3.求导法则

通过定义计算导数有时候很麻烦，接下来将介绍计算导数的法则(幂函数，有理函数，代数函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数)

1.多项式函数 & 指数函数 的导数

1. 常函数：\(\frac{d}{d_x}(c)=0\)
2. 幂函数：\(\forall a\ne0,\frac{d}{d_x}(x^a)=a\cdot x^{a-1}\)（这里 a 不再仅限于 \(\mathbb Q\) 了）
3. 指数函数：\(\forall a>0,\frac{d}{d_x}(a^x)=(\ln a)a^x\)

证明参考[2.7例子]

\(\blacksquare\)

求导是全体可微函数上（此时函数也可以称为一个向量）的一种线性变换，

即 \(\forall f\in C'[a,b]\)，满足：

1. \(\frac{d}{d_x}[c\cdot f(x)] = c\cdot\frac{d}{d_x}f(x)\)
2. \(\frac{d}{d_x}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{d_x}f(x)+\frac{d}{d_x}g(x)\)

2.积函数 & 商函数 的求导法则

\(\displaystyle \frac{d}{d_x}(f(x) \cdot g(x)) = \frac{d}{d_x}[f(x)]g(x) + \frac{d}{d_x}[g(x)]f(x)\)

\(\displaystyle \frac{d}{d_x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\frac{d}{d_x}[f(x)]g(x) - \frac{d}{d_x}[g(x)]f(x)}{[g(x)]^2}\)

假设对于任意函数 f 有 \(\Delta f=f(x+t)-f(x)\)，蕴含 \(\Delta x=t\)（细节详见[2.9导函数记号]）

(1) \(\frac{d(fg)}{dx}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(fg)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)g(x+t)-f(x)g(x)}{t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{(\Delta f+f(x))(\Delta g+g(x))-f(x)g(x)}t\)

\(=\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(f)\Delta(g)+\Delta(f)g(x)+\Delta(g)f(x)}t\)

\(=\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(f)\Delta(g)}t+\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(f)g(x)}t+\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(g)f(x)}t=0+g(x)\frac{df}{dx}+f(x)\frac{dg}{dx}\)

(2) \(\frac{d(f/g)}{dx}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta(f/g)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)/g(x+t)-f(x)/g(x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)t}\)

\(=\lim\limits_{t\to0}\frac{(\Delta f+f(x))g(x)-f(x)(\Delta g+g(x))}{g(x)(\Delta g+g(x))t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{g(x)\Delta f-f(x)\Delta g}{g(x)(\Delta g+g(x))t}\)

\(=\frac{g(x)\lim\limits_{t\to0}(\Delta f)/t-f(x)\lim\limits_{t\to0}(\Delta g)/t}{g(x)(\lim\limits_{t\to0}\Delta g+g(x))}=\frac{g(x)\frac{df}{d_x}-f(x)\frac{dg}{d_x}}{g^2(x)}\)

\(\blacksquare\)

1. 基本求导法则：\(\begin{cases}(cf)'=cf'&c\in\mathbb R\\(f+g)'=f'+g'\\(fg)'=f'g+fg'\\(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}&g(x)\ne0\end{cases}\)
2. 常见求导法则1：\(\begin{cases}(c)'=0&c\in\mathbb R\\(x^a)'=a\cdot x^{a-1}&a\ne0\\(a^x)'=(\ln a)a^x&a>0\\(\log_ax)'=\frac1{(\ln a)x}&a>0,a\ne1\end{cases}\)

1. 倒数法则：\(\left(\frac1{f(x)}\right)'=\frac{-f'(x)}{f^2(x)}\)
2. \((f^n(x))'=nf^{n-1}(x)f'(x)\)

(1) \(y'=\frac1{(x+1)^2}\)

\((1,2)\) 到交点 \((x_0,y_0)\) 的斜率和向量分别为 \(\frac{2-y_0}{1-x_0},(1-x_0,2-y_0)\)

曲线在交点 \((x_0,y_0)\) 处的斜率和向量分别为 \(\frac1{(x_0+1)^2},\left(1,\frac1{(x_0+1)^2}\right)\)（该向量也可以是 \(((x_0+1)^2,1)\)）

1. 由 \(\frac{2-y_0}{1-x_0}=\frac1{(x_0+1)^2}\) 和 \(y_0=x_0/(x_0+1)\)，有 \(\frac{x_0+2}{(1-x_0)(1+x_0)}=\frac1{(x_0+1)^2}\)，即 \(x_0^2+4x_0+1=0\)，解得 \(x_0=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4}}2=-2\pm\sqrt3\)
2. 由 \((1-x_0,2-y_0)\cdot((x_0+1)^2,1)=0\) 和 \(y_0=x_0/(x_0+1)\)，有 \((1-x_0)(x_0+1)^2+\frac{x_0+2}{x_0+1}=0\)，解得 \(x_0\approx-1.5573\) 或 \(x_0\approx1.2775\)

3.自然科学 & 社会科学 中的变化

4.三角函数的导数

\(\frac d{d_x}(\sin_x) = cos_x\)，\(\frac d{d_x}(\csc_x) = -\cot_x \cdot \csc_x\)

\(\frac d{d_x}(\cos_x) = -sin_x\)，\(\frac d{d_x}(\sec_x) = \tan_x \cdot \sec_x\)

\(\frac d{d_x}(\tan_x) = \frac 1{(\cos_x^2)} = \sec_x^2\)，\(\frac d{d_x}(\cot_x) = -\csc_x^2\)

\((\sin x)',(\cos x)'\) 的证明详见[2.7例子]

\(\frac{d}{dx}(\csc x)=\frac{d}{dx}(1/\sin x)=\frac{(1)'\sin x-(\sin x)'}{\sin^2x}=\frac{-\cos x}{\sin^2x}=-\csc x\cot x\)

\(\frac{d}{dx}(\sec x)=\frac{d}{dx}(1/\cos x)=\frac{(1)'\cos x-(\cos x)'}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x\)

\(\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^x}{\cos^2x}=\sec^2x\)

\(\frac{d}{dx}(\cot x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{(\cos x)'\sin x-\cos x(\sin x)'}{\sin^2x}=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\cos^2x}=-\csc^2x\)

\(\blacksquare\)

1. 三角求导法则：\(\begin{cases}(\sin x)'=\cos x&(\csc x)'=-\csc x\cot x&(\cot x)'=-\csc^2x\\(\cos x)'=-\sin x&(\sec x)'=\sec x\cot x&(\tan x)'=\sec^2x\end{cases}\)
2. 重要极限1：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\)，蕴含 \(\lim\limits_{x\to0}x\csc x=1\)

1. \(\tan x=\sin x\sec x\)，\(\cot x=\cos x\csc x\)

(1) \(\cos x-\sin x=\frac{-\csc^3x+\csc x\cot x(1+\cot x)}{\csc^2x}=\frac{-\csc^2x+\cot x+\cot^2x}{\csc x}=\frac{\cot x-1}{\csc x}\)

(2)

1. \(\lim\limits_{t\to0}\frac{\tan 6t}{\sin 2t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin 6t\sec 6t}{\sin 2t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{6(\sin6t/6t)\sec6t}{2\sin 2t/(2t)}=3\)
2. \(\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t+\tan t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t/t}{1+(\sin t/t)\sec t}=\frac1{1+1\cdot1}=1/2\)
3. \(\lim\limits_{t\to0}\frac{\cot 2t}{\csc t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos 2t\csc 2t}{\csc t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos 2t(2t\csc 2t)/2}{t\csc t}=\frac{1\cdot1/2}{1}=1/2\)
4. \(\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{x^2+x-2}=\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{(x-1)(x+2)}=1/3\)
5. \(\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos 2x}=\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\frac{-1}{\cos x+\sin x}=\frac{-1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}2\)

(3) \(y'=e^x(\cos x-\sin x)\)，于是切线方程为 \(y-y_0=e^{x_0}(\cos x_0-\sin x_0)(x-x_0)\)

(4) \(\left(\frac x{\cos x}\right)'=\frac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}\)

5.求导的链式法则

如果 f 和 g 都是可导的函数，则 \(f\circ g\) 是可导的，并且 \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\)（即 \((f\circ g)'(x)=(f'\circ g)(x)\cdot g'(x)\)）

利用莱布尼茨记号重写为：\(\frac {d y}{d_x} = \frac{d y}{d_u}\cdot \frac{d u}{d_x}\) (或者 \(\frac {d(f\circ g)}{d_x}=\frac {d (f\circ g)}{d_g}\cdot \frac{d g}{d_x}\) ？)

推广：\(\left(\mathop\bigcirc\limits_{i=1}^nf_i\right)'=\left(f_1'\mathop\bigcirc\limits_{i=2}^nf_i\right)\left(\mathop\bigcirc\limits_{i=2}^nf_i\right)'=\cdots=\prod\limits_{i=1}^n\left[f_i'\circ\left(\mathop\bigcirc\limits_{j=i+1}^nf_j\right)\right]\)

\(\blacksquare\)

(1)

1. \((e^{x\cos x})'=e^{x\cos x}\cdot(\cos x-x\sin x)\)
2. \((\cot^2(\sin\theta))'=2\cot(\sin\theta)\cdot(-\csc^2(\sin\theta))\cdot\cos\theta=-2\cot(\sin\theta)\csc^2(\sin\theta)\cos\theta\)

(2) \((|f(x)|)'=(\sqrt{f^2(x)})'=\frac{1}{2\sqrt{f^2(x)}}\cdot(2f(x))\cdot f'(x)=\frac{f(x)}{|f(x)|}f'(x)\)

一些例子：\(|\sin x|'=\frac{\sin x}{|\sin x|}\cos x\)，\((\sin|x|)'=\cos|x|\frac{x}{|x|}\)

(5)

1. \([f(e^x)]'=f'(e^x)e^x\)
2. \([e^{f(x)}]'=e^{f(x)}f'(x)\)

(6) \(\left(\frac{|x|}{\sqrt{2-x^2}}\right)'=\frac{(x/\sqrt{x^2})\sqrt{2-x^2}-\sqrt{x^2}((-2x)/2\sqrt{2-x^2})}{2-x^2}\)

\(=\frac{x(2-x^2)+x^3}{(\sqrt{2-x^2})^3\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{|x|(2-x^2)^{3/2}}\)

6.隐函数的求导

所谓的隐函数，本质上指的是有两个或多个未知数的方程

x * y = c (c != 0), x^2 - y^2 = k (k != 0)
上述两个双曲线族是每条曲线相互正交 /*(1)*/ （只需证明两条曲线相交并且斜率的乘积为-1即可）

隐函数：若两个变量 \(x,y\) 由方程 \(F(x,y)=0\) 确定，那么该 y 称为隐函数

隐函数求导：计算 \(\frac{dF}{d_x}=0\)，若可以解得 \(y'=g(x,y)\)，那么称 \(y'\) 是隐函数 y 的导数

反函数求导：函数 f 的反函数的导函数为 \([f^{-1}(x)]'=\frac1{(f'\circ f^{-1})(x)}\)

(3) 假设 f 的反函数为 \(g=f^{-1}\)

\(\forall x\in D_g,(f\circ g)(x)=x\)，方程两侧对 x 求导有 \((f'\circ g)(x)\cdot g'(x)=1\)，蕴含 \(g'(x)=1/(f'\circ g)(x)\)

于是 \([f^{-1}(x)]'=\frac1{(f'\circ f^{-1})(x)}\)

\(\blacksquare\)

1. 正交：若两条曲线交于一点，若他们在该点的切线相互垂直，则称这两条曲线正交

\(\frac d{d_x}(\sin^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)，\(\frac d{d_x}(\csc^{-1}x) = -\frac 1{|x|\sqrt{x^2-1}}\)

\(\frac d{d_x}(\cos^{-1}x) = -\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)，\(\frac d{d_x}(\sec^{-1}x) = \frac 1{|x|\sqrt{x^2-1}}\)

\(\frac d{d_x}(\tan^{-1}x) = \frac 1{1+x^2}\)，\(\frac d{d_x}(\cot^{-1}x) = -\frac 1{1+x^2}\)

1. \((\sin^{-1}x)'=\frac1{\cos\sin^{-1}x}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)
2. \((\csc^{-1}x)'=\frac1{(-\csc\csc^{-1}x)\cdot(\cot\csc^{-1}x)}=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
3. \((\cot^{-1}x)'=\frac1{-\csc^2\cot^{-1}x}=\frac{-1}{(\sqrt{1+x^2})^2}=\frac{-1}{1+x^2}\)
4. \((\cos^{-1}x)'=\frac1{-\sin\cos^{-1}x}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
5. \((\sec^{-1}x)'=\frac1{(\sec\sec^{-1}x)\cdot(\cot\sec^{-1}x)}=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}\)
6. \((\tan^{-1}x)'=\frac1{\sec^2\tan^{-1}x}=\frac1{(\sqrt{1+x^2})^2}=\frac1{1+x^2}\)

\(\blacksquare\)

1. 隐函数：若两个变量 \(x,y\) 由方程 \(F(x,y)=0\) 确定，那么该 y 称为隐函数
2. 隐函数求导：计算 \(\frac{dF}{d_x}=0\)，若可以解得函数关系 \(y'=g(x,y)\)，那么称 \(y'\) 是隐函数 y 的导数
3. 反函数求导：一对一函数 f 的反函数的导函数为 \([f^{-1}(x)]'=\frac1{(f'\circ f^{-1})(x)}\)
4. 反三角求导法则：\(\begin{cases}(\sin^{-1}x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&(\csc^{-1}x)'=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}&(\cot^{-1}x)'=\frac{-1}{1+x^2}\\(\cos^{-1}x)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}&(\sec^{-1}x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}&(\tan^{-1}x)'=\frac1{1+x^2}\end{cases}\)

(2) 对 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的两侧的 x 进行求导有 \(\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0\)，蕴含 \(y'=-\frac{b^2x}{a^2y}\)（假设 \(y\ne0\)）

于是该椭圆在 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程为 \(y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)\)，即 \((y_0/b^2)y+(x_0/a^2)x-y_0^2/b^2-x_0^2/a^2=0\)

于是 \((y_0/b^2)y+(x_0/a^2)x-1=0\)，最后 \(\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1\)

(3) 对 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 的两侧的 x 进行求导有 \(\frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}=0\)，蕴含 \(y'=\frac{b^2x}{a^2y}\)（假设 \(y\ne0\)）

于是该双曲线在 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程为 \(y-y_0=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)\)，即 \((y_0/b^2)y-(x_0/a^2)x-y_0^2/b^2+x_0^2/a^2=0\)

于是 \(\frac{x_0}{a^2}x-\frac{y_0}{b^2}y=1\)

(4) \(\sqrt x+\sqrt y=\sqrt c\) 两侧对 x 求导有 \(\frac1{2\sqrt x}+\frac1{2\sqrt y}y'=0\)，即 \(y'=-\sqrt\frac yx\)

该方程图像在 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程为 \(y-y_0=-\sqrt\frac{y_0}{x_0}(x-x_0)\)

分别将 \(y=0,x=0\) 代入切线方程中解得 \(x,y\) 轴截距分别为 \(x_0+\sqrt{x_0y_0},y_0+\sqrt{x_0y_0}\)

将两者相加有 \(x_0+2\sqrt{x_0y_0}+y_0=(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0})^2=(\sqrt c)^2=c\)

7.高阶导数

f', f'', f''', ..., \(f^{(n)}\)

莱布尼茨记号：\(\frac d{d_x}(\frac {d_y}{d_x}) = \frac {d^2y}{d_{x^2}}\) ...

\(f'(x) = Df(x)\)，\(f''(x) = D^2f(x)\) ... \(f^{(n)}(x) = D^nf(x)\)

总结：\(y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac {d^ny}{dx^n} = D^n f(x)\)

1. 高阶导数：\(f^{(n)}=\begin{cases}f&n=0\\f'&n=1\\(f^{(n-1)})'&n\ge2\end{cases}\)，记 \(y^{(n)}=f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n}=D^nf(x)\)
2. 常见高阶导数：\(\begin{cases}(x^a)^{(n)}=(a)_nx^{a-n}\\(a^x)^{(n)}=(e^{x\ln a})^{(n)}=(\ln a)^na^x\\(\log_ax)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(\ln a)x^n}&n\ge1\end{cases}\)（注：\((a)_n=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(a-i)\)）
3. 三角高阶导数：\(\begin{cases}(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac\pi2n)\\(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac\pi2n)\end{cases}\)
4. 隐函数高阶导数：假设 \(F(x,y)=0\)，(1) 计算 \(\frac{d^nF}{dx^n}=0\)，解得函数关系 \(y'=g_1(x,y)\)，(2) 对该方程两侧分别求 \(1..n-1\) 次导数，得到方程组 \(\begin{cases}y'=g_1(x,y)\\y''=g_2(x,y,y')\\~~~~~~\vdots\\y^{(n)}=g_n(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})\end{cases}\)，(3) 方程组解得 \(y^{(n)}=g(x,y)\)
5. 函数乘法的高阶导数（莱布尼茨公式）：\((fg)^{(n)}(x)=\sum\limits_{i=0}^nf^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\)

1. \(\forall a\in\mathbb R^+\)，\((-a)_n=(-1)^n(a+n-1)_n\)
2. 莱布尼茨公式：\((fg)^{(n)}(x)=\sum\limits_{i=0}^nf^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\)
3. 莱布尼茨公式的推广：\(\left(\prod\limits_{i=1}^kf_i\right)^{(n)}(x)=\sum\limits_{i_1+\cdots+i_k=n}\binom{k}{i_1,\cdots,i_k}\prod\limits_{j=1}^kf_j^{(i_j)}(x)\)

(1) 将 \(y=a\sin x+b\cos x\) 带入 \(y''+y'-2y=\sin x\) 有 \(-a\sin x-b\cos x+a\cos x-b\sin x-2a\sin x-2b\cos x=\sin x\)

得到线性方程组 \(\begin{cases}-a-b-2a=1\\-b+a-2b=0\end{cases}\)，解得 \(a=-3/10,b=-1/10\)

(2) 将 \(y=ax^2+bx+c\) 带入 \(y''+y'-2y=x^2\) 有 \(a+(2ax+b)-2(ax^2+bx+c)=x^2\)

得到线性方程组 \(\begin{cases}-2a=1\\2a-2b=0\\2a+b-2c=0\end{cases}\)（此方程组是下三角的），解得 \(a=-1/2,b=-1/2,c=-3/4\)

(3) \(y=e^{rx}\) 带入 \(y''+5y'-6y=0\) 有 \(r^2e^r+5re^r-6e^r=0\)

得到方程 \(r^2+5r-6=0\)，解得 \(r=1\) 或 \(r=-6\)

(4) \((xg(x^2))''=[g(x^2)+xg'(x^2)\cdot(2x)]'=[g(x^2)+2x^2g'(x^2)]'\)

\(=g'(x^2)\cdot(2x)+4xg'(x^2)+2x^2g''(x^2)\cdot(2x)=6xg'(x^2)+4x^3g''(x^2)\)

另外，使用[莱布尼茨公式]也可：\((xg(x^2))''=0\cdot g(x^2)+1\cdot g'(x^2)(2x)+x\cdot(g''(x^2)(2x)\cdot(2x)+g'(x^2)\cdot2)=6xg'(x^2)+4x^3g''(x^2)\)

(8) \(\left(\frac{a+bx}{c+dx}\right)^{(n)}=\left(\frac bd+\frac{(ad-bc)/d}{c+dx}\right)^{(n)}=\frac{ad-bc}d\cdot(-1)_n(c+dx)^{(-1-n)}\cdot d^n\)

\(=\frac{ad-bc}d\cdot\frac{(-1)^nn!}{(c+dx)^{(n+1)}}\cdot d^n=(-d)^{n-1}\frac{(bc-ad)}{(c+dx)^{(n+1)}}n!\)

(9)

1. \(\left(\frac1{5x-1}\right)^{(n)}=(-1)_{n}(5x-1)^{-1-n}\cdot5^n=\frac{(-5)^nn!}{(5x-1)^{n+1}}\)
2. \(\left(\frac1{3x^3}\right)^{(n)}=(1/3)(-3)_nx^{-3-n}=\frac{(-1)^{n}(n+2)_n}{3x^{n+3}}=\frac{(-1)^n(n+2)!}{6x^{n+3}}\)

8.对数函数的求导

\(\frac d{d_x}(\log_ax) = \frac 1{x\ln a}\)

\(\frac d{d_x}(\ln x) = \frac 1x\)（假设 \(x>0\)）

\(\frac d{d_x}(\ln(|x|)) = \frac 1x\)（假设 \(x\ne0\)）

(1) 假设函数 f 形如 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^ng_i^{k_i}(x)\)，那么 \(f'(x)=\begin{cases}0&f(x)=0\\f(x)\sum\limits_{i=1}^nk_i\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}&f(x)\ne0\end{cases}\)

(2) 假设函数 h 形如 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^ng_i(x)^{k_i(x)}\)，那么 \(f'(x)=\begin{cases}0&f(x)=0\\f(x)\sum\limits_{i=1}^n\left[k_i(x)\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}+k_i'(x)\ln|g_i(x)|\right]&f(x)\ne0\end{cases}\)

(1) 假设 \(f(x)\ne0\)，于是 \(|f(x)|=\prod\limits_{i=1}^n|g_i^{k_i}(x)|\)

对方程两侧取对数有 \(\ln|f(x)|=\ln\prod\limits_{i=1}^n|g_i^{k_i}(x)|=\sum\limits_{i=1}^n\ln|g_i^{k_i}(x)|=\sum\limits_{i=1}^nk_i\ln|g_i(x)|\)

方程两侧对 x 求导有 \(\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum\limits_{i=1}^nk_i\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}\)

于是 \(f'(x)=f(x)\sum\limits_{i=1}^nk_i\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}\)

\(\blacksquare\)

通过 \(f(x)=\ln(x)\) 在 \(x=1\) 处的极限的方程式得到：

\(e=\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}\)

\(e=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^{x}\)

\(1=(\ln x)'\Big|_{x=1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\ln1}x=\lim\limits_{x\to0}\ln(1+x)^{1/x}\)

又由 \(e^x\) 在 1 处连续，于是 \(e=\lim\limits_{x\to0}e^{\ln(1+x)^{1/x}}=\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}\)

又由[2.6练习]，\(e=\lim\limits_{x\to∞}(1+1/x)^x\)

\(\blacksquare\)

1. 对数求导法：假设函数 f 形如 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^ng_i^{k_i}(x)\)，那么 \(f'(x)=\begin{cases}0&f(x)=0\\f(x)\sum\limits_{i=1}^nk_i\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}&f(x)\ne0\end{cases}\)
2. 对数求导法2：假设函数 h 形如 \(f(x)=\prod\limits_{i=1}^ng_i(x)^{k_i(x)}\)，那么 \(f'(x)=\begin{cases}0&f(x)=0\\f(x)\sum\limits_{i=1}^n\left[k_i(x)\frac{g_i'(x)}{g_i(x)}+k_i'(x)\ln|g_i(x)|\right]&f(x)\ne0\end{cases}\)
3. 重要极限：(1) \(e=\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}\)，(2) \(e=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^{x}\)

(1) \(y\ln|x|=x\ln|y|\)，蕴含 \(y'\ln|x|+y\frac1x=\ln|y|+x\frac{y'}y\)，蕴含 \(y'=\frac{\ln|y|-y/x}{\ln|x|-x/y}\)

(2)

1. \(\left(\frac{\sin^2x\tan^4x}{(x^2+1)^2}\right)'=\frac{\sin^2x\tan^4x}{(x^2+1)^2}\left(2\frac{\cos x}{\sin x}+4\frac{\sec^2x}{\tan x}-2\frac{2x}{x^2+1}\right)\)
2. \((\frac x{1-\ln(x-1)})'=\frac x{1-\ln(x-1)}\left(\frac1x-\frac{-1/(x-1)}{1-\ln(x-1)}\right)\)

(3)

1. \((x^{\sin x})'=x^{\sin x}(\sin x\frac1x+\cos x\cdot\ln|x|)\)
2. \(((\ln x)^{\cos x})'=(\ln x)^{\cos x}(\cos x\frac{1/x}{\ln x}-\sin x\ln|\ln x|)\)

注：上述两题的底数 \(x,\ln x\) 都是正实数，于是上面的绝对值符号可去掉

9.双曲函数

\(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 在数学及其应用中经常出现

很多情况下，他们和三角函数有很多相似之处

\(\sinh x = \frac {e^x-e^{-x}}2\)，\(\text{csch}~x = \frac 1{\sinh x}\)

\(\cosh x = \frac {e^x+e^{-x}}2\)，\(\text{sech}~x = \frac 1{\cosh x}\)

\(\tanh x = \frac {\sinh x}{\cosh x}\)，\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}\)

\(\sinh (-x) = -\sinh x\)，\(\cosh (-x) = \cosh x\)

\(\cosh^2x - \sinh^2x = 1\)，\(1 - \tanh^2x = sech^2x\)，\(\coth^2x - 1 = csch^2x\)

\(\sinh(x+y) = \sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y\)

\(\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y\)

\(\frac d{d_x} \sinh x = \cosh x\)，\(\frac d{d_x} csch x = -\coth x~csch x\)

\(\frac d{d_x} \cosh x = \sinh x\)，\(\frac d{d_x} sech x = -\tanh x~sech x\)

\(\frac d{d_x} \tanh x = sech^2x\)，\(\frac d{d_x} \coth x = -csch^2x\)

\(y = \sinh^{-1}x \iff \sinh y = x\)

\(y = \cosh^{-1}x \iff \cosh y = x\)（限定 \(x\ge 0\) 使\(\cosh\) 单射）

\(y = \tanh^{-1}x \iff \tanh y = x\)

\(\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt {x^2+1})\) & \(x\in R\)

\(\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt {x^2-1})\) & \(x\ge 1\)

\(\tanh^{-1}x = \frac 12\ln (\frac {1+x}{1-x})\) & \(|x| < 1\)

\(\begin{cases}\frac d{d_x}(\sinh^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{1+x^2}}&\frac d{d_x}(\text{csch}^{-1}x)=- \frac 1{|x|\sqrt{x^2+1}}&\frac d{d_x}\coth^{-1}x) = \frac 1{1-x^2}\\ \frac d{d_x}(\cosh^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{x^2-1}}&\frac d{d_x}(\text{sech}^{-1}x)=- \frac 1{|x|\sqrt{1-x^2}}&\frac d{d_x}(\tanh^{-1}x) = \frac 1{1-x^2}\end{cases}\)

10.相关变化率

11.线性近似 & 微分

如果 y = f(x)，其中 f 是可导函数，则微分 dx 是一个自变量(可以是任意实数)，微分 dy = f'(x) dx

讨论微分dx，dy的几何意义：

• \(P(x,f(x))\)和\(Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))\)是 f 上的点，P和Q之间 y的变化为 \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)，x的变化记为 \(\Delta x\)，\(\Delta y\)意义是函数从 P 到 Q，曲线y=f(x)上升或下降的数量
• 设 \(dx = \Delta x\)，f(x)在P处的切线的 \(x + dx\)处定义一点 R，则 \(dy = f'(x)dx\) 的意义就是 x到\(x+dx\)切线上升或下降的数量？

实验：泰勒多项式