) 是最小的归纳集，该性质有时陈伟归纳法原则

与正整数相反的数，称为负整数；正整数，负整数和 0 一起构成集合 \(\mathbb Z\)，称之为整数集

假设 \(n\in\mathbb Z,d\in\mathbb Z\)，若 \(\exists c\in\mathbb Z,n=cd\)，那么称 d 是 n 的一个因数，n 是 d 一个倍数；记 \(d\mid n\)（读作 d 整除 n）

素数：假设 \(n\in\mathbb Z,n\ge2\)，若 n 的正因子只有 1 和 n 本身（即 \(\forall i=2..n-1,i\not\mid n\)），称 n 为素数，否则称为合数（即 \(\exists i=2..n-1,i\mid n\)）

1. 假设 \(n\in\mathbb Z,n\ge2\)，那么 n 或者是一个素数，或者是一些素数的乘积
2. (1) 中的因式分解是唯一的（但因子的次序可以不同）

(1)

数学归纳：

1. 若 \(n=2\)，显然成立
2. 若 n 是素数，显然成立
3. 若 n 是合数，那么 \(\exists c,d\in\mathbb Z,n=cd\)，其中 \(c,d<n\)，于是原命题成立

(2)

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5. 有理数，无理数

6. 上界