14.多元函数的偏导数

1.多元函数

以下将从四个角度研究具有多变量的函数：

1. 语言描述（文字）
2. 数值描述（数值表格）
3. 代数刻画（显式的公式）
4. 直观刻画（曲面或等值线图）

二元函数 f 是指在集合 D 中的每个有序实数对 \((x, y)\) 都有唯一的实数 \(f(x, y)\) 与前者对应

这里 D 是函数的 定义域，f 能取到的值叫做 值域，记作 \(\{ f(x, y) | (x, y) \in D \}\)

几何解释：二元函数 f 满足： 二维平面 \(\mathbb R^2\) 的子集（即定义域）的每一个点能通过 f 唯一映射到一个一维数轴 \(\mathbb R\) 上的点（这些点构成集合——值域）

如果 f 是一个以 \(D\subset \mathbb R^2\) 为定义域的二元函数，那么 f 的图像就是在 \(\mathbb R^3\) 中所有的点 \((x, y, z)\)，

这里 \(z=f(x, y)\) 并且 \((x, y)\) 在 D 中

二元函数 f 的等高线就是方程 \(f(x, y) = k\) 所对应的曲线（k 为常数）

同时也可以认为 \(f(x, y) = k\) 是 f 在 \(xoy\) 上的投影

二元函数的等高线 可以推广到 一元函数的端点，也可以对应于 三元函数的等高面

三元函数 f 对于定义域 \(D\subset \mathbb R^3\) 内的每个三元组 (x, y, z) 都有唯一的实数 f(x, y, z) 与其对应

三元函数 f 的等高面就是方程 \(f(x, y, z) = k\) 所对应的曲面（k 为常数）

一个 n 元函数是一个数组 \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) 到一个数 \(z=f(x_1,x_2,\dots, x_n)\) 的一个对应

• 我们有三种方式看待定义在 \(\mathbb R^n\) 的子集上的函数：

  1. n 个实变量 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的函数
  2. 一个点变量 \((x_1,x_2,\dots,x_n)\) 的函数
  3. 一个向量 \(\mathbf x = \langle x_1,x_2,\dots,x_n \rangle\) 的函数；f 可表示为 \(f(\mathbf x)\)

1. 多元函数：假设 \(D_f\subset\mathbb R^n\)，多元函数定义为映射关系 \(f:~D_f^n\to\mathbb R\)，其中 \(D_f,R_f=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|~\mathbf x\in D_f\}\) 分别为 f 的定义域和值域，\(\mathbb R\) 是 f 的余定义域（注：\(\mathbf x=(x,y,z,\cdots)\) 或 \(\mathbf x=(x_1,x_2,\cdots)\)）
   1. 若 \(n=1\)，那么函数方程 \(y=f(x)\) 表示 \(\mathbb R^2\) 下的向量集或者曲线
   2. 若 \(n=2\)，那么函数方程 \(z=f(x,y)\) 表示 \(\mathbb R^3\) 下的向量集或者曲面
   3. 若 \(n\in\mathbb Z^+\)，那么函数方程 \(u=f(\mathbf x)\) 表示 \(\mathbb R^{n+1}\) 下的向量集
2. 等高线，等值面：假设 \({a_k}\) 是一个（等差）数组，那么 \(z=f(x,y)\) 的一组等高线是 \(f(x,y)=a_1,\cdots,f(x,y)=a_k\)；\(u=f(x,y,z)\) 的一组等值面是 \(f(x,y,z)=a_1,\cdots,f(x,y,z)=a_k\)

2.多元函数的极限 & 连续性

1. 感性定义：\(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\) 表示在 f 的定义域点 (x, y) 沿着任何路径趋近于 (a, b) 时，f(x, y) 趋近于一个数 L

   也就是说，通过让 (x,y) 充分靠近 (a,b)，使得 f(x,y) 充分接近 L

2. 严格定义：令 f 是一个二元函数，定义域是 D，其中的点 (x,y) 任意趋近于 (a,b)，那么我们称当 (x,y) 趋近 (a,b) 时，f(x,y) 的极限是 L，记作： \(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\)

   如果对于任意的数 \(\epsilon > 0\)，有一个相应的 \(\delta > 0\) 使得 \(|f(x,y)-L|<\epsilon\)，这里 \((x,y)\in D\) & \(0<\sqrt {(x-a)+(y-b)^2} < \delta\)

3. 二元函数极限也可以表示为 \(\lim\limits_{\begin{smallmatrix}x\to a\\ y\to b\end{smallmatrix}} f(x,y)=L\) 或 \(f(x,y)\to L\) 当 \((x,y)\to (a,b)\)

4. 几何解释：由二元函数的几何定义有 f 在 \(D\subset \mathbb R^2\) 上的每个点都能唯一映射到一维数轴上(设为 z)

   如果给定 z 上的任意小区间 \((L-\epsilon, L+\epsilon)\)，我们可以在 D 上找到一个以点 (a,b) 为中心，\(\delta > 0\) 为半径的圆盘 \(D_{\delta}\)，使得 f 可以把所有圆盘 \(D_{\delta}\) 上的点映射带区间 \((L-\epsilon, L+\epsilon)\)

5. 其他定义：详见 p215

如果从路径 \(C_1:(x,y)\to(a,b)\) 使 \(f(x,y)\to L_1\)，而沿路径 \(C_2:(x,y)\to(a,b)\) 使 \(f(x,y)\to L_2\)

而且 \(L_1\ne L_2\)，那么 \(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\) 不存在

一个二元函数在 (a,b) 连续，如果 \(\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)\)

如果 f 在 D 里的每一个点 (a,b) 连续，则 f 在 D 连续

\(\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z) = L\)

在 f 的定义域内，当 (x,y,z) 以任意方式趋近 (a,b,c) 时，f(x,y,z) 趋近于 L

精确定义：对任意 \(\epsilon > 0\)，则存在 \(\delta > 0\)，使得 \(|f(x,y,z) - L| < \epsilon\)，这里 \(0 < \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2} < \delta\)，(x,y,z) 在定义域内

f 在 (a,b,c) 连续，如果 \(\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z) = f(a,b,c)\)

设 \(\mathbf x = \langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle\)，\(\mathbf a = \langle a_1, a_2, \dots, a_n\rangle\)

如果 f 是定义在 \(D \subset \mathbb R^n\) 上的函数，则\(\lim\limits_{\mathbf x\to \mathbf a} f(\mathbf x) = L\)，

这意味着对于每个数 \(\epsilon > 0\)，则有一个相应的 \(\mathbf \delta > 0\)，使得 \(|f(\mathbf x) - L| < \epsilon\)，这里 \(0 < |\mathbf x - \mathbf a| < \delta\)，\(\mathbf x \in D\)

f 在 \(\mathbf a\) 处连续，如果 \(\lim\limits_{\mathbf x \to \mathbf a} f(\mathbf x) = f(\mathbf a)\)

1. 多元函数的极限：假设 \(\mathbf a\in\mathbb R^n,L\in\mathbb R\)，若 \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\) 使得 \(\forall\mathbf x\in\mathring U(\mathbf a,\delta),f(\mathbf x)\in U(L,\epsilon)\)，那么称 f 在 \(\bf a\) 处取存在极限 L，记为 \(\lim\limits_{\bf x\to a}f(\mathbf x)=L\)（其中，\(\mathring U(\mathbf a,\delta)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|~\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta,\mathbf x\ne\mathbf a\}\)）
   1. 或者记为 \(\mathbf x\to\mathbf a,f(\mathbf x)\to L\)；沿着路径 C 的极限记为 \(C:\mathbf x\to\mathbf a,f(\mathbf x)\to L\)
2. 定理：若存在两条不同路径 \(\exists C_1\ne C_2\) 使得 \(C_1:\mathbf x\to\mathbf a,f(\mathbf x)\to L_1\)，\(C_2:\mathbf x\to\mathbf a,f(\mathbf x)\to L_2\)，并且 \(L_1\ne L_2\)，那么 \(\lim\limits_{\bf x\to a}f(\mathbf x)\) 不存在
3. 多元函数的连续性（点连续，区间连续）：假设 f 是 n 元的，若 \(\lim\limits_{\bf x\to a}f(\mathbf x)=f(\mathbf a)\)，那么称 f 在 \(\bf a\) 处连续；若 \(\forall\mathbf x\in D_f,\lim\limits_{\bf u\to x}f(\mathbf u)=f(\mathbf x)\)，那么称 f 是连续函数或在 \(D_f\) 上连续

1. 多元函数极限（实用性定义）：假设 \(\mathbf a\in\mathbb R^n,L\in\mathbb R\)，若 \(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0\) 使得 \(\forall\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta\) 使得 \(|f(x)-L|<\epsilon\)
2. 多元初等函数在定义域内连续

(2)

1. 函数沿着 \(C_1:x=0,C_2:y=x\) 接近 \((0,0)\) 的极限分别为 \(0,1/2\)，所以极限不存在
2. 因为沿着 \(C:x=0\) 接近 \((0,0)\) 的极限为 0，所以假设极限值为 \(L=0\)，又 \(|f(x,y)-0|=\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\frac{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}\)，假设 \(\delta=\epsilon\)，有 \(\|(x,y)-(0,0)\|<\delta\)，即 \(\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon\)，于是 \(|f(x,y)-0|<\epsilon\)，所以极限为 0
3. 函数沿着 \(C_1:x=0,C_2:y=x^2\) 接近 \((0,0)\) 的极限分别为 \(0,1\)，所以极限不存在
4. 函数沿着 \(C_1:y=0,z=0\) 或 \(C_2:x=0,z=0\) 接近 \((0,0,0)\) 的极限分别为 \(1,2\)，所以极限不存在（注：\(\mathbb R^n\) 下的一条曲线可以由 \(n-1\) 个方程定义）
5. 函数沿着 \(C_1:x=0,y=0\) 或 \(C_2:x=z^2,y=z^2\) 的极限分别为 \(0,1\)，所以极限不存在

(3)

1. \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\lim\limits_{r\to0^+}\frac{r^3\cos^3\theta+r^3\sin^3\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\lim\limits_{r\to0^+}r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=0\)
2. \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)=\lim\limits_{r\to0^+}r^2\ln r^2=2\lim\limits_{r\to0^+}\frac{\ln r}{1/r^2}=2\lim\limits_{r\to0^+}\frac{1/r}{-2/r^3}=0\)

(4) \(\lim\limits_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xyz}{x^2+y^2+z^2}=\lim\limits_{\rho\to0^+}\frac{\rho\sin\phi\cos\theta\cdot\rho\sin\phi\sin\theta\cdot\rho\cos\phi}{\rho^2}=\lim\limits_{\rho\to0^+}\rho\sin^2\phi\cos\phi\cos\theta\sin\theta=0\)

3.多元函数的偏导数

如果 f 是一个二元函数，它的偏导数是 \(f_x\) 和 \(f_y\)，定义为：

\(f_x(x, y) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x+h, y)-f(x,y)}h\)

\(f_y(x, y) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x, y+h)-f(x,y)}h\)

• 若 z=f(x,y)，我们记：
  • \(f_x(x,y)=f_x=\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {\partial}{\partial x}f(x,y) = \frac {\partial z}{\partial x} = f_1 = D_1f = D_xf\)
  • \(f_y(x,y)=f_y=\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {\partial}{\partial y}f(x,y) = \frac {\partial z}{\partial y} = f_2 = D_2f = D_2f\)

若 z=f(x,y)

\(f_x(a,b)\) 表示曲线 \(z=f(x,y), y=b\)（即 \(F(x,b,z)=0\)） 的斜率

\(f_y(a,b)\) 表示曲线 \(z=f(x,y), x=a\)（即 \(F(a,y,z)=0\)） 的斜率

\(f_x(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}h\)

\(f_y(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}h\)

\(f_z(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}h\)

注：\(\omega = f(x,y,z)\) 在四维空间中，我们无法解释其几何意义

令 u 是 n 元函数，\(u = f(x_1,x_2,\dots, x_n)\)

第 i 个变量的偏导数为：\(\frac {\partial u}{\partial x_i} = \lim\limits_{h\to 0} \frac {f(x_1,\dots,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots, x_n) - f(x_1,\dots,x_i,\dots, x_n)}h\)

若 f 有两个变量，那么偏导数 \(f_x\)，\(f_y\) 仍然是二元函数，

• 我们讨论导数 \((f_x)_x, (f_x)_y, (f_y)_x, (f_y)_y\)，有如下定义：

  1. \((f_x)_x = f_{xx} = f_{11} = \frac {\partial }{\partial x}(\frac {\partial f}{\partial x}) = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} = \frac {\partial ^2z}{\partial x^2}\)
  2. \((f_x)_y = f_{xy} = f_{12} = \frac {\partial }{\partial y}(\frac {\partial f}{\partial x}) = \frac {\partial ^2f}{\partial y\partial x} = \frac {\partial ^2z}{\partial y\partial x}\)
  3. \((f_y)_x = f_{yx} = f_{21} = \frac {\partial }{\partial x}(\frac {\partial f}{\partial y}) = \frac {\partial ^2f}{\partial x\partial y} = \frac {\partial ^2z}{\partial x\partial y}\)
  4. \((f_y)_y = f_{yy} = f_{22} = \frac {\partial }{\partial y}(\frac {\partial f}{\partial y}) = \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} = \frac {\partial ^2z}{\partial y^2}\)

在 f 的定义域 D 内含有点 (a,b)，如果 \(f_{xy}, f_{yx}\) 都在 D 内连续，那么 \(f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)\)

1. 二元函数偏导数：若函数 f 是二元的，它的两个偏导数分别定义为：\(f_x(x,y)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h\)，\(f_y(x,y)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}h\)；对于函数方程 \(z=f(x,y)\)，记：
   1. \(f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac\partial{\partial x}f=\frac{\partial z}{\partial x}=f_1=D_1f=D_xf\)
   2. \(f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac\partial{\partial y}f=\frac{\partial z}{\partial y}=f_2=D_2f=D_yf\)
2. 二元函数偏导数的几何意义：
   1. \(f_x(x,y)\) 表示 \(z=f(x,y)\) 沿着向量曲线方程 \(\mathbf r(t)=(t,y,f(t,y))\) 在点 \((x,y,f(x,y))\) 上的切线斜率，该切线为 \(\mathbf r(t)=(x,y,f(x,y))+t(1,0,f_x(x,y))\)
   2. \(f_y(x,y)\) 表示 \(z=f(x,y)\) 沿着向量曲线方程 \(\mathbf r(t)=(x,t,f(x,t))\) 在点 \((x,y,f(x,y))\) 上的切线斜率，该切线为 \(\mathbf r(t)=(x,y,f(x,y))+t(0,1,f_y(x,y))\)
3. 高阶偏导数：
   1. 若 f 是二元的，那么记 \((f_x)_x=f_{xx}=f_{11}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac {\partial^2z}{\partial x^2}\)，以及 \((f_x)_y=f_{xy}=f_{12}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac {\partial^2z}{\partial y\partial x}\)
4. 克莱罗定理（高阶偏导数交换律）：假设 f 是二元的，若 \(f_{xy},f_{yx}\) 均在 \((a,b)\) 的邻域内连续，那么 \(f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)\)
5. n 元函数的偏导数：若 \(u=f(x_1,\cdots,x_n)\)，那么第 i 个变量的偏导数为 \(\frac{\partial u}{\partial x_i}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(x_1,\cdots,x_i+t,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_n)}t\)
6. n 元函数的高阶偏导数：\(\frac{\partial^ku}{\partial x_i^k}=f_i^{(k)}(\mathbf x)\)

(2) 若 \((x,y)\ne0\)，有 \(f_x(x,y)=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\)，而 \(f_x(0,0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}t=0\)，于是 \(f_x(x,y)=\begin{cases}\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}&(x,y)\ne(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)

若 \((x,y)\ne0\)，有 \(f_y(x,y)=\frac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}\)，而 \(f_y(0,0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(0,0+t)-f(0,0)}t=0\)，于是 \(f_y(x,y)=\begin{cases}\frac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}&(x,y)\ne(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)

若 \((x,y)\ne0\)，有 \(f_{xy}=f_{yx}=\frac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}\)（由于克莱罗法则）

而 \(f_{xy}(0,0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f_x(0,0+t)-f_x(0,0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{t(-t^4)/t^4}t=-1\)，\(f_{yx}(0,0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f_y(0+t,0)-f_y(0,0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{t^5/t^4 }t=1\)

于是 \(f_{xy}(x,y)=\begin{cases}\frac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}&(x,y)\ne(0,0)\\-1&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)，\(f_{yx}(x,y)=\begin{cases}\frac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}&(x,y)\ne(0,0)\\1&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)

(3) \(f_x(1,0)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(1+t,0)-f(1,0)}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{(1+t)^{-2}-1}t=\lim\limits_{t\to0}\frac{1-(1+t)^2}{t(1+t)^2}\) \(=\lim\limits_{t\to0}\frac{-2t-t^2}{t(1+t)^2}=\lim\limits_{t\to0}\frac{-2-t}{(1+t)^2}=-2\)

法2：\(f(x,0)=x(x^2)^{-3/2}=x^{-2}\)，那么 \(f_x(x,0)=-2x^{-3}\)，于是 \(f_x(1,0)=-3\)

(4) \(4x^2+2y^2+z^2=16\) 蕴含 \(8x+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0\)，蕴含 \(\frac{\partial z}{\partial x}=-4x/z\)

于是，在 \((1,2,2)\) 处，\(\frac{\partial z}{\partial x}=-2\)，该处的切线向量方程为 \(\mathbf r(t)=(1,2,2)+t(1,0,-2)\)（因为该切线在平面 \(y=2\) ）

(6) \(f_x(x,y)=x+4y\) 蕴含 \(f_{xy}(x,y)=4\)

\(f_y(x,y)=3x-y\) 蕴含 \(f_{yx}(x,y)=3\)

由[克莱罗定理]和 \(f_{xy},f_{yx}\) 均是连续的，有 \(f_{xy}=f_{yx}\)，矛盾

(7) \(\forall i=1..n\)，\(-\frac1{R^2}\frac{\partial R}{\partial R_i}=-\frac1{R_i^2}\)，蕴含 \(\frac{\partial R}{\partial R_i}=\frac{R^2}{R_i^2}\)

(8) \(u=1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) 蕴含 \(u_x=-\frac{2x}{2(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\)，蕴含 \(u_{xx}=\frac{-(x^2+y^2+z^2)^{3/2}-(-x)(3/2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}(2x)}{(x^2+y^2+z^2)^3}=\frac{-(x^2+y^2+z^2)+3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\)

根据对称性 \(u_{yy}=\frac{-(x^2+y^2+z^2)+3y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\)，\(u_{zz}=\frac{-(x^2+y^2+z^2)+3z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\)

于是 \(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0\)

(11) \(\forall i=1..n\) 有 \(\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(e^{\mathbf a\cdot\mathbf x})=\frac{\partial}{\partial x_i}((\mathbf a\cdot\mathbf x')e^{\mathbf a\cdot\mathbf x})=\frac{\partial}{\partial x_i}(a_ie^{\mathbf a\cdot\mathbf x})=a_i^2e^{\bf a\cdot x}\)，于是 \(\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}=\sum\limits_{i=1}^na_i^2e^{\bf a\cdot x}=e^{\bf a\cdot x}\sum\limits_{i=1}^na_i^2=e^{\bf a\cdot x}=u\)

4.切平面 & 线性近似

一元微积分中，我们将函数曲线的一段小区间用它的切线近似

而二元微积分中，我们将函数曲面的一段小区域用它的切面来近似

多元可微函数同样也可以使用类似的近似方法

令 z=f(x,y) 的曲面 C 分别与 \(y=y_0\)，\(x=x_0\) 相交于曲线 \(C_1,C_2\)；点 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 位于切平面 G 与曲面 C 的交点

由平面方程(12.5)有： \(G:~~A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) \(\implies z-z_0=a(x-x_0)+b(y-y_0)\)

（\(a=-\frac AC,b=-\frac BC, C\ne0\)）

记 \(T_1,T_2\) 分别为 \(C_1,C_2\) 在点 P 处的切线

通过 G 的方程，\(T_1,T_2\) 可以分别表示为 \(z-z_0=a(x-x_0), y=y_0\) 和 \(z-z_0=b(y-y_0), x=x_0\)

又由 14.2 可知 \(T_1,T_2\) 的斜率分别为 \(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\)，即 \(a=f_x(x_0,y_0), b=f_y(x_0,y_0)\)

最后得到 C 在 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面 G 为 \(z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)

假设二元函数 f 有连续偏导数，那么 \(z=f(x,y)\) 在 \((a,b)\) 处的切平面的向量参数方程为 \(\mathbf r(u,v)=(a,b,f(a,b))+u(1,0,f_x(a,b))+v(0,1,f_y(a,b))\)

或者，该切平面的向量方程为 \(z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)

\(z=f(x,y)\) 在 \((a,b)\) 处沿着曲线 \(z=f(x,y),y=b\) 的切线向量为 \((1,0,f_x(a,b))\)

沿着曲线 \(z=f(x,y),x=a\) 的切线向量为 \((0,1,f_y(a,b))\)，于是：

(1) \(z=f(x,y)\) 在 \((a,b)\) 处的切平面的向量参数方程为 \(\mathbf r(u,v)=(a,b,f(a,b))+u(1,0,f_x(a,b))+v(0,1,f_y(a,b))\)

(2) \(z=f(x,y)\) 在 \((a,b)\) 处的切平面的向量方程为 \(((1,0,f_x(a,b))\times(0,1,f_y(a,b)))\cdot((x,y,z)-(a,b,f(a,b)))=0\)

其中 \((1,0,f_x(a,b))\times(0,1,f_y(a,b))=(-f_x(a,b),-f_y(a,b),1)\)，\((x,y,z)-(a,b,f(a,b))=(x-a,y-b,z-f(a,b))\)

于是 \(z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)

\(\blacksquare\)

我们称 f 在 (a,b) 的线性化为：\(L(x, y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)\)

称 f 在点 (a,b) 的 线性近似 或 切平面近似 为：\(f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)\)

由第 3 章，若 f(x) 在 a 处可微，那么 \(\Delta y = f'(a)\Delta x + \epsilon\Delta\)，其中 \(\Delta\to 0\) 时 \(\epsilon\to 0\)（\(\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)\)）

若 z=f(x,y)，那么 f 在点 (a,b) 是可微的，如果 \(\Delta z\) 可以表达为：

\(\Delta z = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y\)，

其中当 \(\epsilon_1 \to 0,\epsilon_2 \to 0\) 时，\((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)\)

如果偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\) 在 (a,b) 附近存在，并且 (a,b) 连续，则 f 在 (a,b) 点可微

可微函数 z=f(x,y) 的全微分定义为：\(d_z = f_x(x,y)d_x + f_y(x,y)d_y = \frac {\partial z}{\partial x}d_x + \frac {\partial z}{\partial y}d_y\)

线性近似：\(f(x,y,z) \approx f(a,b,c) + f_x(a,b,c)(x-a) + f_y(a,b,c)(y-b) + f_z(a,b,c)(z-c)\)

其线性化表达式 L(x,y,z) 等于上式的右边

若 \(\omega = f(x,y,z)\)，那么 \(\omega\) 的增量是： \(\Delta \omega = f(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z) - f(x,y,z)\)

微分 \(d_{\omega} = \frac {\partial \omega}{\partial x}d_x + \frac {\partial \omega}{\partial y}d_y + \frac {\partial \omega}{\partial z}d_z\)

1. 切平面：假设二元函数 f 有连续偏导数，那么 \(z=f(x,y)\) 在 \((a,b)\) 处的切平面的向量参数方程为 \(\mathbf r(u,v)=(a,b,f(a,b))+u(1,0,f_x(a,b))+v(0,1,f_y(a,b))\)，对应的向量方程为 \(z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
2. 线性近似：二元函数 f 在 \((a,b)\) 点的线性近似为 \(g(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)（\((a,b)\) 附近有 \(g(x,y)\approx f(x,y)\)）
3. 可微：假设 \(z=f(x,y)\)，若 \(\epsilon_1 \to 0,\epsilon_2 \to 0,\Delta x\to0,\Delta y\to0\) 时，有 \(f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+\epsilon_1\Delta x+\epsilon_2\Delta y=\Delta z\)，那么 f 在 \((a,b)\) 处可微
4. 可微定理：若 \(f_x,f_y\) 在 \((a,b)\) 附近存在，并且在 \((a,b)\) 处连续，那么 f 在 \((a,b)\) 处可微
5. 全微分：假设 f 是二元的，且 \(z=f(x,y)\)，那么 f 的全微分定义为 \(dz=f_x(x,y)d_x+f_y(x,y)d_y\)

(1.1) \(f_x(x,y)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2-2y^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-2y^2}}\)，\(f_y(x,y)=\frac{-4y}{2\sqrt{4-x^2-2y^2}}=\frac{-2y}{\sqrt{4-x^2-2y^2}}\)

于是 \(z=f(x,y)\) 在 \((1,-1)\) 处的切平面为 \(z-f(1,-1)=f_x(1,-1)(x-1)+f_y(1,-1)(y+1)\)，即 \(z-1=-(x-1)+2(y+1)\)，即 \(z=-x+2y+4\)

(1.2) \(f_x(1,-1)=d(e^{x^2-1})/dx\Big|_{x=1}=(2xe^{x^2-1})\Big|_{x=1}=2\)，\(f_y(1,-1)=d(e^{1-y^2})/dx\Big|_{y=-1}=(-2ye^{1-y^2})\Big|_{y=-1}=2\)

于是 \(z=f(x,y)\) 在 \((1,-1)\) 处的切平面为 \(z-f(1,-1)=2(x-1)+2(y+1)\)，即 \(z=2x+2y+1\)

(2) \(f_x(x,y)=\frac1{1+(x+2y)^2},f_y(x,y)=\frac2{1+(x+2y)^2}\)，

于是 \(f(x,y)\) 在 \((1,0)\) 处的线性近似为 \(g(x,y)=f(1,0)+f_x(1,0)(x-1)+f_y(1,0)(y-0)=\pi/4+\frac12(x-1)+y=x/2+y+\pi/4-1/2\)

5.多元函数的链式法则

\(z=f(x,y)\) 是一个关于 x 和 y 的可微函数，而 \(x=g(t)\) 和 \(y=h(t)\) 均为 t 的可微函数，那么 z 就是 t 的一个可微函数，

并且有： \(\frac {d_z}{d_t} = \frac {\partial f}{\partial x}\frac {d_x}{d_t} + \frac {\partial f}{\partial y}\frac {d_y}{d_t}\)

通常记为： \(\frac {d_z}{d_t} = \frac {\partial z}{\partial x}\frac {d_x}{d_t} + \frac {\partial z}{\partial y}\frac {d_y}{d_t}\)

\(z=f(x,y)\) 是一个关于 x 和 y 的可微函数，而 \(x=g(s,t)\) 和 \(y=h(s,t)\) 均为 s 和 t 的可微函数，那么 z 就是 s 和 t 的一个可微函数，

并且有： \(\frac {\partial z}{\partial s} = \frac {\partial f}{\partial x}\frac {\partial x}{\partial s} + \frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial y}{\partial s}\)，\(\frac {\partial z}{\partial t} = \frac {\partial f}{\partial x}\frac {\partial x}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial y}{\partial t}\)

假设 u 是 n 个变量 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的一个可微函数，每一个变量 \(x_i\) 都是 m 个变量 \(t_1,t_2,\dots,t_m\) 的可微函数，那么 u 是 \(t_1,t_2,\dots,t_m\) 的可微函数，那么：

\(\displaystyle \frac {\partial u}{\partial t_j} = \sum\limits_{i=1}^n\frac {\partial u}{\partial x_i}\frac {\partial x_i}{\partial t_j}\) （\(j=1..m\)）

注：u 既可以表示为 \(u(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，也可以表示为 \(U(t_1,t_2,\dots,t_m)\)（注意映射符号的改变）；上式则暗示 u 以 \(U(t_1,t_2,\dots,t_m)\) 的形式出现时的偏导数

推论：假设 g 是 u 的高阶高阶导数(“导数路径”为 \(x_{a_1},x_{a_2},\dots,x_{a_k}\))，那么 g 仍然是关于 \(t_1,t_2,t_m\) 的可微函数，同样有：\(\displaystyle \frac {\partial g}{\partial t_j} = \sum\limits_{i=1}^n\frac {\partial g}{\partial x_i}\frac {\partial x_i}{\partial t_j}\)

根据微积分定理，当 F 定义在一个 盘型域，它上面的点 (a, b) 有 \(F(a,b)=0, F_y(a, b)\ne 0\)，而且 \(F_x\) 和 \(F_y\) 在盘型域中连续，那么方程 F(x,y)=0 在点 (a,b) 附近定义了一个 y 作为 x 的一个函数，且这个函数是可微的

其偏导数为 \(\frac {d_y}{d_x} = -\frac {F_x}{F_y}\)

\(F(x,y)=0\) 两边对 x 求导，有 \(F_1'+F_2'\frac{dy}{dx}=0\)

假设 \(F_2'\ne0\)，有 \(\frac{dy}{dx}=-F_1'/F_2'\)，\(\frac{\partial z}{\partial y}=-F_2'/F_3'\)

\(\blacksquare\)

根据微积分定理，当 F 定义在一个包含 (a,b,c) 的 球体 上，它上面的点 (a,b,c) 有 \(F(a,b,c)=0, F_z(a, b, c)\ne 0\)，而且 \(F_x(a,b,c)\ne 0\)，而且 \(F_x,F_y,F_z\) 在球体内部连续，那么方程 F(x,y,z)=0 在点 (a,b,c) 附近定义了一个 z 作为 x 和 y 的一个函数，且这个函数是可微的

其偏导数为 \(\frac {\partial z}{\partial x} = -\frac {F_x}{F_z}\)，\(\frac {\partial z}{\partial y} = -\frac {F_y}{F_z}\)

\(F(x,y,z)=0\) 分别对 \(x,y\) 求偏导数，有 \(\begin{cases}F_1'+F_3'\frac{\partial z}{\partial x}=0\\F_2'+F_3'\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}\)，

假设 \(F_3'\ne0\)，有 \(\frac{\partial z}{\partial x}=-F_1'/F_3'\)

\(\blacksquare\)

1. 二元链式法则（递归定义）：假设 f 是二元的，那么 \(z=f(x,y)\) 对 t 的偏导数为 \(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\) 或 \(\frac{\partial z}{\partial t}=f_1'\frac{\partial x}{\partial t}+f_2'\frac{\partial y}{\partial t}\)
   1. 特别的，若 \(z=(f\circ(g,h))(t)\)，那么 \(\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{d x}{d_t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{d y}{d_t}\)
2. 多元链式法则：假设 f 是 n 元的，若 \(z=(f\circ(x_1,\cdots,x_n))(t_1,\cdots,t_m)\)，那么 \(\forall i=1..m,\frac{\partial z}{\partial t_i}=\sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial t_i}\) 或者 \(\frac{\partial z}{\partial t_i}=\sum\limits_{k=1}^nf_k'\frac{\partial x_k}{\partial t_i}\)
   1. 其中，函数 \(\frac{\partial z}{\partial t_i}\) 可表示为 \(\frac{\partial z}{\partial t_i}=g(x_1,\cdots,x_n,t_i)\)
   2. 二阶偏导数：\(\frac{\partial^2z}{\partial t_j\partial t_i}=\mathbf u^T\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial t_i}\frac{\partial}{\partial x_1}\\\vdots\\\frac{\partial x_n}{\partial t_i}\frac{\partial}{\partial x_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial t_j}f_1'&\cdots&\frac{\partial x_n}{\partial t_j}f_n'\end{bmatrix}\mathbf u+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial^2x_k}{\partial t_j\partial t_i}f_k'\)，其中 \(\mathbf u^T=[1\cdots1]\)
3. 隐函数偏导数：（更具实用性的隐函数求导，参见[3.6]）
   1. 对于 \(F(x,y)=0,y=f(x)\)，有 \(\frac{dy}{dx}=-F_1'/F_2'\)
   2. 对于 \(F(x,y,z)=0,z=f(x,y)\)，有 \(\frac{\partial z}{\partial x}=-F_1'/F_3',\frac{\partial z}{\partial y}=-F_2'/F_3'\)

1. 微分应当分为“直接微分”（如：\(f_i'=\frac{\partial f}{\partial x_i}\)）和“路径微分”（如：\(\frac{\partial f}{\partial t}=f_i'\frac{\partial x_i}{\partial t}\)）
2. 多元链式法则重用推论：假设 \(z=f(x,y),x=g(s,t),y=h(s,t)\)，那么 \(\frac{\partial z}{\partial s}=[x_s'~~y_s']\begin{bmatrix}f_1'\\f_2'\end{bmatrix}\)，\(\frac{\partial^2z}{\partial s\partial t}=[x_s'x_t'~~x_s'y_t'+x_t'y_s'~~y_s'y_t'~~x_{st}''~~y_{st}'']\begin{bmatrix}f_{11}''\\f_{12}''\\f_{22}''\\f_1'\\f_2'\end{bmatrix}\)

(3) 若 \(z=f(x,y)\)，根据隐函数求导法则 \(\frac{\partial z}{\partial x}=-F_1'/F_3'\)

同样地，若 \(y=g(x,z)\) 或 \(x=h(y,z)\)，那么 \(\frac{\partial x}{\partial y}=-F_2'/F_1'\)，\(\frac{\partial y}{\partial z}=-F_3'/F_2'\)

于是 \(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}=\left(-\frac{F_1'}{F_3'}\right)\left(-\frac{F_2'}{F_1'}\right)\left(-\frac{F_3'}{F_2'}\right)=-1\)

(4) \(\frac{\partial z}{\partial s}=e^r\cos\theta\cdot t-e^r\sin\theta\cdot\frac s{\sqrt{s^2+t^2}}\)

\(\frac{\partial z}{\partial t}=e^r\cos\theta\cdot s-e^r\sin\theta\cdot\frac t{\sqrt{s^2+t^2}}\)

(5.1) 根据[14.5二级结论]有：

1. \(\frac{\partial z}{\partial r}=\cos\theta f_1'+\sin\theta f_2'\)
2. \(\frac{\partial z}{\partial \theta}=-r\sin\theta f_1'+r\cos\theta f_2'\)
3. \(\frac{\partial^2z}{\partial r^2}=\cos^2\theta f_{11}''+2\cos\theta\sin\theta f_{12}''+\sin^2\theta f_{22}''+0\cdot f_1'+0\cdot f_2'\)
4. \(\frac{\partial^2z}{\partial\theta^2}=r^2\sin^2\theta f_{11}''-2r^2\cos\theta\sin\theta f_{12}''+r^2\cos^2\theta f_{22}''+-\sin\theta f_1'+\cos\theta f_2'\)
5. \(\frac{\partial^2z}{\partial r\partial\theta}=-r\sin\theta\cos\theta f_{11}''+r(\cos^2\theta-\sin^2\theta)f_{12}''+r\sin\theta\cos\theta f_{22}''-r\sin\theta f_1'-r\cos\theta f_2'\)

6.方向导数 & 梯度向量

我们希望找到 \((x_0,y_0)\) 附近，沿着任意方向的单位向量 \(\mathbf u=\langle a, b\rangle\) 中 z=f(x,y) 的变化率，

设 \(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) 是曲面 \(S_1\) （由 f 决定）上一点，\(S_2\) 是经过点 P 且平行于 \(\mathbf u\) 的垂直于 xoy 的平面，

令 \(Q(x,y,z)\) 为曲面 \(S_1\) 与曲面 \(S_2\) 的交线 C 上的一点，显然能表示为 \(Q(x_0+ha, y_0+hb, f(x_0+ha, y_0+hb))\)

得到线段 PQ 之间的差分之比：\(\frac {\Delta z}{h} = \frac {f(x_0+ha, y_0+hb) - f(x_0,y_0)}{h}\)

因而 \(\lim\limits_{h\to 0} \frac {f(x_0+ha, y_0+hb) - f(x_0,y_0)}{h}\) 为 z 的在点 \((x_0,y_0)\) 的 \(\mathbf u\) 方向上的变化率

如果极限存在的话，函数 f 在点 \((x_0,y_0)\) 的关于一个向量 \(\mathbf u = \langle a,b\rangle\) 的方向导数是：

\(\displaystyle D_{\mathbf u}f(x_0,y_0) = \lim\limits_{h\to 0} \frac {f(x_0+ha, y_0+hb) - f(x_0,y_0)}{h}\)

如果 f 是 x 和 y 的一个两个变量函数，则 f 的梯度就是向量函数 \(\mathbf {grad} f\) 或 \(\nabla f\)：

\(\nabla f(x,y) = \langle f_x(x,y), f_y(x,y)\rangle = \frac {\partial f}{\partial x}\mathbf i + \frac {\partial f}{\partial y}\mathbf j\)

如果 f 是 x 和 y 的一个可微函数，那么对于任何一个单位向量 \(\mathbf u = \langle a,b \rangle\)，f 都有一个方向导数，其表达式为：

\(D_{\mathbf u}f(x,y) = f_x(x,y)a + f_y(x,y)b\)

即 \(D_{\mathbf u}f(x,y) = \nabla f\cdot \mathbf u\)

1. 如果下属极限存在，那么三元函数 f 在点 \((x_0,y_0,z_0)\) 的关于单位向量 \(\mathbf u=\langle a,b,c \rangle\) 的方向导数为：

   \(D_{\mathbf u}f(x_0,y_0,z_0) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x_0+ha,y_0+hb,z_0+hc)-f(x_0,y_0,z_0)}h\)

2. 梯度向量 \(\nabla f = \langle f_x,f_y,f_z \rangle = \frac {\partial f}{\partial x}\mathbf i + \frac {\partial f}{\partial y}\mathbf j + \frac {\partial f}{\partial z}\mathbf k\)

3. \(D_{\mathbf u}f(x_0,y_0,z_0) = \nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \mathbf u\)

n 元函数 f 在 \((\mathbf {x_0}) = (x_{1,0},x_{2,0},\dots,x_{n,0})\) 处，关于向量 \(\mathbf u\) 的情况：

1. \(D_{\mathbf u}f(\mathbf {x_0}) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(\mathbf{x_0} + h\mathbf u)-f(\mathbf{x_0})}h\)
2. \(\nabla f = \langle f_{x_{1,0}},f_{x_{2,0}},\dots,f_{x_{n,0}} \rangle\)
3. \(D_{\mathbf u}f(\mathbf {x_0}) = \nabla f(\mathbf {x_0})\cdot \mathbf u\)

假设 f 是 n 元的，\(\mathbf a\in\mathbb R^n\)，

那么\(\bf a\) 处的方向导数的最大值为 \(\max\limits_{\mathbf u\in\mathbb R^n}\{\text D_{\bf u}f(\mathbf a)\}=\|\nabla f(\mathbf a)\|\)，即 \(\arg\max\limits_{\mathbf u\in\mathbb R^n}\text D_{\bf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\)

\(\forall\mathbf u\in\mathbb R^n\)，\(\text D_{\bf u}f=\frac{\nabla f\cdot\mathbf u}{\|\mathbf u\|}\le\|\nabla f\|\|\mathbf u\|/\|\mathbf u\|=\|\nabla f\|\)

而 \(\text D_{\nabla f}f=\frac{\nabla f\cdot\nabla f}{\|\nabla f\|}=\|\nabla f\|\)

于是当 \(\mathbf u=\nabla f\) 时，\(\text D_{\bf u}f\) 有最大值，即 \(\arg\max\limits_{\mathbf u\in\mathbb R^n}\text D_{\bf u}f=\nabla f\)

\(\blacksquare\)

假设 S 是 \(F(x,y,z)=k\) 确定的曲面（即 三元函数的等值面/等高面 或 二元函数的图像）

\(F(x,y,z)=k\) 可以表示为 \(F(\mathbf r(t))=F(x(t),y(t),z(t))=k\)，

两边对 t 求微分有：\(\frac {\partial F}{\partial x}\frac {d_x}{d_t} + \frac {\partial F}{\partial y}\frac {d_y}{d_t} + \frac {\partial F}{\partial z}\frac {d_z}{d_t} = 0\) \(\implies\) \(\nabla F \cdot \mathbf r'(t) = 0\)

上式说明 \(\nabla F\) 与任意 S 上经过点 \(P(x(t),y(t),z(t))\) 的曲线 C 在 P 处的切线向量 \(\mathbf r'(t)\) 垂直，

这些切线向量构成平面为：\(F_x(x,y,z)(x_1-x) + F_y(x,y,z)(y_1-y) + F_z(x,y,z)(z_1-z) = 0\)，称之为切平面（切平面由点 \((x_1,y_1,z_1)\) 构成）

上述切平面的法线方程为：\(\frac {x_2-x}{F_x(x,y,z)} = \frac {y_2-y}{F_y(x,y,z)} = \frac {z_2-z}{F_z(x,y,z)}\) （法线由点 \((x_2,y_2,z_2)\) 构成）

1. 给定三元函数等值面 或 二元隐函数 \(F(x,y,z)=k\)，求 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的 切平面 或 法向量：

   • 切平面方程：\(F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0\)
   • 法线方程：\(\frac {x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac {y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac {z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\)

2. 给定显式二元函数 \(F(x,y,z)-k = f(x,y)-z = 0\)，求 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的 切平面 或 法向量：

   • 切平面方程：\(f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0\)
   • 法线方程：\(\frac {x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} = \frac {y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} = \frac {z-z_0}{-1}\)

1. 方向导数：假设 \(\mathbf a,\mathbf u\in\mathbb R^n\)，函数 f 是 n 元可微的，那么 f 在点 \(\bf a\) 上关于 \(\mathbf u\) 的方向导数为 \(\text D_{\bf u}f(\mathbf a)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(\mathbf a+t\mathbf u)-f(\mathbf a)}t\)（注：方向导数可以称为变化率）
   1. 若 \(n=2\)，那么 (1) \(\text D_{\bf u}f(a_1,a_2)=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(a_1+tu_1,a_2+tu_2)-f(a_1,a_2)}t\)，(2) \(\text D_{\bf i}f(a_1,a_2)=f_x'(a_1,a_2)\)，(3) \(\text D_{\bf j}f(a_1,a_2)=f_y'(a_1,a_2)\)
2. 梯度：假设函数 f 是 n 元可微的，那么 f 的梯度定义为 \(\nabla f=(f_1',\cdots,f_n')\)，或者记为 \(\mathbf{grad}f\)
3. 定理：假设函数 f 是 n 元可微的，那么 \(\forall\mathbf u\in\mathbb R^n\)，有 \(\text D_{\bf u}f=\frac{(\nabla f)\cdot \mathbf u}{\|\mathbf u\|}\)
4. 方向导数的最值：假设 \(\mathbf a\in\mathbb R^n\)，并且 f 是 n 元可微的，那么 f 在 \(\bf a\) 处沿着 \(\nabla f\) 方向时，方向导数取最大值，即 \(\max\limits_{\mathbf u\in\mathbb R^n}\{\text D_{\bf u}f(\mathbf a)\}=\|\nabla f(\mathbf a)\|\) 或 \(\arg\max\limits_{\mathbf u\in\mathbb R^n}\text D_{\bf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\)
5. 曲面的切平面，法线：在 \(\mathbb R^3\) 上，
   1. 曲面 \(f(x,y,z)=0\) 在 \((a,b,c)\) 处的切平面为 \(\nabla f(a,b,c)\cdot(x-a,y-b,z-c)=0\)，法线为 \(\mathbf u=(a,b,c)+t\nabla f(a,b,c)\)（其中 \(\mathbf u=(x,y,z)\) 是未知向量）
   2. 函数曲面 \(z=f(x,y)\) 在 \((a,b,c)\) 处的切平面为 \((f_1'(a,b,c),f_2'(a,b,c),-1)\cdot(x-a,y-b,z-c)=0\)，法线为 \(\mathbf u=(a,b,c)+t(f_1'(a,b,c),f_2'(a,b,c),-1)\)
6. 切空间：假设 \(\mathbf a\in\mathbb R^n\)，f 是 n 元的，那么几何空间 \(f(\mathbf x)=0\) 在 \(\bf x=a\) 处的切空间为 \(\nabla f(\mathbf a)\cdot(\mathbf x-\mathbf a)=0\)
   1. 若 \(n=2\)，那么 \(f(x,y)=0\) 在 \((a,b)\) 的切线为 \(\nabla f(a,b)\cdot(x-a,y-b)=0\)
   2. 若 \(n=3\)，那么 \(f(x,y,z)=0\) 在 \((a,b,c)\) 处的切平面为 \(\nabla f(a,b,c)\cdot(x-a,y-b,z-c)=0\)

1. 梯度算子的性质：假设 \(u,v\) 是 n 元可微的，\(c\in\mathbb R\)，那么 (1) \(\nabla(cu)=c\nabla u\)，(2) \(\nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u\)，(3) \(\nabla\frac uv=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}\)

(1) 该平面在任意一处 \((a,b,c)\) 的切平面为 \((1/\sqrt a,1/\sqrt b,1/\sqrt c)\cdot(x-a,y-b,z-c)=0\)，即 \((1/\sqrt a,1/\sqrt b,1/\sqrt c)\cdot(x,y,z)=(1/\sqrt a,1/\sqrt b,1/\sqrt c)\cdot(a,b,c)\)，即 \(x/\sqrt a+y/\sqrt b+z/\sqrt c=\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\)

3 个截距之和为 \(\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)+\sqrt c(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)=(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c)^2=(\sqrt d)^2=d\)

7.多元函数的 极大值 & 极小值

正如第 4 章所见，导数的主要用途之一是计算 极值 或 最值

如果对所有与 (a,b) 邻近的 (x,y) 均有 \(f(x,y)\le f(a,b)\)，则称 (a,b) 是二元函数 f 的极大值点 （或以 (a,b) 为圆心的某一圆周之内的所有点 (x,y)，均有 \(f(x,y)\le f(a,b)\)），f(a,b) 为一个极大值

如果对所有与 (a,b) 邻近的 (x,y) 均有 \(f(x,y)\ge f(a,b)\)，则称 (a,b) 是二元函数 f 的极小值点 （或以 (a,b) 为圆心的某一圆周之内的所有点 (x,y)，均有 \(f(x,y)\ge f(a,b)\)），f(a,b) 为一个极小值

如果 f 在 (a,b) 达到 极大 或 极小，则该点 f 的一阶偏导数存在，且有 \(f_x(x,y)=0\)，\(f_y(x,y)=0\)

注：可以用 Fermat 定理证明

如果有 \(f_x(a,b)=0\) 和 \(f_y(a,b)=0\) 或其中之一不存在，

则称 (a,b) 为 f 的 临界点 或 驻点

如果一个 临界点 不是极值点，那么称为 鞍点

设函数 f 的二阶导数在某一以 (a,b) 为圆心的圆形区域内连续，并且设 \(f_x(a,b)=0\) 及 \(f_y(a,b)=0\)（即 (a,b) 是 f 的临界点）

令 \(D = D(a,b) = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2 = \left|\begin{matrix}{f_{xx}}&{f_{xy}}\\ {f_{yx}}&{f_{yy}}\\ \end{matrix}\right|\)

1. \(D > 0\)
   1. 如果 \(f_{xx}(a,b) > 0\)，则 \(f(a,b)\) 是极小值
   2. 如果 \(f_{xx}(a,b) < 0\)，则 \(f(a,b)\) 是极大值
2. \(D < 0\)，则 \(f(a,b)\) 既不是极小值，也不是极大值
3. \(D = 0\)，则判别规则无效（无法提供任何信息）

部分证明详见：P274

在 \(\mathbb R^2\) 中，我们定义：

闭集：该集合与其所有边界点的并集（wiki的解释：开集的补集是闭集）

有界集：能被某个圆包含在其中的集合

在 闭集 和 有界集 的基础上，给出二维空间中的极值定理：

若 f 在 \(\mathbb R^2\) 中的有界闭集 D 上连续，则 f 在 D 中的某两个点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 处取到最大值 \(f(x_1,y_1)\) 和最小值 \(f(x_2,y_2)\)

1. 最值，最值点：假设 f 是 n 元的
   1. 若 \(\exists\mathbf u\in\mathbb R^n,\forall\mathbf a\in\mathbb R^n\) 使得 \(f(\mathbf u)\ge f(\mathbf a)\)，那么 \(\mathbf u\) 称为 f 的最大值点，\(f(\mathbf u)\) 称为 f 的最大值，记 \(\mathbf u=\arg\max\limits_{\mathbf a\in D_f}f(\mathbf a)\)
   2. 若 \(\exists\mathbf u\in\mathbb R^n,\forall\mathbf a\in\mathbb R^n\) 使得 \(f(\mathbf u)\le f(\mathbf a)\)，那么 \(\mathbf u\) 称为 f 的最小值点，\(f(\mathbf u)\) 称为 f 的最小值，记 \(\mathbf u=\arg\min\limits_{\mathbf a\in D_f}f(\mathbf a)\)
2. 极值，极值点：假设 f 是 n 元的，那么 \(\begin{cases}\mathbf u是极大值点&\mathbf u=\arg\max\limits_{\mathbf x\in U(\mathbf a,\delta)}f(\mathbf x)\\\mathbf u是极小值点&\mathbf u=\arg\min\limits_{\mathbf x\in U(\mathbf a,\delta)}f(\mathbf x)\end{cases}\)
3. 费马定理（n 元的情况）：假设 f 是 n 元的，若 \(\bf a\) 是 f 的极值点，那么 \(\nabla f(\mathbf a)=\mathbf 0\)
4. 临界点（驻点），鞍点：假设 f 是 n 元的，若 \(\nabla f(\mathbf a)=\mathbf 0\) 或 \(\nabla f(\mathbf a)\) 不存在，那么 \(\bf a\) 称为 f 的临界点或驻点；又若 \(\bf a\) 不是极值点，那么 \(\bf a\) 又称鞍点（注：极值点是临界的非鞍点）
5. （极值的）二阶导数判别法：假设 f 是二元的，\(A(\mathbf u)=\begin{bmatrix}f_{11}''(\mathbf u)&f_{12}''(\mathbf u)\\f_{21}(\mathbf u)&f_{22}''(\mathbf u)\end{bmatrix}\)，若 \(\nabla f(\mathbf u)=\mathbf 0\)，那么 \(\begin{cases}\mathbf u是f的一个极大值点&|A(\mathbf u)|>0,f_{11}''<0\\\mathbf u是f的一个极小值点&|A(\mathbf u)|>0,f_{11}''>0\\\mathbf u是f的一个鞍点&|A(\mathbf u)|<0\\不提供信息&|A(\mathbf u)=0|\end{cases}\)
6. 最值存在定理：假设 f 是二元的，若 \(D_f\) 是有界闭集，那么 \(\exists\mathbf u_1,\mathbf u_2\in\mathbb R^2\) 使得 \(\mathbf u_1,\mathbf u_2\) 分别是 f 的最大值点，最小值点
7. 最值判定定理：假设 f 是定义在有界闭集上的函数，那么 f 的最值点是 f 的 (1) 边界点 和 (2) 极值点 中的最值点（有时无需结合极值判别法来获取极值点，而只需讨论边界点和临界点）

1. 特殊点分类：\(\begin{cases}临界点(驻点)\begin{cases}极值点\\鞍点\end{cases}\\边界点\end{cases}\)；最值点是极值点或边界点

8.lagrange 乘子

为了找到函数 f(x,y,z) 在 g(x,y,z)=k 条件下的最大值和最小值

假设这些值存在，且在曲面 g(x,y,z)=k 上有 \(\nabla g \ne 0\)

1. 找出所有 x, y, z, \(\lambda\) 的值，使得：\(\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)\) 且 \(g(x,y,z)=k\)
2. 求出 f 在 (1) 中所得的所有点 (x,y,z) 对应的值；在这些值中最大的就是 f 的最大值，最小的就是 f 的最小值

\(\nabla f = \lambda \nabla g\) 和 g(x,y,z)=k 等价于：

\(\displaystyle \begin{cases} f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \\ f_z = \lambda g_z \\ g(x,y,z)=k \end{cases}\)

求 f(x,y,z) 在满足 g(x,y,z)=k 和 h(x,y,z)=c 的约束条件下的极值：

存在两个常数 \(\lambda\) 和 \(\mu\)（lagrange 乘子），使得 \(\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h\)

其等价于 \(\displaystyle \begin{cases} f_x = \lambda g_x + \mu h_x \\ f_y = \lambda g_y + \mu h_y \\ f_z = \lambda g_z + \mu h_z \\ g(x,y,z)=k \\ h(x,y,z)=c \end{cases}\)

1. 拉格朗日乘子算法：假设 \(c,d\in\mathbb R\)，f 是三元的，\(\nabla g\ne0\)
   1. 若 \(\mathbf u=\arg\max\limits_{\mathbf x\in D_f,g(\mathbf x)=c}f(\mathbf x)\)，那么 \(\exists\lambda\in\mathbb R\)，使得 \(\begin{cases}\nabla f(\mathbf u)=\lambda\nabla g(\mathbf u)\\g(\mathbf u)=c\end{cases}\)
   2. 若 \(\mathbf u=\arg\max\limits_{\mathbf x\in D_f,g(\mathbf x)=c,h(\mathbf x)=d}f(\mathbf x)\)，那么 \(\exists\lambda,\mu\in\mathbb R\) 使得 \(\begin{cases}\nabla f(\mathbf u)=\lambda\nabla g(\mathbf u)+\nabla h(\mathbf u)\\g(\mathbf u)=c\\h(\mathbf u)=d\end{cases}\)
   3. 注：在实际运用该算法时，注意先假设 \(\nabla g\) 的各个分量非零时的情况

(1.1) \(\exists\lambda,\nabla f(\mathbf x)=\lambda\nabla g(\mathbf x)\)，即 \(\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^nx_i}\left(\frac1{nx_1},\cdots,\frac1{nx_n}\right)=\lambda(1,\cdots,1)\)

解得 \(x_1=\cdots=x_n\)，即 \(\forall i=1..n,x_i=\frac cn\)

(1.2) 仅当 \(\forall i\ne j,x_i=x_j\) 时成立

(3) 假设 \(f(x,y,z)=z,g(x,y,z)=4x-3y+8z-5,h(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\)，

于是 \(\exists u,v\) 使得 \(\nabla f(x,y,z)=u\nabla g(x,y,z)+v\nabla h(x,y,z)\)，即 \((0,0,1)=u(4,-3,8)+v(2x,2y,-2z)\)，消去 \(u,v\) 得 \(x=-\frac43y\)

然后解方程组 \(\begin{cases}x=-\frac43y\\4x-3y+8z=5\\x^2+y^2=z^2\end{cases}\) 得 \((x,y,z)=\) \((\frac4{13},-\frac3{13},\frac5{13})\) 或 \((-\frac43,1,\frac53)\)

所以椭圆上的最高点为 \((-\frac43,1,\frac53)\)，高度为 \(\frac53\)

椭圆上的最低点为 \((\frac4{13},-\frac3{13},\frac5{13})\)，高度为 \(\frac5{13}\)

(4) 记 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,g(x,y,z)=x+y+2z-2,h(x,y,z)=x^2+y^2-z\)

\(\exists u,v\) 使得 \(\nabla f(x,y,z)=u\nabla g(x,y,z)+v\nabla h(x,y,z)\)，即 \((2x,2y,2z)=u(1,1,2)+v(2x,2y,-1)\) 或 \(\begin{bmatrix}1&2x\\1&2y\\2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x\\2y\\2z\end{bmatrix}\)，后者对系数进行初等变换有 \(\begin{bmatrix}1&2x&2x\\1&2y&2y\\2&-1&2z\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2x&2x\\0&y-x&y-x\\0&1+4x&4x-2z\end{bmatrix}\)

1. 若 \(y\ne x\)，蕴含 \(v=1\)，那么 \(1+4x=4x-2z\)，即 \(z=-1/2\)，而与 \(z=x^2+y^2\ge0\) 矛盾
2. 若 \(y=x\)，可以得到方程组 \(\begin{cases}x+z=1\\z=2x^2\end{cases}\)，结合 \(y=x\) 的假设，解得 \((x,y,z)=\) \((-1,-1,2)\) 或 \((1/2,1/2,1/2)\)

于是椭圆上离原点最远的点是 \((1/2,1/2,1/2)\)，此时距离为 \(\sqrt{f(1/2,1/2,1/2)}=\sqrt3/2\)

椭圆上离原点最远的点是 \((-1,-1,2)\)，此时距离为 \(\sqrt{f(-1,-1,2)}=\sqrt6\)

(5) 记 \(f(x,y,z)=xyz,2(xy+yz+zx)=a,2(x+y+z)=b\)

存在 \(u,v\) 使得 \(\nabla f(x,y,z)=u\nabla g(x,y,z)+v\nabla h(x,y,z)\)，容易解得 \(x=y\) 或 \(y=z\) 或 \(x=z\)

...

(8.1) \(f(x,y)=x^2-y^2,g(x,y)=x^2+y^2-1\)

\(\exists u,\nabla f=u\nabla g\)，即 \((2x,-2y)=u(2x,2y)\)，解得 \((x,y)=\) \((0,\pm1)\) 或 \((\pm1,0)\)

于是 f 的最大值为 \(f(\pm1,0)=1\)，最小值为 \(f(0,\pm1)=-1\)

(8.2) \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,x^4+y^4+z^4=1\)

\(\exists u,\nabla f=u\nabla g\)，即 \((2x,2y,2z)=u(4x^3,4y^3,4z^3)\)

1. 若 \(x\ne0\)，可以得到四种可能：\(x^2=y^2=z^2\) 或 \(x^2=y^2,z=0\) 或 \(y=0,x^2=z^2\) 或 \(y=0,z=0\)，可以解得 \((x,y,z)=\) \((\pm\frac1{\sqrt[4]3},\pm\frac1{\sqrt[4]3},\pm\frac1{\sqrt[4]3})\) 或 \((\pm\frac1{\sqrt[4]2},\pm\frac1{\sqrt[4]2},0)\) 或 \((\pm\frac1{\sqrt[4]2},0,\pm\frac1{\sqrt[4]2})\) 或 \((\pm1,0,0)\)？
2. \(x=0\) 或 \(y\ne0\) 或 \(y=0\) 或 \(z\ne0\) 或 \(z=0\) 时，可以得到类似的解？

可以得到 f 的最大值为 \(f(\pm\frac1{\sqrt[4]2},\pm\frac1{\sqrt[4]2},\pm\frac1{\sqrt[4]2})=\sqrt3\)，最小值为 \(f(\pm1,0,0)=1\)