8.定积分的进一步应用

第 6 章介绍了积分的一些应用，如：面积，体积，功，平均值

本章将讨论几何方面的应用————曲线长度，表面面积，物理/工程/生物/经济/统计 方面的应用（星球重心，水对大坝的压力，人体心脏向外输出血液的流量，打电话的平均等待时间等）

1.弧长的计算

策略：将曲线 C 按 x 细分成无数小段，每一段的弧长近似为 直线长度 \(|P_{i-1}P_{i}|\)，那么曲线全长为 \(L = \lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n |P_{i-1}P_i|\)

1) 其中 \(|P_{i-1}P_i|\) 部分必须要有一个 \(\Delta x\)，因而我们将其通分得到 \(\frac {|P_{i-1}P_i| \Delta x}{\Delta x}\) (根据定义 \(\Delta x = x_{i} - x_{i-1}\))

2) 根据 毕达哥拉斯定理，有 \(|P_{i-1}P_i| = \sqrt {\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

故而 \(|P_{i-1}P_i| = \frac {|P_{i-1}P_i| \Delta x}{\Delta x} = \sqrt {1 + \frac {\Delta y^2}{\Delta x^2}}\)，进而有 \(L = \lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n \frac {|P_{i-1}P_i| \Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n \sqrt {1 + \frac {\Delta y^2}{\Delta x^2}}\)

如果 f' 在区间 [a, b] 上连续，则曲线 y = f(x)，\(a \le x \le b\) 的长度为：\(L = \int_a^b \sqrt {1 + \frac {d_y^2}{d_x^2}}~d_x = L = \int_a^b \sqrt {1 + f'(x)}~d_x\)

定义 s(x) 表示曲线 C 从起点 \(P_0(a, f(a))\) 到终点 \(Q(x, f(x))\) 之间的距离

那么 s(x) 用 积分上限函数 表示： \(s(x) = \int_a^x \sqrt {1+[f'(t)]^2}~d_t\)

对弧长函数的定义两边的t进行微分 (定理 FTC1) ：\(\frac {d_s}{d_x} = \sqrt {1+[f'(x)]^2} = \sqrt {1+(\frac {d_y}{d_x})^2}\)

得到： \(d_s = \sqrt {1+(\frac {d_x}{d_y})^2} d_y\)

因此： \(L = \int_c^d \sqrt {1+[f^{(-1)'}(y)]^2}~d_y = \int_c^d \sqrt {1+(\frac {d_x}{d_y})^2} d_y\)

注意：这里的 \(f^{(-1)}\) 是指 f 中将 x 和 y 互换后的依赖于 y 的函数 x，而非 f 的逆

1. 弧长：假设 \(f'\in C[a,b]\)，曲线方程 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 内的长度定义为 f 在 \([a,b]\) 各处的水平分量为 1 的切向量的范数之和，即 \(L=\int_a^b\sqrt{1+(f')^2(x)}d_x\)；若 f 是单射，那么 \(L=\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}\sqrt{1+((f^{-1})')^2(y)}d_y\)
2. 弧长函数：函数 f 生成的弧长函数定义为 \(y=f(x)\) 从 \((a,f(a))\) 到 \((x,f(x))\) 的弧长，即 \(s(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f')^2(t)}d_t\)

1. \(\int\sqrt{ax+b}d_x=\frac2{3a}(ax+b)^{3/2}\)
2. 若 \(a>0\)，那么 \(\int\sqrt{ax^2+b}d_x=\frac12(x\sqrt{ax^2+b}+(b/\sqrt a)\ln|\sqrt ax+\sqrt{ax^2+b}|)\)

(1) 设 \(t=1/x,s=\sqrt{1+t}\)，\(I=\int\sqrt{1+1/x}d_x=-\int\frac{\sqrt{1+t}}{t^2}d_t=-\int\frac{s\cdot(2s)}{(s^2-1)^2}d_s=-2\int\frac{s^2}{(s-1)^2(s+1)^2}d_s\)

\(=-2\int\left(\frac a{s-1}+\frac b{(s-1)^2}+\frac c{s+1}+\frac d{(s+1)^2}\right)d_x\)

其中 \([0,1,0,0]=a[1,1,-1,-1]+b[0,1,2,1]+c[1,-1,-1,1]+d[0,1,-2,1]=[a+c,a+b-c+d,-a+2b-c-2d,-a+b+c+d]\)，解得 \(a=1/4,b=1/4,c=-1/4,d=1/4\)

于是 \(I=-\frac12\int\frac1{s-1}+\frac1{(s-1)^2}-\frac1{s+1}+\frac1{(s+1)^2}d_s=-\frac12\ln|s-1|+\frac12\cdot\frac1{s-1}+\frac12\ln|s+1|+\frac12\cdot\frac1{s+1}\)

\(=\frac12\ln|\frac{s+1}{s-1}|+\frac s{s^2-1}=\frac12\ln|\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt x}{\sqrt{x+1}-\sqrt x}|+x\sqrt{1+1/x}\)

(2.1) \(\int_0^1\sqrt{1+(6\cdot\frac32\sqrt x)^2}d_x=\int_0^1\sqrt{1+81x}d_x=\frac3{2\cdot81}(1+81x)^{3/2}\Big|_0^1=\frac3{243}(82\sqrt{82}-1)\)

(2.2) \(x'=\frac13\left[\frac1{2\sqrt y}\cdot(y-3)+\sqrt y\right]=\frac13\left[\frac32\sqrt y-\frac32\cdot\frac1{\sqrt y}\right]=\frac12(\sqrt y-1/\sqrt y)\)

蕴含 \(1+(x')^2=1+\frac14(y+1/y-2)=\frac14(y+1/y+2)=\frac14(\sqrt y+1/\sqrt y)^2\)

于是 \(\int_1^9\sqrt{1+(x')^2}d_y=\int_1^2\frac12(\sqrt y+1/\sqrt y)d_y=[\frac13y^{3/2}+\sqrt y]_1^9=\frac{32}3\)

(2.3) \((\ln\sec x)'=\frac{\sec x\tan x}{\sec x}=\tan x\)

于是 \(\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+((\ln\sec x)')^2}d_x=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\tan^2x}d_x=\int_0^{\pi/4}|\sec x|d_x=\ln|\sec x+\tan x|\Big|_0^{\pi/4}=\ln(\sqrt2+1)\)

(3) \(x^{2/3}+y^{2/3}=1\) 的第一象限部分为 \(y=(1-x^{2/3})^{3/2}\)，记为 f

\(f'(x)=(3/2)(1-x^{2/3})^{1/2}(-2/3)x^{-1/3}\)，蕴含 \((f')^2(x)=(1-x^{2/3})x^{-2/3}=x^{-2/3}-1\)

根据对称性，曲线的周长为 \(4\int_0^1\sqrt{1+(f')^2(x)}d_x=4\int_0^1x^{-1/3}d_x=4\cdot\frac32x^{2/3}\Big|_0^1=6\)

(4) 广圆的第一象限部分曲线为 \(y=(1-x^{2k})^{1/(2k)}\)，记为 f

那么 \(f'=-x^{2k-1}(1-x^{2k})^{1/(2k)-1}\)，蕴含 \((f')^2=x^{2(2k-1)}(1-x^{2k})^{2/(2k)-2}\)

...

2.旋转曲面面积

策略：将旋转曲面沿着 x 轴细分为无数小段，将每段区域的面积近似为 圆锥上某两段截面所切面积

想象 [\(x_{i-1}\), \(x_i\)] 之间是某个圆锥被截断的区域，设 \(l_{i-1}, l_i=l_{i-1}+\Delta l\) 分别为 \(x_{i-1}, x_i\) 对应的底高（其中 \(\Delta l\) 有两个含义：底高的变化量 或 近似的弧长），通过近似三角形得到： \(\displaystyle \frac {l_{i-1}}{y_{i-1}} = \frac {l_{i-1}+\Delta l}{y_i} \implies (y_i - y_{i-1}) \cdot l_{i-1} = \Delta l \cdot y_{i-1}\)

再根据圆锥侧面积公式 \(s = \pi r l\)，

有： \(\Delta S = \pi [(l_{i-1}+\Delta l) \cdot y_i - l_{i-1} \cdot y_{i-1}] = \pi[l_{i-1} \cdot (y_i - y_{i-1}) + \Delta l \cdot y_i] = \pi[\Delta l \cdot y_{i-1} + \Delta l \cdot y_i] = \pi\Delta l\Delta y\)

根据上一节弧长的结论： \(\Delta S = \pi\Delta (l\cdot y) = \pi \cdot \sqrt {1-(\frac {\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x \cdot (y_{i-1}+y_{i}) = 2\pi \sqrt {1+(\frac {\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x \cdot \frac {y_{i-1}+y_{i}}2\)

（\(f(x_i^*)\) 取平均值，并非中间值）

那么，\(S = \lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n 2\pi \sqrt {1+(\frac {\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x \cdot \overline {f(x_i)} = \int 2\pi \sqrt {1+[f'(x)]^2}f(x)~d_x\)

f 为正且有连续导数时，曲线 y=f(x)，\(a \le x \le b\) 绕 x 轴旋转所得曲面的曲面面积为：

\(S = \int_a^b 2\pi f(x)\sqrt {1+[f'(x)]^2}~d_x\)

利用莱布尼茨记号： \(S = \int_a^b 2\pi y\sqrt {1 + (\frac {d_y}{d_x})^2}~d_x \iff S = \int 2\pi y~d_s\)

曲面方程为 x = g(y), \(c\le y \le d\) 的曲面面积公式：

\(S = \int_c^d 2\pi x\sqrt {1 + (\frac {d_x}{d_y})^2}~d_y \iff S = \int 2\pi x~d_s\)

1. 旋转立体表面积：
   1. 旋转立体 \(V=\{x\in[a,b],A(x)=\pi f^2(x)\}\) 的表面积为 \(\int_a^b2\pi|f(x)|\sqrt{1+(f')^2(x)}d_x\) 或 \(\int_a^b2\pi|y|\sqrt{1+((f^{-1})')^2(y)}d_y\)
   2. 旋转立体 \(V=\{x\in[a,b],A(x)=2\pi|x|\cdot f(x)\}\) 的表面积为 \(\int_a^b2\pi|x|\sqrt{1+(f')^2(x)}d_x\) 或 \(\int_a^b2\pi|f^{-1}(y)|\sqrt{1+((f^{-1})')^2(y)}d_y\)
   3. 注：绕 \(x=c\) 或 \(y=c\) 旋转只需做适当修改；其中旋转轴不可穿过 \(\forall x\in[a,b],y=f(x)\)

1. 曲线 \(y=f(x)\) 相关的测度为：\(\begin{cases}&x&y\\面积&fd_x&f^{-1}d_y\\旋转体积&\pi f^2d_x&2\pi fd_x\\弧长d_s&\sqrt{1+(f')^2}d_x&\sqrt{1+((f^{-1})')^2}d_y\\旋转表面积&2\pi fd_s&2\pi xd_s\end{cases}\)

(1)

1. \(\int_0^{\pi/4}2\pi x\cdot\sqrt{1+((\sec x)')^2}d_x=\int_0^{\pi/4}2\pi x\cdot\sqrt{1+\sec^2x\tan^2x}d_x\)
2. 设 \(t=x^2\)，\(\int_1^22\pi y\cdot\sqrt{1+(\frac{dx}{d_y})^2}d_y=\int_1^22\pi y\cdot\sqrt{1+(y\sqrt{y^2+2})^2}d_y=2\pi\int_1^2y\cdot\sqrt{1+y^2(y^2+2)}d_y\) \(=\pi\int_1^4\sqrt{t^2+2t+1}d_t=\pi\int_1^4(t+1)d_t=\pi(\frac12t^2+t)\Big|_1^4=\frac{21}2\pi\)
3. \(\int_0^{a/2}2\pi y\cdot\sqrt{1+(-y/\sqrt{a^2-y^2})^2}d_y=2\pi\int_0^{a/2}a~d_y=a^2\pi\)

3.物理&工程中的应用

4.经济学&生物学上的应用

5.概率中的积分