13.向量函数

本章将介绍向量函数，使得空间中的 曲线 和 曲面 能更方便的描述

1.向量函数 & 空间曲线

向量值函数 或 向量函数 是定义域为 实数 且值域为 向量集合 的函数

我们对取值为三维向量的向量函数 r 最感兴趣；定义域中每个数 t，对应着 \(V_3\) 中的唯一的向量 r(t)

若 f(t), g(t), h(t) 是向量 r(t) 的分量，那么实值函数 f,g,h 称为 r 的 分量函数，写作 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\overrightarrow i + g(t)\overrightarrow j + h(t)\overrightarrow k\)

向量函数的定义域由分量函数的 定义域的交集 决定

若 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\overrightarrow i + g(t)\overrightarrow j + h(t)\overrightarrow k\)，那么 \(\lim\limits_{t\to a}\overrightarrow r(t) = \langle \lim\limits_{t\to a}f(t), \lim\limits_{t\to a}g(t), \lim\limits_{t\to a}h(t) \rangle\) （假设分量函数的极限都存在）

\(\epsilon-\delta\) 定义详见 练习43

参见 练习41

如果 \(\lim\limits_{t\to a}\overrightarrow r(t) = \overrightarrow r(a)\)，那么称向量函数 r 在 a 处是连续的

1. 向量函数：向量函数是定义域为实数，余定义域为 \(\mathbb R^n\) 的函数，即 \(\mathbf r:~\mathbb R\to\mathbb R^n\)，记为 \(\mathbf r=(f_1,\cdots,f_n)\)
   1. 其中 \(D_{\bf r}=\bigcap\limits_{i=1}^nD_{f_i}\)
   2. \(\mathbf r(t)=(f_1,\cdots,f_n)(t)=(f_1(t),\cdots,f_n(t))\)
2. 向量函数的极限：\(\lim\limits_{t\to a}\mathbf r(t)=\left(\lim\limits_{t\to a}f_1(t),\cdots,\lim\limits_{t\to a} f_n(t)\right)\)
3. 向量函数的连续性：若 \(\lim\limits_{t\to a}\mathbf r(t)=\mathbf r(a)\)，那么 \(\bf r\) 在 a 处连续
4. 向量函数的极限运算法则：假设 \(\mathbf u,\mathbf v\) 是 n 维向量函数，那么
   1. \(\lim\limits_{t\to a}(\mathbf u+\mathbf v)(t)=\lim\limits_{t\to a}\mathbf u(t)+\lim\limits_{t\to a}\mathbf v(t)\)
   2. \(\lim\limits_{t\to a}(c\mathbf u)(t)=c\lim\limits_{t\to a}\mathbf u(t)\)
   3. \(\lim\limits_{t\to a}(\mathbf u\cdot\mathbf v)(t)=\lim\limits_{t\to a}\mathbf u(t)\cdot\lim\limits_{t\to a}\mathbf v(t)\)
   4. \(\lim\limits_{t\to a}(\mathbf u\times\mathbf v)(t)=\lim\limits_{t\to a}\mathbf u(t)\times\lim\limits_{t\to a}\mathbf v(t)\)

1. 两个向量 \(\mathbf r_1,\mathbf r_2\) 之间线段的向量方程为 \(\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_1+t\mathbf r_2\)（\(t\in[0,1]\)）
2. 两个平面交线的向量方程的计算：可以选择性的换元使得其中一个方程能被满足，然后代入另一个方程计算其他未知变量
3. 对于二维向量函数 \(\bf r\)，那么 \(\bf r,r'\) 的倾斜角函数分别为 \(\theta=\tan^{-1}\frac{\|\text{proj}_{\bf j}\mathbf r\|}{\|\text{proj}_{\bf i}\mathbf r\|}=\tan^{-1}\frac{f_2}{f_1}\)，\(\phi=\tan^{-1}\frac{\|\text{proj}_{\bf j}\mathbf r'\|}{\|\text{proj}_{\bf i}\mathbf r'\|}=\tan^{-1}\frac{f_2'}{f_1'}\)

(1) \(t\in[-3,-2)\cup(-2,4)\)

(2) \(\lim\limits_{t\to0}\left(\frac{\sin t}t,\frac{\sqrt{1+t}-1}t,(1+kt)^{1/t}\right)=(1,1,e^k)\)

(3)

1. \(x^2+z^2=1\) 与 \(y=3\)
2. \(y=x^2\)，\(z=x^3\) 与 \(z=y^{3/2}\)
3. \(x=y\) 与 \(z=\cos x\)
4. 该向量方程表示 \(x^2+y^2=z^2\) 的子集，但更具体细节可能没法表示

(4) \(\mathbf r(t)=\mathbf u+t(\mathbf v-\mathbf u)=(1-t)\mathbf u+t\mathbf v=(1+t,3t,1)\)，其中 \(t\in[0,1]\)

(5)

1. \(x=2\cos t,y=2\sin t,z=2\sin 2t\)（\(t\in[0,2\pi]\)）
2. \(x=t,y=(t^2-1)/2,z=(t^2+1)/2\)
3. \(x=t,y=t^2,z=4t^2+t^4\)

2.向量函数的导数和积分

若下面的极限存在，那么 \(\frac {d_{\overrightarrow r}}{d_t} = \overrightarrow r'(t) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)}{h}\)

割线向量：\(\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)\)

切向量：\(\frac {\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)}{h}\)

单位切向量：\(\overrightarrow \tau(t) = \frac {\overrightarrow r'(t)}{|\overrightarrow r'(t)|}\)

如果 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\overrightarrow i + g(t)\overrightarrow j + h(t)\overrightarrow k\)，这里 f,g,h 是可微函数，那么

\(\overrightarrow r'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle = f'(t)\overrightarrow i + g'(t)\overrightarrow j + h'(t)\overrightarrow k\)

如果 \(\overrightarrow r'(t)\) 在区间 I 上满足 r' 连续，\(\overrightarrow r'(t)\ne 0\)（除了端点之外），我们称 r(t) 在区间 I 上是光滑的

若向量函数由有限多的光滑片段构成，那么就称这条曲线为 分段光滑

若存在一个点 t=a，使得 \(\overrightarrow r'(a)=0\)，那么可以称 a 为一个 尖点

假设 u, v 是可微的向量函数，c 是一个数量，f 是一个实值函数，那么

1. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t) + \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t) + \overrightarrow v'(t)\)
2. \(\frac d{d_t}[c\overrightarrow u(t)] = c\overrightarrow u'(t)\)
3. \(\frac d{d_t}[f(t)\overrightarrow u(t)] = f'(t)\overrightarrow u(t) + f(t)\overrightarrow u'(t)\)
4. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t)\cdot \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t)\cdot \overrightarrow v(t) + \overrightarrow u(t)\cdot \overrightarrow v'(t)\)
5. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t)\times \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t)\times \overrightarrow v(t) + \overrightarrow u(t)\times \overrightarrow v'(t)\)
6. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(f(t))] = f'(t) \overrightarrow u'(f(t))\)

\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow r(t_i^*) \Delta t = \lim\limits_{n\to ∞} [(\sum\limits_{i=1}^n f(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow i, (\sum\limits_{i=1}^n g(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow j, (\sum\limits_{i=1}^n h(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow k]\)

于是，\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = (\int_a^b f(t)~d_t)\overrightarrow i + (\int_a^b g(t)~d_t)\overrightarrow j + (\int_a^b h(t)~d_t)\overrightarrow k\)

\(\int_a^b\mathbf r(t)~d_t=\lim\limits_{n\to+∞}\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mathbf r(t_i^*)=\left(\lim\limits_{n\to+∞}\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_1(t_i^*),\cdots,\lim\limits_{n\to+∞}\delta\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_k(t_i^*)\right)=\left(\int_a^bf_1(t)d_t,\cdots,\int_a^bf_k(t)d_t\right)\)

\(\blacksquare\)

\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = \overrightarrow R(t)]_a^b = \overrightarrow R(b) - \overrightarrow R(b)\)

这里 R 是 r 的一个原函数，即 R'(t) = r(t)

\(\int \overrightarrow r(t)~d_t\) 表示不定积分

1. 向量函数的导数：假设向量函数 \(\mathbf r=(f_1,\cdots,f_n)\) 的分量函数 \(f_1,\cdots,f_n\) 可微，那么 \(\mathbf r\) 可微，即 \(\mathbf r'=(f_1',\cdots,f_n')\)
   1. 因为 \(\mathbf r'(t)=\frac{d\bf r}{d_t}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\mathbf r(t+h)-\mathbf r(t)}h\) 和[向量函数的极限法则]
   2. 向量曲线方程 \(\mathbf r(t)=\cdots\) 在 t 处的取值称为位置向量，在 t 处的导数称为切向量
   3. 若 \(\exists a,\mathbf r'(a)=0\)，那么称 a 为 \(\bf r\) 的一个尖点或不光滑点，反之称为光滑点
2. 向量函数的求导法则：假设 \(\bf u,v\) 是 n 维可微向量函数，\(c\in\mathbb R\)，f 是实函数，那么：
   1. \((\mathbf u+\mathbf v)'=\mathbf u'+\mathbf v'\)
   2. \((c\mathbf u)'=c\mathbf u'\)
   3. \((f\mathbf u)'=f'\mathbf u+f\mathbf u'\)
   4. \((\mathbf u\cdot\mathbf v)'=\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'\)
   5. \((\mathbf u\times\mathbf v)'=\mathbf u'\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf v'\)
   6. \((\mathbf u\circ f)'=(\mathbf u'\circ f)f'\)
3. 向量函数的积分：假设 \(\bf r\) 是 k 维向量函数，那么 \(\bf r\) 在 \([a,b]\) 上的积分为 \(\int_a^b\mathbf r(t)~d_t=\left(\int_a^bf_1(t)d_t,\cdots,\int_a^bf_k(t)d_t\right)\)
4. 向量函数的微积分基本定理：
   1. 若 \(\bf r\) 在 \([a,b]\) 连续，那么存在向量函数 \(\bf R\) 使得 \(\mathbf R(t)=\int_a^t\mathbf r(u)d_u\)，并且 \(\mathbf R'(t)=\mathbf r(t)\)
   2. 若 \(\mathbf R'=\mathbf r\)，那么 \(\int_a^b\mathbf r(t)~d_t=\mathbf R(t)\Big|_a^b=\mathbf R(b)-\mathbf R(a)\)
5. 注：还有很多其他微积分理论可以推广到向量函数上，如：不定积分，积分中值定理，微分中值定理

1. 假设 \(\bf r\) 是向量函数，若 \(\|\mathbf r\|=c\)，那么 \(\mathbf r\cdot\mathbf r'=0\)，\(\|\mathbf r\times\mathbf r'\|=\|\mathbf r\|\|\mathbf r'\|=c\|\mathbf r'\|\)
2. 向量函数 \(\bf r\) 的单位切向量函数为 \(\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\)
3. 若 \(\bf r\) 是单位向量，那么 \(\|\mathbf r\times\mathbf r'\|=\|\mathbf r'\|\)

(1.1) \(\|\mathbf r\|^2=\mathbf r\cdot\mathbf r\)，对两边微分有 \(2(\|\mathbf r\|)'\|\mathbf r\|=2\mathbf r'\cdot\mathbf r\)，于是 \((\|\mathbf r\|)'=\frac1{\|\mathbf r\|}\mathbf r\cdot\mathbf r'\)

(1.2) \((\mathbf r\times\mathbf r')'=\mathbf r'\times\mathbf r'+\mathbf r\times\mathbf r''=\mathbf r\times\mathbf r''\)

(1.3) \((\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w))'=\mathbf u'\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)+\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)'=\mathbf u'\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)+\mathbf u\cdot(\mathbf v'\times\mathbf w+\mathbf v\times\mathbf w')\) \(=\mathbf u'\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)+\mathbf v'\cdot(\mathbf w\times\mathbf u)+\mathbf w'\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)\)（其中 \(\mathbf u\cdot(\mathbf v'\times\mathbf w)=(\mathbf u\times\mathbf v')\cdot\mathbf w=-(\mathbf v'\times\mathbf u)\cdot\mathbf w=-\mathbf v'\cdot(\mathbf u\times\mathbf w)=\mathbf v'\cdot(\mathbf w\times\mathbf u)\)，\(\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w')=-\mathbf u\cdot(\mathbf w'\times\mathbf v)=-(\mathbf u\times\mathbf w')\cdot\mathbf v=(\mathbf w'\times\mathbf u)\cdot\mathbf v=\mathbf w'\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)\)）

(1.4) \([\mathbf r\cdot(\mathbf r'\times\mathbf r'')]'=\mathbf r'\cdot(\mathbf r'\times\mathbf r'')+\mathbf r\cdot(\mathbf r''\times\mathbf r''+\mathbf r'\times\mathbf r''')=\mathbf r\cdot(\mathbf r'\times\mathbf r''')\)

3.弧长 & 曲率

参考平面参数方程 x=f(t), y=g(t), \(a\le t\le b\) 的曲线长度为它的内接多边形长度的极限，如果 f', g' 连续，那么有 \(L = \int_a^b \sqrt {[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2}~d_t = \int_a^b \sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2} d_t\)，空间上的曲线长度可以得到类似的结论

若 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle, a\le t\le b\) 或者 用参数方程表示为 x=f(t), y=g(t), z=h(t)，这里 f', g', h' 连续

如果变量 t 由 a 增加到 b，正好通过曲线一次，那么我们得到曲线的长度为 \(L = \int_a^b \sqrt {[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}~d_t = \int_a^b \sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2 + (\frac {d_z}{d_t})^2}~d_t\)

假设 C 是由向量方程 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle, a\le t\le b\) 所给出的分段光滑的曲线，当变量 t 从 a 增加到 b，正好经过曲线一次，

我们定义弧长函数为 \(s(t) = \int_a^t |\overrightarrow r'(u)|~d_u = \int_a^t \sqrt {(\frac {d_x}{d_u})^2 + (\frac{d_y}{d_u})^2 + (\frac{d_z}{d_u})^2}~d_u\)

对两边使用微积分基本定理： \(\frac {d_s}{d_t} = |\overrightarrow r(t)|\)

给定 \(\overrightarrow r(t)\)，其中 r(t) 表示的曲线是关于 t 的参数方程，如何用曲线到点 A 的弧长作为参数来表示该曲线？

由于弧长函数 \(s(t) = \int_a^t |\overrightarrow r'(u)|~d_u\) 可以得到 s 关于参数 t 的方程，

如果 \(s(t)\) 单射，那么就能计算出 \(t = s^{-1}(s)\) （简记 \(s = \int_a^t |\overrightarrow r'(u)|~d_u\)），

将其代入 \(\overrightarrow r(t)\) 中得到：\(\overrightarrow r(s^{-1}(s))\)

C 是一条由向量方程 r 所确定的光滑曲线，而且 r'(t)\(\ne\)0（没有尖点），

由于 r'(t) 表示曲线 C 的切向量，我们定义：

单位切向量 T(t) 为 \(\overrightarrow T(t) = \frac {\overrightarrow r'(t)}{|\overrightarrow r'(t)|}\)

可以观察到 T(t) 在曲线 C 比较直的时候方向变化较慢，而在弯度较大的地方变化较快

向量方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 的曲率定义为单位切向量和相应弧长的比值，用以描述曲线在这一个点方向变化快慢程度，记为 \(\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|\) 或 \(\kappa=\frac{\|\mathbf T'\|}{\|\mathbf r'\|}\)，于是：

1. 在 \(\mathbb R^3\) 下，\(\kappa=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}\)
2. 在 \(\mathbb R^2\) 下，参数曲线方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 的曲率函数为 \(\kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\ddot x\dot y|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}\)（参见[10.2练习]）
3. 在 \(\mathbb R^2\) 下，函数曲线方程 \(y=f(x)\) 的曲率函数为 \(\kappa=\frac{|f''|}{(1+(f')^2)^2}\)（参见[10.2练习]）

\(\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|=\left\|\frac{d\mathbf T/dt}{ds/dt}\right\|=\left\|\frac{\mathbf T'}{s'}\right\|\)

(1) \(\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\)，蕴含 \(\mathbf r'=\|\mathbf r'\|\mathbf T=s'\mathbf T\)

两边对 t 微分有：\(\mathbf r''=s''\mathbf T+\mathbf s'\mathbf T'\)

\(\mathbf r'\times\mathbf r''=(s'\mathbf T)\times(s''\mathbf T+\mathbf s'\mathbf T')=(s')^2(\mathbf T\times\mathbf T')\)

\(\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|=\|(s')^2(\mathbf T\times\mathbf T')\|=|s'|^2\|\mathbf T\times\mathbf T'\|=|s'|^2\|\mathbf T\|\|\mathbf T'\|=|s'|^2\|\mathbf T'\|\)（根据[13.2一级结论] 和 \(\|\mathbf T\|=1\)）

于是 \(\|\mathbf T'\|=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{|(s')|^2}=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^2}\)

然后，\(\kappa=\left\|\frac{\mathbf T'}{s'}\right\|=\left\|\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|/\|\mathbf r'\|^2}{\|\mathbf r'\|}\right\|=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}\)

(2)

(3) \(\mathbf r(t)=(t,f(t),0)\) 蕴含 \(\mathbf r'(t)=(1,f'(t),0)\)，蕴含 \(\mathbf r''(t)=(0,f''(t),0)\)，于是 \(\mathbf r'\times\mathbf r''=(0,0,f''(t))\)

于是 \(\kappa=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}=\frac{|f''|}{(\sqrt{1+(f')^2})^3}=\frac{|f''|}{[1+(f')^2]^{3/2}}\)

\(\blacksquare\)

\(\mathbf N(t) = \frac {\mathbf T'(t)}{|\mathbf T'(t)|}\)

\(\mathbf B(t) = \mathbf T(t) \times \mathbf N(t)\)，而且 \(\|\mathbf B\|=1\)

\(\|\mathbf B\|=\|\mathbf T\times\mathbf N\|=\|\mathbf T\times(\mathbf T'/\|\mathbf T'\|)\|=\|\mathbf T\times\mathbf T'\|/\|\mathbf T'\|=\|\mathbf T'\|/\|\mathbf T'\|=1\)

\(\blacksquare\)

假设曲线 C 上任意一点为点 P

点 P 的单位法向量 \(\mathbf N\) 和 副法线向量 \(\mathbf B\) 所确定的平面，称为点 P 的 法平面

点 P 的单位切向量 \(\mathbf T\) 和 单位法向量 \(\mathbf N\) 所确定的平面，称为点 P 的 密切面 （该词来自于拉丁语 osculum，“接吻”的意思；这是最接近包含这条曲线，点 P 附近部分的平面）

点 P 的密切面上存在一个圆，其圆心位于曲线 C 的凹面部分（\(\mathbf N\) 指向其圆心），其半径为 \(\rho = \frac 1K\)，称该圆为 密切圆

1. 向量曲线方程的弧长：假设向量方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 从 a 到 b 只通过曲线一次，那么曲线在 \(t\in[a,b]\) 内的弧长为 \(\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|~d_t=\int_a^b\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(f_i')^2(t)}~d_t\)
2. 弧长函数：假设向量方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 从 a 到 b 只通过曲线一次，定义弧长函数为 \(s(t)=\int_a^t\|\mathbf r'(u)\|~d_u\)（其中 \(t\in[a,b]\)），于是 \(\frac{ds}{d_t}=\|\mathbf r'\|\)（根据[FCT1]）
3. 弧长换元：假设 \(\bf r\) 的弧长函数为 \(s(t)=\int_a^t\|\mathbf r'(u)\|~d_u\)，若 s 单射，那么有 \(\mathbf r(t)=(\mathbf r\circ s^{-1})(u)\)
4. 切向量(Tangent)，单位切向量：向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 的切向量函数为 \(\mathbf r'\)，单位切向量函数定义为 \(\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\)
5. 曲率：向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 定义为单位切向量和相应弧长的比值，用以描述曲线在这一个点方向变化快慢程度，即 \(\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|\)
   1. 定理0：在 \(\mathbb R^n\) 下，\(\kappa=\frac{\|\mathbf T'\|}{\|\mathbf r'\|}\)
   2. 定理1：在 \(\mathbb R^3\) 下，\(\kappa=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}\)
   3. 定理2：在 \(\mathbb R^2\) 下，参数曲线方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 的曲率函数为 \(\kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\ddot x\dot y|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}\)
   4. 定理3：在 \(\mathbb R^2\) 下，函数曲线方程 \(y=f(x)\) 的曲率函数为 \(\kappa=\frac{|f''|}{(1+(f')^2)^2}\)
6. 法向量(Normal)，单位法向量：向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 的法向量函数为 \(\mathbf T'\)，单位法向量函数定义为 \(\mathbf N=\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|}\)（指向曲线内凹部分）
7. 副法线向量(Binormal)：向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 的副法线向量函数定义为 \(\bf B=T\times N\)（其中 \(\|\mathbf B\|=1\)）
8. 法平面，从切面，密切面，密切圆：向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 在点 P 处分别正交于 \(\bf T,N,B\) 的平面分别称为法平面，从切面，密切面；在密切面上，法线指向圆心，并且半径为 \(1/\kappa\)（存疑）的圆，称为密切圆或曲率圆

1. \(\mathbf T'=\left(\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\right)'=\frac{\mathbf r''\|\mathbf r'\|-\mathbf r'((\mathbf r'\cdot\mathbf r'')/\|\mathbf r'\|)}{\|\mathbf r'\|^2}=\frac{\mathbf r''-(\mathbf T\cdot\mathbf r'')\mathbf T}{\|\mathbf r'\|}\)
2. 记 \(\mathbf X'=\frac{d\mathbf X}{dt}\)，\(\mathbf{\dot X}=\frac{d\bf X}{ds}\)，那么有
   1. \(\mathbf T\cdot\mathbf T'=0\)，\(\mathbf N\cdot\mathbf N'=0\)，\(\mathbf B\cdot\mathbf B'=0\)
   2. 福莱纳-塞雷特公式：\(\bf\dot T=\kappa N\)，\(\bf\dot N=-\kappa T+\tau B\)，\(\bf\dot B=-\tau N\)（其中 \(\tau=\frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|^2}\)）
   3. \(\mathbf T\cdot\mathbf{\dot T}=0\)，\(\mathbf N\cdot\mathbf{\dot N}=0\)，\(\mathbf B\cdot\mathbf{\dot B}=0\)
   4. \(\mathbf T'=s'\mathbf{\dot T}\)，\(\mathbf N'=s'\mathbf{\dot N}\)，\(\mathbf B'=s'\mathbf{\dot B}\)
3. 假设 \(\mathbf u=(x,y,z)\) 是未知向量，那么向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 在 t 处的法平面方程为 \(\mathbf u=\mathbf r(t)+a\mathbf r''(t)+b\mathbf r'''(t)\)（\(a,b\) 为参数），或 \(\mathbf r'(t)(\mathbf u-\mathbf r(t))=0\)
4. 假设 \(\mathbf u=(x,y,z)\) 是未知向量，那么向量曲线方程 \(\mathbf r=\mathbf r(t)\) 在 t 处的密切圆为 \(\left\|\mathbf u-(\mathbf r+\frac1\kappa\mathbf N)\right\|=\frac1\kappa\)

1. \(\mathbb R^3\) 下曲线每一点对应的 \(\bf T,N,B\) 都构成 \(\mathbb R^3\) 的一个单位正交基

(1.1) 由 \(\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|=\left\|\frac{\mathbf T'}{s'}\right\|=\frac{\|\mathbf T'\|}{s'}\)，以及 \(\mathbf N=\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|}\) 有 \(\kappa\mathbf N=\frac{\|\mathbf T'\|}{s'}\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|}=\frac{\mathbf T'}{s'}=\frac{d\bf T}{ds}\)

(1.2) \(\mathbf B\cdot\frac{d\bf B}{ds}=\mathbf B\cdot\frac{\mathbf B'}{s'}=0\)

\(\mathbf T\cdot\frac{d\mathbf B}{ds}=\mathbf T\cdot\frac{\mathbf B'}{s'}=\frac1{s'}\mathbf T\cdot(\mathbf T\times\mathbf N)'=\frac1{s'}\mathbf T\cdot(\mathbf T'\times\mathbf N+\mathbf T\times\mathbf N')\) \(=\frac1{s'}\mathbf T\cdot(\mathbf T'\times\mathbf N)=\frac1{s'}\mathbf T\cdot(\mathbf T'\times\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|})=0\)

所以 \(\frac{d\mathbf B}{ds}\) 正交于 \(\bf B\) 和 \(\bf T\)，

于是 \(\exists k,\frac{d\mathbf B}{ds}=k(\mathbf B\times\mathbf T)=k((\mathbf T\times\mathbf N)\times\mathbf T)=k[(\mathbf T\cdot\mathbf T)\mathbf N-(\mathbf T\cdot\mathbf N)\mathbf T]=k(\mathbf T\cdot\mathbf T)\mathbf N=k\|\mathbf T\|^2\mathbf N\)，记 \(\tau=-k\|\mathbf T\|^2\)，那么 \(\frac{d\mathbf B}{ds}=-\tau\mathbf N\)

(1.3) 根据 (1.1) 和 (1.2) 有 \(\frac{d\mathbf N}{ds}=\frac{d(\mathbf B\times\mathbf T)}{ds}=\frac{d\mathbf B}{ds}\times\mathbf T+\mathbf B\times\frac{d\mathbf T}{ds}={\bf(-\tau N)\times T+B\times(\kappa N)}=\tau\mathbf B-\kappa\mathbf T\)

(4.1) \(s''\mathbf T=(\|\mathbf r'\|)'\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}=\left(\frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{\|\mathbf r'\|}\right)\left(\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\right)=\frac{(\mathbf r'\cdot\mathbf r'')\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|^2}\)

而 \(\kappa(s')^2\mathbf N=\left(\frac{\|\mathbf T'\|}{s'}\right)(s')^2\left(\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|}\right)=s'\mathbf T'=\|\mathbf r'\|\left(\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}\right)'\) \(=\|\mathbf r'\|\left(\frac{\mathbf r''\|\mathbf r'\|-\mathbf r'(\mathbf r'\cdot\mathbf r''/\|\mathbf r'\|)}{\|\mathbf r'\|^2}\right)=\mathbf r''-\frac{(\mathbf r'\cdot\mathbf r'')\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|^2}\)

于是 \(s''\mathbf T+\kappa(s')^2\mathbf N=\mathbf r''\)

法2：\(\mathbf T=\mathbf r'/\|\mathbf r'\|\) 和 \(s'=\|\mathbf r'\|\) 蕴含 \(\mathbf r'=s'\mathbf T\)

两边对 t 微分，有 \(\mathbf r''=s''\mathbf T+s'\mathbf T'=s''\mathbf T+s'((d\mathbf T/ds)(ds/dt))=s''\mathbf T+s'(\mathbf{\dot T}s')=s''\mathbf T+(s')^2\mathbf{\dot T}=s''\mathbf T+(s')^2\kappa\mathbf N\)

(4.2) 根据 (4.1)，有 \(\mathbf r'\times\mathbf r''=(s'\mathbf T)\times(s''\mathbf T+\kappa(s')^2\mathbf N)=(s's'')\mathbf T\times\mathbf T+(\kappa(s')^3)\mathbf T\times\mathbf N=\kappa(s')^3\mathbf B\)

(4.3) 根据 (4.1)，有 \(\mathbf r'''=(s''\mathbf T+\kappa(s')^2\mathbf N)'=s'''\mathbf T+s''\mathbf T'+[\kappa'(s')^2+2\kappa s's'']\mathbf N+\kappa(s')^2\mathbf N'\)

又因 \(s''\mathbf T'=s''(s'\mathbf{\dot T})=s''(\kappa s'\mathbf N)=(\kappa s's'')\mathbf N\) 和 \(\kappa(s')^2\mathbf N'=(\kappa(s')^2)(s'\mathbf{\dot N})=(\kappa(s')^2)(s'(-\kappa\mathbf T+\tau\mathbf B))=\kappa(s')^3(-\kappa\mathbf T+\tau\mathbf B)\)

于是 \(\mathbf r'''=[s'''-\kappa^2(s')^3]\mathbf T+[3\kappa s's''+\kappa'(s')^2]\mathbf N+\kappa\tau(s')^3\mathbf B\)

(4.4) 根据 (4.1)，(4.2)，(4.3) 和 \(\bf T,N,B\) 是 \(\mathbb R^3\) 的一个单位正交基，有 \(\frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|^2}=\frac{(\kappa(s')^3)(\kappa\tau(s')^3)}{(\kappa(s')^3)^2}=\tau\)

(5) \(\mathbf r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)\) 蕴含 \(\mathbf r'=(-a\sin t,a\cos t,b),\mathbf r''=(-a\cos t,-a\sin t,0),\mathbf r'''=(a\sin t,-a\cos t,0)\)

所以 \(\mathbf r'\times\mathbf r''=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)\)

于是 \(\kappa=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}=\frac{\sqrt{a^2(a^2+b^2)}}{(a^2+b^2)^{3/2}}=\frac a{a^2+b^2}\)

\(\tau=\frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|^2}=\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)}=\frac b{a^2+b^2}\)

(6) \(\mathbf r=(t,t^2/3,t^3/3),\mathbf r'=(1,t,t^2),\mathbf r''=(0,1,2t),\mathbf r'''=(0,0,2)\)

所以 \(\mathbf r'\times\mathbf r''=(t^2,-2t,1)\)

于是 \(\kappa=\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}=\frac{\sqrt{t^4+4t^2+1}}{(t^4+t^2+1)^{3/2}}\)

\(\tau=\frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|^2}=\frac2{t^4+4t^2+1}\)

(9)

1. \(\mathbf r'=(\sqrt2,e^t,-e^{-t})\)，于是 \(\int_0^1\|\mathbf r'\|d_t=\int_0^1\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}~d_t=\int_0^1\sqrt{(e^t+e^{-t})^2}~d_t=\int_0^1(e^t+e^{-t})d_t=\left[e^t-e^{-t}\right]_0^1=e-e^{-1}\)
2. \(\int_1^e\|\mathbf r'(t)\|d_t=\int_1^e\sqrt{4t^2+4+1/t^2}d_t=\int_1^e\sqrt{(2t+1/t)^2}d_t=\int_1^e(2t+1/t)d_t=(t^2+\ln t)\Big|_1^e=e^2+1-1=e^2\)
3. \(\mathbf r'(t)=(0,2t,3t^2)\)，于是 \(\int_0^1\|\mathbf r'(t)\|d_t=\int_0^1\sqrt{4t^2+9t^4}d_t=\int_0^1t\sqrt{4+9t^2}d_t=\int_4^{13}t\sqrt{4+9t^2}/(18t)d(4+9t^2)\) \(=\frac1{18}\int_4^{13}\sqrt u~d_u=\frac1{27}u^{3/2}\Big|_4^{13}=\frac1{27}(13\sqrt{13}-8)\)
4. \(\mathbf r'(t)=(12,12\sqrt t,6t)\)，于是 \(\int_0^1\|\mathbf r'(t)\|d_t=\int_0^1\sqrt{(12)^2+(12\sqrt t)^2+(6t)^2}~d_t=6\int_0^1\sqrt{4+4t+t^2}d_t=6\int_0^1(t+2)d_t=6(t^2/2+2t)\Big|_0^1=15\)

(9)

1. \(s(t)=\int_0^t\sqrt{(3\cos u)^2+(4)^2+(-3\sin u)^2}d_u=\int_0^t5d_u=5t\)，所以 \(s^{-1}(u)=u/5\)，于是 \((\mathbf r\circ s^{-1})(u)=(3\sin(u/5),4u/5,3\cos(u/5))\)
2. \(s(t)=\int_0^t\|\mathbf r'(u)\|d_u=\int_0^t2e^{2u}\sqrt{(\cos2u-\sin2u)^2+(\cos2u+\sin2u)^2}d_u=2\sqrt2\int_0^te^{2u}d_u=\sqrt2(e^{2t}-1)\)，蕴含 \(s^{-1}(u)=\frac12\ln(u/\sqrt2+1)\)，于是 \((\mathbf r\circ s^{-1})(u)=((u/\sqrt2+1)\cos\ln(u/\sqrt2+1),2,(u/\sqrt2+1)\sin\ln(u/\sqrt2+1))\)
3. \(s(t)=\int_0^t\sqrt{(2)^2+(-3)^2+4^2}d_t=\sqrt{29}t,s^{-1}(u)=u/\sqrt{29}\)，于是 \(\mathbf r(t)=(\mathbf r\circ s^{-1})(u)=(2u/\sqrt{29},1-3u/\sqrt{29},5+4u/\sqrt{29})\)

(10) \(\mathbf r(t)=(2\sin t,5t,2\cos t)\) 蕴含 \(\mathbf r'(t)=(2\cos t,5,-2\sin t)\)，蕴含 \(\mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|}=\frac1{\sqrt{29}}(2\cos t,5,-2\sin t)\)，蕴含 \(\mathbf T'(t)=\frac1{\sqrt{29}}(-2\sin t,0,-2\cos t)\)，蕴含 \(\mathbf N(t)=\frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|}=(-\sin t,0,-\cos t)\)，于是 \(\mathbf B(t)=(\mathbf T\times\mathbf N)(t)=\frac1{\sqrt{29}}(-5\cos t,2,5\sin t)\)

4.空间运动：速度 & 加速度

本节使用 切向量，法向量，曲率 等概念研究曲线运动物体的 速度，加速度

\(\mathbf v(t) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {\mathbf r(t+h) - \mathbf r(t)}{h} = \mathbf r'(t)\)

即 速度向量 也是 切向量，指向切线方向

\(\mathbf a(t) = \mathbf v'(t) = \mathbf r^{"}(t)\)

在任意时刻 t，一个力 \(\mathbf F(t)\) 作用于一个质量为 m 的物体上产生的加速度为 \(\mathbf a(t)\)，那么 \(\mathbf F(t) = m\mathbf a(t)\)

根据单位切向量定义 和 \(v = |\mathbf v|\) 有：\(\mathbf T(t) = \frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|} = \frac {\mathbf v(t)}{|\mathbf v(t)|} = \frac {\mathbf v}{v}\)，进而 \(\mathbf v = v\mathbf T\)

两边对 t 求导，有：\(\mathbf a = \mathbf v' = v'\mathbf T + v\mathbf T'\) (1)

由曲率定义 \(K = \frac {|\mathbf T'|}{|\mathbf r'|} = \frac {|\mathbf T'|}{v}\)，于是 \(|\mathbf T'| = Kv\)

又由单位法向量定义 \(\mathbf N = \frac {\mathbf T'}{|\mathbf T'|}\)，得到 \(\mathbf T' = N|\mathbf T'| = \mathbf N Kv\) (2)

由(1)，(2) 得到：\(\mathbf a = v'\mathbf T + Kv^2N\)

我们记 \(a_T\)，\(a_N\) 分别为加速度的 切线方向分量 和 法线方向分量 有：\(\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N\) （\(a_T = v', a_N = Kv^2\)）

我们希望把上一定理关于 \(\mathbf a\) 的方程表达为只依赖 \(\mathbf r, \mathbf r', \mathbf r^{"}\) 的形式

对上述公式 \(\mathbf a = v'\mathbf T + Kv^2N\) 两边对 \(\mathbf v\) 求点积：\(\mathbf v\cdot \mathbf a = v\mathbf T\cdot (v'\mathbf T + Kv^2\mathbf N) = vv'\) (\(\mathbf T\cdot \mathbf T=1, \mathbf T\cdot \mathbf N=0\))

因此 \(a_T = v' = \frac {\mathbf v\cdot \mathbf a}{v} = \frac {\mathbf r'(t)\cdot \mathbf r^{"}(t)}{|\mathbf r'(t)|}\)，\(a_N = Kv^2 = \frac {|\mathbf r'(t)\times \mathbf r^{"}(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3}|\mathbf r'(t)|^2 = \frac {|\mathbf r'(t)\times \mathbf r^{"}(t)|}{|\mathbf r'(t)|}\)

Johannes Kepler(1571-1630) 提出

1. 行星围绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于这个椭圆的一个焦点
2. 联结太阳和行星的直线在相同的时间内扫过的面积相等
3. 行星的旋转周期的平方和它的轨道长轴的立方成正比

注：牛顿的《自然哲学的数学原理》证明了这三条定律与牛顿定律中的 第二运动定律 和 万有引力定律 一致