10.参数方程&极坐标

本章将讨论一种能方便地表示 n 维图像（本章重点讨论 2 维图像）的方法——参数方程，形如 \(\begin{cases}x_1=f_1(t)\\~~~~~~\vdots\\x_n=f_n(t)\end{cases}\)，它通常用于描述质点沿着连续曲线移动

而二维图像的表示方法分为：

1. 笛卡尔坐标表示：通过 (1) \(y=f(x)\)，(2) \(g(x,y)=0\)（或 \(g(x,y)=k\)）等类似的方程表示二维图像
2. 极坐标表示：通过 (1) \(r=f(\theta)\)，(2) \(g(r,\theta)=0\) 第二个类似的方程表示二维图像

其中类似于 (1.1) 和 (2.1) 的表示方法能表示的图像有局限，但它们表示方便且常用

1.由参数方程定义的曲线

质点沿曲线 C 移动的图像用 y=f(x) 表示几乎不可能，因为该图像极可能是一个多值函数（或者因为它不满足 垂直判别法）

我们添加第三个变量 t (参数) 来表示函数： \(\begin{cases} x=f(t)\\y=f(t) \end{cases}~~[a \le t \le b]\) （此方程称为 参数方程，参数不一定是 t）

随着 t 的变化，点 (x, y) = (f(t), g(t)) 变化，从而描出曲线 C

注：有时为了方便，记 \(x=x(t),y=y(t)\)；有时某个点 \((a,b)\) 对应多个参数 \(t_1,t_2,\cdots\)

1. 参数方程：假设 \(f,g\in C[a,b]\)，那么定义 \(\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\)（\(t\in[a,b]\)）为参数方程；参数方程可以表示质点沿着连续曲线 C 移动

1. 若参数方程 \(\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\) 可消去参数为 \(h(x,y)=0\)，那么 \(x\in R_f,y=R_g\)
2. \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 两点之间的线段的参数方程为 \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)t\\y=y_1+(y_2-y_1)t\end{cases}\)（\(t\in[0,1]\)）
3. 椭圆曲线 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的参数方程为 \(\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}\)（\(t\in[0,2\pi]\)）

(1.1) 仅有 \(\begin{cases}x=t\\y=t^2\end{cases}\) 和 \(\begin{cases}x=\ln t\\y=\ln^2t\end{cases}\) 的轨迹能表示曲线 \(y=x^2\)

2.参数方程定义的曲线 && 微积分

我们接下来将微积分的方法要用到参数曲线上，以解决包括 切线，面积，弧长，表面积 等问题

将参数方程 \(x = f(t), y = g(t)\) 表示为 \(y = F(x)\)，得到 \(g(t) = F(f(t))\)

若 \(f,g,F\) 都可微，而且 \(f'(t) \ne 0\)，那么 \(F'(x) = \frac {g'(t)}{f'(t)}\)

使用 Leibniz 记号表示： \(\displaystyle \frac {d_y}{d_x} = \frac {\frac {d_y}{d_t}}{\frac {d_x}{d_t}}\)，如果 \(\frac {d_x}{d_t} \ne 0\)

严格证明：

对 \(g=F\circ f\) 两边微分，有 \(g'=(F'\circ f)f'\)

若 \(f'(t)\ne0\)，那么 \(F'\circ f=g'/f'\)，即 \((F'\circ f)(t)=\frac{g'(t)}{f'(t)}\)

又由 \(x=f(t)\)，所以 \(F'(x)=\frac{g'(t)}{f'(t)}\)

\(\blacksquare\)

\(\displaystyle \frac {d^2_y}{d_{x^2}} = \frac d{d_x}(\frac {d_y}{d_x}) = \frac {\frac d{d_t} (\frac {d_y}{d_x})}{\frac {d_x}{d_t}}\)

(1) 严格证明：

\((F'\circ f)'=(F''\circ f)f'\)，蕴含 \(F''\circ f=\frac{(F'\circ f)'}{f'}\)，即 \(F''(x)=\frac{(F'\circ f)'(t)}{f'(t)}\)

(2) 莱布尼茨证明：\(\frac{d^2y}{d_{x^2}}=\frac d{d_x}\left(\frac{dy}{d_x}\right)=\frac{\frac d{d_t}\left(\frac{dy}{d_x}\right)}{\frac{dx}{d_t}}=\frac{d\left(\frac{dy/d_t}{d_x/d_t}\right)/d_t}{dx/d_t}\)

\(\blacksquare\)

讨论参数方程的凹性时，根据参数 t 在某个区间内二阶导数的正负 来判断 (F" > 0 则上凹，F" < 0 则下凹)

参考 \(y = F(x)\) 下 a 到 b 的面积 \(A = \int_a^b F(x)~d_x\)，其中 \(F(x) \ge 0\)

有曲线方程 \(x = f(t), y = g(t)\) ，且 t 从 \(\alpha\) 增大到 \(\beta\) 只经过一次，可以使用定积分代换法将定积分修改一如下：

\(A = \int_a^b y~d_x = \int_\alpha^\beta g(t)f'(t)~d_t\)

（或 \(A = \int_a^b y~d_x = \int_\alpha^\beta g(t)f'(t)~d_t\)，若 \((f(\beta), g(\beta))\) 为最左边的端点）

有曲线方程 \(x = f(t), y = g(t)\)，\(\alpha \le t \le \beta\)，其中 \(\frac {d_x}{d_t} = f'(t) > 0\) （这意味着当 t 从 \(\alpha\) 增大到 \(\beta\) 且 \(f(\alpha) = a, f(\beta) = b\)，从左到右只经过 C 一次）

那么 \(L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2}~d_t\)

(1) 假设曲线方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 能表示为 \(y=F(x)\) 的形式

假设 \(\forall t\in[\alpha,\beta],\frac{dx}{d_t}=f'(t)>0\)

若 \(f(\alpha)=a,f(\beta)=b\)，那么 \(\|S\|=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{d_x}\right)^2}d_x=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy/d_t}{dx/d_t}\right)^2}\frac{dx}{d_t}d_t=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{d_t}\right)^2+\left(\frac{dy}{d_t}\right)^2}d_t\)

(2) 一般曲线的证明：（用到[微分中值定理]）

实际上即使 "C 不能表示成 y = F(x) 的形式" 时，该公式也成立 （利用 t 对曲线进行切割，求黎曼和的极限，其中求 \(\Delta x_i\) (\(\Delta f_{t_i}\)) 和 \(\Delta y_i\) (\(\Delta g_{t_i}\)) 时用到了 lagrange中值定理 来求样本）

\(\blacksquare\)

有曲线方程 x = f(t), y = g(t) ，\(\alpha \le t \le \beta\)。参数方程绕 x 轴 (y = 0) 旋转，其中 y = g(t) \(\ge\) 0

表面积为： \(S = \int 2\pi y~d_s = \int 2\pi y \sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2}~d_t\)

1. 导数，切线：假设参数方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 可以消去参数，并且 \(f,g\in C'[a,b]\)，若 \(\exists F,g=F\circ f\) 且 \(f'\ne0\)，那么 \(\forall x\in R_f\)，有
   1. \((F'\circ f)(t)=\frac{g'(t)}{f'(t)}\) 或 \(F'(x)=\frac{g'(t)}{f'(t)}\)，莱布尼茨记号为 \(\frac{dy}{d_x}=\frac{dy/d_t}{dx/d_t}\)
   2. \((F''\circ f)(t)=\frac{(F'\circ f)'(t)}{f'(t)}\) 或 \(F''(x)=\frac{(F'\circ f)'(t)}{f'(t)}\)，莱布尼茨记号为 \(\frac{d^2y}{d_{x^2}}=\frac d{d_x}\left(\frac{dy}{d_x}\right)=\frac{\frac d{d_t}\left(\frac{dy}{d_x}\right)}{\frac{dx}{d_t}}=\frac{d\left(\frac{dy/d_t}{d_x/d_t}\right)/d_t}{dx/d_t}\)
   3. \((F^{(n)}\circ f)(t)=\frac{(F^{(n-1)}\circ f)'(t)}{f'(t)}\) 或 \(F''(x)=\frac{(F^{(n-1)}\circ f)'(t)}{f'(t)}\)，莱布尼茨记号为 \(\frac{d^ny}{d{x^n}}=\frac{d(d^{n-1}y/dx^{n-1})/d_t}{dx/d_t}\)
2. 黎曼面积的参数形式：假设曲线 \(y=F(x)\) 被参数方程表示为 \(x=f(t),y=g(t)\)，若 t 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\) 只经过一次，那么区域 \(S=\{x\in[a,b],y=0,y=F(x)\}\) 的面积为 \(\|S\|=\int_a^byd_x=\int_\alpha^\beta f'(t)g(t)d_t\)
3. 弧长的参数形式：若参数曲线方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 对应的向量函数 \(\mathbf u(t)=(f(t),g(t))\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上是单射，那么该曲线在 \([\alpha,\beta]\) 上的弧长为 \(L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{d_t}\right)^2+\left(\frac{dy}{d_t}\right)^2}d_t\)
4. 旋转表面积的参数形式：假设参数曲线方程 \(x=f(t),y=g(t)\) 定义在 \([\alpha,\beta]\) 上，那么
   1. 曲线绕 \(y=c\)（或 x 轴）旋转所得立体表面积为 \(\int_\alpha^\beta2\pi\Big|y-c\Big|\sqrt{\left(\frac{dx}{d_t}\right)^2+\left(\frac{dy}{d_t}\right)^2}d_t\)
   2. 曲线绕 \(x=c\)（或 y 轴）旋转所得立体表面积为 \(\int_\alpha^\beta2\pi\Big|x-c\Big|\sqrt{\left(\frac{dx}{d_t}\right)^2+\left(\frac{dy}{d_t}\right)^2}d_t\)

1. 特殊切线：假设参数方程为 \(x=f(t),y=g(t)\)，那么 \(\begin{cases}t=a处有水平切线&f'(a)\ne0,g'(a)=0\\t=a处有垂直切线&f'(a)=0,g'(a)\ne0\end{cases}\)
2. 相关属性：切线，渐近线；正负性，零点；增减性，极值点；凹性，拐点
3. 常见应用：黎曼面积，旋转黎曼面积；弧长，旋转表面积
4. 记 \(\dot x=\frac{dx}{d_t}\)，\(\ddot x=\frac{d^2x}{d_{t^2}}\)（注：该记号为了区别于 \(x'\)，并简化记号）

1. 参数方程可以理解为其他坐标系到笛卡尔坐标系的变换，如：笛卡尔坐标系与极坐标系的互换——\(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\) 和 \(\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\end{cases}\)
2. 两个坐标系下的问题的独特描述可以转化为其他坐标系下的问题描述形式，如：极面积到笛卡尔面积的转换 \(\int_\alpha^\beta\frac12r^2(\theta)d_\theta=\frac12\left(\int_a^by~d_x+\int_c^dx~d_y\right)\)

(2.1) \(\frac{d\phi}{d_s}=\frac{d\phi}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}~d_t}=\frac{d\phi/d_t}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}\)

而其中 \(\frac{d\phi}{d_t}=\frac1{1+(\dot y/\dot x)^2}\cdot\frac{\ddot y\dot x-\dot y\ddot x}{\dot x^2}=\frac{\ddot y\dot x-\dot y\ddot x}{\dot x^2+\dot y^2}\)

于是 \(\kappa=\left|\frac{d\phi}{d_s}\right|=\left|\frac{d\phi/d_t}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}\right|=\frac{|\ddot y\dot x-\dot y\ddot x|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}\)

(2.2) 由 \(\dot x=1,\ddot x=0,\dot y=dy/d_x,\ddot y=d^2y/d_{x^2}\) 和 (1.1) 的结论有 \(\kappa=\frac{|\ddot y\dot x-\dot y\ddot x|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}=\frac{|\ddot y|}{(1+\dot y^2)^{3/2}}=\frac{|d^2y/d_{x^2}|}{(1+dy/d_x)^{3/2}}\)

(2.3) 圆的方程为 \(x^2+y^2=r^2\)，

其上半部分为 \(y=\sqrt{r^2-x^2}\)，对应的导数为 \(y'=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\)，\(y''=\frac{(-1)\sqrt{r^2-x^2}-(-x)(-x/\sqrt{r^2-x^2})}{r^2-x^2}=\frac{-r^2}{(r^2-x^2)^{3/2}}\)

于是 \(\kappa=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}=\frac{|-r^2/(r^2-x^2)^{3/2}|}{(1+x^2/(r^2-x^2))^{3/2}}=\frac{r^2}{(r^2-x^2+x^2)^{3/2}}=\frac1r\)（对于 \(y<0\) 的情况是类似的）

(2.4) \(\kappa=\frac{|\ddot y\dot x-\dot y\ddot x|}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}=\frac{|r\cos t\cdot r(1-\cos t)-r\sin t\cdot r\sin t|}{(r^2(1-\cos t)^2+r^2\sin^2t)^{3/2}}=\frac1r\cdot\frac{|\cos t-1|}{(2-2\cos t)^{3/2}}=\frac1r\cdot\frac{2\sin^2\frac t2}{(4\sin^2\frac t2)^{3/2}}=\frac1{4r|\sin^2\frac t2|}\)

(3.1)

法1：\(t+1/t=5/2\) 等价于 \(2t^2-5t+2=0\) 等价于 \((2t-1)(t-2)=0\)，解得 \(t=1/2,t=2\)

\(t=1/2,t=2\) 分别对应于 \(x=-2/3,x=2/3\)

于是封闭区域面积为 \(\int_{-2/3}^{2/3}|y-5/2|d_x=\int_{1/2}^2\dot x|(t+1/t)-5/2|d_t=\int_{1/2}^2(1+1/t^2)(5/2-t-1/t)d_t\) \(=\int_{1/2}^2(-t+\frac52-2t^{-1}+\frac52t^{-2}-t^{-3})d_t=\left[-\frac12t^2+\frac52t-2\ln t-\frac52t^{-1}+\frac12x^{-2}\right]_{1/2}^2=\frac{15}4-4\ln2\)

法2：曲线满足方程 \(y^2-x^2=(t+1/t)^2-(t-1/t)^2=4\)，即 \(y^2=x^2+4\)

将 \(y=5/2\) 带入曲线方程，解得 \(x=\pm3/2\)，即 \(y=5/2\) 与曲线方程的上半部分 \(y=\sqrt{x^2+4}\) 交于 \((-3/2,5/2),(3/2,5/2)\)

于是封闭区域面积为 \(\int_{-3/2}^{3/2}|\sqrt{4+x^2}-5/2|d_x=\int_{-3/2}^{3/2}(5/2-\sqrt{4+x^2})d_x=\left[\frac52x-\frac12(x\sqrt{4+x^2}+4\ln|x+\sqrt{4+x^2}|)\right]_{-3/2}^{3/2}=\frac{15}4-4\ln2\)

(3.2) \(x=0\) 对应 \(t=\frac\pi2\)；\(y=1\) 对应 \(t=0\) 对应 \(x=1\)

于是封闭区域面积为 \(\int_0^1|y-1|d_x=\int_0^1(y-1)d_x=\int_{\pi/2}^0\dot x(y-1)d_t=\int_{\pi/2}^0(-\sin t)(e^t-1)d_t=\int_0^{\pi/2}(e^t\sin t-\sin t)d_t\) \(=\left[\frac12e^t(\sin t-\cos t)+\cos t\right]_0^{\pi/2}=\frac12(e^{\pi/2}-1)\)

(4.1) 令 \(u=1+t^2\)，有 \(\int_0^1\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}~d_t=\int_0^1\sqrt{(6t)^2+(6t^2)^2}d_t=6\int_0^1|t|\sqrt{1+t^2}d_t=3\int_1^2\sqrt{1+t^2}~d(1+t^2)=3\cdot\frac23u^{3/2}\Big|_1^2=2(2\sqrt2-1)\)

(4.2) \(\int_0^\pi\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}d_t=\int_0^\pi\sqrt{(e^t(\cos t-\sin t))^2+(e^t(\sin t+\cos t))^2}d_t=\int_0^\pi e^t\sqrt{2}d_t=\sqrt2(e^\pi-1)\)

(5.1) \(\int_0^52\pi x\cdot\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}~d_t=2\pi\int_0^53t^2\cdot\sqrt{(6t)^2+(6t^2)^2}~d_t=36\pi\int_0^5t^3\sqrt{1+t^2}d_t\) \(=18\pi\int_1^{26}t^2\sqrt{1+t^2}~d(1+t^2)=18\pi\int_1^{26}(u-1)\sqrt ud_u=18\pi\left[\frac25u^{5/2}-\frac23u^{3/2}\right]_1^{26}=\frac{24}5\pi(949\sqrt{26}+1)\)

(5.2) \(\int_0^{\pi/2}2\pi|y-0|\cdot\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}d_t=2\pi\int_0^{\pi/2}a\sin^3t\cdot\sqrt{(-3a\cos^2t\sin t)^2+(3a\sin^2t\cos t)^2}~d_t\) \(=6\pi a^2\int_0^{\pi/2}\sin^3t|\sin t\cos t|~d_t=6\pi a^2\int_0^{\pi/2}\sin^4t\cos t~d_t=6\pi a^2\left[\frac15\sin^5t\right]_0^{\pi/2}=\frac65\pi a^2\)

(6) \(dy/dx=\dot y/\dot x=(2t+3t^2)/(2t)=1+\frac32t\)，而 \(d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=\frac{d(dy/dx)/dt}{\dot x}=\frac{3/2}{2t}=\frac3{4t}\)，于是 \(t>0\) 时曲线上凹

(7.1) \(\frac{dy}{d_x}=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{e^{\sqrt t}/(2\sqrt t)}{1-2/t}=\frac{te^{\sqrt t}}{2\sqrt t(t-2)}\)，蕴含 \(\frac{dy}{d_x}\Big|_{t=1}=-2/e\)

于是曲线在 \(t=1\) 处的切线方程为 \(y-1=(-2/e)(x-e)\)，即 \(y=-\frac2ex+3\)

(7.2) \(\dot x=-2t,\dot y=3(t^2-4)\)，

若 \(t=0\)，有 \(\dot x=0,\dot y\ne0\)，于是曲线在 \(t=0\) 处（或 \((10,0)\)）有垂直切线

若 \(t=\pm2\)，有 \(\dot x\ne0,\dot y=0\)，于是曲线在 \(t=-2\)（即 \((6,-16)\)）和 \(t=2\)（即 \((6,16)\)）处有水平切线

(7.3) \(x=\cos t,y=\sin t\cos t=\frac12\sin2t\)，令 \(x=0,y=0\)，可知 \(\exists k\in\mathbb Z,t=\frac\pi2k\)

在一个 \(2\pi\) 周期内取 \(t=\frac\pi2\) 和 \(t=\frac32\pi\) 使得 \(x=y=0\)

而 \(\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{\cos2t}{-\sin t}=2\sin t-\sec t\)，于是曲线在 \((0,0)\) 处的导数分别为 \(1,-1\)

于是曲线在 \((0,0)\) 处的切线为 \(y=x\) 和 \(y=-x\)

3.极坐标系

坐标系用称为 有序数对 表示平面上的点，通常我们使用笛卡尔坐标系（它是到两个垂直坐标轴的距离）

这里介绍 牛顿 引进的坐标系，称作 极坐标系，它在许多方面更加方便

我们在平面上选择点 O ，称其为 极点 或 原点，然后从 O 出发画一条射线 (半直线)，称作 极轴

若点 P 是平面中任意另一点，令 r 为 P 到 O 的距离 (r 可负)，\(\theta\) 为 极轴 与 射线OP 直线的夹角 (通常以弧度为单位)，则 P 以有序对 \((r, \theta)\) 表示，称之为 极坐标 （\(\theta\) 从极轴开始逆时针旋转时为 正，反之为 负）

1. \(\forall \theta\in\mathbb R\)，\((0,\theta)\) 表示原点 O
2. 基本定理：(1) \((r,\theta+2\pi)=(r,\theta)\)，(2) \((-r,\theta)=(r,\theta+\pi)\)

假设 \(r,\theta\) 分别是极坐标系中的坐标分量；\(x,y\) 分别是笛卡尔坐标系中的坐标分量，那么：

1. 笛卡尔坐标系 \(\to\) 极坐标系：\(\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\end{cases}\)
2. 极坐标系 \(\to\) 笛卡尔坐标系：\(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\)

1. 极坐标方程 \(r=f(\theta)\) 的参数方程为 \(\begin{cases}x=f(\theta)\cos\theta\\y=f(\theta)\sin\theta\end{cases}\)

极坐标曲线方程的常见形式为 \(r=f(\theta)\)，一般形式为 \(F(r,\theta)=0\)

注：\(r=f(\theta)\) 可以看作 \(x,y\) 分别有因子 \(\cos\theta,\sin\theta\) 的参数方程

假设 \(f(r,\theta)=0\) 是极坐标方程

1. 若 \(f(-r,\theta)=f(r,\theta)\) 或 \(f(r,\theta+\pi)=f(r,\theta)\)，那么称该方程关于极点对称（相当于中心对称）
2. 若 \(f(r,-\theta)=f(r,\theta)\)，那么称该方程关于极轴对称（相当于对于 x 轴对称）
3. 若 \(f(r,\pi-\theta)=f(r,\theta)\)，那么称该方程关于 \(\theta=\pi/2\) 对称（相当于对于 y 轴对称）
4. 若 \(f(r,\delta-\theta)=f(r,\delta+\theta)\) 或 \(f(r,2\delta-\theta)=f(r,\theta)\)，那么称该方程关于 \(\theta=\delta\) 对称

极坐标方程 \(r = f(\theta)\) 的参数方程为 \(\begin{cases}x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta\\y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta\end{cases}\)

那么 \(\frac{dy}{d_x}=\frac{dy/d_\theta}{dx/d_\theta}=\frac{(dr/d_\theta)\sin\theta+r\cos\theta}{(dr/d_\theta)\cos\theta-r\sin\theta}=\frac{\dot r\sin\theta+r\cos\theta}{\dot r\cos\theta-r\sin\theta}\) 或 \(\frac{dy}{d_x}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}\)

对于极坐标方程 \(r=f(\theta)\)，

1. 若 \(f(\theta)=0,f'(\theta)\ne0\)，那么曲线在 \((0,\theta)\) 处的切线为 \(y=(\tan\theta)x\)
2. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta=0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta\ne0\)，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有水平切线
3. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta\ne0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta=0\)，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有垂直切线
4. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta=0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta=0\)，且 \(k=\lim\limits_{t\to\theta}\frac{\dot r\sin t+r\cos t}{\dot r\cos t-r\sin t}\) 存在，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有斜率为 k 的

1. 极坐标系，极点，极轴：在平面上取原点 O——极点，并从原点出发画一条射线——极轴，那么平面上任意一点 P 可以用二元组 \((r,\theta)\)（\(r,\theta\in\mathbb R\)） 表示，其中 r 是 P 到极点的距离，\(\theta\) 是 \(OP\) 从极轴出发逆时针旋转扫过的夹角
   1. 其中：(1) \(\forall\theta\in\mathbb R\)，\((0,\theta)\) 表示极点 O，(2) \((r,\theta+2\pi)=(r,\theta)\)，(3) \((-r,\theta)=(r,\theta+\pi)\)
2. 极坐标系与笛卡尔坐标系的坐标变换：假设 \(r,\theta\) 分别是极坐标系中的坐标分量；\(x,y\) 分别是笛卡尔坐标系中的坐标分量，那么：
   1. 笛卡尔坐标系 \(\to\) 极坐标系：\(\begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\tan^{-1}\frac yx\end{cases}\)
   2. 极坐标系 \(\to\) 笛卡尔坐标系：\(\begin{cases}x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta\\y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta\end{cases}\)
3. 极坐标曲线方程：极坐标曲线方程的常见形式为 \(r=f(\theta)\)，一般形式为 \(F(r,\theta)=0\)
4. 对称性：假设 \(f(r,\theta)=0\) 是极坐标方程，那么 \(\begin{cases}f(-r,\theta)=f(r,\theta)或f(r,\theta+\pi)=f(r,\theta)&关于极点对称/中心对称\\f(r,-\theta)=f(r,\theta)&关于极轴对称/关于x轴对称\\f(r,\pi-\theta)=f(r,\theta)&关于\theta=\frac\pi2对称/关于y轴对称\\f(r,\delta-\theta)=f(r,\delta+\theta)或f(r,2\delta-\theta)=f(r,\theta)&关于\theta=\delta对称\end{cases}\)
5. 导数，切线：极坐标方程 \(r = f(\theta)\) 的导数为 \(\frac{dy}{d_x}=\frac{dy/d_\theta}{dx/d_\theta}=\frac{(dr/d_\theta)\sin\theta+r\cos\theta}{(dr/d_\theta)\cos\theta-r\sin\theta}=\frac{\dot r\sin\theta+r\cos\theta}{\dot r\cos\theta-r\sin\theta}\) 或 \(\frac{dy}{d_x}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}\)
6. 特殊切线：假设有极坐标方程 \(r=f(\theta)\)
   1. 若 \(f(\theta)=0,f'(\theta)\ne0\)，那么曲线在 \((0,\theta)\) 处的切线为 \(y=(\tan\theta)x\)
   2. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta=0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta\ne0\)，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有水平切线
   3. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta\ne0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta=0\)，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有垂直切线
   4. 若 \(\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta=0,\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta=0\)，且 \(k=\lim\limits_{t\to\theta}\frac{\dot r\sin t+r\cos t}{\dot r\cos t-r\sin t}\) 存在，那么曲线在 \((r,\theta)\) 处有斜率为 k 的切线

1. 常见曲线：（\(n\in\mathbb Z^+,n\ge2\)）
   1. \(r=k+\cos(\pm\theta)\) 或 \(r=k+\sin(\pm\theta)\) 是 \(\begin{cases}圆&k=0\\蚶线&|k|\in(0,1)\\心脏或腰子&|k|\in[1,2)\\类圆&|k|\ge2\end{cases}\)
   2. 假设 \(n\in\mathbb Z,|n|\ne1\)，那么 \(r=k+\cos n\theta\) 或 \(r=k+\sin n\theta\) 是 \(\begin{cases}玫瑰线&k=0\\非对称玫瑰线&|k|\in(0,1)\\正规玫瑰线&k=1\\花朵线&|k|>1\end{cases}\)

曲线参考

(1.1) \(\tan\psi=\tan(\phi-\theta)=\frac{\tan\phi+\tan(-\theta)}{1-\tan\phi\tan(-\theta)}=\frac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}=\frac{dy/dx-\tan\theta}{1+(dy/dx)\tan\theta}\) \(=\frac{(\dot r\sin\theta+r\cos\theta)-\tan\theta(\dot r\cos\theta-r\sin\theta)}{(\dot r\cos\theta-r\sin\theta)+\tan\theta(\dot r\sin\theta+r\cos\theta)}=\frac{r(\cos\theta+\sin^2\theta\sec\theta)}{\dot r(\cos\theta+\sin^2\theta\sec\theta)}=\frac r{\dot r}=\frac r{dr/d_\theta}\)

(1.2) \(\tan\psi=\frac r{\dot r}=\frac {ae^{b\theta}}{d(ae^{b\theta})/d\theta}=\frac{ae^{b\theta}}{abe^{b\theta}}=\frac1b\)，于是 \(\psi=\tan^{-1}\frac1b\)

(2) \(\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{(-1/\theta^2)(\sin\theta)+(1/\theta)(\cos\theta)}{(-1/\theta^2)(\cos\theta)+(1/\theta)(-\sin\theta)}=\frac{\sin\theta-\theta\cos\theta}{\cos\theta+\theta\sin\theta}\)，于是 \(\frac{\dot y}{\dot x}\Big|_{\theta=\pi}=-\pi\)

(3.1) $$

4.极坐标系下的 面积 & 弧长

模型：扇形面积为 \(S = \frac {\theta}{2\pi}\pi r^2 = \frac 12 r^2\theta\)

将图形按 \(\theta\) 分割，求黎曼和的极限有 \(\lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n \frac 12 [f(\theta_i^*)]^2\Delta\theta = \int_a^b\frac 12[f(\theta)]^2~d_\theta\)

所以面积 \(A = \int_a^b\frac 12[f(\theta)]^2~d_\theta\)

该公式经常被写成 \(\int_a^b\frac 12 r^2~d_\theta\)

通过 Leibniz 记号推导公式： \(L = \int_{a_0}^{b_0} \sqrt {1 + (\frac {d_x}{d_y})^2}~d_x = \int_{a_0}^{b_0} \sqrt {(d_x)^2 + (d_y)^2} = \int_{a}^{b} \sqrt {(\frac {d_x}{d_\theta})^2 + (\frac {d_y}{d_\theta})^2}~d_\theta\)

其中 \((\frac {d_x}{d_\theta})^2 + (\frac {d_y}{d_\theta})^2 = ( \frac {d_f}{d_\theta}\sin \theta + r\cos \theta)^2 + (\frac {d_f}{d_\theta}\cos \theta - r\sin \theta)^2 = (\frac {d_f}{d_\theta})^2+r^2\)

最后得到 \(L = \int_a^b \sqrt {(\frac {d_f}{d_\theta})^2+r^2}~d_\theta\)

1. 极区域：\(\{\theta\in[a,b],r=f(\theta),r=g(\theta)\}\) 定义为区间 \(\theta\in[a,b]\) 上 \(r=f(\theta)\) 和 \(r=g(\theta)\) 之间围成的区域
2. 极区域面积：\(\{\theta\in[a,b],r=0,r=f(\theta)\}\) 的面积为 \(\int_a^b\frac12f^2(\theta)d_\theta\) 或 \(\int_a^b\frac12r^2d_\theta\)
3. 极区域弧长：\(\{\theta\in[a,b],r=0,r=f(\theta)\}\) 的弧长为 \(\int_a^b\sqrt{r^2+\dot r^2}~d_\theta\)

1. 相交，碰撞：相交是指两点具有相同的笛卡尔坐标，而碰撞是指两点具有相同的极坐标；两条极坐标曲线在某点相交，但不一定碰撞
2. 净面积，极面积：净面积通常曲线围成的不重复计算的实际面积，而极面积是指曲线围成的可重复计算的面积
3. 周期性极曲线：若极坐标曲线在 \(\theta\) 的一定周期内能把图像（不重复地）绘制完成，那么称之为周期性极曲线

1. 极面积到笛卡尔面积的转换：\(\int_\alpha^\beta\frac12r^2(\theta)d_\theta=\frac12\left(\int_a^by~d_x+\int_c^dx~d_y\right)\)

(1.1) \(\int_\alpha^\beta\frac12r^2d_\theta=\int_\alpha^\beta\frac12(x^2+y^2)d(\tan^{-1}\frac yx)=\int_a^b\frac12(x^2+y^2)\cdot\frac1{1+(y/x)^2}\cdot\frac{y'x-y}{x^2}d_x=\int_a^b\frac12(y'x-y)~d_x=\frac12\left(\int_a^by~d_x+\int_c^dx~d_y\right)\)

(1.2) \(\int_a^by~d_x=\int_\alpha^\beta r\sin\theta\cdot(r\cos\theta)'d_\theta=\int_\alpha^\beta r\sin\theta(r'\cos\theta-r\sin\theta)d_\theta=\int_\alpha^\beta(\frac12rr'\sin2\theta-r^2\sin^2\theta)d_\theta\)

(2.1) 由于 \(\cos2(-\theta)=\cos2\theta\) 和 \(\cos2(\pi-\theta)=\cos2\theta\)，所以 \(r^2=4\cos2\theta\) 关于 x 和 y 轴对称，即我们只需观察第一象限上的封闭面积

若 \(\forall\theta\in[\pi/4,\pi/2]\)，\(\cos2\theta\le0\)，而 \(r^2\ge0\)，于是 \(r^2=4\cos2\theta\) 在 \([\pi/4,\pi/2]\) 上无定义，而在 \(\theta\in[0,\pi/4]\) 上有定义

于是封闭区域面积为 \(4\int_0^{\pi/4}\frac12r^2d_\theta=2\int_0^{\pi/4}4\cos2\theta~d_\theta=8\cdot\frac12\sin2\theta\Big|_0^{\pi/4}=4\)

(2.2) 由于 \(\sin2(\frac\pi2-\theta)=\sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta\) 和 \(\sin2(\frac32\pi-\theta)=\sin(3\pi-2\theta)=\sin2\theta\)，所以 \(r^2=\sin2\theta\) 关于 \(\theta=\pi/4\) 和 \(\theta=3\pi/4\) 对称，此时我们仅需考察 \(\theta\in[-\pi/4,\pi/4]\) 区间上的封闭面积

\(\theta\in[-\pi/4,0]\) 时，\(r^2\ge0,\sin2\theta\le0\)，此时 \(r^2=\sin2\theta\) 无定义，而在 \(\theta\in[0,\pi/4]\) 上有定义

所以封闭区域面积为 \(4\int_0^{\pi/4}\frac12r^2d_\theta=2\int_0^{\pi/4}\sin2\theta~d_\theta=-\cos2\theta\Big|_0^{\pi/4}=1\)

(2.3) \(r=2\cos3\theta\) 是三叶玫瑰线，\(\theta\) 在 \([0,\pi]\) 区间就已把图像不重复地绘制完成，于是封闭区域面积为 \(\int_0^{\pi}\frac12(2\cos3\theta)^2d_\theta=2\int_0^{\pi/6}\cos^23\theta~d_\theta=2\int_0^{\pi/6}\frac12(1+\cos6\theta)~d_\theta=[\theta+\frac16\sin6\theta]_0^{\pi}=\pi\)

(2.4) \(\int_0^{2\pi}\frac12(1+\cos\theta)^2d_\theta=\frac12\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta+2\cos\theta+1)d_\theta=\frac12\int_0^{2\pi}(\frac12(1+\cos2\theta)+2\cos\theta+1)d_\theta\) \(=\frac14\int_0^{2\pi}(\cos2\theta+4\cos\theta+3)d_\theta=\frac14(\frac12\sin2\theta+4\sin\theta+3\theta)\Big|_0^{2\pi}=\frac32\pi\)

(3) （两个曲线在区间内都是不重复的）

1. \(\int_0^\pi\frac12\theta^2~d_\theta=\frac16\theta^3\Big|_0^\pi=\frac16\pi^3\)
2. \(\int_{\pi/2}^{\pi}\frac12(1+\sin\theta)^2d_\theta=\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}(\sin^2\theta+2\sin\theta+1)d_\theta=\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}(\frac12(1-\cos2\theta)+2\sin\theta+1)d_\theta\) \(=\frac14\int_{\pi/2}^{\pi}(-\cos2\theta+4\sin\theta+3)d_\theta=\frac14(-\frac12\sin2\theta-4\cos\theta+3\theta)\Big|_{\pi/2}^{\pi}=1+\frac38\pi\)

(4) \(\theta\in[7\pi/6,11\pi/6]\) 曲线构成内环，其面积为 \(\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}\frac12(1+2\sin\theta)^2d_\theta=\frac12\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(4\sin^2\theta+4\sin\theta+1)d_\theta\) \(=\frac12\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(4\cdot\frac12(1-\cos2\theta)+4\sin\theta+1)d_\theta=\frac12\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(-2\cos2\theta+4\sin\theta+3)d_\theta=\frac12(-\sin2\theta-4\cos\theta+3\theta)\Big|_{7\pi/6}^{11\pi/6}=\pi-\frac32\sqrt3\)

(5) 求解不等式 \(3\cos\theta>1+\cos\theta\)，得 \(\theta\in[-\pi/4,\pi/4]\)

而 \(3\cos(-\theta)=3\cos\theta\) 和 \(1+\cos(-\theta)=1+\cos\theta\)，所以封闭区域关于极轴对称，

于是封闭区域面积为 \(2\int_0^{\pi/3}\frac12[(3\cos\theta)^2-(1+\cos\theta)^2]d_\theta=\int_0^{\pi/3}(8\cos^2\theta-2\cos\theta-1)d_\theta\) \(=[4(\theta+\sin\theta\cos\theta)-2\sin\theta-\theta]_0^{\pi/3}=\pi\)

5.圆锥曲线

本节给出 抛物线，椭圆，双曲线 的几何定义及其标准方程

他们被称为 圆锥曲线 或 二次曲线，因为它们是由平面截 圆锥体 而得到的

抛物线定义为：抛物线上任意一点到一个定点 \(F=\mathbf v\)（称为焦点）的距离，等于该点到一条定直线 \(l:ax+by+c=0\)（称为准线）的距离

换句话说，抛物线为曲线 \(C:\left\{\mathbf r\in\mathbb R^2|~\|\mathbf r-\mathbf v\|=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}\)

1. 若焦点为 \(\mathbf v=(0,p)\)，准线为 \(y=-p\)，那么抛物线方程为 \(x^2=4py\)
2. 若焦点为 \(\mathbf v=(p,0)\)，准线为 \(x=-p\)，那么抛物线方程为 \(y^2=4px\)

(1) \(\|\mathbf r-\mathbf v\|=\frac{|(0)x+(1)y+p|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y+p|\)，等价于 \((x-0)^2+(y-p)^2=(y+p)^2\)，等价于 \(x^2=4py\)

(2) \(\|\mathbf r-\mathbf v\|=\frac{|(1)x+(0)y+p|}{\sqrt{1^2+0^2}}=|x+p|\)，等价于 \((x-p)^2+(y-0)^2=(x+p)^2\)，等价于 \(y^2=4py\)

\(\blacksquare\)

椭圆定义为：椭圆上任意一点到到两个定点 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\)（称为焦点）的距离的算术均值为正常数 a

换句话说，椭圆为曲线 \(C:\left\{\mathbf r\in\mathbb R^2|~\|\mathbf r-\mathbf v_1\|+\|\mathbf r-\mathbf v_2\|=2a\right\}\)

1. 假设 \(a>c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(-c,0),\mathbf v_2=(c,0)\)，那么椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)，称 \((\pm a,0)\) 为顶点
2. 假设 \(a>c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(0,-c),\mathbf v_2=(0,c)\)，那么椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)，称 \((0,\pm a)\) 为顶点

\(\|\mathbf r-\mathbf v_1\|+\|\mathbf r-\mathbf v_2\|=2a\)，蕴含 \(\|\mathbf r-\mathbf v_1\|=2a-\|\mathbf r-\mathbf v_2\|\)，蕴含 \(\|\mathbf r-\mathbf v_1\|^2=4a^2-4a\|\mathbf r-\mathbf v_2\|+\|\mathbf r-\mathbf v_2\|^2\)

(1) \((x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\)，蕴含 \(4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)，蕴含 \((x-c)^2+y^2=(a^2-cx)^2/a^2=(a-(c/a)x)^2\)，蕴含 \((1-c^2/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2\)，蕴含 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)（由于 \(a^2-c^2\ne0\)）

(2) 类似地，有 \(\frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)

\(\blacksquare\)

双曲线定义为：双曲线上任意一点到到两个定点 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\)（称为焦点）的距离的差的绝对值为正常数 \(2a\)

换句话说，双曲线为 \(C:\left\{\mathbf r\in\mathbb R^2|~|\|\mathbf r-\mathbf v_1\|-\|\mathbf r-\mathbf v_2\||=2a\right\}\)

1. 假设 \(a<c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(-c,0),\mathbf v_2=(c,0)\)，那么双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)，称 \((\pm a,0)\) 为顶点，渐近线为 \(y=\pm(b/a)x\)
2. 假设 \(a<c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(0,-c),\mathbf v_2=(0,c)\)，那么双曲线方程为 \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{c^2-a^2}=1\)，称 \((0,\pm a)\) 为顶点，渐近线为 \(y=\pm(a/b)x\)

\(\blacksquare\)

1. 抛物线：抛物线中任意一点到焦点 \(\bf v\)的距离等于该点到准线 \(l:ax+by+c=0\) 的距离，记为 \(C:\left\{\mathbf r\in\mathbb R^2|~\|\mathbf r-\mathbf v\|=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}\)
   1. 若焦点为 \(\mathbf v=(0,p)\)，准线为 \(y=-p\)，那么抛物线方程为 \(x^2=4py\)
   2. 若焦点为 \(\mathbf v=(p,0)\)，准线为 \(x=-p\)，那么抛物线方程为 \(y^2=4px\)
2. 椭圆：椭圆中任意一点到两个焦点 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 的距离的算术平均值为 a
   1. 假设 \(a>c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(-c,0),\mathbf v_2=(c,0)\)，那么椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)，称 \((\pm a,0)\) 为顶点
   2. 假设 \(a>c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(0,-c),\mathbf v_2=(0,c)\)，那么椭圆方程为 \(\frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)，称 \((0,\pm a)\) 为顶点
3. 双曲线：双曲线中任意一点到两个焦点 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 的距离的差的绝对值为 a
   1. 假设 \(a<c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(-c,0),\mathbf v_2=(c,0)\)，那么双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\)，称 \((\pm a,0)\) 为顶点，渐近线为 \(y=\pm(b/a)x\)
   2. 假设 \(a<c\)，若焦点为 \(\mathbf v_1=(0,-c),\mathbf v_2=(0,c)\)，那么双曲线方程为 \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{c^2-a^2}=1\)，称 \((0,\pm a)\) 为顶点，渐近线为 \(y=\pm(a/b)x\)
4. 标准圆锥曲线：假设 \(A,B\ne0\)，那么 \(\begin{cases}标准抛物线&Ax^2+By=0或Ax+By^2=0\\标准椭圆&Ax^2+By^2+C=0,AB>0,C<0\\标准双曲线&Ax^2+By^2+C=0,AB<0\end{cases}\)
5. 平移圆锥曲线：假设二次项系数非零，那么 \(Ax^2+Bx+Cy+D=0\) 或 \(Ax+By^2+Cy+D=0\) 是平移的抛物线；\(Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+E=0\) 是平移的椭圆或双曲线，或者无解

(1) 方程等价于 \((y+1)^2=-12(x+2)\)，于是顶点为 \((-2,-1)\)，焦点为 \((-2,-1)+(-3,0)=(-5,-1)\)，准线为 \(x=4+(-3)=1\)

(2) 方程等价于 \(\frac{(x-1)^2}4+\frac{y^2}9=1\)，于是顶点为 \((0,\pm3)+(1,0)=(1,\pm3)\)，焦点为 \((0,\pm\sqrt5)+(1,0)=(1,\pm\sqrt5)\)

(3) 方程等价于 \(\frac{(x-2)^2}6+\frac{(y-1)^2}{-9}=1\)，于是顶点为 \((\pm\sqrt6,0)+(2,1)=(2\pm\sqrt6,1)\)，焦点为 \((\pm\sqrt{15},0)+(2,1)=(2\pm\sqrt{15},1)\)，渐近线为 \(y-1=\pm\frac3{\sqrt6}(x-2)\) 或 \(y-1=\pm\frac{\sqrt6}2(x-2)\)

6.极坐标下的圆锥曲线

假设焦点为 \(F=\mathbf v\)，准线为 \(l:ax+by+c=0\)，\(e>0\)

那么 \(\left\{\mathbf r|~\frac{\|\mathbf r-\mathbf v\|}{|ax+by+c|/\sqrt{a^2+b^2}}=e\right\}\) 是 \(\begin{cases}椭圆&e<1\\抛物线&e=1\\双曲线&e>1\end{cases}\)

其中 \(\frac{|PF|}{Pl}=e\)

1. 以 \((0,0)\) 为焦点，\(x=d\) 为准线，离心率为 e 的圆锥曲线的极坐标方程为 \(r=\begin{cases}\frac{ed}{e\cos\theta+1}&d>0\\\frac{ed}{e\cos\theta-1}&d<0\end{cases}\)
2. 以 \((0,0)\) 为焦点，\(y=d\) 为准线，离心率为 e 的圆锥曲线的极坐标方程为 \(r=\begin{cases}\frac{ed}{e\sin\theta+1}&d>0\\\frac{ed}{e\sin\theta-1}&d<0\end{cases}\)