2.极限&导数

第 \(2,6\) 节给出极限的所有形式化定义（包括双侧极限，单侧极限，无穷大极限，无穷远处极限，无穷远处的无穷大极限）

第 \(4,6\) 节给出极限的所有严格定义

第 3 节给出极限的法则和定理，第 5 节给出[复合极限定理]

第 5 节给出连续定义，以及[连续定理]，[组合连续定理]，[复合连续定理]，[介值定理]等关于连续性的定理

第 \(2,4\) 节分别用无穷大极限和无穷远处极限导出了函数的垂直渐近线和水平渐近线

1.切线和速度问题

2.函数的极限

当 x 趋于 a 时，函数 f(x) 的极限等于 L，定义为 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\)

如果我们可以通过让 x 充分地接近 a (在 a 的两边均可)，但不等于a (\(x \ne a\))，使得到f(x)的值任意地接近 L

另一种表达：\(x \to a\), \(f(x) \to L\)

1. 若 x 充分接近 a 且 \(x<a\) 时，则称当 x 趋近于 a 时 \(f(x)\) 的左极限等于 L, 记为 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L\)
2. 若 x 充分接近 a 且 \(x>a\) 时，则称当 x 趋近于 a 时 \(f(x)\) 的右极限等于 L, 记为 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L\)

\(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\)，等价于 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L,\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=L\)

假设 f 是一个函数，它在 a 的两边都有定义(a点本身可能除外)

(1) 当 x 充分地靠近但不等于 a 时，f(x) 的值可以任意的大，记为 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=+∞\)

或者 \(x\to a,f(x)\to+∞\)

(2) 当 x 充分地靠近但不等于 a 时，f(x) 的值是绝对值任意大的负数，记为 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-∞\)

或者 \(x\to a,f(x)\to+∞\)

直线 \(x=a\) 称为曲线 \(y=f(x)\) 的垂直渐近线，如果下面的条件至少满足一个：

• \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=+∞\), \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+∞\), \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+∞\)
• \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-∞\), \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-∞\), \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-∞\)

问：是否需要判定 \(a\not\in D_f\) ？

3.利用极限运算法则求极限

正确函数极限函数值不见得总是能通过猜测来得到，如下给出极限的一些性质，称为 极限法则，来计算极限

假设 c 是一个常数，极限 \(\lim\limits_{x \to a}f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x\to a}g(x)\) 存在，那么：

1. \(\lim\limits_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)+\lim\limits_{x\to a}g(x)\)
2. \(\lim\limits_{x \to a}[f(x)-g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)-\lim\limits_{x\to a}g(x)\)
3. \(\lim\limits_{x \to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)\cdot\lim\limits_{x\to a}g(x)\)
4. \(\lim\limits_{x \to a}[f(x)/g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)/\lim\limits_{x\to a}g(x)\)，假设 \(\lim\limits_{x \to a}g(x)\ne0\)
5. \(\lim\limits_{x \to a}[c\cdot f(x)]=c\cdot\lim\limits_{x \to a}f(x)\)
6. 若 \(r\in\mathbb Q\)（即有理数 r 形如 \(r=p/q\)），那么 (1) \(\lim\limits_{x \to a}x^r = a^r\)，(2) \(\lim\limits_{x \to a}f(x)^r=\left[\lim\limits_{x \to a}f(x)\right]^r\)
7. 直接替换性质：若 f 是有理函数（f 形如 \(f(x)=p(x)/q(x)\)，\(p,q\) 为多项式），并且 \(a\in D_f\)，那么 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)

1. \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\iff\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\)
2. 若 \(\exists a,\delta,\forall x\in\mathring U(a,\delta)\) 使得 \(f(x)\le g(x)\)，并且 x 趋于 a 时 f 和 g 的极限都存在，那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) \le \lim\limits_{x \to a}g(x)\)
3. 夹逼原理：若 \(\exists a,\delta,\forall x\in\mathring U(a,\delta)\) 使得 \(l(x)\le f(x)\le r(x)\)，并且 \(\lim\limits_{x \to a}l(x)=L=\lim\limits_{x \to a}r(x)\)，那么 \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = L\)

注：夹逼原理 有时称为 "三明治定理" 或 "摘心定理"

(1) \(x\to-2\) 时，\(x^2+x-2\to0\)，又因 \(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=k\) 存在，于是 \(3x^2+ax+a+3\to0\)，

于是 \(12-2a+a+3=0\)，即 \(a=15\)

于是 \(k=\lim\limits_{x\to-2}\frac{3x^2+15x+15+3}{x^2+x-2}=\lim\limits_{x\to-2}\frac{3(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+2)}=\lim\limits_{x\to-2}\frac{3(x+3)}{x-1}=-1\)

(2.1) 如：\(f(x)=\lfloor x\rfloor,g(x)=4-\lfloor x\rfloor\)

(2.2) 如：\(f(x)=H(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x\ge0\end{cases},g(x)=1-H(x)\)

4.极限的严格定义

对于函数 f，假设 \(a\in\mathbb R,\mathring U(a,\delta)\subset D_f\)

如果对于任意 \(\epsilon > 0\)，都存在一个 \(\delta > 0\)，只要 \(0 < |x-a| < \delta\) 都有： \(|f(x) - L| < \epsilon\)，那么我们说 x 趋于 a 时 f(x) 的极限是 L，记为：\(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L\)

自然语言定义：\(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L\) 表示通过将 x 与 a 之间的距离变得充分小（但不为0），可以使 f(x) 与 L 之间的距离变得任意小

或者：\(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L\) 表示通过使 x 与 a 足够地靠近（但不等于 a），可以使 f(x) 与 L 之间的距离任意地靠近

集合的解释：给定 \(\epsilon > 0\), 能够找出足够小的 \(\delta > 0\)，使得 \(\{x | 0<|x-a|<\delta\}\) 能够全部映射到 \(\{f(x) |~~|f(x)-L|<\epsilon\}\) 之内

// 几何方面的描述。。。

无穷大极限:

• 设 f 是定义在某个包含 a 的开区间（可能不包含a本身）上的一个函数。那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = +∞\) 表示对于每个正数M，存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x-a| < \delta 时，有 f(x) > M\)
• 设 f 是定义在某个包含 a 的开区间（可能不包含a本身）上的一个函数。那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = -∞\) 表示对于每个负数N，存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x-a| < \delta 时，有 f(x) < N\)

1. 极限：若 \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\) 使得 \(\forall x\in\mathring U(a,\delta),f(x)\in U(L,\epsilon)\)，那么 x 趋近于 a 时 \(f(x)\) 的极限是 L，记为 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L\)
2. 单侧极限
   1. \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\) 使得 \(\forall a-\delta<x<a,f(x)\in U(L,\epsilon)\)，那么记 \(\lim\limits_{x \to a^-}f(x) = L\)
   2. \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\) 使得 \(\forall a<x<a+\delta,f(x)\in U(L,\epsilon)\)，那么记 \(\lim\limits_{x \to a^+}f(x) = L\)
3. 无穷大极限：
   1. \(\forall M>0,\exists\delta>0\)，使得 \(\forall x\in\mathring U(a,\delta),f(x)>M\)，那么记 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=+∞\)
   2. \(\forall N<0,\exists\delta>0\)，使得 \(\forall x\in\mathring U(a,\delta),f(x)<N\)，那么记 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=-∞\)
4. 极限不存在点的分类：(1) 无穷点，(2) 震荡点

5.函数的连续性

对于函数 f，假设 \(a\in D_f\)

1. 若 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 存在，并且 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)，那么称 f 在点 a 处是连续的
2. 若 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)\) 存在，并且 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)\)，那么称 f 在点 a 处是左连续的
3. 若 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\) 存在，并且 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\)，那么称 f 在点 a 处是右连续的
4. 假设 I 是某个区间，若 \(\forall x\in I\)，f 在 x 处是连续的，那么 f 在区间 I 上连续（其中，若 x 是区间端点，则判断 x 是否单侧连续）

注：\(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 可以写为 \(\lim\limits_{t\to 0}f(a+t)\)

graph
a(f 在 a 处 左 & 右极限 存在 而且 相等) --> c("左右极限 = f(a)")
b(f 在 a 处有定义) --> c
c --> d(f 连续)

若函数 f 和 g 在 a 点连续，且 c 是一个常数，那么下列函数在 a 点也连续：

(1) \(f+g\)，(2) \(f-g\)，(3) \(fg\)，(4) \(f/g\)（\(g(a)\ne0\)）

以下函数在定义域内处处连续：

• 幂函数，有理函数（多项式之比）
• 常见的超越函数：三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数

如果 f 在 b 点连续，并且 \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=b\)，那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x \to a}g(x))=f(b)\)

1. 若 g 在 a 处连续，并且 f 在 \(g(a)\) 处连续，那么 \(f\circ g\) 也在 a 连续
2. 若 \(f,g\) 都是连续函数，那么 \(f\circ g\) 也是连续函数

(1) g 在 a 处连续，蕴含 \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=g(a)\)

又由[复合极限定理]和 f 在 \(g(a)\) 处连续，于是 \(\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\to a}g(x))=f(g(a))\)

所以 \(f\circ g\) 在 a 处连续

\(\blacksquare\)

假设 f 在 \([a,b]\) 上连续，若 \(f(a)\ne f(b)\)，那么 \(\forall N\in[\min\{f(a),f(b)\},\max\{f(a),f(b)\}]\)，都有 \(\exists c\in[a,b],f(c)=N\)

应用：(1) 验证零点存在性

1. 函数的连续性：假设 \(a\in D_f\)
   1. 若 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)，那么 f 在 a 处连续
   2. 若 \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)\)，那么 f 在 a 处左连续
   3. 若 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\)，那么 f 在 a 处右连续
   4. 若 f 在区间 I 处处(单侧)连续，那么 f 在区间 I 上连续
2. 连续定理：幂函数，有理函数（多项式之比），超越函数（三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数）均在定义域上连续
3. 组合连续定理：若 \(f,g\) 均(分段)连续，那么 \(f+g,f-g,fg,f/g\) 均(分段)连续
4. 复合极限定理：若 f 在 \(\lim\limits_{x\to a}g(x)\) 处连续，那么 \(\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x \to a}g(x))\)
5. 复合连续定理：若 g 在 a 处连续，f 在 \(g(a)\) 处连续，那么 \(f\circ g\) 也在 a 处连续
6. 介值定理：假设 f 在 \([a,b]\) 上连续，若 \(f(a)\ne f(b)\)，那么 \(\forall N\in[\min\{f(a),f(b)\},\max\{f(a),f(b)\}]\)，都有 \(\exists c\in[a,b],f(c)=N\)
7. 不连续点（间断点）和连续点的分类：假设 \(l=\lim\limits_{t\to a^-}f(t),r=\lim\limits_{t\to a^+}f(t),m=f(a)\)，有 \(\begin{cases}a是连续点&\exists l=r=m\\a是左连续点&\exists l=m\ne r或\exists l=m,\not\exists r\\a是右连续点&\exists r=m\ne l或\exists r=m,\not\exists l\\a是可去间断点&\exists l=r\ne m或\exists l=r,\not\exists m\\a是跳跃间断点&\exists l\ne r\\a是无穷间断点或震荡间断点&\not\exists l~或\not\exists r\end{cases}\)
   1. 划分方法：(1) 有 \(k(\le3)\) 个数存在，(2) 相等性
   2. 注：可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点，无穷间断点和震荡间断点为第二类间断点

(1) 不完全对，它们仅在定义域范围之内连续（特别需要注意幂函数中底数的范围，以及 \(\csc x,\sec x,\tan x,\cot x\) \(\log_ax\) 的定义域范围）

(2) \(1/x\ne0,1+e^{1/x}\ne0\)，蕴含 \(x\ne0\)，于是 f 的连续区间为 \((-∞,0)\cup(0,+∞)\)

(3) \(\begin{cases}\forall n\in\mathbb Z,x\ne\frac\pi2+\pi n\\\tan x>0\end{cases}\)，蕴含 \(\forall n\in\mathbb Z,x\in(\pi n,\frac\pi2+\pi n)\)

于是 \(D_f=\{x\in\mathbb R|~\forall n\in\mathbb Z,x\in(\pi n,\frac\pi2+\pi n)\}\)

(4) 根据连续性相关定理，\(f(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的连续函数，于是 \(\lim\limits_{x\to\pi}\sin(x+\sin x)=\sin(\pi+\sin\pi)=0\)

(5)

1. \(\lim\limits_{t\to0^-}f(t)=2,\lim\limits_{t\to0^+}f(t)=e^0=1=f(0)\)，于是 0 是 f 的严格右连续点，并且是跳跃间断点
2. \(\lim\limits_{t\to1^-}f(t)=e^1=e=f(1),\lim\limits_{t\to1^+}f(t)=2-1=1\)，于是 1 是 f 的严格左连续点，并且是跳跃间断点

(6) \(\lim\limits_{t\to3^-}f(t)=3c+1=9c-1=\lim\limits_{t\to3^+}f(t)\)，解得 \(c=1/3\)

6.无穷远的极限 & 水平渐近线

• 设 f 是一个定义在 \((a,∞)\) 上的函数，那么 \(\lim\limits_{x\to+∞}f(x)=L\) 表示通过让 x 足够的大，可以使 \(f(x)\) 的值任意的接近 L
• 设 f 是一个定义在 \((-∞,a)\) 上的函数，那么 \(\lim\limits_{x\to-∞}f(x)=L\) 表示通过让 x 从负方向足够的大，可以使 \(f(x)\) 的值任意的接近 L

直线 \(y=L\) 称为曲线 \(y=f(x)\) 的水平渐近线，如果 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 或 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\)

• \(\lim\limits_{x\to~-\infty}\tan^{-1}{x} = -\frac{\pi}{2}\)
• \(\lim\limits_{x\to+\infty}\tan^{-1}{x} = \frac{\pi}{2}\)
• \(\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\)
• (1) \(\forall r\in\mathbb Q^-,\lim\limits_{x\to∞}x^r=0\)，(2) \(\forall r\in\mathbb Q^+,\lim\limits_{x\to+∞}x^r=+∞\)

设 f 是一个定义在某个区间 (a, +∞)上的函数，那么 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 表示对于任意的 \(\epsilon > 0\)，总存在一个数 N，使得 x > N 时，有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)

设 f 是一个定义在某个区间 (-∞, a)上的函数，那么 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\) 表示对于任意的 \(\epsilon > 0\)，总存在一个数 N，使得 x < N 时，有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)

设 f 是一个定义在某个区间 (a, +∞)上的函数，那么 \(\lim\limits_{x \to +∞} f(x)=+∞\) 表示对于任意正数 M，相应的总存在一个正数 N，使得 当 x > N 时，f(x) > M

1. 无穷远处极限
   1. 假设 \(\exists a,(-∞,a)\subset D_f\)，\(\forall\epsilon>0,\exists N<0\) 使得 \(\forall x<N,f(x)\in U(L,\epsilon)\)，那么记为 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\)
   2. 假设 \(\exists a,(a,+∞)\subset D_f\)，\(\forall\epsilon>0,\exists N>0\) 使得 \(\forall x>N,f(x)\in U(L,\epsilon)\)，那么记为 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\)
2. 无穷远处的无穷大极限
   1. 假设 \(\exists a,(a,+∞)\subset D_f\)，\(\forall M>0,\exists N\) 使得 \(\forall x>N,f(x)>M\)，记为 \(\lim\limits_{x \to +∞} f(x)=+∞\)
3. 水平渐近线：若 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 或 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\)，那么称直线方程 \(y=L\) 为曲线方程 \(y=f(x)\) 的水平渐近线

1. 幂函数极限：\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to∞}x^a=1&a=0\\\lim\limits_{x\to∞}x^a=0&a\in\mathbb Q^-\\\lim\limits_{x\to+∞}x^a=+∞&a\in\mathbb Q^+\\\lim\limits_{x\to-∞}x^a=-∞&a=p/q,p\in\mathbb Z,q\in\mathbb Z^+,(p,q)=1\end{cases}\)
2. 指数函数极限：\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to∞}a^x=1&a=1\\\lim\limits_{x\to-∞}a^x=+∞,\lim\limits_{x\to+∞}a^x=0&a\in(0,1)\\\lim\limits_{x\to-∞}a^x=0,\lim\limits_{x\to+∞}a^x=+∞&a\in(1,+∞)\end{cases}\)
3. 三角函数极限：\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to∞}f(x)有界震荡&f(x)为\sin x或\cos x\\\lim\limits_{x\to∞}f(x)无界震荡&f(x)为\csc x或\sec x或\tan x或\cot x\end{cases}\)
4. 反三角函数极限：\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to∞}\csc^{-1}x=0\\\lim\limits_{x\to∞}\sec^{-1}x=\frac\pi2\\\lim\limits_{x\to-∞}\tan^{-1}x=-\frac\pi2,\lim\limits_{x\to+∞}\tan^{-1}x=\frac\pi2\\\lim\limits_{x\to-∞}\cot^{-1}x=\pi,\lim\limits_{x\to+∞}\cot^{-1}x=0\end{cases}\)

(1) 垂直渐近线与 \(y=f(x)\) 可以有一个交点，但不可能“穿越” \(y=f(x)\)；但水平渐近线穿越 \(y=f(x)\)，甚至可以有无数个交点（如：\(\frac{\sin x}x\)）

(2.1) 若 \(k=\lim\limits_{x\to+∞}f(x)\)

那么 \(\forall\epsilon>0,\exists N>0\)，\(\forall x>N,f(x)\in U(k,\epsilon)\)

设有方程 \(t=1/x\)，于是 \(1/t>N>0\)，蕴含 \(0<t<1/N\)，记 \(\delta=1/N\)

于是 \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\)，使得 \(\forall 0<t<0+\delta,f(1/t)\in U(k,\epsilon)\)

即 \(\lim\limits_{t\to0^+}f(1/t)=k=\lim\limits_{x\to+∞}f(x)\)

(2.2) 若 \(k=\lim\limits_{x\to-∞}f(x)\)

那么 \(\forall\epsilon>0,\exists N<0\)，\(\forall x<N,f(x)\in U(k,\epsilon)\)

设有方程 \(t=1/x\)，于是 \(1/t<N<0\)，蕴含 \(1/N<t<0\)，记 \(\delta=-1/N\)

于是 \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\)，使得 \(\forall0-\delta<t<0,f(1/t)\in U(k,\epsilon)\)

即 \(\lim\limits_{t\to0^-}f(1/t)=k=\lim\limits_{x\to-∞}f(x)\)

(6)

1. \(\lim\limits_{x\to+∞}\frac{x^3+5x}{2x^3-x^2+4}=1/2\)
2. \(\lim\limits_{x\to+∞}(\sqrt{9x^2+x}-3x)=\lim\limits_{x\to+∞}\frac{(9x^2+x)-(3x)^2}{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\lim\limits_{x\to+∞}\frac x{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\lim\limits_{x\to+∞}\frac1{\sqrt{9+1/x}+3}=1/6\)
3. \(\lim\limits_{x\to\frac\pi2^+}e^{\tan x}=\lim\limits_{t\to-∞}e^t=0\)（\(t=\tan x\)）

(7)

1. \(\forall x>0,-1<\sin x<1\)，蕴含 \(-1/x<\sin x/x<1/x\)；当 \(x\to+∞\) 时，\(-1/x\to0,1/x\to0\)，于是 \(\sin x/x\to0\)
2. \(y=\sin x/x\) 在 \(\forall n\in\mathbb z^+,\pi n\) 处与 \(y=0\) 有交点，于是这些交点是无穷多的

(8) 通过计算器算得 \(N>\frac{t\sqrt{8+25/t^2}+5}{4t}\)

7.切线、速度&其他变化率

假设 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 存在，那么曲线方程 \(y=f(x)\) 在点 a 处的切线斜率为 \(m=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

于是 f 在 a 处的切线方程为 \(y-f(a)=m(x-a)\)

另外，\(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\)

8.导数

对于函数 f，假设极限 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 或 \(\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\) 存在

那么 f 在 a 处的导数定义为：\(f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 或 \(f'(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\)

1. (几何)切线斜率：曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((a,f(a))\) 的切线是一条过点 \((a,f(a))\)，斜率为 \(f'(a)\) 是直线
2. (动力学)瞬时变化率：导数 \(f'(a)\) 是曲线方程 \(y=f(x)\) 关于 x 在 \(x=a\) 处的瞬时变化率 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \lim\limits_{x2\to x1}\frac{f(x2)-f(x1)}{x2 - x1}\)
   • \(f(t)\) 为距离函数时，\(f'(t)\) 称为速度函数，\(|f'(t)|\) 称为速率函数
   • \(f(t)\) 为速度函数时，\(f'(t)\) 称为加速度函数

(1) \(f'(1)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(1+t)-f(1)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{((1+t)^3-5(1+t)+1)-(1^3-5\cdot1+1)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(1+t-1)(\sum\limits_{i=0}^2(1+t)^i1^{2-i}-5t)}t=3-5=-2\)

\(f(1)=-3\)，于是经过 \((1,-3)\) 的 \(f(x)\) 的切线方程为 \(y-(-3)=-2(x-1)\)，即 \(2x+y+1=0\)

(2) \(f'(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{(2a+2t+1)/(a+t+3)-(2a+1)/(a+3)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(2a+2t+1)(a+3)-(2a+1)(a+t+3)}{t(a+t+3)(a+3)}=\lim\limits_{t\to0}\frac{5t}{t(a+t+3)(a+3)}=5/(a+3)^2\)

(3) \(\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos(\pi+t)+1}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos(\pi+t)-(-1)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos(\pi+t)-\cos\pi}t\)

假设 \(f(x)=\cos x\)，并且 \(a=\pi\)，那么有 \(f'(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos(\pi+t)-\cos\pi}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{\cos(\pi+t)+1}t\)（实际上 \(\forall n,m\in\mathbb Z,f(x)=\cos(\pi n+x),a=\pi m\) 均能满足条件）

(4)

1. \(f'(0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(0+t)-f(0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{t\sin\frac1t-0}t=\lim\limits_{t\to0}\sin\frac1t\)，于是 \(f'(0)\) 不存在或发散
2. \(f'(0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(0+t)-f(0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{t^2\sin\frac1t-0}t=\lim\limits_{t\to0}t\sin\frac1t=0\)（由于，\(|\sin\frac1t|<1\) 是个有限数）

9.导函数

函数 f 的导函数定义为 \(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t\)，其中 \(D_{f'}=\left\{x\in D_f\Big|~\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t存在\right\}\)

推论：f 在 \(D_{f'}\) 上连续

导数的一些通用记号如下：

\(f'(x) = y' = \frac{d_y}{d_x}= \frac{d_f}{d_x} = \frac{d}{d_x}f(x) = D~f(x) = D_x~f(x)\)

可以用莱布尼茨公式重写导数：\(\frac{d_y}{d_x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}\)

特殊点处的导数：\(\left. \frac{d_y}{d_x}\right|_{x=a}\) 或 \(\left. \frac{d_y}{d_x}\right]_{x=a}\)

如果 \(f'(a)\) 存在，则称 f 在点 a 是可微的

如果 f 在开区间 (a, b) [或 (a, +∞), (-∞, a), (-∞, +∞)] 内每一点都可微，则称 f 在开区间 (a, b) 上是可微的

如果 f 在 a 点可微，则 f 在 a 点连续

证明：若 \(f'(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\)，蕴含 \(f(a)=\lim\limits_{t\to 0}f(a+t)\)

\(\lim\limits_{t\to0}f(a+t)-f(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}tt=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\lim\limits_{t\to0}t=f'(a)\cdot 0=0\)

于是 \(\lim\limits_{t\to0}f(a+t)=\lim\limits_{t\to0}f(a)=f(a)\)，即 f 在 a 处连续

\(\blacksquare\)

对于函数 f，假设 \(a\in D_f\)

1. 若 \(\lim\limits_{t\to a^-}f(t)\ne\lim\limits_{t\to a^+}f(t)\)，那么称点 a 为隅角或纽结
2. 如果 f 在 a 点不连续，则 f 在 a 点不可微
3. 曲线在 \(x=a\) 有垂直切线，则 f 在 a 点连续，且 \(\lim\limits_{x\to a}|f'(x)|=∞\)

graph
a(可积) --> b(连续)
b --> c(可导 = 可微)

b --> 有垂直切线

1. 导函数：函数 f 的导函数定义为 \(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t\)，其中 \(D_{f'}=\left\{x\in D_f\Big|~\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t存在\right\}\)
2. 导函数记号：
   1. \(f'(x)=y'=\frac{d_y}{d_x}=\frac{d_f}{d_x}=\frac{d}{d_x}f(x)=D~f(x)=D_x~f(x)\)
   2. 记 \(\Delta f=f(x+t)-f(x)\)，蕴含 (1) \(\Delta x=(x+t)-(x)=t\)，(2) \(\frac{df}{d_x}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\Delta f}t\)，(3) \(\lim\limits_{t\to0}\Delta f=0\)
   3. 导数记号：\(\left. \frac{d_y}{d_x}\right|_{x=a}\)
3. 可微：f 在 a 处可微，等价于 \(f'(a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a+t)-f(a)}t\) 存在，等价于 \(\lim\limits_{t\to0^-}\frac{f(a+t)-f(a)}t=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(a+t)-f(a)}t\)
4. 可微的必要性：f 在 a 处可微，蕴含 f 在 a 处连续
5. 不可微点：假设 \(l=\lim\limits_{t\to0^-}\frac{f(a+t)-f(a)}t,r=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(a+t)-f(a)}t\)，有 \(\begin{cases}a是间断点\\a是隅角或纽结&\exists l\ne r\\a处有垂直切线x=a&\not\exists l或\not\exists r\end{cases}\implies a处不可微\)

1. 函数 f 在 a 点连续，等价于 \(f_-(a)=f_+(a)=f(a)\)
2. 函数 f 在 a 点可微，等价于 \(f'_-(a)=f'_+(a)\)，蕴含 \(f'(a)=f'_-(a)=f'_+(a)\)

(1)

1. \(\forall x\in\mathbb Z\)，\(\lim\limits_{t\to x^-}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}=+∞\ne 1=\lim\limits_{t\to x^+}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\)，于是 \(f'(x)\) 不存在
2. \(\forall x\not\in\mathbb Z,\exists n<x<n+1\)，\(\lim\limits_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}=\lim\limits_{t\to x^-}\frac{n-n}{t-x}=0\)

于是，\(f'(x)=0\)，其中 \(D_{f'}=\{x\in\mathbb R|~x\not\in\mathbb Z\}=\{x\in\mathbb R|~\sin x\pi\ne0\}\)

(2)

1. \(f'(6)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(6+t)-f(6)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{|t|-0}t\)，于是 \(f'(6)\) 发散
2. \(\forall x\ne6\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{|x+t-6|-|x-6|}t=\begin{cases}\lim\limits_{t\to0}\frac{-(x+t-6)+(x-6)}t=-1&x<6\\\lim\limits_{t\to0}\frac{(x+t-6)-(x-6)}t=1&x>6\end{cases}\)

于是，\(f'(x)=\begin{cases}-1&x<6\\1&x>6\end{cases}\) 或 \(f'(x)=\frac{x-6}{|x-6|}\)

(3)

1. \(\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{t|t|-0}t=0\)
2. \(\forall x<0\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(x+t)|x+t|-x|x|}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{-(x+t)^2+x^2}t=-2x-0=-2x\)
3. \(\forall x>0,\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(x+t)|x+t|-x|x|}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(x+t)^2-x^2}t=2x+0=2x\)

于是 \(f'(x)=\begin{cases}-2x&x\le0\\2x&x>0\end{cases}=2|x|\)

(5.1)

1. \(f_-(0)=\lim\limits_{t\to0^-}f(t)=0\)，\(f_+(0)=\lim\limits_{t\to0^+}f(t)=5-0=5\)
2. \(f_-(4)=\lim\limits_{t\to4^-}f(t)=5-4=1\)，\(f_+(4)=\lim\limits_{t\to4^+}f(t)=1/(5-4)=1\)
3. \(f_-(5)=\lim\limits_{t\to5^-}f(t)=+∞\)，\(f_+(5)=\lim\limits_{t\to5^+}f(t)=-∞\)
4. \(\forall x<0\) 或 \(0<x<4\) 或 \(4<x<5\) 或 \(x>5\)，\(f(x)\) 是连续函数

于是 f 的连续区间为 \((-∞,0)\cup(0,5)\cup(5,+∞)\)

(5.2)

1. \(f'_-(0)=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{f(0+t)-f(0)}t=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{0-0}t=0\)，\(f'_+(0)=\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{f(0+t)-f(0)}t=\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{(5-t)-0}t=+∞\)（或者 f 在 0 处不连续，蕴含 f 在 0 处不可微）
2. \(f'_-(4)=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{f(4+t)-f(4)}t=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{(5-(4+t))-1/(5-4)}t=-1\)，\(f'_+(4)=\lim\limits_{t\to 0^+}\frac{f(4+t)-f(4)}t=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{1/(5-(4+t))-1/(5-4)}t=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{1/(1-t)-1}t=\lim\limits_{t\to 0^-}\frac{t}{t(1-t)}=1\)
3. \(x=5\) 时，f 不连续，于是 f 在 5 处不可微
4. \(\forall x<0\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{0-0}{t}=0\)
5. \(\forall 0<x<4\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(5-(x+t))-(5-x)}t=-1\)
6. \(\forall x\ge4,x\ne5\)，\(f'(x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1/(5-(x+t))-1/(5-x)}t=\frac1{(5-x)^2}\)

于是 \(f'(x)=\begin{cases}0&x<0\\-1&0<x<4\\1/(5-x)^2&x>4,x\ne5\end{cases}\)

(6) \(f'(x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x+t)-f(x)}t\)

1. 若 \(f(-x)=-f(x)\)，那么 \(f'(-x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(-x+t)-f(-x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{-f(x-t)+f(x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x-t)-f(x)}{-t}=f'(x)\)，即奇函数的导函数是偶函数
2. 若 \(f(-x)=-f(x)\)，那么 \(f'(-x)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(-x+t)-f(-x)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x-t)-f(x)}t=-\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x-t)-f(x)}{-t}=-f(x)\)，偶函数的导函数是奇函数