17.二阶微分方程

我们将讨论二阶线性微分方程，解决 弹簧 和 电流震动问题；我们也将看到如何应用无穷级数求解微分方程

1.二阶线性微分方程

二阶线性微分方程形如： \(P(x)\frac {d^2y}{d_{x^2}} + Q(x)\frac {dy}{d_x} + R(x)y = G(x)\)

如果 \(G(x)=0\)，那么该方程是 齐次的（简记为 线性齐次方程），否则 不齐次

如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 都是线性齐次方程的解，

那么它们的线性组合 \(y(x)=c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\) 也是一个解（\(c_1,c_2\) 是任意常数）

证明：通过微分基本法则易证

如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是线性齐次方程的线性无关解，且 \(P(x)\ne 0\)，那么方程的一般解由下式给出：

\(y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\) （\(c_1,c_2\) 是任意常数）

若线性微分方程 \(\sum\limits_{i=0}^k f_i(x)y^{(i)}(x)=0\) 满足：对于任意 i，\(f_i(x)\) 为常数

那么称该线性微分方程是 常系数的

我们经常能求解二阶常系数的线性微分方程，而且这类方程的某个特解经常能由 \(e^{rx}\) 表示

假设二阶常系数齐次方程为：\(ay^" + by' + cy = 0\)（\(a,b,c\) 为常数，\(a\ne0\)）

设 \(y=e^{rx}\) 是上述方程的解，得到 \(a(e^{rx})^" + b(e^{rx})' + c(e^{rx}) = 0\)

那么 \((ar^2 + br + c)e^{rx}=0\)，

由于 \(e^{rx}>0\)，因而 \(ar^2 + br + c = 0\)，称该方程为 辅助方程 或 特征方程

可以利用 因式分解 或 求根公式 \(r_1=\frac {-b-\sqrt \Delta}{2a}, r_2=\frac {-b+\sqrt \Delta}{2a}\)（\(\Delta =b^2-4ac\)）得到一个或两个本质不同的根（实根 或 复数根）

1. 情形 \(\text I\)：\(b^2 -4ac > 0\)：\(r_1\) 和 \(r_2\) 是实的而且是互异的，那么 \(y_1=e^{r_1x}\) 和 \(y_2=e^{r_2x}\) 是上述微分方程的两个线性无关解，因而能表示该方程的一般解

2. 情形 \(\text {II}\)：\(b^2 -4ac = 0\)：\(r_1\) 和 \(r_2\) 是实的但是相等，设 \(r=r_1=r_2 = -\frac b{2a}\)，

   假设 \(xe^{rx}\) 也是微分方程的特解，即 \(a(xe^{rx})^" + b(xe^{rx})' + c(xe^{rx}) = 0\) 成立

   等式左边 \(a(xe^{rx})^" + b(xe^{rx})' + c(xe^{rx}) = a(2re^{rx} + r^2xe^{rx}) + b(e^{rx} + rxe^{rx}) + c(xe^{rx})\)

   \(= (2ar + b)e^{rx} + (ar^2 + br + c)xe^{rx} = (2a\cdot \frac {-b}{2a} + b)e^{rx} + 0\cdot xe^{rx} = 0\)，假设成立

   因此，\(\frac {-b}{2a}\) 和 \(\frac {-b}{2a}x\) 均为上述微分的特解，而且是线性无关的

3. 情形 \(\text {III}\)：\(b^2 -4ac < 0\)：设 \(\alpha = \frac {-b}{2a}, \beta = \frac {\sqrt {-\Delta}}{2a}\)，那么 \(r_1=\alpha - i\beta\)，\(r_2 = \alpha + i\beta\)

   \(c_1y_1 = c_1e^{r_1x} = c_1e^{\alpha x - i\beta x} = c_1e^{\alpha x}[\cos{(-\beta x)} + i \sin{(-\beta x)}] = c_1e^{\alpha x}[\cos{(\beta x)} - i \sin{(\beta x)}]\)

   \(c_2y_2 = c_2e^{r_2x} = c_2e^{\alpha x + i\beta x} = c_2e^{\alpha x}[\cos{(\beta x)} + i \sin{(\beta x)}]\)

   \(y=c_1y_1+c_2y_2 = c_1e^{\alpha x}[\cos{(\beta x)} - i \sin{(\beta x)}] + c_2e^{\alpha x}[\cos{(\beta x)} + i \sin{(\beta x)}] = e^{\alpha x}[(c_1+c_2)\cos{(\beta x)} + i(c_2-c_1)\sin{(\beta x)}]\)

   形式1：令 \(k_1 = c_1+c_2, k_2 = c_2-c_1\)，有 ：

   \(y = e^{\alpha x}[k_1 \cos{(\beta x)} + ik_2\sin{(\beta x)}] = e^{\alpha x + k_1\cos {(\beta x)} + ik_2\cos{(\beta x)}}\)

   形式2：令 \(k_1 = c_1+c_2, k_2 = i(c_2-c_1)\)，有 ：

   \(y = e^{\alpha x}(k_1\cos{(\beta x)} + k_2\sin{(\beta x)})\)

假设二阶常系数齐次方程为：\(ay^" + by' + cy = 0\) （a,b,c 为常数，\(a\ne 0\)）

其特征方程为：\(ar^2 + br + c = 0\)，记 \(\Delta = b^2-4ac\)

若某个 r 满足特征方程，则 \(y = f(r) = e^{rx}\) 为上述微分方程的特解

1. 若 \(\Delta > 0\)，则特征方程的两个实根为：\(r_1 = \frac {-b-\sqrt \Delta}{2a}, r_2=\frac {-b+\sqrt \Delta}{2a}\)，原微分方程的一般解为 \(\displaystyle y = c_1y_1 + c_2y_2 = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x} = c_1e^{\frac {\displaystyle -b-\sqrt \Delta}{2a}x} + c_2e^{\frac {\displaystyle -b+\sqrt \Delta}{2a}x}\)

2. 若 \(\Delta = 0\)，则特征方程有重根：\(r = r_1=r_2= \frac {-b}{2a}\)，进而原微分方程一个特解为 \(y_1 = e^{rx}\)，

   可以证明 \(y_2 = xy_1 = xe^{rx}\) 也是一个特解，那么原微分方程一般解为：

   \(\displaystyle y = c_1y_1 + c_2y_2 = c_1e^{rx} + c_2xe^{rx} = e^{\frac {-b}{2a}x}(c_1 + c_2x)\)

3. 若 \(\Delta \ne 0\)，设 \(\alpha = \frac {-b}{2a}, \beta = \frac {\sqrt {-\Delta}}{2a}\)，那么特征方程的根为 \(r_1=\alpha - i\beta, r_2 = \alpha + i\beta\)，原微分方程的一般解为：

   \(y = e^{\alpha x}(k_1\cos{(\beta x)} + k_2\sin{(\beta x)})\)（其中 \(k_1=c_1+c_2, k_2=i(c_2-c_1)\)）

1. 初值问题：给定 二阶常系数齐次方程，\(y(x_0)=y_0, y'(x_0) = y_1\)，该微分方程总存在唯一解
2. 边值问题：给定 二阶常系数齐次方程，\(y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1\)，该微分方程并不总是有解

2.非齐次常系数线性微分方程

二阶非齐次常系数微分方程意味着 \(P(x), Q(x), R(x)\) 均是常数，而且 \(G(x)\ne 0\)，即 \(ay^" + by' + c = G(x)\)

设非齐次常系数方程为 \(ay^" + by' + c = G(x)\)，假设 \(y_p\) 是该方程的特解，而 \(y_c\) 是该方程对应的非齐次方程的一般解，

那么该方程的一般解为：\(y = y_p + y_c\)

证明：假设 y 是一般解，那么只要证明 \(y-y_p=y_c\) 也是方程的一个解即可

通过上述定理，可以发现我们需要17.1的结论和该方程的特解，就能得出一般解

接下来介绍两种计算特解的方法：

1. 待定系数法：易于使用，但应用范围有限
2. 参数变易法：对任意函数 G 都有效，但计算难度大

思想是通过构造特解，代入方程中建立有关系数的方程组，从而特解的系数

1. \(G(x) = \sum\limits_{i=0}^k a_ix^i\)：构造特解为 \(y_p = \sum\limits_{i=0}^k A_ix^i\)，得到 \(k+1\) 阶方程组
2. \(G(x) = Ce^{kx}\)：构造特解 \(y_p = Ae^{kx}\)
3. \(G(x) = C\cos (kx)\) 或 \(C\sin (kx)\)：构造特解为 \(y_p = A\cos (kx) + B\sin (kx)\)
4. 若 \(G(x) = \sum\limits_{i=0}^k a_ix^ie^{kx}\)，构造特解 \(y_p = \sum\limits_{i=0}^k A_ix^i e^{kx}\)
5. 若 \(G(x) = \sum\limits_{i=0}^k a_ix^i \cos (kx)\)，构造特解 \(y_p = \sum\limits_{i=0}^k A_ix^i \cos (kx) + \sum\limits_{i=0}^k B_ix^i \sin (kx)\) （\(\sin (kx)\) 的情况同理）
6. 若 \(G(x)\) 为上述讨论的函数的 m 项和，那么 \(y_p = \sum\limits_{i=1}^m y_{p_i}\)

注：若构造的特解与该方程对应的齐次方程的通解的特例，那么有必要将该构造解乘上 x 或 \(x^2\)

待定系数法的思想是通过构造特解，代入方程中建立有关系数的方程组，从而特解的系数

1. \(G(x) = e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\)：构造特解为：\(y_p = e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n A_ix^i\)
2. \(G(x) = e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\cos (mx)\) 或 \(G(x) = e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\sin (mx)\)，构造特解为：\(e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n A_ix^i\cos (mx) + e^{kx}\sum\limits_{i=0}^n B_ix^i\sin (mx)\)

注：若构造的特解与该方程对应的齐次方程的通解的特例，那么有必要将该构造解乘上 x 或 \(x^2\)

假设我们已经求出 \(ay^" + by' + c = G(x)\) (1) 对应的齐次方程 \(ay^" + by' + c = 0\) 的一般解 \(y_c = c_1y_1 + c_2y_2\)

（其中 \(ay_1^" + by_1' + c = 0, ay_2^" + by_2' + c = 0\) (2) ）

我们构造非齐次方程的特解为 \(y_p = u_1y_1 + u_2y_2\) (3) （其中 \(u_1 = u_1(x), u_2=u_2(x)\)；可以证明该特解一定存在？）

对 (3) 两边求导有：\(y_p' = (u_1'y_1 + u_2'y_2) + (u_1y_1' + u_2y_2')\)

假设 \(u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0\)，有 \(y_p' = u_1y_1' + u_2y_2'\) (4)

对 (4) 两边求导有：\(y_p^" = (u_1'y_1' + u_2'y_2') + (u_1y_1^" + u_2y_2^")\) (5)

将 (3), (4), (5) 代入 (1) 有： \(a(u_1'y_1' + u_2'y_2' + u_1y_1^" + u_2y_2^") + b(u_1y_1' + u_2y_2') + c(u_1y_1 + u_2y_2) = G(x)\)

那么 \(u_1(ay_1^" + by_1' + c) + u_2(ay_2^" + by_2' + c) + a(u_1'y_1' + u_2'y_2') = G(x)\)，

又由 (2) 有 \(a(u_1'y_1' + u_2'y_2') = G(x)\) (6)

最后，联立方程组 \(\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \\ a(u_1'y_1' + u_2'y_2') = G(x) \end{cases}\) 可解得 \(u_1, u_2\)

（由于积分的关系 \(u_1, u_2\) 会有多种解，为了方便可以将多出的常数取 0）

假设我们已经求出 \(ay^" + by' + c = G(x)\) 对应的齐次方程 \(ay^" + by' + c = 0\) 的一般解 \(y_c = c_1y_1 + c_2y_2\)

（\(ay_1^" + by_1' + c = 0, ay_2^" + by_2' + c = 0\)）

我们构造非齐次方程的特解为 \(y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)\)

联立方程组 \(\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \\ a(u_1'y_1' + u_2'y_2') = G(x) \end{cases}\) 即可得到 \(u_1,u_2\)

（其中 \(u_1,u_2\) 均是一族函数，我们取最简单的形式）

那么非齐次方程的特解为：\(y = y_c + y_p = c_1y_1 + c_2y_2 + u_1y_1 + u_2y_2\)

注：解题时可能需要提供过程而不是直接计算上面的方程组

3.二阶微分方程的应用

假设物体置于弹簧末端，设 x 为物体距离弹簧平衡点的位移（可为负数），那么 \(弹簧恢复力 = -kx\)

如果忽略外加的抵抗力（无空气阻力或摩擦力），由于牛顿第二定律的一维形式 \(m\frac {d^2x}{d_t^2} = -kx\)

那么 \(m\frac {d^2x}{d_t^2} + kx = 0\)，其一般解为 \(x(t) = c_1\cos (\omega t) + c_2\sin (\omega t)\)（其中 \(\omega = \sqrt {k/m}\)）

也可以写成简谐运动的形式 \(x(t) = A\cos (\omega t + \delta)\)

（其中频率 \(\omega = \sqrt {k/m}\)，振幅 \(A = \sqrt {c_1^2 + c_2^2}\)，\(\cos \delta = \frac {c_1}A, \sin\delta = -\frac {c_2}A\)，\(\delta\) 为相角）

可以证明物体运动的阻力正比于质点的速度，且作用方向位移运动的反方向，\(阻力 = -c\frac {dx}{d_t}\)

假设物体还受弹簧的恢复力，那么由牛顿第二定律有：\(m\frac {d^2x}{d_t^2} = -c\frac {dx}{d_t} -kx\)

那么 \(m\frac {d^2x}{d_t^2}+c\frac {dx}{d_t}+kx=0\)，其根为 \(r = \frac {-c \pm \sqrt {c^2 - 4mk}}{2m}\)

• 若 \(c^2-4mk > 0\)，称为 过阻尼，\(x=c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}\)
• 若 \(c^2-4mk = 0\)，称为 临界阻尼，\(x = (c_1 + c_2t) e^{\frac {-c}{2m}t}\)；图像与过阻尼类似
• 若 \(c^2-4mk < 0\)，称为 亚阻尼，\(x = e^{\frac {-c}{2m}t}(c_1\cos (\omega t) + c_2\sin (\omega t))\)（其中 \(\omega = \frac {\sqrt{4mk - c^2}}{2m}\)）

参考图像参见 p476

假设物体运动同时受 恢复力，阻尼力，外力 的影响，

由牛顿第二定律 \(m\frac {d^2x}{d_t^2}=-c\frac {dx}{d_t}-kx+F(t)\)，

那么有非齐次方程：\(m\frac {d^2x}{d_{t^2}}+c\frac {dx}{d_t}+kx=F(t)\)

假设外力为周期力函数 \(F(t) = F_0\cos (\omega_t t)\)（其中 \(\omega_0 \ne \omega = \sqrt {k/m}\)）

可以证明此时 \(x(t) = c_1\cos (\omega_t t) + c_2\sin (\omega_t t) + \frac {F_0}{m(\omega^2 - \omega_0^2)}\cos (\omega_0 t)\)

（\(\omega_0 = \omega\) 会产生共振现象）

我们分析一个串联电路，其中包含一个电感器 L，一个电阻 I，一个电容器 C

如果某个时刻电荷为 \(Q = Q(t)\)，那么电流是 Q 关于时间的变化率：\(I = \frac {dQ}{d_t}\)

电压经过电感，电阻，电容时的电压降分别为：\(L\frac {dI}{d_t}\)，\(RI\)，\(\frac QC\)

又因基尔霍夫电压定律指出，电压降之和等于所提供的电压：\(L\frac {dI}{d_t} + RI + \frac QC = E(t)\)

由于 \(I = \frac {dQ}{d_t}\)，有：\(L\frac {d^2Q}{d_{t^2}} + R\frac{dQ}{d_t} + \frac 1CQ = E(t)\)

注：如果给定初值 \(Q(0)=Q_0, Q'(0) = I(0) = I_0\)，这个初值问题可以运用 17.2 的方法求得任意时刻的 电荷，电流，电压

4.二阶微分方程的级数解

很多微分方程不能明确写成简单函数的有限组合，但我们仍需求解这类方程，因为它们来自于物理问题；特别地，和量子力学中的薛定谔方程有联系

\(\sum\limits_{i=0}^∞a_i = \sum\limits_{i=0}^{∞/m}\sum\limits_{j=0}^{m-1}a_{j+mi} = \sum\limits_{i=0}^{∞}\sum\limits_{j=0}^{m-1}a_{j+mi}\)

或者 \(\sum\limits_{i=0}^∞a_i = \sum\limits_{i=0}^{m-1}\sum\limits_{j=0}^∞a_{i+mj}\)

\(P = \sum\limits_{i=0}^∞a_ix^i\)

\(P^{(n)}=\sum\limits_{i=n}^∞a_i\prod\limits_{j=0}^{n-1}(i-j)x^{i-n}=\sum\limits_{i=0}^∞a_{i+n}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(i+n-j)x^i = \sum\limits_{i=0}^∞a_{i+n}\prod\limits_{j=1}^{n}(i+j)x^i\)

设一般二阶微分方程 \(Py^"+Qy'+R=G\) 的一般解为 \(y = \sum\limits_{i=0}^∞ a_ix^i\)

那么 \(\sum\limits_{i=0}^∞(a_{i+2}(i+2)(i+1)P + a_{i+1}(i+1)Q + a_iR)x^i=G\)，

通过左右两边多项式每一项都相等，可以构造出无限阶方程组

特别地，如果最后能得到关系式 \(a_{j+m} = f(j)a_j\)，那么一般解为：\(a_{i+m} = f(i)a_i\)

那么 \(a_{i+mj} = a_i\prod\limits_{k=0}^{j-1}f(i+mk)\)

进而 \(\sum\limits_{i=0}^∞a_ix^i = \sum\limits_{i=0}^{m-1}\sum\limits_{j=0}^∞a_{i+mj}x^{i+mj} = \sum\limits_{i=0}^{m-1}\sum\limits_{j=0}^∞a_i\prod\limits_{k=0}^{j-1}f(i+mk)x^{i+mj} = \sum\limits_{i=0}^{m-1}a_i\sum\limits_{j=0}^∞\prod\limits_{k=0}^{j-1}f(i+mk)x^{i+mj}\)