4.导数的应用

1.最值

• 最大值：如果一个函数f在点 c 满足 \(f(c) \ge f(x)\) 对于所有的 \(x\in D\) 都成立(D 为函数的定义域)，那么就称函数 f 在 c 点有具有绝对最大值(全局最大值)，f(c) 的值称为函数 f 在定义域 D 中的最大值
• 最小值：如果一个函数f在点 c 满足 \(f(c) \le f(x)\) 对于所有的 \(x\in D\) 都成立(D 为函数的定义域)，那么就称函数 f 在 c 点有具有绝对最小值(全局最小值)，f(c) 的值称为函数 f 在定义域 D 中的最小值
• 最值：最大值和最小值统称为函数 f 的最值

• 极大值：当 x 在点 c 附近都有 \(f(c)\ge f(x)\)，那么就称函数 f 在点 c 有一个极大值（也就是说在一些包含点 c 的开区间中，所有的 x 都满足 \(f(c)\ge f(x)\)）
• 极小值：当 x 在点 c 附近都有 \(f(c)\le f(x)\)，那么就称函数 f 在点 c 有一个极小值

闭区间 \([a,b]\) 上连续函数 f 一定可以在 \([a,b]\) 上某点 c 和 d 取到最大值和最小值 \(f(c)\) 和 \(f(d)\)

如果 f 子在点 c 有极大值或者极小值，并且 f'(c) 存在，那么 \(f'(c)=0\)

f 的临界值：f 的定义域中满足条件的点 c：\(f'(c)=0\) 或 \(f'(c)\) 不存在

如果 f 在 c 点有极值，那么 c 是临界值

f 在 闭区间 \([a,b]\) 上 连续

1. 求 \((a,b)\) 上临界值对应的函数值
2. 求 f 在区间端点处的值
3. 从上述值中取 最大值 和 最小值

1. 最小值，最大值，最值：假设 f 是实值函数，若 \(\exists c\in D_f,\forall x\in D_f,f(c)\le f(x)\)，那么称 f 在 c 点有最小值；若 \(\exists c\in D_f,\forall x\in D_f,f(c)\ge f(x)\)，那么称 f 在 c 点有最大值；最小值和最大值统称最值
2. 极小值，极大值，极值：假设 f 是实值函数，若 \(\exists c\in D_f,\forall x\in \mathring U(c,\delta),f(c)<f(x)\)，那么称 f 在点 c 有极小值；若 \(\exists c\in D_f,\forall x\in \mathring U(c,\delta),f(c)>f(x)\)，那么称 f 在点 c 有极大值；极小值和极大值统称极值
3. 最值定理：若 \(f\in C[a,b]\)（即 f 是 \([a,b]\) 上的连续函数），那么 \(\exists c,d\in D_f,c=\arg\min\limits_{x\in D_f}f(x),d=\arg\max\limits_{x\in D_f}f(x)\)
4. 费马定理：若 c 是 f 的一个极值点，那么 \(f'(c)\) 不存在或 \(f'(c)=0\)
5. 临界值：若 \(f'(c)\) 不存在或 \(f'(c)=0\)，那么 \(f(c)\) 称为 f 的临界值
6. 最值算法1：若 \(f\in C[a,b]\)，那么 f 在 \([a,b]\) 之间的最值一定 \(f(a),f(b),\{f(x)|~\not\exists f'(x)或f'(x)=0\}\) 之内

2.中值定理

若 f 满足：

1. f 是闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数
2. f 在开区间 \((a,b)\) 内可微
3. \(f(a)=f(b)\)

那么，在区间 \((a,b)\) 上存在一个数使得 \(f'(c)=0\)

graph LR
a("f 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可微，f(a)=f(b)") --> b("c ∈ (a, b), f'(c) = 0")

若 f 满足：

1. f 是闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数
2. f 在开区间 \((a,b)\) 内可微

那么，在区间 \((a,b)\) 上存在一个数使得 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 或 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

或者，等价地： \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\) （可以证明导数的符号与函数增减的关系） 或 \(\Delta y=f'(c)\Delta x\)

若在 \((a,b)\) 内恒有 \(f'(x)=0\)，那么在 \((a,b)\) 内 f 为常数

引理：若在 \((a,b)\) 内恒有 \(f'(x)-g'(x)=0\)，那么在 \((a,b)\) 内 \(f-g\) 为常数，也就是说 \(f(x)=g(x)+c\) (c 为常数)

结论：\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac\pi2\)

(1) 由[中值定理]和 f 在 \((a,b)\) 可微，有 \(\forall x_1<x_2\in(x_1,x_2),\exists c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

又由 \(f'(c)=0\)，于是 \(f(x_1)-f(x_2)=0\)，即 \(f(x_1)=f(x_2)\)

\(\blacksquare\)

1. 罗尔定理：若 \(f\in C[a,b],f\in C'(a,b)\) 且 \(f(a)=f(b)\)，那么 \(\exists c\in(a,b),f'(c)=0\)
2. 拉格朗日中值定理：若 \(f\in C[a,b],f\in C'(a,b)\)，那么 \(\exists c\in(a,b),f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

1. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)=0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是常函数
2. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)=g'(x)\)，那么 \(f(x)=g(x)+c\) 在 \((a,b)\) 上成立

3.导数在绘图上的应用

1. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)>0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是增函数（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f(x_2)>f(x_1)\)）
2. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)<0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是减函数（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f(x_2)<f(x_1)\)）

由[中值定理]，\(\forall x_1<x_2\in(a,b)\)，\(\exists c\in(x_1,x_2)\) 使得 \(f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

(1) 若 \(f'(c)>0\)，那么 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\)，又由 \(x_2>x_1\)，于是 \(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即 \(f(x_2)>f(x_1)\)

(2) 若 \(f'(c)<0\)，那么 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0\)，又由 \(x_2>x_1\)，于是 \(f(x_2)-f(x_1)<0\)，即 \(f(x_2)<f(x_1)\)

\(\blacksquare\)

1. 若 \(\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)>0,\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)<0\)，那么 c 是 f 的一个极大值
2. 若 \(\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)<0,\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)>0\)，那么 c 是 f 的一个极小值
3. 若 \(\left(\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)\right)\left(\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)\right)\ge0\)，那么 c 不是 f 的极值

证明用到了[单调性判定定理]

\(\blacksquare\)

• 上凹：如果一个函数f在区间 I 的图形位于它的所有的切线的上方，那么 f称为在区间 I 上凹
• 下凹：如果一个函数f在区间 I 的图形位于它的所有的切线的下方，那么f称为在区间 I 下凹

(a) 如果对区间 I 中的任意x，都有f"(x)>0，那么在区间 I 函数f的图形是上凹的

(b) 如果对区间 I 中的任意x，都有f"(x)<0，那么在区间 I 函数f的图形是下凹的

曲线 \(y=f(x)\) 在 P 点连续，并且在 P 点由上凹变为下凹，或者由下凹变为上凹，那么 P 称为曲线的一个拐点

假设 c 点附近 f'' 是连续的

(a) 当 \(f'(c)=0\) 并且 \(f''(c)>0\)，f 在 c 点有一个极小值

(b) 当 \(f'(c)=0\) 并且 \(f''(c)<0\)，f 在 c 点有一个极大值

(c) 另外，\(f"(c)=0\) 时，函数可能有 极大值 或 极小值 或 不存在极值

1. 单调性判定定理：
   1. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)>0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是增函数（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f(x_2)>f(x_1)\)）
   2. 若 \(\forall x\in(a,b),f'(x)<0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是减函数（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f(x_2)<f(x_1)\)）
2. 极值判定定理1：假设 c 是 f 的一个临界点，并且 \(f'\) 是 \(\mathring U(c,\delta)\) 内的连续函数，那么 \(\begin{cases}c是f的一个极大值点&\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)>0,\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)<0\\c 是 f 的一个极小值点&\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)<0,\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)>0\\c 不是 f 的极值点&\left(\lim\limits_{t\to c^-}f'(t)\right)\left(\lim\limits_{t\to c^+}f'(t)\right)\ge0\end{cases}\)
3. 极值判定定理2：假设 \(f''\) 是 \(\mathring U(c,\delta)\) 内的连续函数，那么 \(\begin{cases}c是f的一个极大值点&f'(c)=0,f''(c)<0\\c是f的一个极小值点&f'(c)=0,f''(c)>0\\不提供信息&f''(c)=0\end{cases}\)
4. 凹性，上凹，下凹：若函数方程 \(y=f(x)\) 在区间 I 上的图像位于它的所有切线上方，那么称 f 在区间 I 上是上凹的，否则称为下凹的；上凹和下凹统称为凹性
5. 凹性判定定理：
   1. 若 \(\forall x\in(a,b),f''(x)>0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是上凹的（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f'(x_2)>f'(x_1)\)）
   2. 若 \(\forall x\in(a,b),f''(x)<0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 上是下凹的（即 \(\forall x_1<x_2\in(a,b)\) 有 \(f'(x_2)<f'(x_1)\)）
6. 拐点，上拐点，下拐点：若函数方程 \(y=f(x)\) 在 c 处由下凹变为上凹，那么称 c 为曲线的一个上拐点，否则称为下拐点；上拐点和下拐点统称拐点
7. 拐点判定定理：假设 c 是 \(f'\) 的一个临界点（\(f''(c)=0\) 或 \(f''(c)\) 不存在），\(f''\) 是 \(\mathring U(c,\delta)\) 内的连续函数，那么 \(\begin{cases}c是f的一个下拐点&\lim\limits_{t\to c^-}f''(t)>0,\lim\limits_{t\to c^+}f''(t)<0\\c 是 f 的一个上拐点&\lim\limits_{t\to c^-}f''(t)<0,\lim\limits_{t\to c^+}f''(t)>0\\c 不是 f 的拐点&\left(\lim\limits_{t\to c^-}f''(t)\right)\left(\lim\limits_{t\to c^+}f''(t)\right)\ge0\end{cases}\)

1. 假设 \(f'(c)=0\)，若 f 在 c 附近上凹，那么 c 是极小值，否则是极大值
2. 若 \(f'(c)=0\)，那么称 c 是 f 的尖点或不光滑点，反之称为光滑点

4.不定型求导与洛必达法则

\(\lim\limits_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)}\)

\(\frac 00\)型：当 \(x\to a, f(x)\to 0, g(x)\to 0\) （极限可能存在，也可能不存在）

\(\frac ∞∞\)型：当 \(x\to a, f(x)\to ∞, g(x)\to ∞\) (分子阶数高 / 分母阶数高 / 分子分母同阶 极限分别为 ∞，0，或 可能存在/不存在)

f 和 g 可微，并且在 a 附近（可能不包含 a 点）\(g'(x) \ne 0\), 并且 \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = 0 | ±∞, \lim\limits_{x\to a}g(x)= 0 | ±∞\) （即 \(\frac 00\)型 或 \(\frac ∞∞\)型 的不定型），那么当 \(\lim\limits_{x\to a} \frac {f'(x)}{g'(x)}\)存在 （或者是 ∞ 或 -∞）

\(\lim\limits_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac {f'(x)}{g'(x)}\)

注：\(x\to a\) 可以替换成 \(x\to a^+\)，\(x\to a^-\)，\(x\to +∞\)，\(x\to -∞\)

另外：f(a) = g(a) = 0，g'连续，并且 g'(a)\(\ne\)0 时，洛必达法则正确 （证明参见 p323）

\(\lim\limits_{x\to a} f(x)g(x)\)

\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = 0, \lim\limits_{x\to a} g(x) = +∞ | -∞\)

如果 f 的影响更大，则极限为 0；如果 f 的影响更大，则极限为 +∞ | -∞；如果 f 和 g 对结果影响差不多，可能这个极限为 某个有限的非零数

处理方法： 对 fg 做两种变换：\(fg = \frac f{1/g} = \frac g{1/f}\) （选取一种合适的变换可以简化运算）

\(\lim\limits_{x\to a} [f(x)-g(x)]\)

\(\lim\limits_{x\to a} f(x) = +∞, \lim\limits_{x\to a} g(x) = +∞\) （形式化的定义）

处理方法：把差转化为商 “通过一个公分母，或者有理化，提出一个公因子” 得到 商的不定型

\(\lim\limits_{x\to a} [f(x)]^{g(x)}\)

• \(0^0\)型：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=0, \lim\limits_{x\to a} g(x)=0\)
• \(∞^0\)型：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=∞, \lim\limits_{x\to a} g(x)=0\)
• \(1^∞\)型：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=1, \lim\limits_{x\to a} g(x)=±∞\)

处理方法：

1）令 \(y=[f(x)]^{g(x)}\)，则 \(\ln y = g(x) \ln f(x)\)，最后答案为 \(e^{\ln y}\)

2）\([f(x)]^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}\)

1. 商的不定型：
   1. 若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to0,g(x)\to0\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}\) 为 \(\frac00\) 型
   2. 若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to\pm∞,g(x)\to\pm∞\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}\) 为 \(\frac∞∞\) 型
2. 洛必达法则：假设 \(f,g\) 在 \(U(a,\delta)\) 上可微，若 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}\) 是商的不定型（\(\frac00\) 或 \(\frac∞∞\)）且 \(g'(x)\ne0\)（通常指 \(g(x)\) 不是常数），那么 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac {f'(x)}{g'(x)}\)（其中 a 可以替换为 \(a^-,a^+,-∞,+∞\)）
3. 积的不定型：若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to0,g(x)\to\pm∞\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)\) 为 \(0\cdot∞\) 型
4. 差的不定型：若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to\pm∞,g(x)\to\pm∞\)（而两者同号）或 \(f(x)\to0,g(x)\to0\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)-g(x)]\)
5. 幂的不定型：（一般而言总是有 \(f(x)>0\)）
   1. 若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to0,g(x)\to0\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}\) 为 \(0^0\) 型
   2. 若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to\pm∞,g(x)\to0\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}\) 为 \(∞^0\) 型
   3. 若 \(x\to a\) 蕴含 \(f(x)\to1,g(x)\to\pm∞\)，那么称 \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}\) 为 \(1^∞\) 型

1. 不定型的处理方法：
   1. \(\lim\limits_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)}\)：(1) 洛必达法则，(2) 泰勒展开，(3) 各种定理（三角，数论，组合）
   2. \(\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)\)：\(fg=\frac f{1/g}=\frac g{1/f}\)
   3. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)-g(x)]\)：(1) 有理化，(2) 提出分母
   4. \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}\)：\(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to a}g(x)\ln f(x)}\)

5.曲线绘图

综合几方面的信息：

1. 定义域，范围，对称性
2. 极限，连续，渐近线
3. 导数，切线
4. 零点，极值，单调性，拐点，凹性，洛必达法则

1. 定义域
2. 截距：y 轴截距 \(f(0)\)，x 轴截距 (\(y=0\) 时的 点集)
3. 对称性：
   1. \(f(-x) = f(x)\) 或 \(f(-x) = -f(x)\) 时只需重点关注 \(x>0\) 的图像
   2. \(f(x + p) = f(x)\) 时只需重点关注 一个周期内的图像
4. 渐近线：
   1. 水平渐近线：\(\lim\limits_{x\to +∞} f(x) = L\) 或 \(\lim\limits_{x\to -∞} f(x) = L\)
   2. 垂直渐近线：\(\lim\limits_{x\to a^+} f(x) = +∞\) 或 \(\lim\limits_{x\to a^-} f(x) = +∞\) 或 \(\lim\limits_{x\to a^+} f(x) = -∞\) 或 \(\lim\limits_{x\to a^-} f(x) = -∞\)
   3. 斜渐近线：\(\lim\limits_{x\to ±∞} [f(x) - (m x + b)] = 0\) （f 为 有理函数时 \(P(x)\) 必须比 \(Q(x)\) 高一阶时渐近线存在，此时 \(Q(x)\) 辗转除 \(P(x)\)，对商"向下取整"可以得到1次多项式，即渐近线函数；其中余数必然是常数）
5. 单调性(递增区间，递减区间)：计算 \(f'(x)\) 为 正 / 负 的区间
6. 极值(极大值 / 极小值)：
   1. 求 f 的临界点c (\(f'(c) = 0\) 或 \(f'(c)\) 不存在)
   2. 使用 一阶导数判别法
   3. c 为 临界点 而 \(f''(c)\ne0\) 时，使用 二阶导数判别法
7. 凹性 & 拐点：
   1. 计算 \(f''(x)\)，使用 凹性判别法
   2. 凹性变化的点为 拐点
8. 画草图：以虚线画出渐近线，标出截距，最值点，拐点；依据 单调性 和 凹性 穿点；为提高精确性，可计算某些点的斜率和函数值

1. 画图的关键：(0) 定义域，值域，对称性(\(y=x,x=0,y=0,y=-x\))，(1) 零点，正负，(2) 极值点，单调性，(3) 拐点，凹性，(4) 水平/垂直/斜渐近线

1. 假设 \(a>0\)，那么 \(y=\pm\sqrt{ax^2+bx+c}\) 的渐近线 \(y=mx+t\) 满足 \(\begin{cases}a-m^2=0\\b-2mt=0\end{cases}\) 或 \(\begin{cases}m=\pm\sqrt a\\t=b/(2m)\end{cases}\)
2. 若 \(\lim\limits_{x\to\pm∞}f(x)-g(x)=0\)，称 \(y=g(x)\) 为 \(y=f(x)\) 的渐进曲线

(1)

1. \(f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac2{x+1}\)，而 \(\lim\limits_{x\to∞}f(x)-(x-1)=0\)，于是 \(y=x-1\) 是 \(y=f(x)\) 的斜渐近线
2. \(\frac{4x^3-2x^2+5}{2x^2+x-3}=2x-2+\frac{8x-1}{2x^2+x-3}\)，而 \(\lim\limits_{x\to∞}f(x)-(2x-2)=0\)，于是 \(y=2x-2\) 是 \(y=f(x)\) 的斜渐近线

(2)

1. \(f(x)=e^x-x\)，而 \(\lim\limits_{x\to-∞}f(x)-(-x)=\lim\limits_{x\to-∞}e^x=0\)，于是 \(y=-x\) 是 \(y=f(x)\) 的斜渐近线
2. 设 \(y=f(x)=\sqrt{x^2+4x}\) 的斜渐近线满足方程 \(y=mx+b\)，那么 \(0=\lim\limits_{x\to-∞}\sqrt{x^2+4x}-mx-b=\lim\limits_{x\to-∞}\frac{x^2+4x-m^2x^2-2mbx-b^2}{\sqrt{x^2+4x}+mx+b}\) \(=\lim\limits_{x\to-∞}\frac{(1-m^2)x^2+(4-2mb)x-b^2}{\sqrt{x^2+4x}+mx+b}=\lim\limits_{x\to-∞}\frac{(1-m^2)x+(4-2mb)-b^2/x}{\sqrt{1+4/x}+m+b/x}\)，等价于 \(\begin{cases}1-m^2=0\\4-2mb=0\end{cases}\)，解得 \(m=\pm1,b=2/m\)，于是 \(y=f(x)\) 的斜渐近线为 \(y=x+2\) 或 \(y=-x-2\)

(3) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 蕴含 \(y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2}\)

假设渐近线形如 \(y=mx+t\)，那么根据[一级结论1]有 \(m=\pm b/a,t=0\)，即斜渐近线为 \(y=-\frac ba\)

6.用图形计算器绘图

7.优化问题

设c为某区间上连续函数f的临界值

(a)如果对所有 \(x<c\) 有 \(f'(x)>0\)，对所有 \(x>c\) 有 \(f'(x)<0\)，则 f(c) 是 f 的最大值

(b)如果对所有 \(x<c\) 有 \(f'(x)<0\)，对所有 \(x>c\) 有 \(f'(x)>0\)，则 f(c) 是 f 的最小值

(1) 考虑矩形相对于坐标系是“斜”的情况：构造一条与该椭圆交于两点的直线 l（两个交点之间的线段作为矩形的边），然后对交点分别构造一条与 l 正交的直线，仅当椭圆是圆时，这两条直线在 l 的同一侧与椭圆均相交两点；而椭圆是圆时，可以旋转图像使矩形变为“正的”

矩形相对于坐标系是“正”的情况：\(\forall x\in[0,a]\)，构造矩形的面积为 \(s(x)=4\cdot x(\frac ba\sqrt{a^2-x^2})\)（根据对称性）

\(s'(x)=4\frac ba\cdot\frac{2a^2x-4x^3}{2\sqrt{a^2x^2-x^4}}=4\frac ba\cdot\frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\)

若 \(s'(x)=0\)，那么 \(x=a/\sqrt2\)，于是内接矩形的面积最大值为 \(s(a/\sqrt2)=2ab\)

8.导数在商业和经济上的应用

9.牛顿方法

我们要求 \(f(x) = 0\) 的解，假设第n次迭代时 \(ans = x_n\)

\(x_n\)处有切线 g：\(g(x) - f(x_n) = f'(x_n) \cdot (x - x_n)\)，设第n+1次迭代的解为 该方程的零点

即 \(0 - f(x_n) = f'(x_n) \cdot (x_{n+1} - x_n) \implies x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)}{f'(x_{n})}\)

注：\(x_0\) 应取一个合适的值，因为有时候 \(\lim\limits_{n\to +∞}x_n=r\) 不一定存在 (即级数不收敛)

10.原函数

如果区间 I 上所有 x 都有 F'(x) = f(x)，则函数 F 称为 f 在区间 I 上的一个原函数

如果 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数，则 f 在区间 I 上的原函数通式为：\(F(x) + C\) (C为常数)

注：可以通过lagrange中值定理的推论证明

函数	原函数特例		函数	原函数特例
\(cf(x)\)	cF(x)		\(f(x)+g(x)\)	\(F(x)+G(x)\)
\(\displaystyle x^n\) & \(n \ne -1\)	\(\displaystyle \frac {x^{n+1}}{n+1}\)		\(\sec^2x\)	\(\tan x\)
\(\frac 1x\)	\(\ln{\mid x\mid}\)		\(\sec x\tan x\)	\(\sec x\)
\(e^x\)	\(e^x\)		\(\displaystyle \frac 1{\sqrt {1-x^2}}\)	\(\sin^{-1}x\)
\(\cos x\)	\(\sin x\)		\(\displaystyle \frac 1{1+x^2}\)	\(\tan^{-1}x\)
\(\sin x\)	\(-\cos x\)

一般地，一个函数的图像 能影响 f 的一/二阶导函数，一/二阶原函数：

f 零点旁边的正负函数值 \(\iff\) \(f^{(-1)}\) 水平渐近线(或待选极值点)旁边的单调性 \(\iff\) \(f^{(-2)}(x)\) 伪拐点旁边的 凹性 （很容易看出，若 f 零点 c 两边附近异号，那么 \(f^{(-1)}(c)\) 为极值点，\(f^{(-2)}(c)\) 待选拐点；反之一/二阶原函数在 c 处没有极值或拐点）

因此，若已知某个导数 f'，根据零点旁边的正负，水平渐近线旁边的单调性，可以分别得到 原函数的水平渐近线旁的单调性 和 原函数的待选拐点旁的凹性