12.向量&空间解析几何

本章将介绍 向量 和 三维坐标系

由于 两个变量的函数 是空间的一片曲面，所以本章内容是 2 个变量微积分的基础

另外，直线和平面可以用向量很简单的描述

1.三维坐标系

平面上任意一点，可以用有序实数对 (a, b) 表示；而空间上任意一点，可以用有序实数组 (a, b, c) 表示

为了表示空间的点，我们选择一个固定点 O 和三条通过 O 并且相互垂直的有向直线，称之为坐标轴的 x 轴，y 轴，z 轴，我们一般认为 x 和 y 轴水平，z 轴是垂直的；z 轴方向满足右手法则：假如用右手从 x 轴到 y 轴逆时针方向握住 z 轴，则拇指所指方向为 z 轴的正方向

卦限：3 维空间划分为八个卦限 和 x/y/z 轴，第一卦限位于前面，有正坐标轴确定（暗示每个卦限都不与坐标轴有交点）

如果 P 是空间中任意一点(a, b, c)，a/b/c 为点 P 到 yoz/xoz/zoy 平面有向垂线距离，a/b/c 在平面 yoz/xoz/zoy 上的投影分别为 (0, b, c)/(a, 0, c)/(a, b, 0)，点 P 及其投影点 和 点 O 及其相对于 P 的投影点构成一个立方体

笛卡尔乘积 \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R} = \{ (x,y,z) | x,y,z\in \mathbb{R} \}\) 是定义在 \(\mathbb{R}^3\) 中所有有序三元实数组，三维立方体坐标体系给出了空间中点 P 和 \(\mathbb{R}^3\) 中有序三元组 (a,b,c) 的一一对应关系

二维解析几何中，一个包含 x 和 y 的方程是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一条曲线；三维解析几何中，一个包含 x, y, z 的方程是 \(\mathbb{R}^3\) 中的一条曲面

1. 三维立方体坐标体系：假设选择一个固定点 O 作为原点，通过该点延伸三条相互正交的射线或有向直线（称为坐标轴），称其中两条轴 x 轴和 y 轴是水平的，而 z 轴是垂直的，并且 z 轴满足[右手法则]
   1. 右手法则：右手四指穿过 x 轴，然后往 y 轴方向弯曲，此时拇指的指向即为 z 轴正方向
   2. 三元实数组 \(\mathbf u\in\mathbb R^3=\{(x,y,z)|~x,y,z\in\mathbb R\}\) 与三维立方体坐标体系中的点一一对应或满射
   3. 卦限：\(x,y,z\) 轴将空间平分为 8 个卦限

1. 点，向量：点和向量一般表示同一个概念，一般记为 \(P(x,y,z)\) 或 \(\mathbf u=(u_1,u_2,u_3)\)
2. 两点距离：有两种定义：
   1. \(P_1(x_1,y_1,z_1)\) 和 \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) 之间的距离为 \(|P_1 P_2| = \sqrt {(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_1-z_2)^2}\)
   2. \(\bf u\) 和 \(\bf v\) 之间的距离为 \(\|\mathbf u-\mathbf v\|=\sqrt{\bf u\cdot v}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(u_i-v_i)^2}\)
3. 球面方程：假设 \(\mathbf x=(x,y,z)\) 是未知量，那么以 \(P(a,b,c)=\bf u\) 为圆心，半径为 r（\(r>0\)）的球面方程为 \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\) 或 \(\|\mathbf x-\mathbf u\|=r\)

(1.6) 坐标平面的并集

(4) \(m_a^2=\|\mathbf u-\frac12(\mathbf v+\mathbf w)\|^2=\sum\limits_{i=1}^n(u_i-(v_i+w_i)/2)^2=\frac14\sum\limits_{i=1}^n(4u_i^2-4u_i(v_i+w_i)+(v_i+w_i)^2)\)

\(a^2=\|\mathbf v-\mathbf w\|^2=\sum\limits_{i=1}^n(v_i-w_i)^2\)，\(b^2=\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=\sum\limits_{i=1}^n(u_i-v_i)^2\)，\(c^2=\|\mathbf u-\mathbf w\|^2=\sum\limits_{i=1}^n(u_i-w_i)^2\)

于是 \(4m_a^2+a^2=\sum\limits_{i=1}^n(4u_i^2-4u_i(v_i+w_i)+(v_i+w_i)^2+(v_i-w_i)^2)=\sum\limits_{i=1}^n(4u_i^2+2v_i^2+2w_i^2-4u_iv_i-4u_iw_i))\) \(=\sum\limits_{i=1}^n(2(u_i-v_i)^2+2(u_i-w_i)^2)=2(b^2+c^2)\)

即 \(4m_a^2=2(b^2+c^2)-a^2\)，所以 \(m_a=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}\)

2.向量

1. 向量，向量分量：具有大小和方向的量定义为向量，几何上为箭头或有向线段，记为 \(\mathbf u=(u_1,\cdots,u_n)\) 或 \(\vec u\) 或 \(\overrightarrow{AB}=\bf v-u\)（假设 \(A=\mathbf u,B=\mathbf v\)；起点 A 称为 尾部，终点 B 称为头部）；其中 \(u_1,\cdots,u_n\) 称为向量 \(\bf u\) 的分量（注：微积分中的向量一般指实向量）
2. 向量范数（长度）：向量 \(\mathbf u\in\mathbb R^n\) 的范数或长度定义为 \(\|\mathbf u\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nu_i^2}\)
3. 零向量，单位向量：满足 \(\|\mathbf u\|=0\) 的向量，称为零向量，记为 \(\bf 0\)（零向量是唯一没有明确方向的向量）；若 \(\bf\ne0\)，那么 \(\bf u\) 的单位向量定义为 \(\bf v=\frac{u}{\|u\|}\)
4. 向量相等：若 \(\|\mathbf u\|=\|\mathbf v\|\) 并且 \(\bf u,v\) 方向相等，那么称 \(\bf u\) 和 \(\bf v\) 是相等的，记为 \(\bf u=v\)（另一种定义：\(\forall i=1..n,u_i=v_i\)）
5. 向量加法，向量标量乘法：假设 \(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^n,c\in\mathbb R\)，那么 \(\bf u,v\) 之间的加法定义为 \(\mathbf u+\mathbf v=(u_1+v_1,\cdots,u_n+v_n)\)；c 与 \(\bf u\) 的标量乘法定义为 \(c\mathbf u=(cu_1,\cdots,cu_n)\)
6. 向量公理：假设 \(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in V\)，\(c,d\in\mathbb R\)，那么：
   1. 加法/标量乘法/加法逆元/标量乘法逆元的封闭性：\(\exists\mathbf u+\mathbf v,c\mathbf u,\mathbf 0,-\mathbf u\in\mathbb R^n\)（其中 \(\bf u+0=u\)，\(\bf u+(-u)=0\)）
   2. 加法交换律 \(\mathbf u+\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u\)，加法结合律 \((\mathbf u+\mathbf v)+\mathbf w=\mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)\)
   3. 加法与标量乘法的相互分配律 (1) \(c(\mathbf u+\mathbf v)=c\mathbf u+c\mathbf v\)，(2) \((c+d)\mathbf u=c\mathbf u+d\mathbf u\)
   4. 实数乘法与标量乘法的结合律 \(c(d\mathbf u)=(cd)\mathbf u\)
   5. 标量乘法单位元 \(1\mathbf u=\mathbf u\)
7. 标准向量，标准向量基：\(\mathbb R^n\) 上的标准向量定义为只有第 i 个分量非零的单位向量，记为 \(\mathbf e_i=(0,\cdots,1,\cdots,0)\)；\(\mathbb R^n\) 上的标准向量基定义为其所有标准向量构成的一个向量组，记为 \(\{\mathbf e_1,\cdots,\mathbf e_n\}\)
   1. 在 \(\mathbb R^2\) 中，两个标准向量分别记为 \(\mathbf i=(1,0),\mathbf j=(0,1)\)
   2. 在 \(\mathbb R^3\) 中，三个标准向量分别记为 \(\mathbf i=(1,0,0),\mathbf j=(0,1,0),\mathbf k=(0,0,1)\)
   3. 注：\(\mathbb R^n\) 中任意一个向量可以唯一表示为标准向量基的线性组合，即 \(\forall \mathbf u\in\mathbb R^n,\mathbf u=\sum\limits_{i=1}^nu_i\mathbf e_i\)

(1)

1. \(\frac1{\sqrt{9^2+(-5^2)}}(9,-5)=(9/\sqrt{106},-5/\sqrt{106})\)
2. \(\frac1{\sqrt{8^2+(-1)^2+4^2}}(8\mathbf i-\mathbf j+4\mathbf k)=(\frac89\mathbf i-\frac19\mathbf j+\frac49\mathbf k)\)

(2) \(\bf u\) 的方向向量为 \((\cos\frac\pi3,\sin\frac\pi3)=(1/2,\sqrt3/2)\)，于是 \(\mathbf u=\|\mathbf u\|(1/2,\sqrt3/2)=(2,2\sqrt3)\)

(3) \(\mathbf r=\frac12(\mathbf u+\mathbf v)-\frac12(\mathbf u+\mathbf w)=\frac12(\mathbf v-\mathbf w)\)，得证

其他情况类似

3. 向量的点积

1. 点积：两实向量 \(\bf u,v\in\mathbb R^n\) 的定义为 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\sum\limits_{i=1}^nu_iv_i\)
2. 点积定律：假设 \(\bf u,v,w\in\mathbb R^n\)，那么（通常不满足结合律！）
   1. 交换律 \(\bf u\cdot v=v\cdot\bf u\)
   2. 点积与加法的分配律 \(\bf u\cdot(v+w)=u\cdot v+u\cdot w\)
   3. 点积与标量乘法的结合律：\((c\mathbf u)\cdot\mathbf v=c(\mathbf u\cdot\mathbf v)=\mathbf u\cdot(c\mathbf v)\)
3. 点积的推论：\(\forall \bf u\in\mathbb R^n\)，(1) \(\mathbf u\cdot\mathbf u=\|\mathbf u\|^2\)，(2) \(\mathbf 0\cdot\mathbf u=0\)
4. 点积的几何推论：假设 \(\bf u,v\in\mathbb R^n\)，\(\theta\) 是 \(\bf u,v\) 的夹角，那么
   1. \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta\)，或 \(\cos\theta=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|}\)
   2. \(\begin{cases}\mathbf u\cdot\mathbf v=0&\mathbf u,\mathbf v正交\\\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|&\mathbf u,\mathbf v方向相同\\\mathbf u\cdot\mathbf v=-\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|&\mathbf u,\mathbf v方向相反\end{cases}\)
5. 方向余弦，方向角：假设 \(\bf u\in\mathbb R^n,u\ne0\)，那么非零向量 \(\bf u\) 的方向余弦为其单位向量的分量，即 \(\frac{u_1}{\|\mathbf u\|},\cdots,\frac{u_n}{\|\mathbf u\|}\)；方向角分别为 \(\cos^{-1}\frac{u_1}{\|\mathbf u\|},\cdots,\cos^{-1}\frac{u_n}{\|\mathbf u\|}\)
   1. 若 \(\mathbf u\in\mathbb R^2\)，那么 \(\bf u\) 的方向角分别为 \(\alpha,\beta\)，方向余弦分别为 \(\cos\alpha,\cos\beta\)，满足 (1) \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1\)，(2) \(\mathbf u=\|\mathbf u\|(\cos\alpha,\cos\beta)\)，(3) \(|\cos\alpha|=|\sin\beta|\)，\(|\cos\beta|=|\sin\alpha|\)
   2. 若 \(\mathbf u\in\mathbb R^3\)，那么 \(\bf u\) 的方向角分别为 \(\alpha,\beta,\gamma\)，方向余弦分别为 \(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\)，满足 (1) \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)，(2) \(\mathbf u=\|\mathbf u\|(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)
6. 投影，投影大小，投影范数：假设 \(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^n\)，那么 \(\bf u\) 在 \(\bf v\) 上的投影为 \(\text{proj}_{\bf v}\mathbf u=\left(\frac{\bf u\cdot v}{\|\mathbf v\|^2}\right)\mathbf v\)，对应的投影大小为 \(\text{comp}_{\bf v}\mathbf u=\|\text{proj}_{\bf v}\mathbf u\|=\frac{\bf u\cdot v}{\|\mathbf v\|}\)；投影范数为 \(\|\text{proj}_{\bf v}\mathbf u\|=|\text{comp}_{\bf v}\mathbf u|\)

(1.1) \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\sum\limits_{i=1}^n(u_i+v_i)^2=\sum\limits_{i=1}^n(u_i^2+v_i^2+2u_iv_i)=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v\)

(1.2) 由 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta\) 有 \(|\mathbf u\cdot\mathbf v|=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\||\cos\theta|\le\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\)

(1.3) \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v\) 和 \((\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\|)^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2+2\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\)

又由[柯西-施瓦茨不等式]，\(\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\ge|\mathbf u\cdot\mathbf v|\ge\mathbf u\cdot\mathbf v\)，于是 \((\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\|)^2\ge\|\mathbf u+\mathbf v\|^2\)

而范数是非零的，所以上式蕴含 \(\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\|\ge\|\mathbf u+\mathbf v\|\)

(1.4) \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v\)

\(\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|-\mathbf v\|^2+2\mathbf u\cdot(-\mathbf v)=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v\)

于是 \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2+\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=2(\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2)\)

(1.5) 由 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=0\) 有：

\(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2\)

\(\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2\)

所以 \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u-\mathbf v\|^2\)，又由[平行四边形法则]有 \(2\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=2(\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2)\)，即 \(\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2\)

(2.1) 假设 \(\mathbf u\ne\mathbf v\in l\)，那么满足 \(au_1+bu_2+c=0\) 和 \(av_1+bv_2+c=0\)，蕴含 \(au_1+bu_2=av_1+bv_2=-c\)，或者 \(\mathbf n\cdot\mathbf u=\mathbf n\cdot\mathbf v\)

\(\mathbf n\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=\mathbf n\cdot\mathbf u-\mathbf n\cdot\mathbf v=0\)，于是 \(\mathbf n=(a,b)\) 与 l 正交

(2.2) 设 \(\mathbf n=(a,b),\mathbf v\in l\)，那么 \(\bf u\) 到 l 的距离等于 \(\bf u-v\) 在 \(\bf n\) 上的投影范数，即 \(|\text{comp}_{\bf n}(\mathbf u-\mathbf v)|=\frac{|\bf n\cdot(u-v)|}{\|\bf n\|}=\frac{\mathbf n\cdot\mathbf u-\mathbf n\cdot\mathbf v}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|au_1+bu_2-(av_1+bv_2)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|au_1+bu_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

(3.1) \(\text{comp}_{\bf v}\mathbf u=\text{comp}_{\bf u}\mathbf v\) 蕴含 \(\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|}=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf u}{\|\mathbf u\|}\)，蕴含 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=0\) 或 \(\frac1{\|\mathbf v\|}=\frac1{\|\mathbf u\|}\)（即 \(\|\mathbf v\|=\|\mathbf u\|\)）

(3.2) \(\text{proj}_{\bf v}\mathbf u=\text{proj}_{\bf u}\mathbf v\)，蕴含 \(\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\mathbf v=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf u}{\|\mathbf u\|^2}\mathbf u\)，那么 \(\mathbf u\cdot\mathbf v=0\)

或者 \(\frac1{\|\mathbf v\|^2}\mathbf v=\frac1{\|\mathbf u\|^2}\mathbf u\)，蕴含 \(\frac1{\|\mathbf v\|^2}\|\mathbf v\|=\frac1{\|\mathbf u\|^2}\|\mathbf u\|\)，即 \(\|\mathbf u\|=\|\mathbf v\|\)，于是 \(\bf u=v\)

(5) \(\mathbf v\cdot\text{orth}_{\bf v}\mathbf u=\mathbf v\cdot(\mathbf u-\text{proj}_{\bf v}\mathbf u)=\mathbf v\cdot\mathbf u-\mathbf v\cdot\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf u-\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\|\mathbf v\|^2=0\)

(6) \(\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\mathbf x=\mathbf 0\)，解得 \(\mathbf x=(-t,t,t)\)，而 \(\|\mathbf x\|=1\)，于是 \(3t^2=1\)，解得 \(t=\pm\frac1{\sqrt3}\)

所以满足条件的向量为 \((-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})\) 或 \((\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3})\)

4.向量的叉积

如果 \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle, \overrightarrow b = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\)，

那么，向量 a, b 的叉积为 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \langle a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1 \rangle\)

或者 \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\ \\ a_1&a_2&a_3\\ \\ b_1&b_2&b_3\end{array}\right| = \left|\begin{array}{c c c}{a_{2}}&{a_{3}}\\ {b_{2}}&{b_{3}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{c c}{a_{1}}&{a_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{3}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{c c}{a_{1}}&{a_{2}}\\ {b_{1}}&{b_{2}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{k}\)

向量 \(\overrightarrow a\times \overrightarrow b\) 与 a, b 都正交

方向：右手从 a 到 b 的方向握住 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\)，拇指所指方向即为 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\) 的方向（右手法则）

长度：\(|\overrightarrow a \times \overrightarrow b| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin \theta\)（\(\theta \in [0, \pi]\)，证明详见 P126）

a, b 平行(同向 或 反向) \(\iff\) \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b=\overrightarrow 0\)

\(|\overrightarrow a \times \overrightarrow b|\) 为 由a, b 所确定的平行四边形的面积

叉积不满足交换律：\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b \ne \overrightarrow b \times \overrightarrow a\) （例如用标准向量基 i, j, k 叉积的特例来否定该命题的否命题）

叉积不满足结合律：\((\overrightarrow a \times \overrightarrow b)\times \overrightarrow c \ne \overrightarrow a \times (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)\)

如果 a, b, c 是向量，c 是常数，那么

1. \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = -\overrightarrow b \times \overrightarrow a\)
2. \((c\overrightarrow a) \times \overrightarrow b = c(\overrightarrow a \times \overrightarrow b) = \overrightarrow a \times (c\overrightarrow b)\)
3. \(\overrightarrow a \times (\overrightarrow b + \overrightarrow c) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c\)
4. \((\overrightarrow a + \overrightarrow b)\times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c\)
5. \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = (\overrightarrow a \times b)\cdot \overrightarrow c = \left|\begin{array}{l l l}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\ {c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{array}\right|\)
6. \(\overrightarrow a \times (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c)\overrightarrow b - (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)\overrightarrow c\)

\(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)\) 称为向量 a, b, c 的混合积

1. 向量 a, b, c 确定的平行六面体的体积等于这些向量的混合积的绝对值：\(V = |\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)|\)
2. 推论：\(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = 0\) \(\iff\) a, b, c 共面

1. 叉积：\(\mathbb R^3\) 上的向量 \(\bf u,v\) 之间的叉积定义为 \(\mathbf u\times\mathbf v=\begin{vmatrix}\bf i&\bf j&\bf k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)\)
   1. \(\bf u\times v\) 的方向满足 \(\bf u\) 和 \(\bf v\) 的[右手法则]
   2. 假设 \(\bf u,v\) 之间的夹角为 \(\theta\in[0,\pi]\)，那么 \(\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\theta\)
   3. \(\mathbf u\times\mathbf v\) 同时与 \(\bf u,v\) 正交：\(\mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=0\)，\(\mathbf v\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=0\)
2. 叉积定律：假设 \(\bf u,v,w\in\mathbb R^n,c\in\mathbb R\)，那么（通常不满足交换律和结合律）
   1. 反交换律 \(\mathbf u\times\mathbf v=-\mathbf v\times\mathbf u\)
   2. 叉积与加法的分配律：\(\mathbf u\times(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf w\)，\((\mathbf u+\mathbf v)\times\mathbf w=\mathbf u\times\mathbf w+\mathbf v\times\mathbf w\)
   3. 叉积与标量乘法的结合律：\((c\mathbf u)\times\mathbf v=c(\mathbf u\times\mathbf v)=\mathbf u\times(c\mathbf v)\)
3. 叉积推论：
   1. 混合积：\(\bf u\cdot(v\times w)=(u\times v)\cdot w=\begin{bmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{bmatrix}\)
   2. 连叉积：\(\bf u\times(v\times w)=(u\cdot w)\mathbf v-(u\cdot v)w\)
4. 叉积的几何推论：
   1. \(\bf u,v\) 确定的平行四边形的面积为 \(\|\bf u\times v\|\)
   2. \(\bf u,v,w\) 确定的六面体的体积为 \(|\bf u\cdot(v\times w)|\)
   3. 若 \(\bf u\cdot(v\times w)=0\)，那么 \(\bf u,v,w\) 共面

(1) \(\bf u\cdot v=u\cdot w,u\times v=u\times w\) 蕴含 \({\bf u\cdot(v-w)}=0,{\bf u\times(v-w)=0}\)

即 \(\bf u\ne0\) 同时与 \(\bf v-w\) 正交并且平行，于是 \(\bf v-w=0\)，即 \(\bf v=w\)

(2.1) \({\bf(u-v)\times(u+v)=u\times u-v\times u+u\times v-v\times v=-v\times u+u\times v=}2(\mathbf u\times\mathbf v)\)

(2/4) \({\bf(u\times v)\cdot(w\times x)=u\cdot(v\times(w\times x))=u\cdot((v\cdot x)w-(v\cdot w)x)=(v\cdot x)(u\cdot w)-(v\cdot w)(u\cdot x)}=\begin{vmatrix}\bf u\cdot w&\bf v\cdot w\\\bf u\cdot x&\bf v\cdot x\end{vmatrix}\)

5.直线与平面方程

（根据线性代数的思想）一般意义上的直线是指 \(\mathbb R^n\) 上的一维子空间通过平移所得的图形

而平面是指 \(\mathbb R^n\) 上的二维子空间通过平移得到的图形

三维空间中的直线 L，可以通过直线上的一个点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 和 这条直线的方向 确定这条直线，

令 v 为平行于 L 的向量，\(P(x, y, z)\) 为 L 上的任意一点，r0, r 分别为 \(P_0, P\) 的 位置向量（即 \(\overrightarrow {OP_0}, \overrightarrow {OP}\)），

如果 a 为 \(\overrightarrow {P_0P}\) 的表示向量，根据三角形法则 和 平行向量的特性：r = r0 + a = r0 + t v

直线的向量方程：\(\overrightarrow r = \overrightarrow r_0 + t \overrightarrow v\)，\(t\in R\)

设 \(\overrightarrow r = \langle x, y, z \rangle\)，\(\overrightarrow r_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle\)，\(\overrightarrow v = \langle a, b, c \rangle\) （a，b，c 不全为 0，否则表示整个三维空间？），

直线的参数表示：\(x = x_0+at, y = y_0+bt, z = z_0+ct\)

直线的对称方程：\(\frac {x-x_0}a = \frac {y-y_0}b = \frac {z-z_0}c, a, b, c \ne 0\) 或 \(x=x_0, \frac {y-y_0}b = \frac {z-z_0}c, b,c\ne 0\) 或 \(y=y_0, \frac {x-x_0}a = \frac {z-z_0}c, a,c\ne 0\)，\(\dots\) （总共 \(2^3-1=8-1\) 种表示对称方程；v = 0 时仅表示空间上的点 \(P_0\)）

假设空间上的两点 P, Q, 的位置向量分别为 \(\overrightarrow r_0, \overrightarrow r_1\) (即 \(\overrightarrow {OP}, \overrightarrow {OQ}\))，

那么，该线段方程为：\(\overrightarrow r(t) = \overrightarrow {r_0} + t(\overrightarrow {r_1}-\overrightarrow {r_0}) = (1-t)\overrightarrow {r_0} + t \overrightarrow {r_1}\)，\(t\in[0, 1]\)

两个直线既 不相交 也 不平行（因而它们不在同一个平面），称这两条直线相错 \(\iff\) \(\overrightarrow {v_1}\ne k\overrightarrow {v_2}, k\in R\) & 存在 \((x_1, y_1, z_1) = (x_2, y_2, z_2)\)

三维空间中的一个平面可以由 一个点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 和 一个垂直于平面的向量 n （称为 法向量）来确定

令 \(P(x, y, z)\) 为平面上的任意一点，r0, r 为 \(P_0, P\) 的位置向量，那么 \(\overrightarrow {P_0P} = \overrightarrow r - \overrightarrow r_0\)，

由 n 垂直于 \(\overrightarrow {P_0P}\) 有：\(\overrightarrow n \cdot (\overrightarrow r - \overrightarrow r_0) = 0\) \(\iff\) \(\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow r_0\)

\(\overrightarrow n \cdot (\overrightarrow r - \overrightarrow r_0) = 0\)

\(\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow r_0\)

令 \(\overrightarrow n = \langle a, b, c \rangle, \overrightarrow r - \overrightarrow r_0 = \langle x-x_0, y-y_0, z-z_0 \rangle\) （a，b，c 不全为 0？）

有：\(a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\) 或 \(ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cy_0\)

x，y，z 轴的截距分别通过令 y=z=0, x=z=0, x=y=0 得到

三个轴的截距分别为：\(\frac {ax_0+by_0+cz_0}{a}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{b}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{c}\) （\(a, b, c \ne 0\)，否则对应轴上的截距不存在？）

1. 两个平面的法向量平行 \(\iff\) 这两个平面平行

2. 两个平面不平行 \(\iff\) 这两个平面相交于一条直线，两平面的夹角为两法向量之间所成的锐角 \(\theta\) (\(0 < \theta < 90°\))（夹角可以通过两法向量的 点积 或 叉积 得到）

3. 求两平面交线

   1. 令 x 或 y 或 z = k 求得直线上的一个点，再通过 \(\overrightarrow v = \overrightarrow n_1 \times \overrightarrow n_2\) 得到直线的方向向量
   2. 令 x 或 y 或 z = \(d\cdot t + e\)（通常 t=1, e=0） 可以解得关于直线 t 的参数方程
   3. 部分证明： \(\frac {x-x_0}{a}=\frac {y-y_0}{b}=\frac {z-z_0}{c}\) \(\iff\) \(\frac {x-x_0}{ad/c}=\frac {y-y_0}{bd/c}=\frac {z-z_0}{d}\) \(\iff\) \(\frac {x-x_0}{ad/c}+\frac{z_0-e}{d}=\frac {y-y_0}{bd/c}+\frac{z_0-e}{d}=\frac {z-e}{d} = t\)

4. 两个不平行的平面的交线的表示方法：两个平面的方程组（形如：\(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\)） 或 该方程组消去任意两个变量得到的新的方程组（形如 \(\frac {x-x_0}{a}=\frac {y-y_0}{b}, \frac {y-y_0}{b}=\frac {z-z_0}{c}\)）

5. \(Q(x_1, y_1, z_1)\) 到平面 \(ax+by+cz+d=0\) 的距离为 \(D = \frac {ax_1+by_1+cz_1+d}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\)

   • 证明：从几何角度发现 D 为 \(\displaystyle \overrightarrow {P_0Q}\) 在 \(\overrightarrow n = \langle a, b, c \rangle\) 上的投影的绝对值，则：
   • \(\displaystyle D = |comp_{\overrightarrow n} {\overrightarrow P_0Q}| = |\frac {\overrightarrow n\cdot \overrightarrow {P_0Q}}{|\overrightarrow n|}| = \frac {a(x_1-x_0) + b(y_1-y_0) + c(z_1-z_0)}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}} = \frac {ax_1 + by_1 + cz_1 - (ax_0 + by_0 + cz_0)}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}} = \frac {ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}\)

6. 两个相互平行的平面之间的距离 等价于 任一平面中任取一点 Q，该点 Q 到另一个平面的距离

7. 两个相错的直线之间的距离 \(\iff\) 对两个直线构造一个与 \(\overrightarrow v_1 \times \overrightarrow v_2\) 垂直的均包含对应直线的平面，这两个构造平面之间的距离

8. 6 种距离：点-点，点-线，点-面，线-线，线-面，面-面

1. 直线方程：假设 \(\mathbf r=(x,y,z)\)，经过初始点 \(\mathbf r_0=(x_0,y_0,z_0)\)，方向向量为 \(\mathbf v=(a,b,c)\) 的直线方程如下：
   1. 参数向量方程：\(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\)
   2. 参数方程：\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)
   3. 对称方程，如：\(\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c\) 或 \(\begin{cases}\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b\\\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c\end{cases}\)
2. 线段方程：假设 \(\mathbf r=(x,y,z)\)，以 \(\mathbf r_0,\mathbf r_1\) 为始末向量的线段方程为 \(\mathbf r=\mathbf r_0+t(\mathbf r_1-\mathbf r_0)=(1-t)\mathbf r_0+t\mathbf r_1\)（\(t\in[0,1]\)）
3. 相错直线：既不相交也不平行的两条直线，称它们是相错的
4. 平面方程：假设 \(\mathbf r=(x,y,z)\) 为未知向量，经过初始点 \(\mathbf r_0=(x_0,y_0,z_0)\)，法向量为 \(\mathbf n=(a,b,c)\) 的平面方程为：
   1. 参数向量方程：\(\mathbf r=\mathbf r_0+s\mathbf v_1+t\mathbf v_2\)（其中 \(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=\mathbf n\)）
   2. 向量方程：\(\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0\) 或 \(\mathbf n\cdot\mathbf r=\mathbf n\cdot\mathbf r_0\)
   3. 一般方程：\(a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\) 或 \(ax+by+cz+d=0\)，其中 \(d=-\mathbf n\cdot\mathbf r_0=-(ax_0 + by_0 + cy_0)\)
   4. 任意点 \(\mathbf u\) 到该平面的距离为 \(|\text{comp}_{\bf n}(\mathbf u-\mathbf r)|\) 或 \(\frac{au_1+bu_2+cu_3+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

1. \(\mathbb R^n\) 中的一个方程表示 \(n-1\) 维子空间的平移/旋转/扭曲？
2. 在 \(\mathbb R^2\) 中
   1. 直线 \(ax+by+c=0\) 的法向量为 \((a,b)\)
   2. 点到直线的距离为 \(\frac{|au_1+bu_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
3. 在 \(\mathbb R^3\) 中，\(\forall i=0..2\)，假设有直线 \(l_i:\mathbf r=\mathbf r_i+t\mathbf v_i\) 和平面 \(S_i:\mathbf n_i\cdot(\mathbf r-\mathbf r_i)=0\)，那么：
   1. 平面 \(S_0\) 的法向量为 \(\mathbf n_0=(a,b,c)\)
   2. 若 \(a\ne0,b\ne0,c\ne0\)，那么平面 \(S_0\) 到 \(x,y,z\) 轴的截距分别为 \(A=\frac{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}a,B=\frac{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}b,C=\frac{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}c\)（满足 \(aA=bB=cC=\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0=-d\)）
   3. 点 \(\bf u\) 到直线 \(l_0\) 的距离为 \(\frac{\|\mathbf v_0\times(\mathbf r_0-\mathbf u)\|}{\|\mathbf v_0\|}\)
   4. 点 \(\bf u\) 到平面 \(S_0\) 的距离为 \(|\text{comp}_{\bf n_0}(\mathbf r_0-\mathbf u)|\) 或 \(\frac{|au_1+bu_2+cu_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
   5. 两平行平面 \(S_1,S_2\) 之间的距离为 \(|\text{comp}_{\bf n_2}(\mathbf r_1-\mathbf r_2)|\)；若 \(\mathbf n_1=\mathbf n_2\) 并且 \(\mathbf n_1\cdot\mathbf r_1=-d_1,\mathbf n_2\cdot\mathbf r_2=-d_2\)，那么 \(\frac{|d_2-d_1|}{\|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\|}\)
   6. 两交错直线 \(l_1,l_2\) 之间的距离为 \(|\text{comp}_{\mathbf v_1\times\mathbf v_2}(\mathbf r_1-\mathbf r_2)|\)
   7. \(l_1,l_2\) 的交点：若线性方程组 \(\begin{bmatrix}\mathbf v_1&-\mathbf v_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}=\mathbf r_2-\mathbf r_1\) 的解为 \((s,t)\)，那么交点为 \(\mathbf r_1+s\mathbf v_1\) 或 \(\mathbf r_2+t\mathbf v_2\)
   8. 两不重合直线 \(l_1,l_2\) 的生成平面为 \(\begin{cases}(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)\cdot(\mathbf r-\mathbf r_1)=0&l_1,l_2相交\\(\mathbf v_1\times(\mathbf r_1-\mathbf r_2))\cdot(\mathbf r-\mathbf r_1)=0&l_1,l_2平行\end{cases}\)
4. 若 \(l_1\) 与 \(l_2\) 相交，那么 \(\exists s,t\) 使得 \(\mathbf r_1+s\mathbf v_1=\mathbf r_2+t\mathbf v_2\)
5. 直线 \(l_0:\mathbf r=\mathbf r_0+t_1\mathbf v_0\) 与平面 \(s_1:\mathbf r=\mathbf r_1+t_2\mathbf u_1+t_3\mathbf v_1\) 的交点：解方程 \(\begin{bmatrix}\mathbf u_0&-\mathbf u_1&-\mathbf v_1\end{bmatrix}\mathbf t=\mathbf r_1-\mathbf r_0\)，然后将 \(t_1\) 代入 \(l_0\) 即可

(1) \(|\text{comp}_{\bf n}(\mathbf u-\mathbf r)|=\frac{|\mathbf n\cdot(\mathbf u-\mathbf r)|}{\|\mathbf n\|}=\frac{|\mathbf n\cdot\mathbf u-\mathbf n\cdot\mathbf r|}{\|\mathbf n\|}=\frac{|\mathbf n\cdot\mathbf u-\mathbf n\cdot\mathbf r_0|}{\|\mathbf n\|}=\frac{au_1+bu_2+cu_3+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

(2.1) 线性方程组 \(\begin{cases}x=y\\y=z\\x+1=y/2\\y/2=z/3\end{cases}\) 无解，所以两直线无交点

其他做法：计算同时具有两个相同分量的点（如 \(x,y\) 坐标相同），若这些点的另一个坐标都不相同，那么两直线无交点

又因它们的方向向量不成比例，即 \(\forall k,(1,1,1)\ne k(1,2,3)\)，那么两直线不共线

于是这两条直线相错

(2.2) 两相错直线的距离为 \(\frac{|(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)\cdot(\mathbf r_1-\mathbf r_2)|}{\|\mathbf v_1\times\mathbf v_2\|}=\frac{|(1,-2,1)\cdot(1,0,0)|}{\|(1,-2,1)\|}=\frac1{\sqrt6}\)，

其中 \(\mathbf r_1=(0,0,0),\mathbf v_1=(1,1,1)\)，\(\mathbf r_2=(-1,0,0),\mathbf v_2=(1,2,3)\)

(2.3) \(\frac{|(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)\cdot(\mathbf r_1-\mathbf r_2)|}{\|\mathbf v_1\times\mathbf v_2\|}=\frac{|(6,-2,3)\cdot(0,-4,2)|}{\|(6,-2,3)\|}=\frac{14}{\sqrt{49}}=2\)

其中 \(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=(1,6,2)\times(2,15,6)=(6,-2,3)\)，\(\mathbf r_1-\mathbf r_2=(1,1,0)-(1,5,-2)=(0,-4,2)\)

(3) 设平面 \(S_1\) 为 \(x+2y-2z+d=0\)，于是 \(S_1\) 和 \(S_2\) 之间的距离为 \(2=\frac{|d-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}\)，解得 \(d=5\) 或 \(d=-7\)

(4) \(\frac{\|\mathbf v_0\times(\mathbf r_0-\mathbf u)\|}{\|\mathbf v_0\|}=\frac{\|(1,-3,5)\times(1,0,-3)\|}{\|(1,-3,5)\|}=\frac{\|(9,8,3)\|}{\sqrt{35}}=\sqrt{154/35}=\sqrt{22/5}\)

(5) 设 \(\mathbf n_0=(1,-2,-2),\mathbf r_0=(1,0,0)\)，于是距离为 \(\frac{|\mathbf n_0\cdot(\mathbf r_0-\mathbf u)|}{\|\mathbf n_0\|}=\frac{|(1,-2,-2)\cdot(-1,-8,-5)|}{\|(1,-2,-2)\|}=\frac{25}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=25/3\)

或者，距离为 \(\frac{|(1)(2)+(-2)(8)+(-2)(5)-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9}}=25/3\)

(6) 设 S 的方程为 \(ax+by+cz=\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0\)（其中 \(\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0\ne0\)）

蕴含 S 的方程为 \(\frac a{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}x+\frac b{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}y+\frac c{\mathbf n_0\cdot\mathbf r_0}z=1\)，即 \(\frac xA+\frac yB+\frac zC=1\)

(7)

1. 有线性方程组 \(\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\)，解得 \(s=1,t=0\)，于是交点为 \((2,0,2)\)
2. 两平面的生成平面为 \(((1,-1,2)\times(-1,1,0))\cdot(x-1,y-1,z)=0\)，即 \((-2,-2,0)\cdot(x-1,y-1,z)=0\)，即 \(x+y=2\)

(8) \(\mathbf u\times(\mathbf a\times\mathbf b)=(\mathbf u\cdot\mathbf b)\mathbf a-(\mathbf u\cdot\mathbf a)\mathbf b=\mathbf 0\)，所以 \(\bf u\) 与 \(\bf a\times b\) 平行

(9) \(\mathbf r_0=(0,1,2)\)，

\(l_0\) 与 \(S_1\) 平行，蕴含 \(\mathbf v_0\cdot\mathbf n_1=0\)，

\(l_0\) 与 \(l_1\) 垂直，蕴含 \(\mathbf v_0\cdot\mathbf v_1=0\)

法1：于是 \(\bf v_0\) 与 \(\mathbf n_1\times v_1=(1,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-1,-2)\) 平行，于是 \(l_0\) 的方程为 \(\mathbf r=(0,1,2)+t(3,-1,-2)\)

法2：设 \(\mathbf v_0=(a,b,c)\)，求解欠定方程组 \(\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\mathbf 0\) 得 \(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}-3/2\\1/2\\1\end{bmatrix}\)，于是 \(k=2\) 时，有 \(l_0\) 的方程：\(\mathbf r=(0,1,2)+t(-3,1,2)\)

(10) \(\mathbf r_0=(0,1,2)\)，\(l_0\) 与 \(l_1\) 垂直，蕴含 \(\mathbf v_0\cdot\mathbf v_1=0\)

\(l_0\) 与 \(l_1\) 相交，蕴含 \(\exists s,t\) 使得 \(\mathbf r_0+s\mathbf v_0=\mathbf r_1+t\mathbf v_1\)，

于是 \(\mathbf r_0\cdot\mathbf v_1+s\mathbf v_0\cdot\mathbf v_1=\mathbf r_1\cdot\mathbf v_1+t\mathbf v_1\cdot\mathbf v_1\)，蕴含 \(\mathbf r_0\cdot\mathbf v_1=\mathbf r_1\cdot\mathbf v_1+t\|\mathbf v_1\|^2\)，蕴含 \(t=\frac{(\mathbf r_0-\mathbf r_1)\cdot\mathbf v_1}{\|\mathbf v_1\|^2}=(-1,0,2)\cdot(1,-1,2)/6=1/2\)

令 \(l_0,l_1\) 的交点为 \(\mathbf u=\mathbf r_1+t\mathbf v_1=(3/2,1/2,1)\)

令 \(l_0\) 的方向向量为 \(\mathbf v_0=2(\mathbf u-\mathbf r_0)=(-3,1,2)\)

于是 \(l_0\) 的方程为 \(\mathbf r=(0,1,2)+t(-3,1,2)\)

6.柱面 & 二次曲面

我们已经研究了两种特殊曲面——平面（12.5），球面（12.1），下面将研究 柱面 和 二次曲面

直线沿着定曲线平移所得到的曲面称为 柱面，该直线称为 母线（通常是 垂直于某个坐标面 或 平行于某个坐标轴 的直线）

一个关于变量 x, y, z 的二次方程的图形称为 二次曲面，

一般形式为：\(Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\)，

通过 变换 和 旋转，可以变为两种标准形式之一：\(Ax^2+By^2+Cz^2+J=0\) 或 \(Ax^2+By^2+Iz=0\)

1. 柱面，母线：某直线沿着一条与之垂直的曲线平移所经过的区域或曲面称为柱面，这条直线称为母线
2. 二次曲面

1. 标准柱面的大致分类：\(\begin{cases}抛物柱面&Ax^2+Cy=0\\椭圆柱面&Ax^2+By^2+D=0,AB>0,D<0\\双曲柱面&Ax^2+By^2+D=0,AB<0\end{cases}\)
2. 标准二次曲面的大致分类：\(\begin{cases}椭圆抛物面&Ax^2+By^2+Dz=0,AB>0\\双曲抛物面&Ax^2+By^2+Dz=0,AB<0\\椭圆椭圆面&Ax^2+By^2+Cz^2+E=0,ABC>0,E<0\\锥面&Ax^2+By^2+Cz^2+E=0,AB>0,C<0,E=0\\单叶双曲面&Ax^2+By^2+Cz^2+E=0,AB>0,C<0,E<0\\双叶双曲面&Ax^2+By^2+Cz^2+E=0,AB>0,C<0,E>0\end{cases}\)

7.柱面坐标系 & 球坐标系

在平面几何中，我们为了方便描述曲线或者区域的时候，给出了 极坐标系，

而三维坐标徐中，类似于 极坐标系，我们给出 柱面坐标系 和 球坐标系 两种坐标系

三维空间中的点 P 用有序三元组 \((r, \theta, z)\) 来表示，

r 和 \(\theta\) 是 P 在 xOy 平面上投影的极坐标参数，z 是从点 P 到 xOy 平面的距离

柱面坐标 => 直角坐标：\(x = r\cos \theta, y = r\sin \theta, z = z\)

直角坐标 => 柱面坐标：\(r^2 = x^2 + y^2, \tan \theta = \frac yx, z = z\)

三维空间中的点 P 用有序三元组 \((\rho, \theta, \phi)\) （\(\rho \ge 0, 0\le \phi \le \pi\)）来表示，

\(\rho=|OP|\) 为点 P 到原点的距离，\(\theta\) 和柱面坐标表示同样的角度，\(\phi\) 是线段和 z 轴正方向的夹角

方程 r=c 表示半径为 r 的球面，方程 \(\theta=c\) 表示一个竖直的半平面，方程 \(\phi=c\) 表示一个以 z 轴为对称轴的半圆锥

球坐标 => 直角坐标：\(x=\rho\sin\phi\cos\theta, y=\rho\sin\phi\sin\theta, z=\rho\cos\phi\)

直角坐标 => 球坐标：需要借助距离公式：\(\rho^2=x^2+y^2+z^2\)

1. 柱面坐标系：在极坐标系的基础上添加一维 z，\(\mathbb R^3\) 上任意一点 P 可以用三元组 \((r,\theta,z)\) 表示
   1. 其中 r 是 P 到 z 轴的距离，\(\theta\) 是 \(OP\) 在 \(xy\) 平面上的投影从极轴出发逆时针旋转扫过的夹角
   2. \(\forall\theta,r,z\) 有 (1) \((0,\theta,0)\) 表示原点 O，(2) \((r,\theta+2\pi,z)=(r,\theta,z)\)，(3) \((-r,\theta,z)=(r,\theta+\pi,z)\)
   3. 坐标变换：(1) \(\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\\z=z\end{cases}\)，(2) \(\begin{cases}x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta\\y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta\\z=z\end{cases}\)
2. 球坐标系：假设 \(\rho\ge0,\phi\in[0,\pi]\)，那么 \(\mathbb R^3\) 上任意一点 P 可以用三元组 \((\rho,\theta,\phi)\) 表示
   1. 其中 \(\rho=\|OP\|\)，\(\theta\) 是 \(OP\) 在 \(xy\) 平面上的投影从极轴出发逆时针旋转扫过的夹角，\(\phi\) 是 \(OP\) 与 z 轴正方向的夹角
   2. 坐标变换：(1) \(\begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\\\phi=\cos^{-1}\frac z\rho\end{cases}\)，(2) \(\begin{cases}x=\rho\sin\phi\cos\theta\\y=\rho\sin\phi\sin\theta\\ z=\rho\cos\phi\end{cases}\)
3. 柱面坐标系与求坐标系的坐标变换：(1) \(\begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\\\phi=\cos^{-1}\frac z\rho\end{cases}\)，(2) \(\begin{cases}r=\sqrt{\rho^2-z^2}\\\theta=\theta\\z=\rho\cos\theta\end{cases}\)

(7)

1. 半径为 3 的圆柱面 \(x^2+y^2=3^2\)
2. 半平面 \(|y|=\sqrt3|x|\)
3. 半径为 3 的球面 \(x^2+y^2+z^2=3^2\)
4. 锥面：\(1/2=\cos\phi=z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

(8) \(z\ge\sqrt{x^2+y^2}\) 蕴含 \(z^2\ge x^2+y^2\)，蕴含 \(2z^2\ge\rho^2\)，蕴含 \(2\cos^2\phi\ge1\)，蕴含 \(\phi\in[0,\pi/4]\)

\(x^2+y^2+z^2=z\) 蕴含 \(\rho^2=\rho\cos\phi\)，蕴含 \(\rho=\cos\phi\)，于是 \(0\le\rho\le\cos\phi\)

所以区域可以描述为 \(\{\phi\in[0,\pi/4],\rho\in[0,\cos\phi]\}\)

(9)

1. \(2z^2=r^2\cos2\theta-4\)，\(\rho^2(\sin^2\phi\cos2\theta-2\cos^2\phi)=4\)
2. \(z=r^2\)，\(\rho=\cot\phi\csc\phi\)
3. \(r^2+(z+1)^2=1\)，\(\rho=-2\cos\phi\)
4. \(r=2\sin\theta\)，\(\rho\sin\phi=2\sin\theta\)
5. \(z=r^2\cos2\theta\)，\(\cos\phi=\rho\sin^2\phi\cos2\theta\)

(10)

1. \(r^2\le z\le2-r^2\) 表示开口向上的椭圆抛物面 \(x^2+y^2=z\) 的上方，开口向下的椭圆抛物面 \(x^2+y^2+z=2\) 的下方所包围的区域
2. \(\theta\in[0,\pi/2],z\in[r,2]\) 表示 \(x>0,y>0\) 的区域内，\(z=2\) 之下，锥面 \(\sqrt{x^2+y^2}=z\) 之上的部分