11.无穷序列&级数

1.序列

序列 \(\{ a_n \}\) 具有极限 L 且记作 \(\lim\limits_{n\to \infty} = L\)

或 \(a_n \to L\) 当 \(n\to \infty\)

若通过取充分大的 n 我们可以使项 \(a_n\) 任意接近 L，

若 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n\) 存在，我们称此序列 收敛 (或 是收敛的)，否则称此发散 (或 是发散的)

序列 \(\{ a_n \}\) 具有极限 L 且记作 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = L\) 或 \(a_n \to L\) 当 \(n\to \infty\)

若对任意小的 \(\epsilon > 0\) 存在相应的整数 N，只要 \(n > N\)，就有 \(|a_n - L| < \epsilon\)

若 \(\lim\limits_{x\to ∞}f(x) = L\) 且 当 n 为整数时有 \(f(n) = a_n\)，则 \(\lim\limits_{n\to ∞}a_n = L\)

\(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = ∞\) 意味着对任意正数 M，存在整数 N，对任意的 n > N 使得 \(a_n > M\)

\(\{ a_n \}\) 和 \(\{ b_n \}\) 为收敛序列，c 为常数，则：

\(\lim\limits_{n\to ∞}(a_n + b_n) = \lim\limits_{n\to ∞}a_n + \lim\limits_{n\to ∞}b_n\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}(a_n - b_n) = \lim\limits_{n\to ∞}a_n - \lim\limits_{n\to ∞}b_n\)

\(\lim\limits_{n\to ∞}c\cdot a_n = c\cdot \lim\limits_{n\to ∞} a_n\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}c = c\)

\(\lim\limits_{n\to ∞}a_n\cdot b_n = \lim\limits_{n\to ∞} a_n \cdot \lim\limits_{n\to ∞} b_n\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}\frac {a_n}{b_n} = \frac {\lim\limits_{n\to ∞} a_n}{\lim\limits_{n\to ∞} b_n}\) & \(\lim\limits_{n\to ∞} b_n\ne 0\)

\(\lim\limits_{n\to ∞} a_n^p = (\lim\limits_{n\to ∞} a_n)^p\) & \(p > 0, a_n > 0\)

若对 \(n\ge n_0\) 有 \(a_n\le b_n \le c_n\) 且 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = \lim\limits_{n\to ∞} c_n = L\)，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} b_n = L\)

若 \(\lim\limits_{n\to ∞} |a_n| = 0\)，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = 0\)

若对所有 \(n\ge 1\) 都有 \(a_n < a_{n+1}\)，则 \(\{ a_n \}\) 称为递增的

若对所有 \(n\ge 1\) 都有 \(a_n > a_{n+1}\)，则 \(\{ a_n \}\) 称为递减的

递增 或 递减 都被称为单调

tip：还可以利用连续函数的导函数判断 序列单调性

序列 \(\{ a_n \}\) 有上界，若存在数 M 使得 \(a_n \le M\) 对所有 \(n\ge 1\)

序列 \(\{ a_n \}\) 有下界，若存在数 m 使得 \(a_n \ge m\) 对所有 \(n\ge 1\)

若它既有 上界 又有 下界，则 \(\{ a_n \}\) 是有界序列

任何 有界，单调 的序列都是收敛的（递增，有上界 或 递减，有下界）

2.级数

已知级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞a_n\)，令 \(s_n\) 为其第 n 个部分和(前缀和)： \(s_n = \sum\limits_{i=1}^n a_i\)

若序列 \(\{ s_n \}\) 收敛且 \(\lim\limits_{n\to ∞} s_n = s\) 作为实数存在，则级数 \(\sum a_n\) 称为收敛的，

且我们记 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = s\) 或 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n = s\)数 s 称为级数的和；否则，级数被称为发散的

注意： \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n a_i\)

\(\sum\limits_{n=1}^∞ a r^{n-1}\) 是收敛的，若 |r| < 1，它的和为 \(\sum\limits_{n=1}^∞ ar^{n-1} = \frac a{1-r}, |r| < 1\)

若 \(|r| \ge 1\)，几何级数发散

即： \(\sum\limits_{n=1}^∞ a r^{n-1} = \begin{cases} \frac {a}{1-r} & |r|<1 \\ ∞ & r=1 或 |r|>1 \\ -a \to 0 振荡 & r=-1 \end{cases}\)

若 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = 0\)

逆命题不成立

若 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n\) 不存在 或 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n \ne 0\)，则级数 \(\lim\limits_{n\to ∞} \sum\limits_{i=1}^n a_i\) 发散

若 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 为收敛级数，则级数 \(\sum c\cdot a_n\) (c 为常数)，\(\sum (a_n + b_n)\)，\(\sum (a_n - b_n)\) 也收敛，且

• \(\sum\limits_{n=1}^∞ c\cdot a_n = c\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\)
• \(\sum\limits_{n=1}^∞ (a_n + b_n) = \sum\limits_{n=1}^∞ a_n + \sum\limits_{n=1}^∞ b_n\)
• \(\sum\limits_{n=1}^∞ (a_n - b_n) = \sum\limits_{n=1}^∞ a_n - \sum\limits_{n=1}^∞ b_n\)

3.和式的积分判别法 & 估计

接下来介绍的判别法使得我们 不用求出级数具体的和 就能确定其是否收敛

设 f 为 [0, +∞) 上的连续、取正值的(基本)递减函数

令 \(a_n = f(n)\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛 \(\iff\) 反常积分 \(\int_1^∞ f(x)~d_x\) 收敛

换句话说：

• \(\int_1^∞ f(x)~d_x\) 收敛，则 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛
• \(\int_1^∞ f(x)~d_x\) 发散，则 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 发散

假设 \(f(k) = a_k\)，其中 f 是在 \(x\ge n\) 上连续，取正值的递减函数，\(\sum a_n\) 收敛

若 \(R_n = s - s_n = \sum\limits_{i=n+1}^{∞} a_i\)，则 \(\int_{n+1}^{+∞}~d_x \le R_n \le \int_{n}^{+∞} f(x)~d_x\)

因而：\(s_n + \int_{n+1}^{+∞}~d_x \le s_n + R_n = s \le s_n + \int_{n}^{+∞} f(x)~d_x\)

4.比较判别法

将所给的级数 与 一个已知收敛或发散的计数进行比较

假设 \(\sum a_n\)，\(\sum l_n\)，\(\sum r_n\) 是各项都为正的级数

1. 若 \(\sum r_n\) 收敛且对所有的 n 都有 \(a_n \le r_n\)，则 \(\sum a_n\) 也收敛
2. 若 \(\sum l_n\) 发散且对所有的 n 都有 \(a_n \ge l_n\)，则 \(\sum a_n\) 也发散

证明详见 p38

细节：仅需 \(n\ge \lceil N\rceil\) 也能使结论成立（级数的收敛性不受有限项的影响）

假设 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 是各项都为正的级数，

若 \(\lim\limits_{n\to ∞}\frac {a_n}{b_n} = c\) （c为有限数，且 \(c > 0\)），则两边都 收敛 或 发散

若对于所有的 n，\(a_n \le b_n\)，我们有 \(R_n \le T_n\)

5.交错级数

目前位置我们讨论的级数都是为正数的，接下来介绍重要的技术：交错级数

\(\sum\limits_{i=1}^∞ (-1)^{i-1}a_i\) (\(a_i > 0\))

满足：

1. 对所有 n，\(a_{n} \ge a_{n+1}\)
2. \(\lim\limits_{n\to ∞}a_n = 0\)

则，此级数收敛

若 \(s = \sum (-1)^{n-1}b_n\) 为交错级数，满足：

1. \(b_n\ge b_{n+1} \ge 0\)
2. \(\lim\limits_{n\to ∞}b_n = 0\)

则 \(|R_n| = |s - s_n| \le b_{n+1}\) （即 s 在 \(s_n\) 两侧“波动”，误差为 \(b_{n+1}\)）

6.绝对收敛 & 比值 / 根值 判别法

级数 \(\sum a_n\) 称为绝对收敛的，若其绝对值级数 \(\sum |a_n|\) 收敛

级数 \(\sum a_n\) 称为条件收敛的，若它收敛但非绝对收敛的

若级数 \(\sum a_n\) 是绝对收敛的，则它一定是收敛的

graph
收敛 --> 绝对收敛

1. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = L < 1\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 绝对收敛（从而收敛）
2. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = L > 1\) 或 \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = +∞\) ，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 发散
3. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = 1\)，比值判别法无法确定收敛性（即得不到有关 \(\sum a_n\) 的收敛性 或 发散性的结论）

相关证明：p48

1. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L < 1\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 绝对收敛（从而收敛）
2. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L > 1\) 或 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L = ∞\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 发散
3. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞} \sqrt[n]{|a_n|} = 1\)，根值判别法失效

一个已知 收敛级数 “是 绝对收敛 还是 条件收敛” 与 “无限项和 是否与 有限项和 行为相同” 的两个命题之间有一种联系

结论：

1. 若 \(\sum a_n\) 绝对收敛 且和为 s，则 \(\sum a_n\) 的任意重排的和 \(\sum a_{p_n}\) 为 s
2. 若 \(\sum a_n\) 为条件收敛级数，r 为任意实数，则总存在 \(\sum a_n\) 的一个重排使得重排后级数的和为 r （由黎曼证明）

详见p51

7.判别级数收敛的策略

判别级数的收敛性 与 函数的积分 类似，并没有确定的，快速的准则来确定已知级数用什么方法判别，但仍然可以优化判别收敛性的效率

1. 若级数形如 \(\sum \frac {1}{n^p}\) (p—级数)，则 p > 1 时收敛， \(p\le 1\) 时发散
2. 若级数形如 \(\sum a\cdot r^{n-1}\) 或 \(\sum a\cdot r^{n}\) (几何级数)，则 |r| < 1 时收敛， \(|r|\ge 1\) 时发散，将级数转化成这种形式可能需要一些初等代数的方法

3. 若级数具有 p—级数 或 几何级数 类似的形式，应考虑 比较判别法

   • 特别地，若 \(a_n\) 是 n 的 有理函数 或 代数函数（包含多项式根），则应该与 p—级数 比较（只保留分子和分母中 n 的最高次）
   • 比较判别法 适用于正项级数，若 \(\sum a_n\) 含有负项，我们可以对 \(\sum |a_n|\) 使用 比较判别法，判别绝对收敛性 (见 11.4 练习)

4. 若发现 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n\ne 0\)，那么就应该用 发散判别

5. 若级数有如 \(\sum (-1)^{n-1} a_n\) 或 \(\sum (-1)^n b_n\) 的形式，那显然 交错级数收敛性判别法 有用

6. 包含 阶乘 或 其他乘积（包含一个到第 n 次幂的不变的增长）用 比值判别法 经常比较方便

   • 注意：对所有 p—级数 都有：\(n\to ∞\) 时 \(|\frac {a_{n+1}}{a_{n}}| \to 1\)，因此所有是 n 的 有理函数 或 代数函数 的级数都是这样；也就是说，比值判别法 对此类函数都不适用

7. 若 \(a_n\) 是 \((b_n)^n\) 的形式，则 根值判别法 可能有用

8. 若 \(a_n = f(n)\)，其中 \(\int_1^{+∞} f(x)~d_x\) 易于计算，则 积分判别法 会有效

8.幂级数

幂级数形如：\(\sum\limits_{n=0}^∞ c_n\cdot x^n = c_0 + c_1\cdot x + c_2\cdot x^2 + \cdots\)

该级数的和是一个函数 \(f(x) = c_0 + c_1\cdot x + \cdots + c_n\cdot x^n + \cdots\)，定义域为 使级数收敛的 x 的集合（类似于一个多项式，唯一的区别就是 f 有无穷多项）

\(c_n = 常数\) 时，幂级数 就变成了 几何级数，仅当 \(|x| < 1\) 时收敛

幂级数一般形式：\(\sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots\) （此形式是书写惯例，即使 x = a；x = a 时，对所有 \(n\ge 1\) 的各项都是 0，即 x=a 时该级数总收敛；该形式称为 (x-a) 处的幂级数 或 以 a 为中心的幂级数 或 关于 a 的幂级数）

对已知幂级数 \(\sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n\) 只有三种可能性：

1. 级数只有当 x=a 时收敛
2. 级数对所有的 x 收敛
3. 存在一个正数 R 使得级数当 |x-a| < R 时收敛，当 |x-a| > R 时发散 （端点处也可能 收敛！）

其中 R 称为收敛半径（1, 2 情况分别对应 R=0 和 R=+∞）

9.函数的幂级数展开

将已知函数表示成无穷项的和，对 不是初等函数的不定积分，求解微分方程，用多项式近似函数 都很有用

若幂级数 \(\sum c_n(x-a)^n\) 具有收敛半径 R > 0，则若下定义的函数 f

\(f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots = \sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n\)

在区间 (a-R, a+R) 上是可微的(从而连续)，且

1. \(f'(x) = \sum\limits_{n=1}^∞ nc_n(x-a)^{n-1}\)
2. \(\int f(x)~d_x = C + c_0(x-a) + c_1\frac {(x-a)^2}{2} + \cdots = C + \sum\limits_{n=0}^∞ c_n\frac {(x-a)^{n+1}}{n+1}\) (\(C = C_1 + ac_0\))

收敛半径均是 R

上述两式可以写成如下形式：

1. \(\frac {d}{d_x}[\sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n] = \sum\limits_{n=0}^∞ \frac {d}{d_x}[c_n(x-a)^n]\)
2. \(\int[\sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n]~d_x = \sum\limits_{n=0}^∞\int c_n(x-a)^n~d_x\)

10.泰勒级数 & 麦克劳林级数

我们假设 f 为任意可以用幂级数表示的函数 \(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n\)，|x-a| < R

\(f(x) = C_0 + \sum\limits_{i=1}^∞ c_i(x-a)^i\) \(\implies\) \(f(a) = c_0\)

\(f'(x) = C_1 + \sum\limits_{i=2}^∞ c_i\cdot i\cdot (x-a)^{i-1}\) \(\implies\) \(f'(a) = c_1\)

\(f^"(x) = C_2\cdot 2 + \sum\limits_{i=3}^∞ c_i\cdot i(i-1)\cdot (x-a)^{i-2}\) \(\implies\) \(f^"(a) = c_2\cdot 2\)

\(\vdots\)

\(f^{(n)}(x) = c_n\cdot n! + \sum\limits_{i=n+1}^{∞} c_i \frac{i!}{(i-n)!}(x-a)^{i-n}\) \(\implies\) \(f^{(n)}(a) = c_n\cdot n!\)

因此，我们得到系数 \(c_n = \frac {f^{(n)}(a)}{n!}\)

若 f 在 a 点有幂级数表示(展开)，即，若 \(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n\)，|x-a| < R

则其系数由下面的公式给出：\(c_n = \frac {f^{(n)}(a)}{n!}\)

即 \(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\)

f 在点 a 的第 n 次 Taylor 多项式：\(T_n(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac {f^{(i)}(a)}{i!} (x-a)^i\)

f 在点 a 的第 n 次 Taylor 余项：\(R_n(x) = f(x) - T_n = f(x) - \sum\limits_{i=0}^n \frac {f^{(i)}(a)}{i!} (x-a)^i\)

对 a = 0 的 Taylor级数，有： \(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)

注：由于这种情形出现得多，所以给它一个单独的名字

若 \(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\)，其中 \(T_n(x)\) 是 f 在 a 点的第 n 次泰勒多项式，且 \(\lim\limits_{n\to ∞} R_n(x)=0\)

对 \(|x-a|<R\)，则 f 在区间 \(|x-a|<R\) 上等于它的泰勒级数的和

为了证明 \(\lim\limits_{n\to ∞} R_n(x)=0\)，有如下结论：

若 \(|f^{(n+1)}(x)| \le M\)，对 \(|x-a|\le d\)，

则泰勒级数的余项 \(R_n(x)\) 满足不等式 \(|R_n(x)| \le \frac {M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)，对 \(|x-a|\le d\)

证明：详见 p70

11.二项级数

计算 \((1+x)^k\) 的 maclaurin 级数，得到 \((1+x)^k = \sum\limits_{i=0}^∞ \frac {\prod\limits_{j=0}^{i-1} (n-j)}{i!}x^i\)

\(|\frac {a_{i+1}}{a_i}| = |\frac {\prod\limits_{j=0}^{i} (k-j) / \prod\limits_{j=0}^{i-1} (k-j)} {(i+1)! / i!}| = \frac {|k-i|}{i+1} |x| = \frac {|1-\frac ki|}{1+\frac 1i}|x| \to |x|\)，当 \(i\to ∞\)

由比值判别法，|x|<1 时收敛，|x|>1 时发散

若 k 为实数，且 |x| < 1，则 \((1+x)^k = \sum\limits_{i=0}^∞ \left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) x^i\)

其中 \(\left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) = \frac {\prod\limits_{j=0}^{i-1} (k-j) }{i!}, i\in[1,n], i\in N^+\)，且 \(\left( \begin{matrix} k\\0 \end{matrix} \right) = 1\)

收敛性：

• |x| < 1 处永远收敛
• 若 \(-1 < k \le 0\)， x = 1 处也收敛

另外，\(k\in N^+\) 时，若 \(i > k\)，则 \(\left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) = 0\)，这意味着 \(k\in N^+\) 时二项式级数将退化为普通的二项级数（项数有限）

12.泰勒级数的应用

详见 p83