9.微分方程

微积分学最主要的应用可能就是 微分方程 了，如物理学家或社会学家往往利用微分方程对他们所研究的问题进行建模

尽管有些微分方程很难找到准确解，但是使用图形或数值近似的方法能对求解问题有所帮助

1.利用微分方程建立模型

根据 1.2 节数学建模的介绍：可以通过 对现象进行直接推理为真实世界建模，也可以 通过实验应用物理法则建模

数学模型通常是 微分方程，即包含 未知函数 及其导数 的方程

假设1：理想状态下，种群增长量 和 种群数量 成正比

定义变量：\(t = 时间\) (自变量)，\(P = 种群中的个体数量\) (因变量)

模型：\(\frac {d_P}{d_t} = kP\)，\(P(t)>0\)

可以得到它的一个解： \(P(t) = Ce^{kt}\)，\(C > 0\)

假设2：\(\begin{cases}\frac {d_P}{d_t} \approx kP&P\le K\\\frac {d_P}{d_t} < 0&P>K\end{cases}\)

模型（Logistic 逻辑斯蒂方程）：\(\frac{d_P}{d_t}=kP(1-\frac PK)\)

弹簧承受的力与x成正比（x为弹簧 伸长 或 缩短 的长度，k为弹性系数 (\(k>0\)) ），即 \(回复力=-kx\)

弹簧垂直悬挂重物的模型：\(m\frac {d^2_x}{d_{t^2}} = -kx \implies \frac {d^2_x}{d_{t^2}} = -\frac {kx}m\)，此模型为 二阶微分方程

该模型表示 x 的二阶导数 与 x 成正比，比例系数为负，两种函数满足此性质：正弦 和 余弦函数

实际上该模型可以用 正弦 和 余弦函数 的组合来表示（弹簧在平衡位置振荡）

通常，微分方程是包含一个 未知函数 及其 多个导数 的等式，等式中导数的最高阶称为 微分方程的阶

微分方程通常有一族解

1. 微分方程：以函数 f 及其任意阶微分 \(f',f'',\cdots\) 或 \(y',y'',\cdots\) 为未知函数的方程，称为微分方程
2. 通解：假设 \(\forall x\in D_g\)，g 是某微分方程的解，那么称 g 是该微分方程的一个通解

(2.1) \(y''=-k^2\sin kt\)，代入微分方程有 \(-k^2\sin kt+9\sin kt=0\)，解得 \(k=\pm3\)

(2.3) \(y''=-Ak^2\sin kt-Bk^2\cos kt=-k^2(A\sin kt+B\cos kt)\)，带入微分方程有 \(-k^2(A\sin kt+B\cos kt)+9(A\sin kt+B\cos kt)=0\)，解得 \(k=\pm3\)

(3) 将 y 带入微分方程有 \(r^2e^r+re^r-6e^r=0\)，蕴含 \(r^2+r-6=0\)，解得 \(r=2\) 或 \(r=-3\)

(4)

1. 将 \(y=e^{-t},y'=-e^{-t},y''=e^{-t}\) 带入微分方程有 \(e^{-t}-2e^{-t}+e^{-t}=0\)
2. 将 \(y=te^{-t},y'=(1-t)e^{-t},y''=(t-2)e^{-t}\) 带入微分方程有 \((t-2)e^{-t}+2\cdot(1-t)e^{-t}+te^{-t}=0\)

(5) 当 \(x=-c\) 时，\(y=1/(x+c)\) 不是该微分方程的解，于是 \(y=1/(x+c)\) 不是通解，即便解 \(y=1/(x+c)\) 满足该微分方程

(6) \(\forall t,y'(t)\ge0\)，\(y=f(t)\) 的图像是递增的

2.方向场 & 欧拉方法

通常没有明确的公式可以解微分方程，但还是可以利用图像 （方向场） 和 数值方式（欧拉方法）求解微分方程

一般说来，形如 \(y'=F(x, y)\) 的一阶微分方程，表明曲线在 \((x,y)\) 点处的斜率为 \(F(x, y)\)

在多个点处画出斜率为 \(F(x,y)\) 的线段就得到了 方向场 （或 斜率场），借助这些线段知识了曲线在这些点处的延伸方向，因此可以近似地画出曲线的大致方向，通常可以借助计算机完成这个过程

欧拉方法求近似解时，从已知的初始点开始，计算斜率并沿着斜率方向延伸一小段 h，然后停下并重新计算新的斜率，如此反复便可求得近似解

数学描述如下： 假设步长为 h，初始点为 \((x_0, y_0)\)，那么递推式为 \(y_{i+1} = y_{i} + h \cdot F(x_{i}, y_{i})\) & \(i\ge 0\)

1. 方向场：方向场定义为微分方程 \(y'=g(x,y)\)
2. 欧拉方法：假设步长为 h，初始点为 \((x_0,y_0)\)，若某微分方程是一个向量场 \(y'=g(x,y)\)，那么它的近似解可以满足 \(\forall i\in\mathbb Z^+\)，\((x_i,y_i)=(x_{i-1}+h,y_{i-1}+h\cdot g(x_{i-1},y_{i-1}))\)（其中 \(x_i=x_0+ih\)）

3.分离变量法

上两节从 几何（方向场） 和 数值（欧拉方法） 角度 分析了一阶微分方程，以下介绍一种能精确求解微分方程的模式的方法

然后微分方程符合如下模式： \(\frac {d_y}{d_x} = g(x)f(y)\)

1. 当 \(f(y) \ne 0\)， \(\frac {d_y}{d_x} = g(x)f(y) \implies \frac 1{f(y)}d_y = g(x)d_x\)，两边积分得到： \(\int \frac 1{f(y)}d_y = \int g(x)d_x\)，此时得到关于 y 的隐函数形式
2. 当 \(f(y) = 0\) ，该方程本身就是关于 y 的隐函数，而且 \(\frac {d_y}{d_x}=0\)

定义：曲线族的 正交轨线 是指和曲线族中的每条曲线都正交（夹角为直角）的曲线

如：坐标为零点的圆 与 经过原点的直线 互为正交轨线；再如：某些限制下，椭圆 与 双曲线 正交

一个正交轨线的获取方法：

1. 给定 原函数\(y_1\)的隐函数，对两边求导，
2. 若匹配 分离变量法 的模式，则令正交轨线 \(\frac {d_{y_2}}{d_x} = -\frac 1{\frac {d_{y_1}}{d_x}}\)
3. 将两边求积分得到关于 \(y_2\) 的隐函数 （如果在此之前将 原函数曲线族依赖的常数 k 代换进 "2" 中，将得到不依赖于原函数曲线族的正交轨线）

1. 分离变量法：若方向场形如 \(y'=f(x)g(y)\)，那么 \(\begin{cases}\int\frac1{g(y)}d_y=\int f(x)d_x&g(y)\ne0\\y=C&g(y)=0\end{cases}\)；该方向场称为可分离方向场
2. 正交轨线：某一条曲线与某曲线族中任意一条曲线正交，那么该曲线称为正交轨线
   1. 若某曲线族由方向场 \(y'=g(x,y)\) 定义，那么该曲线族的正交轨线的方向场为 \(y'=-\frac1{g(x,y)}\)

(1.1) 若 \(y\ne0\)，那么 \(\int\frac1yd_y=\int\frac1xd_x\)，蕴含 \(\ln|y|=\ln|x|+C\)，蕴含 \(|y|=e^C|x|\)，蕴含 \(\exists K=\pm e^C\ne0,y=Kx\)

当 \(y=0\) 时，\(y=0\cdot x\)

于是 \(\exists K\in\mathbb R,y=Kx\)

(1.2) 若 \(y\ne0\)，那么 \(\int\frac1yd_y=\int\frac x{x^2+1}d_x\) 蕴含 \(\ln|y|=\frac12\ln|x^2+1|+C\)，蕴含 \(\exists K=\pm e^C\ne0,y=K\sqrt{x^2+1}\)

若 \(y=0\)，允许 \(K=0\) 时，\(y=K\sqrt{x^2+1}=0\)；于是 \(\exists K\in\mathbb R,y=K\sqrt{x^2+1}\)

(1.3) \(\int(1+\tan y)d_y=\int(x^2+1)d_x\)，蕴含 \(y-\ln|\cos y|=\frac13x^3+x+C\)

(1.4) \(\int\frac{\ln y}yd_y=\frac12\int xd_x\)，蕴含 \(\frac12\ln^2y=\frac12\cdot\frac12x^2+C\)，蕴含 \(\ln y=\pm\sqrt{\frac12x^2+C}\)，于是 \(y=e^{\pm\sqrt{x^2/2+C}}\)

(1.5) \(\int e^{-z}d_z=-\int e^td_t\)，蕴含 \(\forall C\in\mathbb R,e^{-z}=e^t+C\)，于是 \(z=-\ln(e ^t+C)\)

(2) \(2\int ud_u=\int(2t+\sec^2t)d_t\) 蕴含 \(\exists C,u^2=t^2+\tan t+C\)，蕴含 \(\pm\sqrt{t^2+\tan^2t+C}\)

又由 \(u(0)=-5\)，有 \((-5)^2=0^2+\tan0+C\)，解得 \(C=25\)，于是 \(u=\sqrt{t^2+\tan^2t+25}\)（其中 \(u\le0\)）

(3) \(y'=(\sin x)/\sin y\) 蕴含 \(\cos y=\cos x-C\)，又由初值 \(y(0)=\pi/2\) 得 \(C=1\)，于是有 \(\cos y=\cos x-1\)，其图像是无数个类似于椭圆的封闭曲线

(4) 对 \(x=ky^2\) 两边微分有 \(1=2kyy'\)，即方向场 \(y'=\frac1{2ky}\)，代入原方程消去参数后有 \(y'=\frac y{2x}\)

使用[分离变量法]得到 \(y'=\frac y{2x}\)

于是正交轨线的方向场为 \(y'=-\frac{2x}y\)，解得 \(x^2+\frac12y^2=C\)

4.指数增长和衰变

\(\frac {d_y}{d_x} = ky\)，\(y(0) = y_0\) 的解为 \(y(t) = y_0 e^{kx}\)

1. 向量场 \(y'=ky\) 的一个通解为 \(y(x)=y(0)e^{kt}\)

(1.1) 通过[分离变量法]算得 \(\frac{y^{-c}}{-c}=kx+C\)，

若 \(x=0\)，记 \(y_0=y(0)\)，解得 \(C=\frac{y^{-c}_0}{-c}\)，于是 \(\frac{y^{-c}}{-c}=kx-\frac{y^{-c}_0}c\)，即 \(y^{-c}=-ckx+y^{-c}_0\) 或 \(y=\frac1{(-ckx+y^{-c}_0)^{1/c}}\) 或 \(y=\frac{y^c}{(1-cky_0^c\cdot x)^{1/c}}\)

(1.2) \(l=\frac1{cky_0^c}\)

(1.3) \(c=0.01,y(0)=2,y(3)=16\)

由 (1.1) 有 \(\forall x\ne0\)，\(k=\frac{y_0^{-c}-y^{-c}(x)}{cx}\)，当 \(x=3\) 时有 \(k=\frac{2^{-0.01}-(16)^{-0.01}}{0.01\cdot 3}\)

由 (1.2) 有，世界末日为 \(l=\frac1{cky_0^c}\approx145.775\)，即超过 12 年后世界末日才发生

5.逻辑斯蒂方程

\(\displaystyle \frac {d_P}{d_t} = kP(1-\frac PK)\) （k 为种群增长率，K 为种群承载能力，P为种群数量）

根据分离变量得到解析解为： \(\displaystyle P = \frac {K}{1+Ae^{-kt}}\) （\(A = ±e^C = \frac {K-P_0}{P_0}\)，\(C = C_2-C_1\)）

6.线性微分方程

\(\frac {d_y}{d_x} + P(x)y = Q(x)\)，P 和 Q 为给定区间上的连续函数

令 \([R(x)]'=R(x)P(x)\)，并将两边同时乘以R(x)得到： \(R(x)\frac {d_y}{d_x}+R(x)P(x)y=R(x)Q(x)\)

\(\frac {d_R}{d_x} = RP \implies \frac {1}{R}d_R=Pd_x \implies \int \frac {1}{R}d_R = \int Pd_x \implies \ln {|R|} = \int Pd_x + C_1 \implies R=±e^{\int Pd_x + C_1}\)

得到 \(R=Ae^{\int Pd_x}\) （\(A = ±e^{C_1}\)）

此时可以将微分方程 \(R(x)\frac {d_y}{d_x}+R(x)P(x)y=R(x)Q(x)\) 等价为 \([R(x)y]'=R(x)Q(x)\)

将两边求积分得到： \(R(x)y = \int R(x)Q(x) d_x + C\)，

最后得到： \(y = \frac {\int R(x)Q(x) d_x + C}{R(x)}\) ，其中 \(R(x) = Ae^{\int P(x)d_x}\)

微分方程 \(\frac {d_y}{d_x}+p(x)y=q(x)\) 的通解为：

\(y=\frac{\int rq~d_x}r\) ，其中 \(r(x)=e^{\int p~d_x}\)

若给定函数中的一个键值对，就能确定该特定的函数的参数 C (分子中的积分求解后得到的常数)

假设 \(C_1,C_2,D\in\mathbb R\)，\(p=p(x),q=q(x),r=r(x)\)

假设 \(r'=rp\)，蕴含 \(\int\frac1rd_r=\int p~d_x\)，蕴含 \(\ln|r|=\int p~d_x+C_1\)，蕴含 \(r=\pm e^{\int p~d_x+C_1}=\pm e^{C_1}\cdot e^{\int p~d_x}\)

令 \(C_2=\pm e^{C_1}\)，有 \(r=C_2e^{\int p~d_x}\)

而 \((ry)'=r'y+ry'=(rp)y+ry'=r(y'+py)=rq\)，两侧对 x 积分有 \(ry=\int rq~d_x+D\)

于是 \(y=\frac{\int rq~d_x+D}r=\frac{\int(C_2e^{\int p~d_x})q~d_x+D}{C_2e^{\int p~d_x}}=\frac{\int(e^{\int p~d_x})q~d_x+D/C_2}{e^{\int p~d_x}}\)

令 \(C=D/C_2\)，有 \(y=\frac{\int(e^{\int p~d_x})q~d_x+C}{e^{\int p~d_x}}\)

\(\blacksquare\)

1. (一阶)线性微分方程：形如 \(y'+p(x)y=q(x)\) 的微分方程，称为(一阶)线性微分方程
2. 一阶线性微分方程 \(y'+p(x)y=q(x)\) 的一个通解为 \(y=\frac{\int(e^{\int p~d_x})q~d_x}{e^{\int p~d_x}}\)（为计算方便，积分 \(\int p~d_x\) 可不带常数）
   1. 简记为 \(y=\frac{\int e^{p^{[1]}}q~d_x}{e^{p^{[1]}}}\)

(1)

1. \(y=\frac{\int e^{\int2d_x}\cdot 2e^xd_x}{e^{\int2d_x}}=\frac{\int e^{2x}\cdot2e^xd_x}{e^{2x}}=\frac{(2/3)e^{3x}+C}{e^{2x}}=\frac23e^x+Ce^{-2x}\)
2. 若 \(x\ne0\)，\(y=\frac{\int e^{\int1/xd_x}\cdot x^{-1/2}d_x}{e^{\int1/xd_x}}=\frac{\int|x|x^{-1/2}d_x}{|x|}=\frac{(2/3)x^{3/2}+C}x=\frac23\sqrt x+C/x\)；若 \(x=0\)，那么 \(y=0\)
3. \(y=\frac{\int e^{\int (-\tan x)d_x}\cdot x\sin2x~d_x}{e^{\int (-\tan x)d_x}}=\frac{\int e^{\ln|\cos x|}\cdot x(2\sin x\cos x)d_x}{e^{\ln|\cos x|}}=\frac{2\int x\sin x\cos^2x}{\cos x}\)，而 \(y=\frac{\int e^{\int (-\tan x)d_x}\cdot x\sin2x~d_x}{e^{\int (-\tan x)d_x}}=\frac{\int e^{\ln|\cos x|}\cdot x(2\sin x\cos x)d_x}{e^{\ln|\cos x|}}=\frac{2\int x\sin x\cos^2x}{\cos x}\) \(y=\frac{\int e^{\int (-\tan x)d_x}\cdot x\sin2x~d_x}{e^{\int (-\tan x)d_x}}=\frac{\int e^{\ln|\cos x|}\cdot x(2\sin x\cos x)d_x}{e^{\ln|\cos x|}}=\frac{2\int x\sin x\cos^2x}{\cos x}\)，于是 \(y=\frac{-\frac23x\cos^3x+\frac23\sin x-\frac29\sin^3x+C}{\cos x}=-\frac23x\cos^2x+\frac29\tan x(3-\sin^2x)+C\sec x\)
4. \(x^2y'+2xy=\cos^2x\) 蕴含 \(y'+\frac2xy=\frac{\cos^2x}{x^2}\)，于是 \(y=\frac{\int e^{\int(2/x)d_x}\cdot\frac{\cos^2x}{x^2}d_x}{e^{\int(2/x)d_x}}=\frac{\int x^2\cdot\frac{\cos^2x}{x^2}d_x}{x^2}=\frac{\frac12(x+\sin x\cos x)+C}{x^2}=\frac1{2x}+\frac{\sin x\cos x}{2x^2}+\frac C{x^2}\)（注：微分方程中 \(x=0\) 时无解）
5. \(t\ln t\frac{dr}{d_t}+r=te^t\) 蕴含 \(\frac{dr}{d_t}+\frac1{t\ln t}r=\frac{e^t}{\ln t}\)，于是 \(r=\frac{\int e^{\int\frac1{t\ln t}d_t}\cdot\frac{e^t}{\ln t}d_t}{e^{\int\frac1{t\ln t}d_t}}=\frac{\int e^{\ln|\ln t|}\cdot\frac{e^t}{\ln t}d_t}{e^{\ln|\ln t|}}=\frac{\int\frac{|\ln t|}{\ln t}e^td_t}{|\ln t|}=\frac{\frac{|\ln t|}{\ln t}e^t+C}{|\ln t|}=\frac{e^t}{\ln t}+\frac C{|\ln t|}\)？

(2)

1. \(xy'=y+x^2\sin x\) 蕴含 \(y=\frac{\int e^{\int(-1/x)d_x}\cdot x\sin xd_x}{e^{\int(-1/x)d_x}}=\frac{\int(1/x)\cdot x\sin xd_x}{1/x}=x(C-\cos x)\)；由 \(y(\pi)=0\) 有 \(\pi(C-\cos\pi)=0\)，即 \(C=-1\)，于是 \(y=-x(\cos x+1)\)
2. \(xy'-\frac y{x+1}=x\) 蕴含 \(y'-\frac1{x(x+1)}y=1\)，有 \(y=\frac{\int e^{\int(-1/(x(x+1)))d_x}\cdot1d_x}{e^{\int(-1/(x(x+1)))d_x}}=\frac{\int e^{\ln|(x+1)/x|}d_x}{e^{\ln|(x+1)/x|}}=\frac{\int(x+1)/x~d_x}{(x+1)/x}=\frac{x+\ln x+C}{(x+1)/x}\)；而由 \(y(1)=0\) 解得 \(C=-1\)，于是 \(y=\frac{x(x+\ln x-1)}{x+1}\)

(3.1) \(u=y^{1-n}\) 蕴含 \(u'=(1-n)y^{-n}y'\)

对 \(y'+py=qy^n\) 两侧乘以 \((1-n)y^{-n}\) 有 \((1-n)y^{-n}y'+(1-n)py^{1-n}=(1-n)q\)，

于是 \(u'+(1-n)pu=(1-n)q\)

(3.2) 由 (3.1) 的线性微分方程解得 \(u=\frac{\int e^{\int(1-n)p~d_x}\cdot(1-n)q~d_x}{e^{\int(1-n)p~d_x}}=\frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p~d_x}\cdot q~d_x}{e^{(1-n)\int p~d_x}}\)

于是 \(y=u^{1/(1-n)}=\frac{[(1-n)\int e^{^{(1-n)\int p~d_x}}\cdot q~d_x]^{1/(1-n)}}{e^{\int p~d_x}}\)

(4.1) 令 \(u=y^{-2}\)，有 \(u'-\frac4xu=-\frac2{x^2}\)

于是 \(u=\frac{\int e^{\int(-4/x)d_x}\cdot(-2/x^2)d_x}{e^{\int(-4/x)d_x}}=\frac{\int x^{-4}(-2/x^2)d_x}{x^{-4}} =\frac{(2/5)x^{-5}+C}{x^{-4}}=\frac{2+5Cx^5}{5x}\)

所以 \(y=\pm u^{-1/2}=\pm\left(\frac{2+5Cx^5}{5x}\right)^{-1/2}\)

(4.2) 令 \(u=y^{-2}\)，有 \(u'-2u=-2x\)

于是 \(u=\frac{\int e^{\int(-2)d_x}\cdot(-2x)d_x}{e^{\int(-2)d_x}}=\frac{\int e^{-2x}(-2x)d_x}{e^{-2x}}=\frac{-2[(x)(\frac1{-2}e^{-2x})-(1)(\frac14e^{-2x})]+C}{e^{-2x}}=x+\frac12+Ce^{2x}\)

所以 \(y=\pm u^{-1/2}=\pm\left(x+\frac12+Ce^{2x}\right)^{-1/2}\)

7.捕食者-被捕食者问题

以下讨论两个种群 捕食者-被捕食者 之间种群数量的变化关系

用 R(t) 表示兔子 (被捕食者)，W(t) 表示狼 (捕食者)

1. 被捕食者 没有天敌，食物充足时，满足： \(\frac {d_R}{d_t} = kR\) (k 为正常数)
2. 捕食者 没有猎物时，种群数量减少速度与种群数量成正比： \(\frac {d_W}{d_t} = -rW\) (r 为正常数)
3. 被捕食者 和 捕食者共存时，有
   • \(\frac {d_R}{d_t} = kR - aRW\)
   • \(\frac {d_W}{d_t} = -rW + bRW\)
   • 其中 k, w, a, b 均为正数常数，该方程被称为 Lotka-Volterra方程 （捕猎-食饵 方程）
   • 将 Lotka-Volterra 方程用 方向场 画出，可以观察到一族 闭环的曲线，沿着曲线移动将看到 R 和 W 的变化（即被捕食者 和 捕食者种群数量 关于时间的变化关系，尽管只有 R 和 W 轴）

8. 补充习题

1. 一阶微分方程求解：\(\begin{cases}y'=f(x)g(y)&\begin{cases}\int\frac1{g(y)}d_y=\int f(x)d_x&g(y)\ne0\\y=C&g(y)=0\end{cases}\\y'+p(x)y=q(x)&y=\frac{\int e^{\int p~d_x}\cdot q~d_x}{e^{\int p~d_x}}\\y'+p(x)y=q(x)y^n,n\ne1&y=\left[\frac{\int e^{\int(1-n)p~d_x}\cdot(1-n)q~d_x}{e^{\int(1-n)p~d_x}}\right]^{1/(1-n)}\end{cases}\)