6.定积分的应用

例子

1. 假设 \(S=\{y=e^x,y=x,x=0,x=1\}\)，那么 \(\|S\|=\int_0^1|e^x-x|d_x=\left[e^x-\frac12x^2\right]_0^1=e-\frac32\)
2. 假设 \(S=\{y=x^2,y=2x-x^2\}\)，求解方程 \(y=x^2,y=2x-x^2\) 得 \(x=0,x=1\)，于是 \(\|S\|=\int_0^1|x^2-(2x-x^2)|d_x=\int_0^1(2x-2x^2)d_x=\Big[x^2-\frac23x^3\Big]_0^1=\frac13\)
3. 假设 \(S=\{y=x/\sqrt{x^2+1},y=x^4-x\}\)，求解方程 \(x/\sqrt{x^2+1}=x^4-x\) 得 \(x=0,x\approx1.18\)，于是 \(\|S\|\approx\int_0^{1.18}|x/\sqrt{x^2+1}-(x^4-x)|d_x=\int_0^{1.18}|x/\sqrt{x^2+1}-(x^4-x)|d_x=\left[\sqrt{x^2+1}-\frac15x^5+\frac12x^2\right]_0^{1.18}\approx0.785\)
4. 假设 \(S=\{y=\sin x,y=\cos x,x=0,x=\frac\pi2\}\)，求解方程 \(\sin x=\cos x,0\le x\le\frac\pi2\) 得 \(x=\frac\pi4\)，于是 \(\|S\|=\int_0^{\frac\pi2}|\sin x-\cos x|d_x=\left(-\int_0^{\frac\pi4}+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\right)(\sin x-\cos x)d_x=-\left[-\cos x-\sin x\right]_0^{\frac\pi4}+\left[-\cos x-\sin x\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}=2\sqrt2-2\)
5. 假设 \(S=\{y=x-1,y^2=2x+6\}\)，求解方程 \(y=x-1,y^2=2x+6\) 得 \((x,y)=(-1,-2)\) 或 \((x,y)=(5,4)\)，\(\|S\|=\int_{-2}^4\left|(y+1)-\frac12(y^2-6)\right|d_y=\int_{-2}^4(-\frac12y^2+y+4)d_y=\left[-\frac16y^3+\frac12y^2+4y\right]_{-2}^4=18\)

Tip

• 可以注意到，上述的面积并不严格等于 f(x) 和 g(x) 之间的封闭区域面积
• 计算封闭区域面积：
  1. f(x)，g(x) 均是 单值函数
     • 这种情况可以用两种方法求 (y 是 x 的函数 或 x 是 y 的函数)
     • 计算 \(h = f - g\) 或 \(h = f^{-1} - g^{-1}\) 的零点，并判断 左右 或 上下 两边的正负 （这里的 逆函数 是形式上的，数学定义上这是不正确的说法，这里是把 x 和 y 互换了）
     • 计算 最左端 和 最右端 的零点之间区间的封闭面积
     • 假设区间为 [a, b]，则面积为 \(\int_a^b |y_T - y_B| d_x\) 或 \(\int_a^b |x_R - x_L| d_y\)
  2. f(x) 是 单值函数，而 g(x) 是 多值函数 (比如 函数方程含有 关于y的不小于2次的多项式)
     • 只有一种合适的求法：x 是 y 函数 （除非 y 是 x 的函数时，分类讨论）
     • 计算 \(h = f^{-1} - g^{-1}\) 的零点
     • 计算 最左端 和 最右端 的零点之间区间的封闭面积
     • 假设区间为 [a, b]，则面积为 \(\int_a^b |x_R - x_L| d_y\)
  3. f(x)，g(x) 均是 多值函数

例子

1. 计算半径为 r 的球体体积：球体记为 \(V=\{-r\le x\le r,A(x)=\pi(r^2-x^2)\}\)（利用几何和代数计算 \(A(x)\)），于是 \(\|V\|=\int_{-r}^r\pi(r^2-x^2)d_x=\left[\pi(r^2x-\frac13x^3)\right]_{-r}^r=\frac43\pi r^3\)
2. 计算 \(y=\sqrt x\) 从 0 到 1 关于 x 轴旋转得到的区域体积：该区域为旋转立体 \(V=\{a\le x\le b,A(x)=\pi(\sqrt x)^2\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^1\pi|x|d_x=\frac12\pi x^2\Big|_0^1=\frac12\pi\)
3. 计算 \(y=x^3,y=8,x=0\) 围成的区域绕 y 轴旋转得到的立体体积：该区域为旋转立体 \(V=\{0\le y\le 8,A(y)=\pi(\sqrt[3]y)^2\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^8\pi y^{2/3}d_y=\left[\frac35\pi y^{5/3}\right]_0^8=\frac{96}5\pi\)（注意区分区域 \(\{0\le y\le 8,A(y)=\pi|(\sqrt[3]y)^2-2^2|\}\)，其体积为 \(\|V\|=\int_0^8\pi(4-y^{2/3})d_y=\left[4\pi y-\frac35\pi y^{5/3}\right]_0^8=\frac{64}5\pi\)）
4. 计算函数封闭区域 \(\{y=x,y=x^2\}\) 绕 x 轴旋转得到的旋转立体 V 的体积：求解方程 \(x=x^2\) 得 \(x=0,x=1\)，那么 \(V=\{0\le x\le 1,A(x)=\pi|x^2-(x^2)^2|\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^1\pi|x^2-x^4|d_x=\left[\frac13\pi x^3-\frac15\pi x^5\right]_0^1=\frac2{15}\pi\)
5. 计算函数封闭区域 \(\{y=x,y=x^2\}\) 绕 \(y=2\) 旋转得到的一般旋转立体 V 的体积：\(V=\{x\in[0,1],A(x)=\pi|(x-x^2)(x+x^2-4)|\}\)，\(\|V\|=\int_0^1\pi|(x-x^2)(x+x^2-4)|d_x=\pi\int_0^1(x^4-5x^2+4x)d_x=\pi\left[\frac15x^5-\frac53x^3+2x^2\right]_0^1=\frac8{15}\pi\)
6. 计算函数封闭区域 \(S=\{y=x,y=x^2\}\) 绕 \(x=1\) 旋转得到的旋转立体 V 的体积：根据[6.1一级结论]，S 可变换为 \(S=\{y\in[0,1],x=y,x=\sqrt y\}\)，蕴含 \(V=\{y\in[0,1],A(y)=\pi|(y-\sqrt y)(y+\sqrt y-2)|\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^1\pi|(y-\sqrt y)(y+\sqrt y+2)|d_y=\pi\int_0^1(y^2+y-2\sqrt y)d_y=\pi\left[\frac13y^3+\frac12y^2-\frac13y^{3/2}\right]_0^1=\frac12\pi\)
7. 计算底面为半径为 r 的圆，垂直于底面的横截面为等边三角形的立体 V 的体积：在底面上建立 \(xoy\)，\(\forall x_0\in[-r,r]\)，\(x=x_0\) 与 V 相交的等边三角形边长为 \(d=2\sqrt{r^2-x^2}\)，蕴含其面积为 \(A(x)=\frac{\sqrt3}4d^2=\frac{\sqrt3}4(2\sqrt{r^2-x^2})^2=\sqrt3(r^2-x^2)\)，于是 \(\|V\|=\int_{-r}^r\sqrt3(r^2-x^2)d_x=2\int_0^r\sqrt3(r^2-x^2)d_x=2\sqrt3\left[r^2x-\frac13x^3\right]_0^r=\frac{4\sqrt3}3r^3\)（注意到 \(A(x)\) 的偶函数）
8. 计算底边长为 L，高为 h 的棱锥 V 的体积：\(\forall x_0\in[0,h]\)，\(x=x_0\) 与 V 相交的正方形边长的一半 d 满足 \(\frac h{L/2}=\frac x{d}\)，蕴含 \(d=\frac{xL}{2h}\)，于是 \(A(x)=(2d)^2=\frac{x^2L^2}{h^2}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^h\frac{L^2}{h^2}x^2d_x=\frac{L^2}{h^2}\left[\frac13x^3\right]_0^h=\frac13L^2h\)
9. （锲的体积）假设足够高的圆柱体 W 半径为 r，平面 \(V_1\) 垂直于 W 的轴，平面 \(V_2\) 以 \(\theta\) 角交于 \(V_1\cap W\) 的直径，计算 \(W,V_1,V_2\) 的封闭区域 V 的体积：
   1. 法1：\(\forall x_0\in[-r,r]\)，\(x=x_0\) 与 V 截得一个底边为 \(d=\sqrt{r^2-x^2}\) 高为 \(d\tan\theta\) 的直角三角形，蕴含 \(A(x)=\frac12d^2\tan\theta=\frac12(r^2-x^2)\tan\theta\)，于是 \(\|V\|=\int_{-r}^r\frac12(r^2-x^2)\tan\theta~d_x=\frac12\tan\theta\left[r^2x-\frac13x^3\right]_{-r}^r=\frac23r^3\tan\theta\)
   2. 法2：\(\forall x_0\in[0,r]\)，\(x=x_0\) 与 V 截得一个底边为 \(d=2\sqrt{r^2-x^2}\) 高为 \(x\tan\theta\) 的矩形，蕴含 \(A(x)=2\sqrt{r^2-x^2}x\tan\theta\)，于是 \(\int_0^r2\sqrt{r^2-x^2}x\tan\theta~d_x=2\tan\theta\int_{r^2}^0\sqrt{r^2-x^2}x/(-2x)~d(r^2-x^2)=-\tan\theta\int_{r^2}^0\sqrt t~d_t=\tan\theta\left[\frac23t^{3/2}\right]_0^{r^2}=\frac23r^3\tan\theta\)

Tip

• “体积”这个概念是三维的，而“一维积分”只能处理 “一个自变量x和其函数 \(f(x)\) 的乘积” 的 “两维乘法问题”，此时就需要将 \(f(x)\) 复合一下：\(f=g\circ h\)
• 在笛卡尔坐标系中
  1. 选定一个合适的x轴来 迭代 立体的每个横截面(坐标中心与立体的相对位置要合适)，然后 y 轴迭代 当前横截面的每条线；于是y轴与线长度函数积分得到当前横截面面积，然后 z轴 与 横截面面积函数 积分得到立体体积 (\(\int S(x) d_x = \int \int L(x, y)~d_y~d_x\)) (并不是划分得越细越好)
  2. 选定一个合适的x轴来 迭代 立体的每个横截面，但是此时横截面的面积直接依赖于x (横截面的面积是x的函数)；于是x轴与横截面面积函数积分得到立体体积 (\(\int S(x) d_x\))
  3. 但是有时候立体体积直接依赖于r（如球体体积）
• 旋转问题：
  • \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 围成n个封闭区域(有n+1零点)，再将其绕 x 轴旋转，求生成的立体体积：讨论某个封闭区域 \(x\in[a, b]\)，那么横截面函数为 \(S(x) = \pi |g(x)^2 - f(x)^2|\)，于是立体体积为 \(V = \int_a^b \pi |g(x)^2 - f(x)^2| d_x\)
  • y=(f-g)(x) 绕 y=c 轴旋转：立体体积为 \(V = \int_a^b \pi |(c - g(x))^2 - (c - f(x))^2| d_x\)
  • y=(f-g)(x) 绕 x=c 轴旋转：立体体积为 \(V = \int_a^b \pi |(c - g^{-1}(x))^2 - (c - f^{-1}(x))^2| d_x\)

练习

1. 证明：内外半径分别为 \(r,R\) 的圆环 V 的体积为 \(\|V\|=2\pi^2r^2R\)
2. 若立体 V 以椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 为底面，对于 \(\forall c\in[-a,b]\)，\(x=c\) 与 V 交于一个等边直角三角形，证明 \(\|V\|=\frac43ab^2\)
3. 证明：半径为 r 的球体中，高为 h 的球帽体积为 \(\pi h^2(r-\frac13h)\)
4. 证明：高为 h，上下底半径分别为 \(R,r\) 的正圆锥的平截头体 V 的体积为 \(\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2)\)
5. 假设下列积分表示立体体积，反推这些立体 V 的表达式
   1. \(\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2x~d_x\)
   2. \(\pi\int_2^5y~d_y\)
   3. \(\pi\int_0^1(y^4-y^8)d_y\)
   4. \(\pi\int_0^{\pi/2}[(1+\cos x)^2-1^2]d_x\)
6. 证明：两个半径均为 r 的圆柱正交的公共部分 V 的体积为 \(\frac{16}3r^3\)
7. 证明：两个半径均为 r 的球体相交，并且球心在另一个球体表面，两球的公共部分 V 的体积为 \(\frac54\sqrt3+4\pi\)

提示

Tip

• 实际上样本点取 左侧\(x_{i-1}\) 或 右侧\(x_i\)，结果都与 中值 一样
• 与上一节 通过平面切割立体 的方法不同，本节使用的是 柱体薄壳(一个立体) 来切割立体

例子

1. 计算区域 \(\{y=0,y=2x^2-x^3\}\) 绕 y 轴旋转所得立体 V 的体积：\(V=\{x\in[0,2],A(x)=2\pi x(2x^2-x^3)\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^22\pi x(2x^2-x^3)d_x=2\pi\left[\frac12x^4-\frac15x^5\right]_0^2=\frac{16}5\pi\)
2. 计算区域 \(\{y=x,y=x^2\}\) 绕 y 轴旋转所得立体 V 的体积：\(V=\{x\in[0,2],A(x)=2\pi x(x-x^2)\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^12\pi x(x-x^2)d_x=2\pi\int_0^1(x^2-x^3)d_x=2\pi\left[\frac13x^3-\frac14x^4\right]_0^1=\frac16\pi\)
3. 计算区域 \(\{x\in[0,1],y=0,y=\sqrt x\}\) 绕 x 轴旋转所得立体 V 的体积：
   1. 法1：\(V=\{x\in[0,1],A(x)=\pi(\sqrt x)^2\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^1\pi xd_x=\frac12\pi\)
   2. 法2：\(V=\{y\in[0,1],A(y)=2\pi|y|\cdot|y^2-0|\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^12\pi y\cdot y^2d_y=\frac12\pi\)
4. 计算区域 \(\{y=0,y=x-x^2\}\) 绕 \(x=2\) 旋转所得立体的体积：\(V=\{x\in[0,1],A(x)=2\pi|x-2|\cdot|(x-x^2)-0|\}\)，于是 \(\|V\|=\int_0^12\pi|x-2|\cdot(x-x^2)d_x=2\pi\int_0^1(x^3-3x^2+2x)d_x=2\pi\left[\frac14x^4-x^3+x^2\right]_0^1=\frac12\pi\)

练习

1. 使用薄壳法（柱面法）计算 \(y=e^{-x^2},y=0\),x=0,x=1$ 所围成的区域绕 y 轴旋转所得立体的体积
2. 计算区域 \(\{y=x^2,y=0,x=1,x=2\}\) 绕 \(x=4\) 所得立体体积
3. 用两种方法表示区域 \(S=\{y\in[0,\pi],x=0,x=\sqrt{\sin y}\}\) 绕 \(y=4\) 所得立体体积
4. 若 \(\int_0^32\pi x^5d_x\) 是薄壳法表示的立体体积，逆推该立体的表达式
5. 计算底半径为 r，高为 h 的正圆锥体积
6. 用半径为 r 的圆筒削去半径为 R 的球体（\(R>r\)）的中心，计算球体剩下部分的体积

提示

Tip

1. \(f(x)=\cos^4x\sin x\) 在 \([0,\pi]\) 上的均值为 \(\frac{\int_0^\pi\cos^4x\sin x~d_x}{\pi-0}=\frac{-\frac15\cos^5x\Big|_0^\pi}{\pi}=\frac2{5\pi}\)