15.多重积分

这一章中我们将定积分扩展到二重和三重积分上，其中被积函数有两个或三个变量

这些想法被用于计算体积、面积、质量、区域上的质心等问题，这些区域比我们在第 6 章和第 8 章中提到的更加一般化

我们还将用二重积分计算两个随机变量的概率问题

1.矩形区域上的二重积分

回顾定积分

我们将区间 [a,b] 等分成 n 个区间 $[x_{i-1},x_i]$（$i=1..n$）,其中 $\Delta x=x_i-x_{i-1}=\frac {b-a}n$
在每个区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上取一个样本点，记为 $x_i^*$，每一个区间“可负面积”为 $f(x_i^*)\Delta x$
因而整个区间 [a,b] 的“可负面积”为黎曼和：$\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$
令 $n\to ∞$，得到 f 从 a 到 b 的定积分：$\int_a^b f(x)~d_x = \lim\limits_{n\to ∞} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$
注：$f(x) \ge 0$ 时，黎曼和解释为 f 的近似矩形面积的和；积分解释为 f 之下，[a,b] 之上的图形的面积

二重积分

定义闭矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d] = \{(x,y)\in \mathbb R^2|~a\le x\le b,c\le y\le d\}$
将区间 [a,b] 分成 n 个区间 $[x_{i-1},x_i]$（$i=1..n$）,其中 $\Delta x=x_i-x_{i-1}=\frac {b-a}n$
将区间 [c,d] 分成 m 个区间 $[y_{i-1},y_i]$（$i=1..m$）,其中 $\Delta y=y_i-y_{i-1}=\frac {d-c}m$
每个子区域为 $R=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j] = \{(x,y)|x_{i-1}\le x\le x_i,y_{j-1}\le y\le y_j,(x,y)\in \mathbb R^2\}$ ，对应的面积为 $\Delta A = \Delta A_{ij} = (x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}) = \Delta x\Delta y$
- 在每个子区域上选取一个样本点，记为 $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$
- 在每个子区域“可负体积”为 $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$
因而整个区域 R 的“可负体积”为二重黎曼和：$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$
令 $n\to ∞, m\to ∞$，得到 f 在矩形区域 R 上的二重积分：$\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$
注：$f(x,y) \ge 0$ 时，二重黎曼和解释为 f 的近似立体体积的和；二重积分解释为 f 之下，区域 R 之上的立体的体积

二重积分定义

在矩形区域 R 上的 f 的二重积分为： $\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$

如果上面的极限存在

精确定义：对于任意的 $\epsilon > 0$，总存在正整数 N，对于所有 $n,m > N$，使得 $R_{ij}$ 中任取样本点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ 都有 $|\iint\limits_R f(x,y)~d_A - \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A| < \epsilon$

可以证明如果 f 是连续函数，上述定义的极限存在；而有些具有较好的性质但不连续的函数，上述定义的极限也是可能存在的

Note

如果 $f(x,y)\ge 0$，那么以矩形 R 为底，z=f(x,y) 形成的曲面为定的立体的体积 V 可以表示为： $V = \iint f(x,y)~d_A$

例子

假设 $R=[-1,1]\times[-2,2]$，计算 $\iint\limits_R\sqrt{1-x^2}d_A$：可以将其看作曲面 $z=\sqrt{1-x^2}$ 在 R 下的面积，即一个圆柱 $x^2+z^2=1$ 的上半部分在 R 下的面积，即 $\frac12\cdot\pi(1^2)\cdot4=2\pi$

二重样本点的选择

选择右上角 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*) = (x_i,y_j)$

中点法则：$(x_{ij}^*,y_{ij}^*) = (\overline x_i, \overline y_j) = (\frac {x_i+x_{i-1}}2, \frac {y_j+y_{j-1}}2)$

梯形法则：$f(x_i^*,y_j^*)=\overline z_{ij}=\frac{f(x_{i-1},y_{j-1})+f(x_i,y_j)}2$

辛普森法则：$S_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^{\frac n2}\sum\limits_{j=1}^{\frac m2} \frac{[f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1}) + f(x_{2i})]\cdot[f(y_{2i-2}) + 4f(y_{2i-1}]}9\Delta A$

例子

$n=2,m=2$ 时，使用中值法估计 $\iint\limits_R(x-3y^2)d_A\approx\sum\limits_{i=0}^1\sum\limits_{j=0}^1f(\frac{x_i+x_{i+1}}2,\frac{y_j+y_{j+1}}2)\Delta A=\sum\limits_{i=0}^1\sum\limits_{j=0}^1f(\frac12+i,\frac54+\frac12j)\cdot\frac12=-\frac{95}8$

函数平均值

矩形区域 R 上的二元函数的平均值为：

$f_{avg} = \frac 1{A(R)}\iint\limits_R f(x,y)~d_A$

A(R) 表示 R 的面积

注：$A(R)\cdot f_{avg} = \iint\limits_R f(x,y)~d_A$ 表示以 R 为底 $f_{avg}$ 为高的盒子和 f 图像下的立体有着相同的体积

二重积分的性质

$\iint\limits_R [f(x,y) + g(x,y)]~d_A = \iint\limits_R f(x,y)~d_A + \iint\limits_R g(x,y)~d_A$

$\iint\limits_R cf(x,y)~d_A = c\iint\limits_R f(x,y)~d_A$ （c 为常数）

$f(x,y) \ge g(x,y)$ 对于 R 中所有 (x,y) 都成立 $\implies$ $\iint\limits_R f(x,y)~d_A \ge \iint\limits_R g(x,y)~d_A$

总结

二重积分：假设 $R=[a,b]\times[c,d] = \{(x,y)\in \mathbb R^2|~a\le x\le b,c\le y\le d\}$，那么 $f(x,y)$ 在 R 上的二重积分定义为 $\iint\limits_Rf(x,y)d_A=\lim\limits_{n,m\to+∞}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{m-1}f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A$（其中 $\Delta A=\Delta x\Delta y,\Delta x=\frac{b-a}n,\Delta y=\frac{d-c}m$；$x_{ij}^*\in[x_i,x_{i+1}]=[a+\Delta xi,a+\Delta x(i+1)],y_{ij}^*\in(y_j,y_{j+1})=[c+\Delta yj,c+\Delta y(j+1)]$）

二重积分的精确定义：若 $\forall\epsilon>0,\exists N>0$ 使得 $\forall n,m>N$，有 $\left|\iint\limits_Rf(x,y)d_A-\lim\limits_{n,m\to+∞}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{m-1}f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A\right|<\epsilon$，那么记 $\iint\limits_Rf(x,y)d_A=\lim\limits_{n,m\to+∞}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{m-1}f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A$

二重积分的特殊样本点：二重积分中的样本点 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ 通常统一使用某类特殊样本点：(1) 左下角 $(x_i,y_j)$，(2) 重点法则 $(\frac{x_i+x_{i+1}}2,\frac{y_j+y_{j+1}}2)$，(3) 梯度法则 $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=\frac{f(x_i,y_j)+f(x_i,y_{j+1})}2$，(4) 辛普森法则

函数平均值：$f(x,y)$ 在矩形区域 $R=[a,b]\times[c,d]$ 的平均值为 $f_{ave}=\frac{\iint\limits_Rf(x,y)~d_A}{(b-a)(d-c)}$

二重积分的性质：(1) 线性 $\iint\limits_R[f(x,y)+g(x,y)]d_A=\iint\limits_Rf(x,y)d_A+\iint\limits_Rg(x,y)d_A$，$\iint\limits_Rcf(x,y)d_A=c\iint\limits_Rf(x,y)d_A$，(2) 序：若 $\forall(x,y)\in R,f(x,y)\ge g(x,y)$，那么 $\iint\limits_Rf(x,y)d_A\ge\iint\limits_Rf(x,y)d_A$

一级结论

二重积分的几何意义：假设 $f(x,y)\ge0$，R 是矩形区域，那么 $\iint\limits_Rf(x,y)d_A$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 R 之下的围成的立体的体积

练习

假设 $R=[0,4]\times[0,2]$，计算 $\iint\limits_R\sqrt{9-y^2}d_A$（参见[15.2]的做法）
使用常见的估计方法（中点值法，梯度法，辛普森法）估算二重积分：
1. $\iint\limits_R(5-x)d_A,R=[0,5]\times[0,3]$
2. $\iint\limits_R(4-2y)d_A,R=[0,1]\times[0,1]$
证明：假设 $R=[0,1]\times[0,1]$，那么 $0\le\iint\limits_R\sin(x+y)d_A\le1$

提示

(1) $\iint\limits_R\sqrt{9-y^2}d_A=\int_0^41d_x\int_0^2\sqrt{9-y^2}d_y=4\cdot\frac12\left[y\sqrt{9-y^2}+9\sin^{-1}\frac y3\right]_0^2=4\sqrt5+18\sin^{-1}\frac23$

2.累次积分

本节我们将看到二重积分可以表示成累次积分的形式，即二重积分通过两次一重积分得到

部分积分 & 累次积分

设二元函数 f 在矩形 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上连续，我们用记号 $\int_c^d f(x,y)~d_y$ 表示 x 固定 y 从 y=c 到 y=d 的积分，该过程称做对变量 y 的 部分积分

因而，会得到依赖于 x 的函数 $A(x) = \int_c^d f(x,y)~d_y$

然后，$\int_a^b A(x)~d_x = \int_a^b[\int_c^d f(x,y)~d_y]~d_x$，称之为 累次积分

性质：$\int_a^b[\int_c^d f(x,y)~d_y]~d_x = \int_a^b\int_c^d f(x,y)~d_y~d_x$，$\int_c^d[\int_a^b f(x,y)~d_x]~d_y = \int_c^d\int_a^b f(x,y)~d_x~d_y$

例子

$\int_0^3\int_1^2x^2y~d_yd_x=\int_0^3\left[\frac12x^2y^2\right]_{y=1}^{y=2}d_x=\frac32\int_0^3x^2d_x=\frac32\cdot9=\frac{27}2$
$\int_1^2\int_0^3x^2y~d_xd_y=\int_1^2\left[\frac13x^3y\right]_{x=0}^{x=3}d_y=9\int_1^2yd_y=9\cdot\frac32=\frac{27}2$

Fubini 傅比尼定理

如果 f 是定义在 $R = \{(x,y)|a\le x\le b, c\le y\le d\}$ 上的连续函数，则：

$\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_a^b\int_c^d f(x,y)~d_y~d_x = \int_c^d\int_a^b f(x,y)~d_x~d_y$

更一般地：当 f 是 R 上的只在有限多条光滑曲线上不连续的有界函数，且对 f 的累次积分存在时，上述定理仍然成立

证明：过于困难

Tip

改变累次积分的顺序（即先对什么变量进行积分）可以简化计算

例子

反常积分未必满足傅比尼定理：$\int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{(x+y)^3}d_xd_y=1\ne-1=\int_0^1\int_0^1\frac{x-y}{(x+y)^3}d_yd_x$
假设 $R=[0,2]\times[1,2]$，计算 $\iint\limits_R(x-3y^2)d_A$：根据[富比尼定理]有 $\iint\limits_R(x-3y^2)d_A=\int_0^2\int_1^2(x-3y^2)d_yd_x=\int_0^2\left[xy-y^3\right]_{y=1}^{y=2}d_x=\int_0^2(x-7)d_x=\left[\frac12x^2-7x\right]_0^2=-12$
假设 $R=[1,2]\times[0,\pi]$，计算 $\iint\limits_Ry\sin xy~d_A$：
1. 法1：$\iint\limits_Ry\sin xy~d_A=\int_1^2\int_0^\pi y\sin xy~d_yd_x=\int_1^2\left[(y)(-\frac1x\cos xy)-(-\frac1{x^2}\sin xy)\right]_{y=0}^{y=\pi} d_x=\int_1^2[-\frac\pi x\cos\pi x+\frac1{x^2}\sin\pi x]d_x$ $=[(-\frac\pi x)(\frac1\pi\sin\pi x)]_1^2-\int_1^2(\frac\pi{x^2})(\frac1\pi\sin\pi x)d_x+\int_1^2\frac1{x^2}\sin\pi xd_x=0$
2. 法2：$\int_0^\pi\int_1^2y\sin xy~d_xd_y=\int_0^\pi\left[-\cos xy\right]_{x=1}^{x=2}d_y=\int_0^\pi(\cos y-\cos 2y)d_y=[\sin y-\frac12\sin2y]_0^\pi=0$
计算 $x^2+2y^2+z=16$ 与 $x=2,y=2$ 以及三个坐标平面围成的立体的体积：立体可以表示为 $\iint\limits_R(16-x^2-2y^2)d_A=\int_0^2\int_0^2(16-x^2-y^2)d_xd_y=\int_0^2(32-\frac83-2y^2)d_y=[\frac{88}3y-\frac23y^3]_0^2=\frac{160}3$，也即 $z=16-x^2-y^2$ 在 $R=[0,2]\times[0,2]$ 之下围成的封闭立体，其体积为 $\iint\limits_R(16-x^2-2y^2)d_A=\int_0^2\int_0^2(16-x^2-y^2)d_xd_y=\int_0^2(32-\frac83-2y^2)d_y=[\frac{88}3y-\frac23y^3]_0^2=\frac{160}3$
假设 $R=[0,\pi2]\times[0,\pi/2]$，那么 $\iint\limits_R\sin x\cos y~d_A=\int_0^{\pi/2}\sin x~d_x\cdot\int_0^{\pi/2}\sin y~d_y=1\cdot1=1$

累次积分的性质

$\iint\limits_R f(x)g(y)~d_A = \int_a^b f(x)~d_x\int_c^d g(y)~d_y$，当 $R=[a,b]\times[c,d]$

注：但是遇到 x 和 y 耦合的情况如何解决？

总结

部分积分，累次积分：$\int_a^bf(x,y)d_x$ 或 $\int_c^df(x,y)d_y$ 称为部分积分；$\int_a^b\int_c^df(x,y)d_yd_x$ 或 $\int_c^d\int_a^bf(x,y)d_xd_y$ 称为累次积分

（Fubini）傅比尼定理：假设 $R=[a,b]\times[c,d]$，而且 f 在 R 上连续，那么 $\iint\limits_Rf(x,y)d_A=\int_c^d\int_a^bf(x,y)d_xd_y=\int_a^b\int_c^df(x,y)d_yd_x$

累次积分的性质：假设 f 在 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上连续，那么 $\iint\limits_Rf(x)g(y)d_A=\int_a^bf(x)d_x\int_c^df(y)d_y$

一级结论

练习

判断题
1. 积分中的[富比尼定理]与微分中的[14.3克莱罗定理]相似(Y)
2. 在被积函数的不连续区域中的二重积分（反常积分）不一定满足[富比尼定理] (Y)
计算累次积分：
1. $\int_1^4\int_1^2(x/y+y/x)d_yd_x$
2. $\int_0^1\int_0^1\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+1}}d_yd_x$
计算二重积分：
1. $\iint\limits_R\frac{xy^2}{x^2+1}d_A,R=[0,1]\times[-3,3]$
2. $\iint\limits_Rx\sin(x+y)d_A,R=[0,\pi/6]\times[0,\pi/3]$
描述累次积分所对应的立体：(1) $\int_0^1\int_0^1(4-x-2y)d_xd_y$，(2) $\int_0^1\int_0^1(2-x^2-y^2)d_xd_y$
计算 $x^2/4+y^2/9+z=1$ 之下，$R=[-1,1]\times[-2,2]$ 之上的立体体积
计算 $z=1+(x-1)^2+4y^2$ 和 $x=3$，$y=2$ 以及坐标平面所围成的立体的体积
计算 $z=9-y^2$ 与 $x=2$ 在第一卦限中围成的立体的体积

提示

(2.1) $\int_1^4\int_1^2(x/y+y/x)d_yd_x=\int_1^4\left[x\ln|y|+\frac12y^2/x\right]_{y=1}^{y=2}d_x=\int_1^4(x\ln2+\frac3{2x})d_x=\left[\frac{\ln2}2x^2+\frac32\ln|x|\right]_1^4=\frac{21}2\ln2$

法2：$\int_1^4\int_1^2(x/y+y/x)d_yd_x=\int_1^4xd_x\cdot\int_1^2\frac1yd_x+\int_1^4\frac1xd_x\cdot\int_1^2yd_x=\frac{15}2\cdot\ln2+\ln4\cdot\frac32=\frac{21}2\ln2$

(2.2) $\int_0^1\int_0^1\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+1}}d_yd_x=\int_0^1\frac x2\left[2\sqrt{x^2+y^2+1}\right]_{y=0}^{y=1}d_x=\int_0^1x(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1})d_x$

$=\left[\frac13(x^2+2)^{3/2}-\frac13(x^2+1)^{3/2}\right]_0^1=\frac13(3^{3/2}-1)=\frac13(3\sqrt3-4\sqrt2+1)$

(4)

$\int_0^1\int_0^1(4-x-2y)d_xd_y$ 表示平面 $x+2y+z=4$ 在 $[0,1]\times[0,1]$ 下所围成的立体的净体积

$\int_0^1\int_0^1(2-x^2-y^2)d_xd_y$ 表示平面 $z+x^2+y^2=2$ 在 $[0,1]\times[0,1]$ 下所围成的立体的净体积

(5) $\iint\limits_R(1-x^2/4-y^2/9)d_A=\int_{-1}^1\int_{-2}^2(1-x^2/4-y^2/9)d_xd_y=2\cdot4-4\int_{-1}^1(x^2/4)d_x-2\int_{-2}^2(y^2/9)d_y=\frac{166}{27}$

(6) 所描述的立体为 $z=1+(x-1)^2+4y^2$ 在 $R=[0,3]\times[0,2]$ 之下所围成的立体，体积为 $\iint\limits_R(1+(x-1)^2+4y^2)d_A=\int_0^3\int_0^2(1+(x-1)^2+4y^2)d_xd_y=3\cdot2+2\int_0^3(x-1)^2d_x+3\int_0^2(4y^2)d_y$ $=6+\frac23(x-1)^3\Big|_0^3+4y^3\Big|_0^2=44$

(7) 第一卦限中 $z\ge0$，蕴含 $9-y^2\ge0$，即 $y\le3$；于是立体为 $z=9-y^2$ 在 $[0,2]\times[0,3]$ 之下所围成的立体，于是体积为 $\iint\limits_R(9-y^2)d_A=\int_0^2\int_0^3(9-y^2)d_yd_x=2\int_0^3(9-y^2)d_y=36$

3.一般区域上的二重积分

我们考虑在更一般的区域 D 上的积分，其中 D 可能不是一个矩形

第 I 类平面区域 D 上的二重积分

f 是在第 I 类平面区域 D 上的连续函数，其中： $D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

于是 $\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~d_y~d_x$

第 II 类

f 是在第 II 类平面区域 D 上的连续函数，其中： $D = \{(x,y)|c\le y\le d, h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$

于是 $\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~d_x~d_y$

Note

可以观察到，在计算最内层积分时，可以将除了该层中的积分变量以外的所有变量及其函数作为常量（即便是积分上下界也是如此）

例子

假设 D 为 $y=2x^2$ 与 $y=1+x^2$ 所围成的区域，计算 $\iint\limits_D(x+2y)d_A$：D 可以表示为 $D=[-1,1]\times[2x^2,1+x^2]$，于是 $\iint\limits_D(x+2y)d_A=\int_{-1}^1\int_{2x^2}^{1+x^2}(x+2y)d_xd_y=\int_{-1}^1\left[xy+y^2\right]_{y=2x^2}^{y=1+x^2}d_x$ $=\int_{-1}^1(x(1-x^2)+(1+3x^2)(1-x^2))d_x=\int_{-1}^1(-3x^4-x^3+2x^2+x+1)d_x=\frac{32}{15}$
假设 D 为 $y=2x$ 与 $y=x^2$ 围成的区域，计算 $\iint\limits_D(x^2+y^2)d_A$：其中 $D=[0,2]\times[x^2,2x]$，于是 $\iint\limits_D(x^2+y^2)d_A=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(x^2+y^2)d_yd_x=\int_0^2\left[x^2y+\frac13y^3\right]_{y=x^2}^{y=2x}d_x$ $=\int_0^2(x^2(2x-x^2)+\frac13(4x^2+2x^3+x^4)(2x-x^2))d_x=\frac13\int_0^2(-x^6-3x^4+14x^3)d_x=\frac{216}{35}$
1. 或者 $D=[y/2,\sqrt y]\times[0,4]$，于是 $\iint\limits_D(x^2+y^2)d_A=\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt y}(x^2+y^2)d_xd_y=\int_0^4\left[\frac13x^3+xy^2\right]_{x=y/2}^{x=\sqrt y}d_y=\int_0^4(\frac13(y\sqrt y-y^3/8)+y^2(\sqrt y-y/2))d_y$ $=\int_0^4(\frac13y^{3/2}-\frac1{24}y^3+y^{5/2}-\frac12y^3)d_y=[\frac2{15}y^{5/2}-\frac1{96}y^4+\frac27y^{7/2}-\frac18y^4]_0^4=\frac{216}{35}$
假设 D 为 $y=x-1$ 与 $y^2=2x+6$ 围成的区域，计算 $\iint\limits_Dxyd_A$：
1. 法1：$D=[-3,-1]\times[-\sqrt{2x+6},\sqrt{2x+6}]\cup[-1,5]\times[x-1,\sqrt{2x+6}]$，于是 $\iint\limits_Dxyd_A=\int_{-3}^{-1}\int_{-\sqrt{2x+6}}^{\sqrt{2x+6}}xy~d_yd_x+\int_{-1}^5\int_{x-1}^{\sqrt{2x+6}}xy~d_yd_x=\cdots$
2. 法2：$D=[y^2/2-3,y+1]\times[-2,4]$，于是 $\iint\limits_Dxyd_A=\int_{-2}^4\int_{y^2/2-3}^{y+1}xy~d_xd_y=\int_{-2}^4\frac12y((y+1)^2-(y^2/2-3)^2)d_y$ $=\int_{-2}^4\left(-\frac18y^5+2y^3+y^2-4y\right)d_y=\left[-\frac1{48}y^6+\frac12y^4+\frac13y^3-2y^2\right]_{-2}^4=36$
计算由平面 $x+2y+z=2$ 和 $x=2y$，$x=0$，$z=0$ 所围成的立体的体积：（务必画出立体的三维图形，以及在某个坐标平面上的投影图）
1. 平面 $x+2y+z=2$ 在平面 $z=0$ 处的截线为 $x+2y=2,z=0$，即 $y=-x/2+1,z=0$，该直线与 $y=x/2,z=0$ 交于 $(1,1/2,0)$
2. 设 $D=[0,1]\times[x/2,-x/2+1]$，那么立体体积为 $\iint\limits_D(2-x-2y)d_A=\int_0^1\int_{x/2}^{1-x/2}(2-x-2y)d_yd_x=\int_0^1\left[2y-xy-y^2\right]_{x/2}^{1-x/2}d_x$ $=\int_0^1(x^2-2x+1)d_x=\frac13$
（积分变换）计算 $\int_0^1\int_x^1\sin y^2~d_yd_x$：由于 $D=[0,1]\times[x,1]=[0,y]\times[0,1]$，所以 $\int_0^1\int_x^1\sin y^2~d_yd_x=\int_0^1\int_0^y\sin y^2~d_xd_y=\int_0^1y\sin y^2~d_y=\frac12\left[-\cos y^2\right]_0^1=\frac12(1-\cos1)$

注意

注意区分直接计算积分和计算体积问题（后者要对 f 取绝对值）
D 为两个曲线的封闭区域，但是曲线不一定是函数，此时 D 可能划分为多个第 I/II 类区域
内层积分较难积分时，可以考虑区域转换

性质

$\iint\limits_D [f(x,y)+g(x,y)]~d_A = \iint\limits_D f(x,y)~d_A + \iint\limits_D g(x,y)~d_A$

$\iint\limits_D cf(x,y)~d_A = c\iint\limits_D f(x,y)~d_A$

如果 $f(x,y)\ge g(x,y)$ 对所有 $(x,y)\in D$ 成立，那么 $\iint\limits_D f(x,y)~d_A \ge \iint\limits_D g(x,y)~d_A$

若 $D_1 \cup D_2 = D, D_1 \cap D_2 = \emptyset$，那么 $\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \iint\limits_{D_1} f(x,y)~d_A + \iint\limits_{D_2} f(x,y)~d_A$

$\iint\limits_D 1~d_A = A(D)$

若 $m \le f(x,y) \le M$（$(x,y)\in D$），则 $mA(D) \le \iint\limits_D f(x,y)~d_A \le MA(D)$

例子

假设圆盘 $D=[-2,2]\times[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$，估计 $\iint\limits_De^{\sin x\cos y}d_A$：$e^{-1}\le e^{\sin x\cos y}\le e^1$ 蕴含 $\iint\limits_De^{-1}d_A\le\iint\limits_De^{\sin x\cos y}d_A\le\iint\limits_De^1d_A$，蕴含 $4\pi e^{-1}\le\iint\limits_De^{\sin x\cos y}d_A\le4\pi e$

总结

一般区域的二重积分（一般的累次积分）：

若 $D=\{(x,y)|~x\in[a,b],y\in[g_1(x),g_2(x)]\}$，那么 $\iint\limits_Df(x,y)d_A=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)d_yd_x$；记 $D=[a,b]\times[g_1(x),g_2(x)]$

若 $D=\{(x,y)|~y\in[c,d],x\in[h_1(y),h_2(y)]\}$，那么 $\iint\limits_Df(x,y)d_A=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)d_xd_y$；记 $D=[h_1(y),h_2(y)]\times[c,d]$

一般二重积分的性质：

加法：$\iint_D[f(x,y)+g(x,y)]d_A=\iint_Df(x,y)d_A+\iint\limits_Dg(x,y)d_A$

标量乘法：$\iint_Dcf(x,y)d_A=c\iint\limits_Df(x,y)d_A$

序：若 $\forall(x,y)\in D,f(x,y)\ge g(x,y)$，那么 $\iint\limits_Df(x,y)d_A\ge\iint\limits_Dg(x,y)d_A$

若 $D=D_1\cup D_2,D_1\cap D_2=\emptyset$，那么 $\iint\limits_Df(x,y)d_A=\iint\limits_{D_1}f(x,y)d_A+\iint\limits_{D_2}f(x,y)d_A$

一级结论

计算体积，一般的二重积分等类似问题通常要借助几何方法（作图）来辅助计算过程

累次积分变换积分次序后可能简化计算（通常这类变换由几何方式占主导）

练习

计算累次积分 $\int_0^{\pi/2}\int_0^{\cos\theta}e^{\sin\theta}d_rd_\theta$
计算二重积分 $\iint\limits_Dx\cos y~d_A$，其中 D 是 $y=0,y=x^2,x=1$ 围成的区域
计算二重积分 $\iint\limits_D(2x-y)d_A$，其中 D 是 $xy$ 坐标平面中以 $(0,0)$ 为圆心，半径为 2 的圆盘
不同方式描述下的立体体积：
1. 计算平面 $z=xy$ 之下，$xy$ 坐标平面中 $(1,1),(4,1),(1,2)$ 围成的三角形区域
2. 计算 5 种曲面 $z=x^2+3y^2,x=0,y=1,y=x,z=0$ 围成的立体体积
3. 计算两个柱面 $x^2+y^2=r^2,y^2+z^2=r^2$ 围成的立体体积
4. 计算曲面 $z=x^3y^4+xy^2$ 之下，$xy$ 坐标平面中 $y=x^2+x$ 与 $y=x^3-x$ 以及 $x\ge0$ 围成的区域之上的立体体积
交换二重积分次序：
1. $\int_1^2\int_0^{\ln x}f(x,y)d_yd_x$
2. $\int_0^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}f(x,y)d_xd_y$
3. $\int_0^1\int_{\tan^{-1}x}^{\pi/4}f(x,y)d_yd_x$
计算累次积分（强制交换顺序）
1. $\int_0^8\int_{\sqrt[3]y}^2e^{x^4}d_xd_y$

提示

(1) $\int_0^{\pi/2}\int_0^{\cos\theta}e^{\sin\theta}d_rd_\theta=\int_0^{\pi/2}e^{\sin\theta}\cos\theta~d_\theta=\left[e^{\sin\theta}\right]_0^{\pi/2}=e-1$

(2) 作图后可知 $D=[0,1]\times[0,x^2]$

于是 $\iint\limits_Dx\cos y~d_A=\int_0^1\int_0^{x^2}x\cos y~d_yd_x=\int_0^1[x\cdot\sin y]_{y=0}^{y=x^2}d_x=\int_0^1x\sin x^2d_x$ $=\frac12\int_0^1\sin x^2~d(x2)=\frac12(1-\cos1) $

(3) 作图可知 $D=[-2,2]\times[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$

于是 $\iint\limits_D(2x-y)d_A=\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(2x-y)d_yd_x=\int_{-2}^2\left[2xy-\frac12y^2\right]_{y=-\sqrt{4-x^2}}^{y=\sqrt{4-x^2}}d_x$ $=\int_{-2}^24x\sqrt{4-x^2}d_x=4\int_{-4}^{-4}x\sqrt{4-x^2}/(-2x)~d(-x^2)=0$

法2：

(4.1) 法1：$D=[1,4]\times[1,(7-x)/3]$，于是立体体积为 $\iint\limits_Dxy~d_A=\int_1^4\int_1^{(7-x)/3}xy~d_yd_x=\int_1^4\left[\frac12xy^2\right]_{y=1}^{y=(7-x)/3}d_x$ $=\frac12\int_1^4x((7-x)^2/9-1)d_x=\frac1{18}\int_1^4(x^3-14x^2+40x)d_x=\frac1{18}(\frac14x^4-\frac{14}3x^3+20x^2)\Big|_1^4$ $=\frac1{18}(\frac{255}4-\frac{14}3\cdot63+20\cdot15)=\frac{31}8$

法2：$D=[1,7-3y]\times[1,2]$，于是立体体积为 $\iint\limits_Dxy~d_A=\int_1^2\int_1^{7-3y}xy~d_xd_y=\int_1^2\left[\frac12x^2y\right]_{x=1}^{x=7-3y}d_y$ $=\frac12\int_1^2(9y^3-42y^2+48y)d_y=\frac12\left[\frac94y^4-14y^3+24y^2\right]_1^2=\frac{31}8$

(4.2) 设 $D=[0,1]\times[x,1]$，于是立体体积为 $\iint\limits_D(x^2+3y^2)d_A=\int_0^1\int_x^1(x^2+3y^2)~d_yd_x=\int_0^1(x^2(1-x)+(1-x^3))d_x$ $=\int_0^1(-2x^3+x^2+1)d_x=\frac56$

(4.3) 法1：$D=[-r,r]\times[-\sqrt{r^2-x^2},\sqrt{r^2-x^2}]$，再根据对称性有 $2\iint\limits_D\sqrt{r^2-y^2}d_A=2\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\sqrt{r^2-y^2}~d_yd_x=\cdots=\frac{16}3r^3$

法2：$D=[-\sqrt{r^2-y^2},\sqrt{r^2-y^2}]\times[-r,r]$，再根据对称性有 $2\iint\limits_D\sqrt{r^2-y^2}d_A=2\int_{-r}^r\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}\sqrt{r^2-y^2}~d_xd_y=4\int_{-r}^r(r^2-y^2)d_y=\frac{16}3r^3$

(4.4) 解方程 $x^2+x=x^3-x$ 有 $x=-1,0,2$，再根据图像可知该立体在 $xy$ 平面上的投影为 $D=[0,2]\times[x^3-x,x^2+x]$，于是立体体积为 $\iint\limits_D(x^3y^4+xy^2)d_A=\int_0^2\int_{x^3-x}^{x^2+x}(x^3y^4+xy^2)d_yd_x=\frac{13,984,735,616 }{14,549,535}$

(5.1) 由 $[2,1]\times[0,\ln x]=[e^y,2]\times[0,\ln2]$ 有 $\int_1^2\int_0^{\ln x}f(x,y)d_yd_x=\int_0^{\ln2}\int_{e^y}^2f(x,y)d_xd_y$

(5.2) $\int_0^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}f(x,y)d_xd_y=\int_{-3}^3\int_0^{\sqrt{9-x^2}}f(x,y)d_yd_x$

(5.3) $\int_0^1\int_{\tan^{-1}x}^{\pi/4}f(x,y)d_yd_x=\int_0^{\pi/4}\int_0^{\tan y}f(x,y)d_xd_y$

(6.1) 由 $[\sqrt[3]y,2]\times[0,8]=[0,2]\times[0,x^3]$，有 $\int_0^8\int_{\sqrt[3]y}^2e^{x^4}d_xd_y=\int_0^2\int_0^{x^3}e^{x^4}d_yd_x=\int_0^2x^3e^{x^4}d_x=\frac14(e^{16}-1)$

4.极坐标下的二重积分

定义极矩形为：$R = \{(r,\theta) | a\le r\le b, \alpha\le \theta\le \beta\}$

将区间 $[a,b]$ 划分为 n 个子区间 $[r_{i-1},r_i]$，$\Delta r=r_i-r_{i-1}=\frac {b-a}n$

将区间 $[\alpha,\beta]$ 划分为 m 个子区间 $[\theta_{i-1},\theta_i]$，$\Delta \theta=\theta_i-\theta_{i-1}=\frac {\alpha-\beta}m$

子极矩形：$R_{ij} = \{(r,\theta) | r_{i-1}\le r\le r_i, \theta_{j-1}\le \theta\le \theta_j\}$

$\Delta A_i = \frac 12r_i^2\Delta\theta - \frac 12r_{i-1}^2\Delta\theta = \frac 12(r_i^2 - r_{i-1}^2)\Delta\theta = \frac 12(r_i + r_{i-1})(r_i - r_{i-1})\Delta\theta = r_i^*\Delta r\Delta \theta$

得到黎曼和：$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(r_i^*\cos {\theta_j^*}, r_i^*\sin {\theta_j^*})\Delta A_i$

$\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(r_i^*\cos {\theta_j^*}, r_i^*\sin {\theta_j^*})\Delta A_i = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(r_i^*\cos {\theta_j^*}, r_i^*\sin {\theta_j^*})r_i^*\Delta r\Delta \theta$

于是 $\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_\alpha^\beta\int_a^bf(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_rd_\theta$

二重积分(极坐标)

f 是定义在极矩形 R 上的连续函数，而极矩形 R 由 $0\le a\le r\le b, \alpha\le \theta\le \beta$ 给出，且满足 $0\le \beta - \alpha \le 2\pi$，则

$\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_\alpha^\beta\int_a^bf(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_rd_\theta$

第 I 类区域

$D = \{(r,\theta) | \alpha\le\theta\le\beta, h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)\}$

则有 $\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_\alpha^\beta\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_rd_\theta$

特别地，若 $f(x,y)=1,h_1(\theta)=0,h_2(\theta)=h(\theta)$，

那么 $A(D) = \iint\limits_D 1~d_A = \int_\alpha^\beta \int_0^{h(\theta)}r~d_rd_\theta = \int_\alpha^\beta \frac 12[h(\theta)]^2~d_\theta$

第 II 类区域

结论

5.二重积分的应用

从上几节可以观察到，二重积分的用途可以是计算体积，接下来将讨论如何计算物理量质量，电荷量，质心，惯性矩

二维密度 & 质量

二维密度指的是由两个变量决定的密度，如：薄片单位面积上的质量密度，区域上单位面积的电荷密度

这里的质量指的是广义上的质量，如：带电量可以由电荷密度得到

将区域细分为若干个 $R_{ij}$ 区域，其质量为 $m \approx \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$

$m = \lim\limits_{k,l\to ∞}\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^l\rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A = \iint\limits_D \rho(x,y)~d_A$

力矩 & 质心

力矩：将质量与其到一条轴的距离的乘积，称为力矩；即 $M_d = m r_d$（d 指某个坐标轴）

将区域细分为若干个 $R_{ij}$ 区域，质量为 $m \approx \rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A$，因而对 d 轴的力矩为 $M_d = m r_d \approx (\rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A)r_d$（$r_d = x_{ij}^*$ 或 $r_d = y_{ij}^*$）

得到两个轴的力矩： $M_x = \iint\limits_D y\rho(x,y)~d_A$,$M_y = \iint\limits_D x\rho(x,y)~d_A$

质心：质心 $(\overline x, \overline y)$ 满足 $m\overline x = M_y, m\overline y = M_x$

得到质心公式：$\overline x = \frac {M_y}{m} = \frac 1m\iint\limits_D x\rho(x,y)~d_A, \overline y = \frac {M_x}{m} = \frac 1m\iint\limits_D y\rho(x,y)~d_A$

惯性矩 & 旋转半径

惯性矩：又称二阶矩，定义为 $I_d = m r_d^2$（$r_d$ 为到轴 d 的距离）

可以得到：$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)~d_A, I_y = \iint\limits_D x^2\rho(x,y)~d_A$

还可以得到关于原点的惯性矩：$I_O = \iint\limits_D x^2+y^2\rho(x,y)~d_A$（因为质点(x,y)到原点的距离为 $\sqrt {x^2+y^2}$）

注意到：$I_O = I_x + I_y$

旋转半径：薄片对一条轴的旋转半径满足 $m R_d^2 = I_d$

概率

6.曲面面积

假设二元函数 f ($f\ge 0$)，构成曲面 S，将 S 划分为若干个 $R_{ij}$，记该处的面积为 $S_{ij}$，近似的切平面面积为 $T_{ij}$

注意到 $T_{ij}$ 由 $(x_i^*,y_j^*)$ 处沿着 x 轴和 y 轴的切向量 $\mathbf a, \mathbf b$ 决定

将 $\mathbf a$ 投影于 xoz，可以得到关系 $\Delta z = \Delta x f_x$ （$f_x$ 为 f 在 x 轴的偏导数），得到三维向量 $\mathbf a = \langle \Delta x, 0, \Delta x f_x\rangle$

同理 $\mathbf b = \langle 0, \Delta y, \Delta y f_y\rangle$

$|\mathbf a \times \mathbf b|$ 恰好是这两个向量构成的平行四边形的面积，即 $T_{ij} = |\mathbf a \times \mathbf b|$

$\mathbf a \times \mathbf b = \left|\begin{array}{c c c}{\mathbf i}&{\mathbf j}&{\mathbf k}\\ {\Delta x}&{0}&{f_{x}(x_{i},y_{j})}\Delta x\\ {0}&{\Delta y}&{f_{y}(x_{i},y_{j})\Delta y}\\ \end{array}\right|$

$= -f_x(x_i,y_j)\Delta x\Delta y \mathbf i - f_y(x_i,y_j)\Delta x\Delta y \mathbf j + \Delta x\Delta y \mathbf k$

$= (-f_x(x_i,y_j) \mathbf i - f_y(x_i,y_j) \mathbf j + \mathbf k)\Delta A$

$A(S) = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^∞\sum\limits_{j=1}^∞\Delta T_{ij} = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^∞\sum\limits_{j=1}^∞\sqrt {([f_x(x_i,y_j)]^2 + [f_y(x_i,y_j)]^2 + 1)}\Delta A$

曲面面积

由方程 z=f(x,y), $(x,y)\in D$ 定义的曲面的面积可以表示为：

$A(S) = \iint\limits_D \sqrt {([f_x(x_i,y_j)]^2 + [f_y(x_i,y_j)]^2 + 1)}\Delta A$

Leibniz 记号：$A(S) = \iint\limits_D \sqrt {1 + (\frac {\partial z}{\partial x})^2 + (\frac {\partial z}{\partial y})^2}~d_A$

Tip

二维函数对应三维空间中的曲面 S 的面积类似于一维函数对于二维空间中曲线 C 的弧长
曲面面积积分对第 I 类区域比较友好；转化为极坐标一般更好计算曲面面积

7.三重积分

三元函数 f 定义在盒子 $B = \{(x,y,z) | a\le x\le b, c\le y\le d, r\le z\le s\}$ 中

将 [a,b]，[c,d]，[r,s] 分别分成等宽的小区间 $[x_{i-1},x_i], [y_{j-1},y_j], [z_{k-1},z_k]$

其中，$\Delta x = x_{i}-x_{i-1}, \Delta y = y_{j}-y_{j-1}, \Delta z = z_{k}-z_{k-1}$，$i=1..n, j=1..m, k=1..o$

盒子被分成 $nmo$ 个小盒子 $B_{ijk} = [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\times [z_{k-1}, z_k]$，其中 $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$

得到三重黎曼和：$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\Delta V$

三重积分

f 在 B 上的三重积分为：

$\iiint\limits_B f(x,y,z)~d_V = \lim\limits_{n,m,o\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\Delta V$

如果极限存在，则有：

$\iiint\limits_B f(x,y,z)~d_V = \lim\limits_{n,m,o\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(x_{i}, y_{j}, z_{k})\Delta V$

fubini 定理(三重积分)

如果 f 是一个长方体 $B = [a,b]\times [c,d]\times [r,s]$ 上的连续函数，那么：

$\iiint\limits_B f(x,y,z)~d_V = \int_r^s\int_c^d\int_a^b f(x,y,z)~d_xd_yd_z$

调换 x, y, z 的积分顺序总共有 $3!=6$ 种等值的公式

第 I 类区域

假设有界区域(几乎处处光滑) $E \subset B$，而且 f 是连续的，那么 $E = \{(x,y,z) | (x,y)\in D, u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}$ （其中假定 $u_1,u_2$ 是能描述 E 的上下边界的曲面；D 由 x 和 y 共同描述），并且 E 是一个简单区域(能被一个三重积分描述)

若 D 是第 I 类平面区域，则 $\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)~d_zd_yd_x$

若 D 是第 II 类平面区域，则 $\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_{c}^{d}\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)~d_zd_xd_y$

第 II 类，第 III 类区域类似（参见 P341）

Tip

计算三重积分建议画两个图：区域 E 的三维图，区域 D 的二维图
假设 E 是一个简单区域，根据区域的划分类型的不同，可以得到 $C_3^1 C_2^1 = 6$ 种等值的三重积分
计算三重积分的难点是：画图，划分积分区域
易知，三重积分可以转化为二重积分（进而能引用二重积分的性质，如极坐标）

n 重积分之间的比较

假设 $f\le 0$
$\int_a^b f(x)~d_x$ 表示曲线 $y=f(x)$ 从 a 到 b 下方区域的面积
$\iint\limits_D f(x,y)~d_A$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 为顶面的立体的体积
$\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V$ 难以直观地描述，因为它表示四维空间中物体的超体积

性质

$V(E) = \iiint\limits_E d_V$ （计算体积并非一定要使用三重积分）

应用

给定广义三维密度函数 $\rho(x,y,z)$，则物体的广义质量 $m=\iiint\limits_E \rho(x,y,z)~d_V$
物体关于三个坐标平面的动量为 $\displaystyle M_{yz}=\iiint\limits_E x\rho(x,y,z)~d_V, M_{xz}=\iiint\limits_E y\rho(x,y,z)~d_V, M_{xy}=\iiint\limits_E z\rho(x,y,z)~d_V$
物体质心为 $(\overline x, \overline y, \overline z)$，其中 $\displaystyle \overline x=\frac {M_{yz}}{m}$，$\displaystyle \overline y=\frac {M_{xz}}{m}$，$\displaystyle \overline z=\frac {M_{xy}}{m}$ （如果 f 是常数，那么立体的质量质心称为区域 E 的立体形心）
关于三个坐标轴的转动惯量：$\displaystyle I_x = \iiint\limits_E (y^2+z^2)\rho(x,y,z)~d_V$，$\displaystyle I_y = \iiint\limits_E (x^2+z^2)\rho(x,y,z)~d_V$，$\displaystyle I_z = \iiint\limits_E (x^2+y^2)\rho(x,y,z)~d_V$
给定区域 E 的电荷密度 $\sigma(x,y,z)$，区域内电子总电荷数为 $Q = \iiint\limits_E \sigma(x,y,z)~d_V$
三个连续的随机变量 X, Y, Z 的联合密度为三元函数，在区域 E 上的概率为 $P((X,Y,Z)\in E) = \iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V$（联合密度函数满足 $f(x,y,z)\ge 0$，$\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞} \int_{-∞}^{+∞} f(x,y,z)~d_zd_yd_x = 1$）
1. 特别地，$P((a\le X\le b, c\le Y\le d, r\le Z\le s)\in E) = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{r}^{s} f(x,y,z)~d_zd_yd_x$

8.柱面坐标系 & 球坐标系下的三重积分

柱坐标

$(x,y,z) \to (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$，$d_V = rd_zd_rd_\theta$

$\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_\alpha^\beta\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(r\cos\theta, r\sin\theta)}^{u_2(r\cos\theta, r\sin\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)~rd_zd_rd_\theta$

Note

注：三维空间转换为极坐标有三种形式，分别对应于对三个坐标平面 xoy，xoz，yoz 进行转换，而相对的轴不变
二维简单区域转化为极坐标形式，并不能从 D 的笛卡尔坐标系的表达式中直接用代数代换？而只能是结合图形来判断？
若广义的密度函数是类似 $F(x^2+y^2, z)$ 的形式，那么推荐使用极坐标，以简化积分运算

三维笛卡尔坐标转化为球坐标有公式：$x=\rho\sin\phi\cos\theta, y=\rho\sin\phi\cos\theta, z=\rho\cos\phi$

（$\rho$ 是三维空间上距离原点的距离，而 $r=\rho\sin\phi$ 是在某个坐标平面上的投影距离原点的距离）

在球坐标系下，与长方形盒子类似的是球形楔 $E = \{(\rho,\theta,\phi) | a\le\rho\le b, \alpha\le\theta\le\beta, c\le\phi\le d\}$

其中，$a\ge 0, \beta-\alpha\le 2\pi, d-c\le \pi$

将 $[\rho_{i-1},\rho_i], [\theta_{j-1},\theta_j], [\phi_{k-1},\phi_k]$ 分割成 n,m,o 段，

得到 $E_{ijk} = \{(\rho,\theta,\phi) | \rho_{i-1}\le\rho\le \rho_i, \theta_{j-1}\le\theta\le\theta_j, \phi_{k-1}\le\phi\le \phi_k\}$，

将 $E_{ijk}$ 近似为边长分别为 $\Delta \rho$，$\rho_i\sin{\phi_k}\Delta\theta$，$\rho_i\Delta \phi$，

因而 $\Delta V_{ijk} \approx \rho_i^2 \sin{\phi_k} \Delta\rho \Delta\theta \Delta\phi$

利用均值定理 $\Delta V_{ijk} = \widetilde \rho_i^2 \sin{\widetilde\phi_k} \Delta\rho \Delta\theta \Delta\phi$ （均值定理参见练习 39）

$\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \lim\limits_{n,m,o\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(\widetilde\rho_i\sin{\widetilde\phi_k}\cos{\widetilde \theta_j, \widetilde\rho_i\sin{\widetilde\phi_k}\sin{\widetilde\theta_j}, \widetilde\rho_i\cos{\widetilde\phi_k}})\widetilde \rho_i^2 \sin{\widetilde\phi_k} \Delta\rho \Delta\theta \Delta\phi$

球坐标

$\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_c^d\int_\alpha^\beta\int_a^b f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi~d_\rho d_\theta d_\phi$

E 是所给球楔 $E = \{(\rho,\theta,\phi) | a\le\rho\le b, \alpha\le\theta\le\beta, c\le\phi\le d\}$

Tip

球坐标同样可以扩展到跟一般的三维区域上，如： $E = \{(\rho,\theta,\phi) | a\le\rho\le b, \alpha\le\theta\le\beta, g_1(\phi,\theta)\le\phi\le g_2(\phi,\theta)\}$
如何确定参数？
- 如果区域 E 关于某个轴对称，假设这个轴为 z
- 想象 $\rho$ 从 0 开始递增，可以得到一个半径渐增的球型，求出 $\rho$ 的最大下界和最小上界（如果一次就能被精确表示，则称区域 E 是简单区域）
- 想象 $\phi$ 从 0 开始递增，可以得到锥角($=2\phi$)渐增的广义圆锥（其中 $\phi\le \pi$），求出 $\phi$ 的最大下界和最小上界
- 选取适当非对称轴，这里记为 x 轴，想象 $\theta$ 从 0 开始递增，得到与 $xoy$ 夹角为 $\theta$ 的渐增的三维半平面，求出 $\theta$ 的最大下界和最小上界
调换上述定理区域 E 的迭代顺序，理论上可以得到 $3!=6$ 种等值公式

9.重积分的换元

一元函数的换元方法可以用来简化积分计算，有公式：$\int_a^b f(x)~d_x = \int_c^d f(g(u))g'(u)~d_u$

其中 x=g(u), a=g(c), b=g(d)；公式的另一种写法是： $\int_a^b f(x)~d_x = \int_c^d f(x(u))\frac {d_x}{d_u}~d_u$

注：这里的公式有两种用法：x 直接替换为 g(u) 或凑出 g(u)，将其替换为 x

而我们从计算黎曼和出发也得出了二重积分的极坐标变换等等积分变换

变换(二维)

我们定义变换 T 是从 $uOv$ 平面到 $xOy$ 平面的换元： $T(u,v) = (x,y)$

或者，写成 $x=g(u,v), y=h(u,v)$；有时记为 $x=x(u,v), y=y(u,v)$

我们通常假设 T 是 $C^1$ 变换（即 g 和 h 有一阶连续偏导数），而 T 通常是定义在 $\mathbb R^2$ 子集上的函数

如果 $T(u_1,v_1) = (x_1,y_1)$，那么 $(x_1,y_1)$ 称为点 $(u_1,v_1)$ 的象

如果每个点的象各不相同，则 T 称为 一一变换

如果 T 是一一变换，那么有$xOy$ 平面到 $uOv$ 平面的逆变换 $T^{-1}(x,y)=(u,v)$，其中 $u=G(x,y), v=H(x,y)$

Tip

我们考虑一个变换 $T(x,y)=(u,v)$（即 u 和 v 能用 x 和 y 表示），给定 $xOy$ 上的区域 R，如何求出 R 的象（即 $uOv$ 上的区域 S）？
- 一个可能的方法是沿着区域 R 的边界移动，从而通过 T 得到的若干个形如 $F(u,v)=0$ 的曲线来计算 S 的边界，从而得到 S 区域
利用 (1) 的结论，若已知变换 $T(u,v)=(x,y)$，而且 T 是一一变换，即 $T^{-1}(x,y)=(u,v)$，从而我们可以得到 S 的区域（计算二重积分的必要条件之一）
为了方便，我们通常把需要计算二重积分的平面定义为 $xOy$ 平面，对应于区域 R

我们假定 $uOv$ 平面上的区域 S 是一个矩形，左下角的顶点记为 $(u_0,v_0)$，边长为 $\Delta u, \Delta v$

S 的象是 $xOy$ 平面上的区域 R，对应的边界点是 $T(u_0,v_0)=(x_0,y_0)$

定义 (u,v) 的象 (x,y) 的位置向量 $\mathbf r(u,v) = g(u,v)\mathbf i + h(u,v)\mathbf j$

那么 S 的下边界($v=v_0$) 和左边界($u=u_0$) 的象的曲线在 $(x_0,y_0)$ 处的切向量分别为：

$\mathbf r_u = g_u(u_0,v_0)\mathbf i + h_u(u_0,v_0)\mathbf j = \frac {\partial x}{\partial u}\mathbf i + \frac {\partial y}{\partial u}\mathbf j$，$\mathbf r_v = g_v(u_0,v_0)\mathbf i + h_v(u_0,v_0)\mathbf j = \frac {\partial x}{\partial v}\mathbf i + \frac {\partial y}{\partial v}\mathbf j$

我们记 $\mathbf a = \Delta\mathbf r_u = \mathbf r(u_0+\Delta u, v_0) - \mathbf r(u_0,v_0)$，$\mathbf b = \Delta\mathbf r_u = \mathbf r(u_0, v_0+\Delta v) - \mathbf r(u_0,v_0)$

又因为 $\mathbf r_u = \lim\limits_{\Delta u\to 0}\frac {\mathbf r(u_0+\Delta u, v_0) - \mathbf r(u_0, v_0)}{\Delta u}$

因此 $\mathbf r(u_0+\Delta u, v_0) - \mathbf r(u_0, v_0) \approx \Delta u\mathbf r_u$，同理 $\mathbf r(u_0, v_0+\Delta v) - \mathbf r(u_0, v_0) \approx \Delta v\mathbf r_v$

又因为 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 能近似区域 R=T(S)，我们考虑计算器面积：

$|(\Delta u\mathbf r_u)\times (\Delta v\mathbf r_v)| = |\mathbf r_u\times \mathbf r_v|\Delta u\Delta v$

其中 $\mathbf r_u\times \mathbf r_v = \left|\begin{array}{c c c}{\mathbf i}&{\mathbf j}&{\mathbf k}\\ {\frac{\partial x}{\partial u}}&{\frac{\partial y}{\partial u}}&{0}\\ {\frac{\partial x}{\partial v}}&{\frac{\partial y}{\partial v}}&{0}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\textbf{k}$

因而容易得到对应的黎曼和及其积分形式，具体细节参见 P359-361

雅可比行列式

由 $x=g(u,v), y=h(u,v)$ 决定的变换 T 的雅可比行列式为：

$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial\dot y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\dfrac{\partial x\partial y}{\partial u\partial v}-\dfrac{\partial x\partial y}{\partial v\partial u}$

二重积分换元法

假设 T 是一个 $C^1$ 变换，它的雅可比行列式非零，T 把$uOv$ 平面上的区域 S 映射成 $xOy$ 平面上的区域 R

设 f 在 R上是连续并且 S、R 是第 I 类或第 II 类平面区域

设 T 时一个一一映射，在 S 的边界上可以不是，那么：

$\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \iint\limits_S f(x(u,v), y(u,v))~|\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|~d_ud_v$

Tip

上述定理可以证明笛卡尔下的二重积分变换到极坐标下的二重积分的正确性

二重积分换元法的应用

若 $xOy$ 上的区域 R 难以表示，可以考虑构造一个变换 $T(u,v)=(x,y)$，使得 $S=T^{-1}(R)$ 是一个矩形区域
若被积函数 f 难以被积分，可以考虑构造变换 $T(x,y)=(u,v)$，使得被积函数容易积分

雅可比行列式(3维)

由 $T(u,v,\omega)=(x,y,z)$ 决定的雅可比行列式为：

$\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\omega)} = \left|\begin{array}{} \frac {\partial x}{\partial u} & \frac {\partial x}{\partial v} & \frac {\partial x}{\partial \omega} \\ \frac {\partial y}{\partial u} & \frac {\partial y}{\partial v} & \frac {\partial y}{\partial \omega} \\ \frac {\partial z}{\partial u} & \frac {\partial z}{\partial v} & \frac {\partial z}{\partial \omega} \end{array}\right|$

三重积分换元法

$\iiint\limits_R f(x,y,z)~d_V = \iiint\limits_S f(x(u,v,\omega), y(u,v,\omega), z(u,v,\omega))|\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\omega)}|~d_ud_vd_{\omega}$

Note

该定理可以用于证明球坐标下的三重积分公式