5.积分

我们利用矩形近似区域并添加矩形的个数来计算面积，面积的精确值是这些矩形面积和的极限

1.面积与距离

假设 \(f\in C[a,b]\) 且 \(\forall x\in[a,b],f(x)\ge0\)，记 \(y=f(x),x=a,x=b,y=0\) 所围成的区域 S 面积为 A

\(\exists n\in\mathbb Z^+\)，使 S 按 x 进行划分为 n 个等宽子区域，那么 S 的近似可以为：

1. \(L_n=\sum\limits_{i=1}^n\frac{b-a}nf\left(a+\frac{b-a}n(i-1)\right)\)（子区域的高取左侧高）
2. \(R_n=\sum\limits_{i=1}^n\frac{b-a}nf\left(a+\frac{b-a}ni\right)\)（子区域的高取右侧高）

记 \(x_i=a+\frac{b-a}ni,\Delta x=x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}n\)，有 \(L_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\Delta xf(x_i),R_n=\sum\limits_{i=1}^n\Delta xf(x_i)\)

\(n\to0\) 时，有 \(L_n\to A,R_n\to A\)，即 \(\lim\limits_{n\to+∞}L_n=A\) 或 \(\lim\limits_{n\to+∞}R_n=A\)

在连续函数 f 曲线下的区域 S 的面积 A 定义为近似矩形的面积和的极限：

(a) 高取右端点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}R_n = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^n \Delta x \cdot f(x_i)\)

(b) 或者每个区域的高取左端点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}L_n = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x \cdot f(x_i)\)

(c) 又或者每个区域的高取样本点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta x \cdot f(x_i^*)\)

同理

2.定积分

应用：计算面积，计算物体移动距离；曲线长度，立体体积，质心坐标(第 6 章 或 第 8 章)

假设 \(f\in C[a,b]\)，将区间 \([a,b]\) 分成 \(\exists n\in\mathbb Z^+\) 个等长度的自区间，

设 \(\forall i=0..n,x_i=a+\frac{b-a}ni\) 为子区间的分界点，记区间长度为 \(x_i=a+\frac{b-a}ni,\Delta x=x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}n\)

定义 f 在 a 到 b 的定积分为 \(\int_a^bf(x)~d_x=\lim\limits_{n\to+∞}\sum\limits_{i=1}^n\Delta xf(x_i^*)\)（其中 \(x_i^*\in[x_{i-1},x_i]\)）

其中，\(f(x)\) 称为被积函数；\(a,b\) 分别称为上极限，下极限

注：x 是中间变量，与定积分的值无关（类似于 \(\sum\) 中的 i）

严格定义：\(\forall\epsilon>0,\exists N>0\) 使得 \(\forall n>N,\left|\int_a^bf(x)d_x-\sum\limits_{i=1}^n\Delta xf(x_i^*)\right|<\epsilon\)

假设 \(n\in\mathbb Z\)，那么：

1. (1) \(\sum\limits_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}\)，(2) \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\)，(3) \(\sum\limits_{i=1}^n i^3=\left(\frac {n(n+1)}{2}\right)^2\)
2. \(\sum\limits_{i=1}^n c\cdot a_i = c\sum\limits_{i=1}^n a_i\)，\(\sum\limits_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum\limits_{i=1}^n a_i + \sum\limits_{i=1}^n b_i\)，\(\sum\limits_{i=1}^n (a_i - b_i) = \sum\limits_{i=1}^n a_i - \sum\limits_{i=1}^n b_i\)
3. \(\sum\limits_{i=0}^np^i=\begin{cases}\frac{p^{n+1}-1}{p-1}&p\ne1\\n+1&p=1\end{cases}\)；蕴含 \(\forall a,b\in\mathbb Z\) 有 \(\sum\limits_{i=a}^bp^i=\frac{p^{b+1}-p^a}{p-1}\)

(3) \((p-1)\sum\limits_{i=0}^np^i=\sum\limits_{i=1}^{n+1}p^i-\sum\limits_{i=0}^np^i=p^{n+1}-p^0=p^{n+1}-1\)

若 \(p\ne1\)，那么 \(\sum\limits_{i=0}^np^i=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}\)

\(\blacksquare\)

样本点 \(x^*_i\) 取子区间的中间值时，记为 \(\overline {x_i}\)，对应的黎曼和近似于原函数积分

\(\int_a^b f(x) d_x \approx \sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(\overline {x_i})\)

其中 \(\Delta x = \frac {b-a}n\)，\(\overline {x_i} = \frac {x_{i-1} + x_i}2\)

假设 \(f,g\in C[a,b]\)，\(c\in\mathbb R\)，那么：

1. 线性性质：(1) \(\int_a^bcf(x)dx=c\int_a^bf(x)dx\)，(2) \(\int_a^b[f(x)+g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx\)
2. (1) \(\int_a^b1d_x=b-a\)，(2) \(\int_a^bf(x)d_x=-\int_b^af(x)d_x\)

1. 若 \(\forall x\in[a,b],f(x)\ge0\)，那么 \(\int_a^bf(x)d_x\ge0\)
2. 若 \(\forall x\in[a,b],f(x)\ge g(x)\)，那么 \(\int_a^bf(x)d_x\ge\int_a^bg(x)d_x\)
3. 若 \(\forall x\in[a,b],f(x)\in[m,n]\)，那么 \(\int_a^bf(x)d_x\in[m(b-a),M(b-a)]\)

(1) 步长为 \(\delta\) 时，区间划分数为 \(n=(10-2)/\delta\)

1. 左值法：\(\int_2^{10}\sqrt{x^3+1}d_x\approx\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{(2+\delta i)^3+1}\)
2. 右值法：\(\int_2^{10}\sqrt{x^3+1}d_x\approx\delta\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{(2+\delta i)^3+1}\)
3. 中间值法：\(\int_2^{10}\sqrt{x^3+1}d_x\approx\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{(2+\delta i+\delta/2)^3+1}\)

(2) 设 \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\)，那么 \(\forall x\in[-1,1]\)，\(\max\{f(x)\}=f(1)=2\)，\(\min\{f(x)\}=f(0)=1\)

根据[积分比较性质]，\(2\le\int_{-1}^1\sqrt{1+x^2}d_x\le2\sqrt2\)

(4) 步长为 \(\delta\) 时，区间划分数为 \(n=(b-a)/\delta\)

于是 \(\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac1{(\sqrt{(a+\delta i)(a+\delta(i+1))})^2}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac1{a+\delta i}-\frac1{a+\delta(i+1)}\right)=\frac1a-\frac1{a+\delta n}=\frac1a-\frac1b\)

而根据[5.4]的方法 \(\int_a^bx^{-2}d_x=\frac1a-\frac1b\)，于是用几何平均数近似该积分没有误差

3.积分基本定理

假设 \(f\in C[a,b]\)，那么构造函数 g 满足：

\(\forall x\in(a,b),g(x)=\int_a^xf(t) d_t\)

那么 \(g\in C[a,b],g\in C'(a,b)\)，并且 \(g'(x)=f(x)\)（即 \(\left(\int_a^xf(t) d_t\right)'=f(x)\)）

\(\exists x\ne x+h\in(a,b)\)

\(g(x+h)-g(x)=\int_a^{x+h}f(t)d_t-\int_a^xf(t)d_t=\int_a^xf(t)d_t+\int_x^{x+h}f(t)d_t-\int_a^xf(t)d_t=\int_x^{x+h}f(t)d_t\)

即 \(\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h\)

由 \(\forall t\in[x,x+h],\exists u,v\in[x,x+h]\) 使得 \(f(t)\in[f(u),f(v)]\)，蕴含 \(f(u)h\le\int_x^{x+h}f(t)d_t\le f(v)h\)

若 \(h>0\)，有 \(f(u)\le\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h\le f(v)\)，

而 \(h\to0^+\) 时 \(u\to x^+,v\to x^+\)，进而 \(f(u)\to f(x),f(v)\to f(x)\)，由[夹逼原理] \(\lim\limits_{h\to0^+}\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h=f(x)\)

若 \(h<0\)，有 \(f(v)\le\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h\le f(u)\)，

而 \(h\to0^-\) 时 \(u\to x^-,v\to x^-\)，进而 \(f(u)\to f(x),f(v)\to f(x)\)，由[夹逼原理] \(\lim\limits_{h\to0^-}\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h=f(x)\)

综上，\(\lim\limits_{h\to0}\frac{\int_x^{x+h}f(t)d_t}h=f(x)\)，即 \(\lim\limits_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h=f(x)\)，即 \(g'(x)=f(x)\)

\(\blacksquare\)

若 \(f\in C[a,b]\)，且 F 是 f 的原函数（即 \(F'=f\)）

那么 \(\int_a^bf(x)d_x=F(b)-F(a)\)，有时记为 \(\int_a^bf(x)d_x=F(x)\Big|_a^b\) 或 \(\int_a^bf(x)d_x=\Big[F(x)\Big]_a^b\)

由 F 是 f 的原函数和[FCT1]，蕴含 \(\exists c\in[a,b],F(x)=\int_c^xf(t)d_t\)

于是 \(F(b)-F(a)=\int_c^bf(t)d_t-\int_c^af(t)d_t=\int_b^af(t)d_t\)

\(\blacksquare\)

微积分基本定理: 假设 f 在 [a, b] 连续

1. 若 \(g(x) = \int_a^x f(t) d_t\)，则 \(g'(x) = f(x)\) \(\iff\) \(\frac d{d_x} \int_a^x f(t) d_t = f(x)\)
2. \(\int_a^b f(x) d_x = F(b) - F(a)\) \(\iff\) \(\int_a^b F'(x) d_x = F(b) - F(a)\)

这里 F 是 f 的任意一个原函数，即 F' = f (实际上 F 为 f 的 原函数族 或 原函数集合)

1. 微积分基本定理1（FTC1）：若 \(f\in C[a,b]\)，那么 \(\exists F\in C[a,b],F\in C'(a,b)\) 使得 \(\forall x\in(a,b),F(x)=\int_a^xf(t)d_t\)，并且 \(F'(x)=f(x)\)
2. 微积分基本定理2（FTC2）：若 \(f\in C[a,b]\)，且 F 是 f 的原函数（即 \(F'=f\)），那么 \(\int_a^bf(x)d_x=F(b)-F(a)\)，有时记为 \(\int_a^bf(x)d_x=F(x)\Big|_a^b\) 或 \(\int_a^bf(x)d_x=\Big[F(x)\Big]_a^b\)
3. 积分中值定理（？）：若 \(f\in C[a,b],F'=f\)，那么 \(\exists c\in(a,b),F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\) 或 \(f(c)=\frac {\int_a^b f(x) d_x}{b-a}\)

(1) \(f\in C[a,b]\) 蕴含 \(\exists F'=f,F\in C[a,b],F\in C'(a,b)\)（根据[FTC1]）

由[4.2中值定理]有 \(\exists c\in(a,b),F'(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\)

又由[FTC2]有 \(f(c)=\frac {\int_a^b f(x) d_x}{b-a}\)

(2) \(6+\int_a^x\frac{f(t)}{t^2}d_t=2\sqrt x\) 对 x 求导有 \(\frac{f(x)}{x^2}=2\cdot\frac1{2\sqrt x}\)，于是 \(f(x)=x^{3/2}\)

原式子中令 \(x=a\)，那么 \(6+\int_a^a\frac{f(t)}{t^2}d_t=2\sqrt a\)，解得 \(a=9\)

(3.1)

若 \(x<0\)，那么 \(\int_0^xf(t)d_t=\int_0^x0d_t=0\)

若 \(0\le x\le1\)，那么 \(\int_0^xf(t)d_t=\int_0^xtd_t=\frac12x^2\)

若 \(1<x\le2\)，那么 \(\int_0^xf(t)d_t=\int_0^1td_t+\int_1^x(2-t)d_t=\frac12+\left[2t-\frac12t^2\right]_1^x=2x-\frac12x^2-1\)

若 \(x>2\)，那么 \(\int_0^xf(t)d_t=\int_0^1td_t+\int_1^2(2-t)d_t+\int_2^x0d_t=1\)

于是 \(g(x)=\int_0^xf(t)d_t=\begin{cases}0&x<0\\\frac12x^2&0\le x\le1\\2x-\frac12x^2-1&1<x\le 2\\1&x>2\end{cases}\)

(3.2) f 在 \(0,1,2\) 处不可微，而 f 在其他区间内都是初等函数，这些区间内 f 可微；于是 f 的可微区间为 \((-∞,0)\cup(0,1)\cup(1,2)\cup(2,+∞)\)

f 在 \(\mathbb R\) 上连续，蕴含 g 在 \(\mathbb R\) 上可微

(4.1) 法1：\(\lim\limits_{n\to+∞}\sum\limits_{i=1}^n\frac{i^3}{n^4}=\lim\limits_{n\to+∞}\frac{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}{n^4}=\lim\limits_{n\to+∞}\frac{n^4+2n^3+n^2}{4n^4}=\lim\limits_{n\to+∞}(\frac14+\frac12n^{-1}+\frac14n^{-2})=\frac14\)

法2：\(\lim\limits_{n\to+∞}\sum\limits_{i=1}^n\frac{i^3}{n^4}=\lim\limits_{n\to+∞}\frac{1-0}n\sum\limits_{i=1}^n\left(0+\frac{i}{n}\right)^3=\int_0^1x^3d_x=\frac14\)

(4.2) \(\lim\limits_{n\to+∞}\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{\frac in}=\lim\limits_{n\to+∞}\frac{1-0}n\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{0+\frac in}=\int_0^1\sqrt{x}d_x=\frac23\)

(5) \(y''=\left(\int_0^x\frac1{1+t+t^2}d_t\right)''=\left(\frac1{1+x+x^2}\right)'=-\frac{1+2x}{(1+x+x^2)^2}\)

若 \(y''>0\)，解得 \(x<-1/2\)，于是 \(y=\int_0^x\frac1{1+t+t^2}d_t\) 的上凹区间为 \((-∞,-1/2)\)

(6) \(\exists a\in D_f,\left(\int_{2x}^{3x}\frac{u^2-1}{u^2+1}d_u\right)'=\left(\int_{2x}^a\frac{u^2-1}{u^2+1}d_u+\int_a^{3x}\frac{u^2-1}{u^2+1}d_u\right)'=\left(-\int_a^{2x}\frac{u^2-1}{u^2+1}d_u+\int_a^{3x}\frac{u^2-1}{u^2+1}d_u\right)'\)

\(=3\frac{(3x)^2-1}{(3x)^2+1}-2\frac{(2x)^2-1}{(2x)^2+1}\)

4.不定积分 & 牛顿-莱布尼茨公式

\(\int f(x) d_x = F(x)\) 即 \(F'(x) = f(x)\)

净增长 等于 变化率的增长

\(F(b) - F(a) = \int_a^b F'(x) d_x\)

也即 \(F(b) - F(a) = \int_a^b \frac F{d_x} d_x\)

（注：积分公式通常省略常数 C）

1. 常见不定积分：\(\begin{cases}\int x^nd_x=\frac{x^{n+1}}{n+1}&n\ne-1\\\int\frac 1xd_x=\ln{\mid x\mid}\\\int e^xd_x=e^x\\\int a^xd_x=\frac{a^x}{\ln a}\\\int\ln xd_x=x(\ln x-1)\\\int\log_axd_x=x(\ln x-1)/\ln a\end{cases}\)
2. 三角积分：\(\begin{cases}\int\sin xd_x=-\cos x&\int\csc xd_x=\ln|\csc x-\cot x|=\ln|\tan\frac x2|&\int\cot xd_x=\ln|\sin x|\\\int\cos xd_x=\sin x&\int\sec xd_x=\ln|\sec x+\tan x|=\ln|\tan(\frac x2+\frac\pi4)|&\int\tan xd_x=-\ln|\cos x|\end{cases}\)
3. (反)三角（逆向导数）：\(\begin{cases}&\int\csc x\cot xd_x=-\csc x&\int\csc^2xd_x=-\cot x \\&\int\sec x\tan xd_x=\sec x&\int\sec^2xd_x=\tan x\\ \int\frac1{\sqrt{1-x^2}}d_x=\sin^{-1}x=-\cos^{-1}x&\int\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}d_x=-\csc^{-1}x=\sec^{-1}x&\int\frac1{1+x^2}d_x=-\cot^{-1}x=\tan^{-1}x\\ \int\frac1{\sqrt{x^2+1}}d_x=\sinh^{-1}x&\int\frac1{|x|\sqrt{x^2+1}}d_x=-\text{csch}^{-1}x&\int\frac1{1-x^2}d_x=\coth^{-1}x=\tanh^{-1}x\\ \int\frac1{\sqrt{x^2-1}}d_x=\cosh^{-1}x&\int\frac1{|x|\sqrt{1-x^2}}d_x=-\text{sech}^{-1}x&\end{cases}\)
4. (3) 的部分推广：
5. 二次三角公式：\(\begin{cases}\int\sin^2xd_x=\frac12(x-\sin x\cos x)&\int\csc^2xd_x=-\cot x&\int\cot^2xd_x=-\cot x-x\\\int\cos^2xd_x=\frac12(x+\sin x\cos x)&\int\sec^2xd_x=\tan x&\int\tan^2xd_x=\tan x-x\end{cases}\)
6. 三次三角公式：\(\begin{cases}\int\sin^3xd_x=\frac13\cos^3x-\cos x&\int\csc^3xd_x=\frac12(\ln|\csc x-\cot x|-\csc x\cot x)&\int\cot^3xd_x=-\frac12\cot^2x-\ln|\sin x|\\\int\cos^3xd_x=-\frac13\sin^3x+\sin x&\int\sec^3xd_x=\frac12(\ln|\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)&\int\tan^3xd_x=\frac12\tan^2x+\ln|\cos x|\end{cases}\)

1. \(\begin{cases}\int\sqrt{1+\sin x}d_x=-\frac{2\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}&\int\sqrt{1-\sin x}d_x=\frac{2\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\\\int\sqrt{1+\cos x}d_x=2\sqrt{1+\cos x}\tan\frac x2&\int\sqrt{1-\cos x}d_x=-2\sqrt{1-\cos x}\cot\frac x2\end{cases}\)？

(1) \(\int(1-t)(2+t^2)d_t=2t-t^2+\frac13t^3-\frac14t^4+C\)

(2) \(\int_{-1}^0(2x-e^x)d_x=(x^2-e^x)\Big|_{-1}^0=-2+e^{-1}\)

(3) 法1：\(\int_0^1x(\sqrt[3]x+\sqrt[4]x)d_x=\int_0^1x(\sqrt[3]x+\sqrt[4]x)1/((1/12)x^{-11/12})d(x^{1/12})\)

\(=12\int_0^1(x^{27/12}+x^{26/12})d(x^{1/12})=12\int_0^1(t^{27}+t^{26})d_t=12\left[\frac1{28}t^{28}+\frac1{27}t^{27}\right]_0^1=\frac{55}{63}\)

法2：\(\int_0^1x(\sqrt[3]x+\sqrt[4]x)d_x=\int_0^1x^{4/3}+x^{5/4}d_x=\left[\frac37x^{7/3}+\frac49x^{9/4}\right]_0^1=\frac{55}{63}\)

(4) \(\int_{-1}^2(x-2|x|)d_x=-\int_0^2xd_x+3\int_{-1}^0xd_x=-\frac72\)

5.变量代换法则

若 \(f\in C[a,b]\) 并且 \(u=g(x)\in C'(a,b)\)

那么 \(\int f(g(x))g'(x)~d_x=\int f(u) d_u\)，简记为 \(\int (f\circ g)g'~d_x=\int f~d_u\)

推论：若 \(F'=f\)，那么 \(\int(f\circ g)g'~d_x=F\circ g\)

\(u=g(x)\) 蕴含 \(\frac{du}{dx}=g'(x)\)，即 \(du=g'(x)dx\)

于是 \(\int f(g(x))g'(x)~d_x=\int f(g(x))~d_u=\int f(u)~d_u\)

\(\blacksquare\)

假设 f 在 \(\{g(x)|~x\in[a,b]\}\) 上连续，且 \(g'\in C[a,b]\)，那么

\(\int_a^bf(g(x))g'(x)~d_x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)~d_u\)

由[变量代换法则]的推论有 \(\exists F'=f\) 使得 \(\int(f\circ g)g'~d_x=F\circ g+C\)，即 \((F\circ g)'=(f\circ g)g'\)

又由[FTC2]，于是 \(\int_a^b(f\circ g)(x)g'(x)~d_x=(F\circ g)(x)\Big|_a^b=F(u)\Big|_{g(a)}^{g(b)}=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)d_u\)

\(\blacksquare\)

假设 f 在 \([-a,a]\) 上连续

(1) 若 \(\forall t\in[-a,a],f(-t)=f(t)\)（f 在 \([-a,a]\) 上是偶函数），那么 \(\int_{-a}^af(x)d_x=2\int_0^af(x)d_x\)

(2) 若 \(\forall t\in[-a,a],f(-t)=-f(t)\)（f 在 \([-a,a]\) 上是奇函数），那么 \(\int_{-a}^af(x)d_x=0\)

讨论更一般的情况：

(3) 若 \(\forall t\in[-b,b],f(a-t)=f(a+t)\)（f 在 \([a-b,a+b]\)关于 \(x=a\) 对称），那么 \(\int_{a-b}^{a+b} f(x) d_x = 2\int_{a}^{a+b} f(x) d_x\)

(4) 若 \(\forall t\in[-b,b],f(a-t)=-f(a+t)\)（f 在 \([a-b,a+b]\)关于 \((a,0)\) 中心对称），那么 \(\int_{a-b}^{a+b} f(x) d_x = 0\)

\(\int_{-a}^af(x)d_x=\int_{-a}^0f(x)d_x+\int_0^af(x)d_x\)

其中 \(\int_{-a}^0f(x)d_x=-\int_0^{-a}f(x)d_x=-\int_0^af(-u)/(-1)d_u=\int_0^af(-u)d_u\)

(1) \(\int_0^af(-u)d_u=\int_0^af(u)d_u\)，于是 \(\int_{-a}^af(x)d_x=\int_0^af(u)d_u+\int_0^af(x)d_x=2\int_0^af(x)d_x\)

(2) \(\int_0^af(-u)d_u=-\int_0^af(u)d_u\)，于是 \(\int_{-a}^af(x)d_x=-\int_0^af(u)d_u+\int_0^af(x)d_x=0\)

\(\blacksquare\)

1. 变量代换法则：假设 \(f\in C[a,b]\) 并且 \(u=g(x)\in C'(a,b)\)，那么 \(\int f(g(x))g'(x)~d_x=\int f(u) d_u\)；推论：若 \(F'=f\)，那么 \(\int(f\circ g)g'~d_x=F\circ g\)
2. 定积分换元法：假设 f 在 \(\{g(x)|~x\in[a,b]\}\) 上连续，并且 \(g'\in C[a,b]\)，那么 \(\int_a^bf(g(x))g'(x)~d_x=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)~d_u\)
3. 定积分的对称性质：假设 f 在 \([-a,a]\) 上连续
   1. 若 \(\forall t\in[-a,a],f(-t)=f(t)\)，那么 \(\int_{-a}^af(x)d_x=2\int_0^af(x)d_x\)
   2. 若 \(\forall t\in[-a,a],f(-t)=-f(t)\)，那么 \(\int_{-a}^af(x)d_x=0\)

(1) 设 \(u=1-x\)，\(\int_0^1x^a(1-x)^bd_x=\int_0^1(1-u)^au^bd(1-u)=-\int_1^0(1-u)^au^bd_u=\int_0^1(1-u)^au^bd_u\)

(2) 设 \(u=a-x\)，\(\int_0^af(a-x)g(x)d_x=\int_0^af(u)g(a-u)d(a-u)=-\int_a^0f(u)g(a-u)d_u=\int_0^af(u)g(a-u)d_u\)

(2.1) 由 (2) 的结论，\(\int_0^\pi xf(\sin x)d_x=\int_0^\pi(\pi-x)f(\sin(\pi-x))d_x=\pi\int_0^\pi f(\sin x)d_x-\int_0^\pi xf(\sin x)d_x\)

于是 \(\int_0^\pi xf(\sin x)d_x=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)d_x\)

(2.2) 由 (2) 的结论，\(\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)d_x=\int_0^{\frac\pi2}f(\sin(\frac\pi2-x))d_x=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)d_x\)

(2.3) 由 (2) 的结论，\(\int_0^{\frac\pi2}xf(\cos x)d_x=\int_0^{\frac\pi2}(\frac\pi2-x)f(\cos(\frac\pi2-x))d_x=\int_0^{\frac\pi2}(\frac\pi2-x)f(\sin x)d_x\)，于是 \(\int_0^{\frac\pi2} x(f(\sin x)+f(\cos x))~d_x=\frac\pi2\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)d_x\)

(3) 应用 (2) 的结论，\(\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}d_x=\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)}d_x=\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}d_x\)

于是 \(\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}d_x=\frac\pi2\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}d_x=-\frac\pi2\int_1^{-1}\frac1{1+\cos^2x}d(\cos(x))=-\frac\pi2\tan^{-1}u\Big|_1^{-1}=\frac{\pi^2}4\)

(4) 设 \(u=-x\)，\(\int_a^bf(-x)d_x=-\int_{-a}^{-b}f(-x)d(-x)=\int_{-b}^{-a}f(-x)d(-x)=\int_{-b}^{-a}f(u)d_u\)

(6.1) \(\int_0^1 e^{\sqrt x}d_x=\int_0^1\frac{e^{\sqrt x}}{1/2\sqrt x}d(\sqrt x)=2\int_0^1\sqrt xe^{\sqrt x}d(\sqrt x)=2\int_0^1 te^td_t=2(t-1)e^t\Big|_0^1=2\)

(6.2) \(\int_0^{\frac\pi2}e^{\sin x}\sin 2x~d_x=2\int_0^{\frac\pi2}e^{\sin x}\sin x\cos x~d_x=2\int_0^1e^{\sin x}\sin x~d(\sin x)=2\int_0^1e^tt~d_t==2(t-1)e^t\Big|_0^1=2\)

(7) 设 \(u=x^2\)，\(\int_0^3xf(x^2)d_x=\int_0^9xf(x^2)/(2x)d(x^2)=\frac12\int_0^9f(t)d_t\)

(8.1)

法1：\(\int\tan^3xd_x=\int\tan^3x/(\sec^2x)~d(\tan x)=\int\sin^2x\tan x~d(\tan x)=\int\tan x~d(\tan x)-\int\cos^2x\tan x~d(\tan x)\) \(=\frac12\tan^2x-\int\sin x\cos x~d(\tan x)=\frac12\tan^2x-\int\tan x~d_x=\frac12\tan^2x+\ln|\cos x|\)；于是 \(\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\tan^3xd_x=\left[\frac12\tan^2x+\ln|\cos x|\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}=0\)

法2：根据对称性，\(\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\tan^3xd_x=0\)

(8.2) 设 \(t=1+2x\)，\(\int_0^{13}\frac{dx}{\sqrt[3]{(1+2x)^2}}=\int_1^{27}\frac{2^{-1}d(1+2x)}{\sqrt[3]{(1+2x)^2}}=\frac12\int_1^{27}t^{-2/3}d_t=\frac12\cdot3t^{1/3}\Big|_1^{27}=3\)

(8.3) 设 \(t=a^2-x^2\)，\(\int_0^ax\sqrt{a^2-x^2}d_x=\int_{a^2}^0x\sqrt{a^2-x^2}/(-2x)~d(a^2-x^2)=-\frac12\int_{a^2}^0\sqrt{a^2-x^2}~d(a^2-x^2)=-\frac12\cdot\frac23t^{3/2}\Big|_{a^2}^0=\frac13a^3\)

6.对数函数的积分表达形式

到此为止，我们对 指数函数 和 对数函数的处理依赖于我们的直觉，这种直觉以 数值和 的形式为依据基础

我们从定义 \(\ln x\) 为一个函数的积分开始讨论，而不依赖于前面关于 指数函数 或 对数函数 的定义和结果

\(\ln x = \int_1^x \frac 1t~d_t\) & x > 0

1. 若 \(\exists a\in\mathbb Z,f(a)=0\)，那么 \(\forall n\in D_f,n\in\mathbb Z\)，有 \(\begin{cases}\sum\limits_{i=a}^{n-1}f'(i)\le f(n)\le\sum\limits_{i=a+1}^nf'(i)&\forall x\in[a,n],f''(x)\ge0\\\sum\limits_{i=a+1}^nf'(i)\le f(n)\le\sum\limits_{i=a}^{n-1}f'(i)&\forall x\in[a,n],f''(x)\le0\end{cases}\)
2. 若 \(\exists f(a)=0\)，那么 \(\exists \delta>0,k=(x-a)/\delta\) 使得 \(\forall x\) 有 \(\begin{cases}\sum\limits_{i=0}^{k-1}f'(a+\delta i)\delta\le f(x)\le\sum\limits_{i=1}^kf'(a+\delta i)\delta&\forall t\in[a,x],f''(t)\ge0\\\sum\limits_{i=1}^kf'(a+\delta i)\delta\le f(x)\le\sum\limits_{i=0}^{k-1}f'(a+\delta i)\delta&\forall t\in[a,x],f''(t)\le0\end{cases}\)

(1) \(\forall x\in\mathbb R^+,\ln x=\int_1^x\frac1td_t\)，蕴含 \(\forall n\in\mathbb Z^+,\ln n=\int_1^n\frac1td_t=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\int_i^{i+1}\frac1td_t\)

\(\forall i=1..n-1,x\in[i,i+1]\)，\((\ln x)'=\frac1x\) 单调递减（即 \((\ln x)''<0\)），蕴含 \(\frac1{i+1}\le\int_i^{i+1}\frac1td_t\le \frac1i\)，于是 \(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac1{i+1}\le\sum\limits_{i=1}^{n-1}\int_i^{i+1}\frac1td_t\le\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac1i\)

所以 \(\sum\limits_{i=2}^n\frac1i\le\ln n\le \sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac1i\)