16.向量积分

本章我们将研究向量场的积分（这些向量场是将空间中每个点都映成一个向量的函数）

特别地，我们定义 曲线积分 可以用来表示一个移动物体在一个力场中沿着曲线运动所做的功

然后，我们定义 曲面积分可以表示液体流过一个表面的流量

这些新型积分和我们见过的 一重，二重，三重积分 的关系式通过基本积分定理的高维形式给出的：格林定理，斯托克斯定理，散度定理

1.向量场

通常情况下，向量场是一个定义域是 \(\mathbb R^2\)（或 \(\mathbb R^3\)）中的点集，值域是 \(V_2\) （或 \(V_3\)）中的向量集合的函数

设 D 是 \(\mathbb R^2\) 中的集合(一个平面区域)，\(\mathbb R^2\) 上的向量场是一个函数，这个函数为 D 上的每一个点 (x,y) 指定了一个二维向量 \(\mathbf F(x,y)\)

引入标量函数，向量场可以表示为：\(\mathbf F(x,y) = P(x,y)\mathbf i + Q(x,y)\mathbf j = \langle P(x,y), Q(x,y)\rangle\)

可以缩写为：\(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j\)

设 E 是 \(\mathbb R^3\) 的子集，\(\mathbb R^3\) 上的向量场是一个函数，这个函数将 E 中的每个点 (x,y,z) 映射到一个三维向量 \(\mathbf F(x,y,z)\)

引入标量函数，向量场可以表示为 \(\mathbf F(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf i + Q(x,y,z)\mathbf j + R(x,y,z)\mathbf k\)

设 f 为两个变量的标量函数，其梯度也是向量场，称为 \(\mathbb R^2\) 上的梯度向量场，即：

\(\nabla f(x,y) = f_x\mathbf i + f_y\mathbf j\)

设 f 为三个变量的标量函数，其梯度也是向量场，称为 \(\mathbb R^3\) 上的梯度向量场，即：

\(\nabla f(x,y,z) = f_x\mathbf i + f_y\mathbf j + f_z\mathbf k\)

注：实际上是将定义域推广到了空间中较大的子集上（因为向量场可以是多值函数）

2.向量场的线积分

一元函数定积分 是定义在区间 [a,b] 上的，与其不同的是，线积分是定义在 [a,b] 对应的一条曲线 C 上的（与 曲线积分 不同！）

线积分是在 19 世纪为了解决 流体，力，电，磁 等问题而提出的

假定有一条二维曲线 \(x=x(t),y=y(t), a\le t\le b\) 光滑（即 \(\mathbf r'\) 连续，且 \(\mathbf r'(t)\ne 0\)，参见 13.2）

将 [a,b] 划分为 n 段，每一段区间对应的子弧长度为 \(\Delta s_i\)，

若 f 是定义在曲线 C 上的二元函数（f 同样可以由 t 间接映射而来），

得到 Riemman 和（黎曼和）：\(\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\Delta s_i\)

如果 f 定义在一条光滑曲线 C 上，曲线由 x=x(t), y=y(t), \(a\le t\le b\) 给出，那么 f 沿着 C 的曲线积分定义为：

\(\int_C f(x,y)~d_s = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)~\Delta s_i\) 如果这个极限存在的话(并且 t 从 a 变化到 b 时曲线上的点恰好走过一次)：\(\int_C f(x,y)~d_s = \int_a^b f(x(t), y(t))\sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2}~d_t\) （参见 10.2）

特例（降维）：若 \(x=t,y=0,a\le t\le b\)，则退化为一般的定积分：\(\int_C f(x,y)~d_s = \int_a^b f(x,0)~d_x\)

几何意义：若 t 从 a 变化到 b 时曲线上的点恰好走过一次，并且 \(f(x,y)\ge 0\)，则 \(\int_C f(x,y)~d_s\) 表示 xOy 上的曲线 C 为底，以 f(x,y) 为任意一点处的高 所构成的 “门帘” 或 “围栏”（即 竖直曲面）的面积

\(\int_C f(x,y,z)~d_s = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2 + (\frac {d_z}{d_t})^2}~d_t\)

若用向量函数 \(\mathbf r(t)\) 来描述多维空间中的曲线 C 的轨迹，那么沿着 C 关于弧长的 f 的线积分为：

\(\int_C f(\mathbf r(t))~d_s = \int_C f(\mathbf r(t))\mathbf |\mathbf r'(t)|~d_t\)

简写：\(\int_C P(x,y,z)~d_x + \int_C Q(x,y,z)~d_y + \int_C R(x,y,z)~d_z = \int_C P(x,y,z)~d_x + Q(x,y,z)~d_y + R(x,y,z)~d_z\)

上式称为：标量场的线积分？

一个常值力 F 对物体从点 P 移动到点 Q 所做的功的定义为 \(W = \mathbf F \cdot \mathbf D\)（注：\(\mathbf F\) 和 \(\mathbf D\) 均为向量）

考虑如何将该式子(标量形式)推广到 F 和 D 在路径中连续变化的形式

将参数区间 [a,b] 分成 n 等分；\(\Delta s_i\) 表示 \([t_{i-1},t_i]\) 之间的弧长，\(\mathbf T_i=\frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\) 为 \(P_{i-1}\) 到 \(P_i\) 的单位切向量

F 在 \(P_{i-1}\) 到 \(P_i\) 做的功为 \(\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot [\Delta s_i\mathbf T(t_i^*)] = [\mathbf F(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \mathbf T(t_i^*)]\Delta s_i\)

\(W = \int_C \mathbf F(x,y,z)\cdot \mathbf T(x,y,z)~d_s = \int_C \mathbf F\cdot \mathbf T~d_s\)

注意到，\(\mathbf T_i=\frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\)，\(d_s = |\mathbf r'(t)|~d_t\)

所以 \(W = \int_a^b \mathbf F(x,y,z)\cdot \left[\frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\right]|\mathbf r'(t)|~d_t = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)~d_t\)，

该公式经常简记为：\(\int_C\mathbf F\cdot d_{\mathbf r}\)

设 \(\mathbf F\) 是定义在光滑曲线 C 上的连续向量场，由向量函数给出，\(a\le t\le b\)，

那么 \(\mathbf F\) 沿着 C 的线积分为：

\(\int_C \mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = \int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)~d_t=\int_C\mathbf F\cdot\mathbf T~d_s\)

性质：\(\int_{-C}\mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = -\int_C\mathbf F\cdot d_{\mathbf r}\)

3.线积分的基本定理

回顾微积分基本定理有：\(\int_a^b F'(x)~d_x=F(b)-F(a)\) （参见 5.3）

设 C 为由向量函数 \(\mathbf r(t),a\le t\le b\) 给出的光滑曲线

设 f 为二元 或 三元可微函数，其梯度向量 \(\nabla f\) 在 C 上连续，那么

\(\int_C \nabla f\cdot d_{\mathbf r} = f(\mathbf r(b)) - f(\mathbf r(a))\)

\(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r\) 在 D 上是与路径无关的 当且仅当 \(\int_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r=0\) 对 D 上的任意封闭路径 C 成立

假定 \(\mathbf F\) 是在一个连通开区域上连续的向量场，如果 \(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r\) 在 D 上是与路径无关的，

那么 \(\mathbf F\) 是 D 上的一个保守向量场，也就是说，存在一个函数 f，满足 \(\nabla f = \mathbf F\)（f 相当于 F 的原函数）

如果 \(\mathbf F(x,y) =P(x,y)\mathbf i + Q(x,y)\mathbf j\) 是一个保守向量场，其中 P 和 Q 在区域 D 上有连续的一阶偏导数，

那么在整个 D 上有 \(\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial Q}{\partial x}\)

证明详见：P394

设 \(\mathbf F=P\mathbf i + Q\mathbf j\) 是一个在单连通开区域 D 上的向量场

假定 P 和 Q 有连续的一阶导数且 \(\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial Q}{\partial x}\) 在整个 D 上成立，

那么 \(\mathbf F\) 是保守的

证明详见：P401

4.格林定理

格林定理给出了 简单闭曲线 C 的线积分 和 由 C 围成的区域 D 的二重积分的关系

格林定理约定简单闭曲线 C 的正方向为沿着 C 的逆时针反向（区域 D 总是在 \(\mathbf r(t)\) 沿 C 运动反向的左侧）

假定 C 是平面上沿正方向的，分段光滑的简单闭曲线，D 是 C 限定的区域，

若干个 P 和 Q 在一个包含 D 的开区域上有连续的偏导数，那么：

\(\int_C P~d_x + Q~d_y = \iint\limits_D (\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

注：\(\int_C P~d_x + Q~d_y = \int_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r\)

证明参见：P401（看困了）

证明引论3：

若 \(C_1\cup C_2\) 是简单闭曲线，并且其内部为区域 D，假设 \(D_1\cup D_2=D, D_1\cap D_2=C_3\)

应用格林定理：

\(\int_{C_1\cup C_3} P~d_x+Q~d_y = \iint\limits_{D_1}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

\(\int_{C_2\cup -C_3} P~d_x+Q~d_y = \iint\limits_{D_2}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

两式相加：\(\int_{(C_1\cup C_3)\cup (C_2\cup -C_3)} P~d_x+Q~d_y = \int_{C_1\cup C_2} P~d_x+Q~d_y = \iint\limits_{D_1\cup D_2}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A = \iint\limits_{D}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

因而：\(\int_{C_1\cup C_2} P~d_x+Q~d_y = \iint\limits_{D}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

5.旋度 & 散度

我们将介绍两个向量场上的算子，其在 流体，电磁 领域得到广泛应用

其中 旋度 作用与向量场，而 散度 应用于标量场

最后介绍拉普拉斯算子

假设 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 是 \(\mathbb R^3\) 上的向量场，且 P,Q,R 的偏导数都存在，那么 \(\mathbf F\) 的旋度是 \(\mathbb R^3\) 上的向量场，定义为：

\(\mathbf {curl~F} = (\frac {\partial R}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial z})\mathbf i + (\frac {\partial P}{\partial z} - \frac {\partial R}{\partial x})\mathbf j + (\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})\mathbf k\)

叉积形式：\(\mathbf {curl~F} = \nabla \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac {\partial }{\partial x} & \frac {\partial }{\partial y} & \frac {\partial }{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix}\)

若 f 是三元函数，且具有一阶连续偏导数，那么：\(\mathbf {curl}(\nabla f) = \mathbf 0\)

注：借助 克莱罗定理 和 旋度的定义 即可证明；逆定理不一定成立，但如果定义域是单连通的（即没有洞）则逆定理成立

如果 \(\mathbf F\) 是一个在 \(\mathbb R^3\) 上都有定义的向量场，它的分量函数有连续的偏导数，且 \(\mathbf {curl~F} = \mathbf 0\)，

那么 \(\mathbf F\) 是一个保守向量场

证明：直接由斯托克斯定理证明（见 16.8）

假设 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 是 \(\mathbb R^3\) 上的向量场，且 P,Q,R 的偏导数都存在，那么 \(\mathbf F\) 的散度是一个三元函数，定义如下：

\(\text {div}\mathbf F = \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}\)

点积形式：\(\text{div}\mathbf F = \nabla \cdot \mathbf F\)

假设 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 是 \(\mathbb R^3\) 上的向量场，且 P,Q,R 的二阶偏导数都存在，

那么 \(\text {div}~\mathbf {curl~F} = 0\)

注：\(\mathbf {curl}~\text{div}~\mathbf F\) 不存在，因为 \(\text{div}~\mathbf F\) 是标量，而 \(\mathbf {curl}\) 是定义在向量上的

\(\text{div}(\nabla f) = \nabla\cdot (\nabla f) = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2}\)

定义拉普拉斯算子：\(\nabla ^2 = \nabla\cdot \nabla\)，则 \(\nabla^2 f = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2}\)

其命名源自拉普拉斯方程：\(\frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2} = 0\)

应用到向量场：设 \(\mathbf F=P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\)，那么\(\nabla^2\mathbf F=\nabla^2\mathbf P\mathbf i + \nabla^2\mathbf Q\mathbf j + \nabla^2\mathbf R\mathbf k\)

假定平面区域 D，它的边界曲线是 C，且函数 P 和 Q 都满足格林公式的前提条件，考虑向量场 \(\mathbf F=P\mathbf i + Q\mathbf j + 0\mathbf k\)

1. \(\oint_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r = \iint\limits_D(\mathbf {curl~F})\cdot \mathbf k~d_A\)
2. \(\oint_C\mathbf F\cdot \mathbf n~d_s = \iint\limits_D\text{div}~\mathbf F~d_A\)（此等式描述了法线方向的线积分；证明详见 P413）

（\(\mathbf r=x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j\)，单位切向量 \(\mathbf T(t) = \frac {x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i + \frac {y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j\)，单位法向量 \(\mathbf n(t) = \frac {y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i - \frac {x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j\)）

6.参数方程定义的曲面&&面积

我们在 8.2 求出了旋转面的面积，15.6 求出了曲面的面积，

接下来讨论更一般的称为参数曲面的曲面，并计算它的面积

我们可以用 \(\mathbf r(t)\) 表示空间曲线，而 \(\mathbf r(u,v)\) 可以表示空间曲面

我们用两个参数 u 和 v 的向量函数表示一个曲面：

\(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\)，\((u,v)\in D\)

参数方程为：\(x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)\)

考虑矩形区域 R 上的曲面面积：考虑某个区域 \(R_{i,j}=[u_i,\Delta u]\times [v_j,\Delta v]\)，使用平面四边形（由 \(\Delta u\mathbf r_u^*\) 和 \(\Delta v\mathbf r_v^*\) 构成） 近似 \(S_{i,j}\)，其面积为 \(\left| (\Delta u\mathbf r_u^*)\times (\Delta v\mathbf r_v^*) \right| = \left| \mathbf r_u^* \times \mathbf r_v^* \right|\Delta u\Delta v\)

如果一个光滑的参数曲面 S 由 \(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\)（\((u,v)\in D\)）

且当 \((u,v)\) 在整个参数域 D 上变化的时候，S 值覆盖一次，那么 S 的曲面面积为：

\(A(S) = \iint\limits_D \left| \mathbf r_u\times \mathbf r_v \right|~d_A\)

其中，\(\mathbf r_u = \frac {\partial x}{\partial u}\mathbf i + \frac {\partial y}{\partial u}\mathbf j + \frac {\partial z}{\partial u}\mathbf k, \mathbf r_v = \frac {\partial x}{\partial v}\mathbf i + \frac {\partial y}{\partial v}\mathbf j + \frac {\partial z}{\partial v}\mathbf k\)

7.曲面积分

曲面积分与曲面面积的关系 类似于 线积分与弧长的关系

假定 f 是一个三个变元的函数，定义域为曲面 S

将定义域 S 分成小片面积 \(S_{i,j}\)，其面积为 \(\Delta S_{i,j}\)，在 \(S_{i,j}\) 上取样本 \(P_{i,j}^*\)，记贡献为 \(f(P_{i,j}^*)\Delta S_{i,j}\)（假定 S 是矩形？）

定义 f 在曲面 S 上的曲面积分为： \(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(P_{ij}^*)\Delta S_{ij}\)

注：这里的积分是对 S 进行划分区域的；定义域 D 不是矩形

如果曲面 S 是形如 \(z=g(x,y)\)（\((x,y)\in D\)） 的图像，假定 D 是矩形，每个小矩形 \(R_{ij}\) 对应 S 上的 \(S_{ij}\)，设其且近似的平面为 \(T_{ij}\)，根据 15.6 讨论的曲面面积有 \(\Delta S_{ij} \approx \Delta T_{ij} = \sqrt {[g_x(x_i,y_j)]^2 + [g_y(x_i,y_j)]^2 + 1}~\Delta A\)

如果曲面 S 形如 \(z=g(x,y)\)（\((x,y)\in D\)），那么它的曲面积分为：

\(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \iint\limits_D f(x,y,g(x,y))\sqrt {(\frac {\partial z}{\partial x})^2 + (\frac {\partial z}{\partial y})^2 + 1}~d_A\)

注：一共有 3 种形式；该公式将曲面 S 上的划分方式 转化为了 在定义域 D 上的划分方式

假定曲面 S 的向量方程为 \(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\)（\((u,v)\in D\)）

我们对参数域 D 进行划分，根据 16.6 的讨论有 \(\Delta S_{ij} \approx |\mathbf r_u\times \mathbf r_v|\Delta u\Delta v\)

有：\(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \iint\limits_D f(\mathbf r(u,v))~|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|~d_A\)

另外：\(A(S) = \iint\limits_S 1~d_S = \iint\limits_D |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|~d_A\)（即 16.6 的某个结论）

注：D 不是指 f 直接的定义域（况且 f 是多值函数的情况下定义域没有被定义），而是指参数 u 和 v 的定义域；凡是参数都可以涉及到两个坐标系（f 所在的坐标系，参数所在的坐标系）；将 z=f(x,y) 进行最简单的参数化（\(x=x,y=y,z=f(x,y)\)）可以得到 曲面积分公式2

接下来我们将定义 向量场的曲面积分

但是我们不讨论不可定向（只有一个面）的曲面，比如：mobius 带 \(x=2\cos \theta+ r\cos(\theta/2), y=2\sin \theta+ r\cos(\theta/2), z=r\sin(\theta/2)\)

我们只考虑有向（有两个面）的曲面

假定曲面 S 上，每个点 (x,y,z) 处都有两个单位法向量 \(\mathbf n_1, \mathbf n_2=-\mathbf n_1\)，

如果可以每个点处都选择一个单位法向量 \(\mathbf n\) 使其在 S 上连变化，那么称 S 为有向曲面

根据 16.6 的“曲面积分推论”，z=f(x,y) 具有单位法向量 \(\displaystyle \mathbf n = \frac {-\frac {\partial f}{\partial x}\mathbf i -\frac {\partial f}{\partial x}\mathbf j + \mathbf k}{\sqrt {(\frac {\partial f}{\partial x})^2 + (\frac {\partial f}{\partial y})^2 + 1}}\) （可以观察到 \(\mathbf k\) 分量是正的，所以是朝上的；但是曲面的正向法向量不总是朝上，如：球面）

想象一个正在被水流冲刷的渔网 S：

假定 S 是有向曲面，任意一点处的密度（单位体积上的质量）为 \(\rho(x,y,z)\)，速度场（单位时间流过的体积）为 \(\mathbf v(x,y,z)\)，

那么单位时间流过的质量为 \(\rho \mathbf v\)，将 S 划分为小块面积片 \(S_{ij}\)，其中一个样本点在法向量方向的 质量贡献 为 \(\rho \mathbf v\cdot \mathbf n\)（即该点质量在单位法向量 \(\mathbf n\) 上的分量）

若该样本点的贡献是 \(S_{ij}\) 上每个点的均值，那么 \(S_{ij}\) 的总贡献是 \((\rho \mathbf v\cdot \mathbf n)A(S_{ij})\)

（A 是面积函数，即 \(A(S_{ij})\) 和 \(\Delta S_{ij}\) 的含义相同）

省去黎曼和的步骤，函数 \(f = \rho\mathbf v\cdot \mathbf n\) 在 S 上的曲面积分为

\(\iint\limits_S \rho \mathbf v\cdot \mathbf n~d_S = \iint\limits_S \rho(x,y,z) \mathbf v(x,y,z)\cdot \mathbf n(x,y,z)~d_S\)

我们记 \(\mathbf F=\rho\mathbf v\)，那么 \(\mathbf F\) 也是 \(\mathbb R^3\) 上的向量场，上述积分变为：\(\iint\limits_S \mathbf F\cdot \mathbf n~d_S\)

它被称做 \(\mathbf F\) 在 \(S\) 上的曲面积分（或 通量积分）

如果 \(\mathbf F\) 是一个定义在单位法向量为 \(\mathbf n\) 的有向曲面 S 上的连续向量场，

那么 \(\mathbf F\) 在 S 上的曲面积分为 \(\iint\limits_S\mathbf F\cdot ~d_\mathbf S = \iint\limits_S\mathbf F\cdot \mathbf n~d_S\)

该积分也被称为 \(\mathbf F\) 穿过 S 的通量积分

注：该定义意味着向量场 \(\mathbf F\) 在 S 上的曲面积分 等于 它在法向分量上的曲面积分

假定曲面由 z=g(x,y) 决定，设 \(f(x,y,z)=z-g(x,y)=0\)

又因为 梯度向量 \(\nabla f(x,y,z)\) 是这个曲面在 (x,y,z) 处的法向量

所以单位法向量 \(\displaystyle \mathbf n = \frac {\nabla f(x,y,z)}{|\nabla f(x,y,z)|} = \frac {-g_x\mathbf i - g_y\mathbf j + \mathbf k}{\sqrt{g_x^2 + g_y^2 + 1}}\)

\(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_S \mathbf F\cdot \mathbf n~d_S\)

\(=\iint\limits_D (P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k) \cdot \frac {-g_x\mathbf i - g_y\mathbf j + \mathbf k}{\sqrt {g_x^2 + g_y^2 + 1}} \sqrt {g_x^2 + g_y^2 + 1}~d_A = \iint\limits_D (-Pg_x -Qg_y + R)~d_A\)

向量场 \(\mathbf F\) 在由 \(z=g(x,y)\) 曲面 S 上的曲面积分为：

\(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_D (-P\frac {\partial g}{\partial x} -Q\frac {\partial g}{\partial y} + R)~d_A\)

注：\((x,y) \in D\)，即上述结论意味着以 S 作为划分方法的积分 可以转化为 以 D 作为划分方法的积分

如果 S 由向量方程 \(\mathbf r(u,v)\) 给定，有 \(\mathbf n = \frac {\mathbf r_u\times \mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|}\)

根据 16.6 得到 \(d_S = |\mathbf r_u\times \mathbf r_v|~d_A\)

那么 \(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_S \mathbf F\cdot \mathbf n~d_S\)

\(= \iint\limits_D \mathbf F\cdot \frac {\mathbf r_u\times \mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|}|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|~d_A = \iint\limits_D \mathbf F\cdot (\mathbf r_u\times \mathbf r_v)~d_A\)

如果 S 由向量方程 \(\mathbf r(u,v)\) 给定，那么向量场 \(\mathbf F\) 在 S 上的曲面积分为：

\(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_D \mathbf F\cdot (\mathbf r_u\times \mathbf r_v)~d_A\)

8.斯托克斯定理

斯托克斯定理可以看作格林定理的高维推广

格林定理建立了平面区域 D 上的二重积分和它的平面边界曲线（该曲线是二维曲线）上的线积分的关系

斯托克斯定理建立了曲面 S 上的曲面积分和 S 的边界曲线（该曲线是三维曲线）上的线积分的关系

设 S 是一个定向的分片光滑的曲面，且由一个简单的，分段光滑，方向为正的闭边界曲线 C 界定，

设向量场 \(\mathbf F\) 的分量函数在 \(\mathbb R^3\) 上的一个包含 S 的开区域上有连续的偏导数，那么：

\(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r = \iint\limits_S \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S\)

或者 \(\iint\limits_S \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S = \int\limits_{\partial S} \mathbf F\cdot d_\mathbf r\)

注：S 的正方向 和 C 的正方向满足右手法则；部分证明参见：P411

我们讨论利用斯托克斯定理旋度向量的意义：

假设 C 是定向闭曲线，\(\mathbf v\) 为流体中的速度场，\(\int_C \mathbf v\cdot ~d_\mathbf r\) 表示流体沿着 C （切线方向 \(\mathbf T\)）流动的一个量度

设 \(P_i(x_i,y_i,z_i)\) 是流体中任意一点，设 \(S_a\) 是一个半径为 a 中心在 \(P_0\) 的小圆盘，

那么在 \(S_a\) 上所有点 P 都近似为点 \(P_i\)，进而 \((\mathbf {curl~F})(P) \approx (\mathbf {curl~F})(P_i)\)（假定 \(\mathbf {curl~F}\) 连续），

由斯托克斯定理 \(\int_{C_a} \mathbf v\cdot d_\mathbf r = \iint\limits_{S_a}\mathbf {curl~b}\cdot ~d_\mathbf S = \iint\limits_{S_a}\mathbf {curl~v}\cdot \mathbf n~d_S\)

\(\approx \iint\limits_{S_a}\mathbf {curl~v}(P_i)\cdot \mathbf n(P_i)~d_S = \mathbf {curl~v}(P_i)\cdot \mathbf n(P_i)\iint\limits_{S_a}~d_S = \mathbf {curl~v}(P_i)\cdot \mathbf n(P_i)\pi a^2\)

\(\mathbf {curl~v}(P_i)\cdot \mathbf n(P_i)=\lim\limits_{a\to 0} \frac 1{\pi a^2}\int_{C_a} \mathbf v\cdot d_\mathbf r\)

9.散度定理（高斯散度定理）

设 E 是一个单连通区域，并设 S 是 E 的边界曲面，给定正方向（向外）

设 F 是一个向量场，其分量函数在一个包含 E 的开区域上有连续的偏导数，那么：

\(\iint\limits_S \mathbf F\cdot d_\mathbf S = \iiint\limits_E \text{div}~\mathbf F~d_V\)

证明详见：P448

graph LR

a(向量场的曲面积分) ---|"散度定理(高斯公式)"| b(三重积分)
c(向量场的三维曲线积分) ---|"斯托克斯定理"| a
d(向量场的二维曲线积分) ---|"格林定理"| e(二重积分)

文章的主要内容是微积分基本定理的高维推广，以下为涉及到过的重要积分定理：