1.函数&模型

1. 函数的四种表示方法

函数 \(f:A\to B\) 是一个规则，按照它，集合 A 中的每一个元素都恰好在集合 B 中有一个元素与之对应，记为 \(f(x)\)

集合 A 称为定义域，记为 \(D_f\)；集合 B 定义为余定义域；\(\{f(x):x\in D_f\}\) 称为值域，记为 \(R_f=\{f(x)|~x\in D_f\}\)

1. 描述法 - 用自然语言描述
2. 数值法 - 用函数值的列表
3. 直观法 - 用函数图形
4. 代数法 - 用显式公式

• 如果一个函数用这四种方法都可以表示，我们通常可以将其从一种表示法转换到另一种以获得对其更多的认识
• 但是对于某个函数来说，肯定有一种表示法要比其他的更自然

1. 分段函数：分段函数形如 \(f(x)=\begin{cases}f_1(x)&x_1\in D_{f_1}\\~~~~\vdots&~~~~~\vdots\\f_n(x)&x_n\in D_{f_n}\end{cases}\)（假设 \(\forall i\ne j,D_{f_i}\cap D_{f_j}=\emptyset\)，并且 \(\bigcup\limits_{i=1}^nD_{f_i}=D_f\)；即 \(D_{f_1},\cdots,D_{f_n}\) 是 \(D_f\) 的一个分割）
   • 绝对值函数：\(|x|\) 称为绝对值函数，并且 \(|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}\)
   • 假设 \(D_{f_1},\cdots,D_{f_n}\) 是一组连续的区间，\(f_1,\cdots,f_n\) 是一组连续的函数，若 f 的分段点处不连续，那么称 f 为阶梯函数？
2. 对称性
   • 偶函数：若函数 f 满足 \(\forall x\in D_f,f(-x)=f(x)\)，那么 f 称为偶函数
   • 奇函数：若函数 f 满足 \(\forall x\in D_f,f(-x)=-f(x)\)，那么 f 称为奇函数
3. 递增函数，递减函数:
   • 函数 f 称在区间 I 上递增，如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 I 上，且 \(x_1<x_2\)，则 \(f(x_1) < f(x_2)\)
   • 函数 f 称在区间 I 上递减，如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 I 上，且 \(x_1<x_2\)，则 \(f(x_1) > f(x_2)\)

1. 全体实数集记为 \(\mathbb R\)
2. 全体有理数集记为 \(\mathbb Q=\{x=p/q|~p\in\mathbb Z,q\in\mathbb Z^+\}\)
3. 全体无理数集记为 \(\mathbf{CrQ}=\mathbb R^c\)
4. 全体整数集记为 \(\mathbb Z\)（\(\mathbb Z=\mathbb Z^+\cup\mathbb Z^-\cup\{0\}\)）
5. 全体分数集记为 \(\mathbb Q\cap\mathbb Z^c\)

满足 \(\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbf{CrQ}=\mathbb Z\cup\{x=p/q|~p\in\mathbb Z,q\in\mathbb Z^+\}\cup\mathbf{CrQ}\)

假设 \(\delta>0\) 是充分小的实数，\(a\in\mathbb R\)

1. a 的邻域记为 \(U(a,\delta)=\{x\in\mathbb R|~~|x-a|<\delta\}\)
2. a 的去心邻域记为 \(\mathring U(a,\delta)=\{x\in\mathbb R|~~|x-a|<\delta,x\ne a\}\)

1. 函数，定义域，余定义域，值域：假设 \(A,B\) 是集合，函数 f 定义为映射关系 \(f: A\to B\)；其中 A 为 f 的定义域，记为 \(D_f=A\)；B 为 f 的余定义域；\(R_f=\{f(x)|~x\in D_f\}\) 定义为 f 的值域
2. 函数的表示方法：(1) 代数方法，(2) 几何方法（函数图像，数值列表），(3) 描述法（自然语言）
3. 分段函数：假设 \(\forall i\ne j,D_{f_i}\cap D_{f_j}=\emptyset,\bigcup\limits_{i=1}^nD_{f_i}=D_f\)，\(f(x)=\begin{cases}f_1(x)&x_1\in D_{f_1}\\~~~~\vdots&~~~~~\vdots\\f_n(x)&x_n\in D_{f_n}\end{cases}\) 称为分段函数（注：\(D_{f_1},\cdots,D_{f_n}\) 是 \(D_f\) 的一个分割）
4. 常见函数：(1) 绝对值函数 \(|x|=\begin{cases}x&x\ge0\\-x&x<0\end{cases}\)，(2) 向下取整函数 \(\lfloor x\rfloor\)，(3) 阶梯函数
5. 对称性：\(\begin{cases}f为偶函数&\forall x\in D_f,f(-x)=f(x)\\f为奇函数&\forall x\in D_f,f(-x)=-f(x)\\f(x,y)=0中心对称&f(-x,y)=f(x,y)\\f(x,y)=0关于y轴对称&f(-x,y)=f(x,y)\\f(x,y)=0关于x轴对称&f(x,-y)=f(x,y)\end{cases}\)
6. 数集：\(\begin{cases}全体实数集&\mathbb R\\全体有理数集&\mathbb Q=\{x=p/q|~p\in\mathbb Z,q\in\mathbb Z^+\}\\全体无理数集&\mathbf{CrQ}=\mathbb R^c\\全体整数集&\mathbb Z=\mathbb Z^+\cup\mathbb Z^-\cup\{0\}\\全体分数集&\mathbb Q\cap\mathbb Z^c\end{cases}\)
7. 邻域，去心邻域：假设 \(\delta>0\) 是充分小的实数，\(a\in\mathbb R\)，那么 a 的邻域定义为 \(U(a,\delta)=\{x\in\mathbb R|~~|x-a|<\delta\}\)；a 的去心邻域定义为 \(\mathring U(a,\delta)=\{x\in\mathbb R|~~|x-a|<\delta,x\ne a\}\)

2. 数学模型：基本函数导引

数学模型是对现实问题某种现象的数学描述（通常表达为函数或者方程），比如人口的数量、产品的需求量、落体的速度、化学反应中物质的浓度、初生儿生命的预期以及降低辐射的费用等问题。建模的目的是理解这些现象，如果可能的话对系统未来的行为作一些预测

1. 对于一个实际问题，首要任务是分析和确定 自变量 和 因变量 并为之命名，作一些假设使所研究的详细简化为数学上可以处理的程度，从而建立数学模型；我们通常利用自己的 物理 / 数学 技巧来得到联系这些变量的方法，若没有规律可用的情况下，我们需要采集数据（图书馆 / 物理 / 自身经验）并用表格来研究数据，以看清楚其分布；从函数的数值表达出发，通过数据描点，可用得到函数的图像。有时这种图像甚至能其实一个合适的代数表达
2. 将数学知识和工具要用到数学模型，设法给出数学问题的解答
3. 利用数学上的结论解释为原始实际问题的信息，依次说明现象或预测未来
4. 通过新的数据测试我们的预想结果；若预测与实现吻合度不好，我们有必要修正偶像或建立新模型，并重新开始循环

graph LR
a(实际问题) -->|建模| b(数学模型)
b -->|求解| c(数学结论)
c -->|解释| d(对实际问题的预测)
d -->|验证| a

(1) 线性模型：假设 \(m,b\in\mathbb R\)，那么 \(f(x)=mx+b\) 称为线性函数，图像为一条直线

(2) 多项式：假设 \(\forall i=0..n,a_i\in\mathbb R\)，那么 \(p(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_i\cdot x^i\) 称为多项式函数（其中 \(a_n\ne0\)）

(3) 幂函数：假设 \(a\in\mathbb Q\)，那么 \(f(x)=x^a\) 称为幂函数；常见的幂函数分类为：\(\begin{cases}f是偶函数&a\in\mathbb Z^+,2\mid a\\f是奇函数&a\in\mathbb Z^+,2\nmid a\\（根函数）f(x)=\sqrt[n]x,x\in\mathbb R^*&n\in\mathbb Z^+,a=1/n,2\mid n\\f是奇函数&n\in\mathbb Z^+,a=1/n,2\nmid n\\f是倒数函数&a=-1\end{cases}\)

(4) 有理函数：两个多项式函数之比称为有理函数，记为 \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\)（假设 \(\forall x\in D_f,q(x)\ne0\) 或者 \(D_f=\{x\in\mathbb R|~q(x)\ne0\}\)）

• 性质：\(R_f=\mathbb Q\)

(5) 代数函数：一个函数 f 称为代数函数，若 (1) f 是有理函数，或者 (2) f 是代数函数经过代数运算(如：加减乘除，求方根)复合而成

(6) 三角函数，反三角函数：\(\sin x,\csc x;\cos x,\sec x;\tan x,\cot x\) 称为三角函数，\(\sin^{-1}x,\csc^{-1}x;\cos^{-1}x,\sec^{-1}x;\tan^{-1}x,\cot^{-1}x\) 称为反三角函数

1. \(\sin x\) 是最小正周期为 \(2\pi\) 的奇函数，\(\cos x\) 是最小正周期为 \(2\pi\) 的偶函数；均满足 \(D_f=\mathbb R,R_f=[-1,1]\)（即 \(f:\mathbb R\to[-1,1]\)）
2. 其他三角函数均可由 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 复合而来：\(\begin{cases}\sin x&x\in\mathbb R\\\csc x=\frac1{\sin x}&x\ne 2\pi k,k\in\mathbb Z\\\cos x&x\in\mathbb R\\\sec x=\frac1{\cos x}&x\ne\frac\pi2+2\pi k,k\in\mathbb Z\\\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}&x\ne\frac\pi2+2\pi k,k\in\mathbb Z\\\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}&x\ne 2\pi k,k\in\mathbb Z\end{cases}\)
3. 反三角函数：反三角函数是三角函数在定义域的子集上的反函数

(7) 指数函数：假设 \(a\in\mathbb R^+\)，那么 \(f(x)=a^x\) 称为指数函数

1. \(\begin{cases}f是严格递减的&a\in(0,1)\\f是严格递增的&a\in(1,+∞)\\f(x)=1&a=1\end{cases}\)
2. \(f:\mathbb R\to\mathbb R^+\)

(8) 对数函数：指数函数的反函数称为对数函数，记为 \(f(x)=\log_ax\)，满足 \(f:\mathbb R^+\to\mathbb R\)

(9) 超越函数：一种特殊的非代数的函数为超越函数，并且 \(超越函数=\{三角函数,反三角函数,指数函数,对数函数\}\)

1. 指数不等式：假设 \(a,b\in\mathbb R^+,a>b\)，那么 \(\begin{cases}a^x>b^x&x>0\\a^x<b^x&x<0\end{cases}\)

graph
subgraph 超越函数
    三角函数
    反三角函数
    指数函数
    对数函数
    其他函数...
end
subgraph 代数函数
    subgraph 有理函数
        subgraph 多项式
            a(线性函数)
        end
        subgraph 幂函数
            b(线性函数)
        end
    end
end

3. 从基本函数衍生新的函数

对 基本函数(数学模型) 的图像进行 平移/拉伸/反射 得到新的函数

并且使用 算术运算/复合 将两个函数结合在一起

(1) 垂直/水平 平移: (假设 c > 0)

• \(y=f(x)+c\)，将 \(y=f(x)\) 的图像向上平移c个单位距离
• \(y=f(x)-c\)，将 \(y=f(x)\) 的图像向下平移c个单位距离
• \(y=f(x+c)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像向左平移c个单位距离
• \(y=f(x-c)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像向右平移c个单位距离

(1) 垂直/水平 拉伸/压缩/反射: (假设 c > 0)

• \(y=c\cdot f(x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像垂直拉伸 c 倍
• \(y=c^{-1}\cdot f(x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像垂直压缩 c 倍
• \(y=(c\cdot x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像压缩拉伸 c 倍
• \(y=(c^{-1}\cdot x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像水平拉伸 c 倍
• \(y=-f(x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像关于 x 轴反射
• \(y=f(-x)\)，将 \(y=f(x)\) 的图像水平 y 轴反射

(1) 组合函数(函数的代数运算): (假设 f, g 分别是定义域是 A, B 的函数)

• \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)，其中 \(D_{f+g}=D_f\cap D_g\)
• \((f+g)(x)=f(x)-g(x)\)，其中 \(D_{f-g}=D_f\cap D_g\)
• \((fg)(x)=f(x)\cdot g(x)\)，其中 \(D_{fg}=D_f\cap D_g\)
• \((\frac{f}{g})(x)=\frac{f_x}{g_x}\)，其中 \(D_{f/g}=\{x\in D_f\cap D_g|~g(x)\ne0\}\)

(2) 复合函数：\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 的复合函数定义为 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)，其中 \(D_{f\circ g}=\{x\in D_g|~g(x)\in D_f\}\)

• 结合性：\(f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h\)？（\(f\circ g\circ h\ne f\circ(g\circ h)\)）
• \(f\circ g\) 有意义，等价于 g 的值域是 f 的定义域有交集，即 \(R_g\cap D_f\ne\emptyset\)

4. 图形计算器与计算机

5. 指数函数

假设 \(a\in\mathbb R^+\)，那么指数函数 \(f(x) = a^x\) 的意义为：

\(f(x)=\begin{cases}\sum\limits_{i=1}^xa^x&x\in\mathbb Z^+\\0&x=0\\\sum\limits_{i=1}^{|x|}1/a^{|x|}&x\in\mathbb Z^-\\a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]a)^p&p\in\mathbb Z,q\in\mathbb Z^+,x=p/q\\f(\hat x)&x\in\mathbf{CrQ},\hat x\in\mathbb Q,|x-\hat x|\to0\end{cases}\)

假设 \(a,b\in\mathbb R^+\)，\(x,y\in\mathbb R\)，那么：

1. \(a^{x+y}=a^xa^y\)
2. \(a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}\)
3. \(a^{xy}=(a^x)^y\)
4. \((ab)^x=a^xb^x\)

若指数函数 \(f(x)=a^x\) 在 \(x=0\) 处的切线斜率为 1，那么记 \(a=e\)

其中 \(e\approx2.71828\)

结论：\(\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}t=1\)

6. 反函数，对数函数，反三角函数

本节介绍反函数及其相关定义

并且借助反函数来推广指数函数和三角函数，得到对数函数和反三角函数，已经它们的性质

单射函数：它从不取同样的函数值，即 \(x_1\ne x_2\) 蕴含 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)（即 \(f(x_1)=f(x_2)\) 蕴含 \(x_1=x_2\)）；f 是一对一的

水平线判定定理：函数 f 是单射函数 \(\iff\) f 的图像中没有水平直线和它相交超过一次

满射函数：若 \(f:A\to B\) 的值域是 B，那么 f 称为满射函数（或 f 是映上的）

1. 若函数 f 是定义域和值域分别为 \(A,B\) 的单射函数，则它的反函数 \(f^{-1}\) 的定义域和值域分别为 \(B,A\)
2. 若 \(f:~A\to B\) 的满射函数，则它的反函数 \(f^{-1}:~B\to A\)

满足：若 \(x\in A,y\in B\)，那么 \(f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y\)

假设函数 f 是一对一的，那么：

1. \(\forall x\in A,f^{-1}(f(x))=x\) 或 \((f^{-1}\circ f)(x)=x\)
2. \(\forall y\in B,f(f^{-1}(x))=y\) 或 \((f\circ f^{-1})(y)=y\)
3. \(f^{-1}\) 的图像与 f 的图像关于 \(y=x\) 对称

(1),(2)：

根据反函数的定义有：若 \(x\in A,y\in B\)，那么 \(f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y\)

于是 \(f^{-1}(f(x))=x\)，\(f(f^{-1}(x))=y\)

\(\blacksquare\)

假设 \(a\in\mathbb R^+,a\ne1\)，那么指数函数 \(f(x)=a^x\) 是单射函数，其反函数为 \(f^{-1}=\log_ax\)

满足 \(\log_a{x}=y\iff a^y=x\)，于是：

• \(\forall x\in\mathbb R,\log_a{a^x}=x\)
• \(\forall y\in\mathbb R^+,a^{\log_ay}=y\)

自然对数定义为 \(\log_ex=\ln x\)，（根据[对数函数定义]）满足：

1. \(\ln x=y\iff e^y=x\)
2. \(\forall x\in\mathbb R,\ln e^x = x\)
3. \(\forall x\in\mathbb R^+,e^{\ln{x}} = x\)

假设 \(a\in\mathbb R^+,x,y\in\mathbb R^+,r\in\mathbb R\)

1. \(\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y}\)
2. \(\log_a{x/y}=\log_a{x}-\log_a{y}\)
3. \(\log_a{x^r}=r\log_a{x}\)
4. 换底公式：若 \(a\ne1\)，那么 \(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\)

(4) 设 \(y=\log_ax\)，

\(a\in\mathbb R^+,a\ne1\)，蕴含 \(f(x)=\log_ax\) 是一对一的，于是 \(a^y=x\)

根据[对数定律3]有 \(y\ln a=\ln x\)，而 \(\ln a\ne0\)，即 \(\ln a\) 有乘法逆元，于是 \(y=\frac{\ln x}{\ln a}\)

\(\blacksquare\)

(1) 假设 \(x\in\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right]\)，那么 \(f(x)=\sin x\) 与 \(f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) 互为反函数（\(\sin^{-1}x\) 通常记为 \(\arcsin x\)）

基本性质：

1. 若 \(x\in\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right]\)，那么 \(y=\sin x\iff \sin^{-1}y=x\)
2. \(\forall x\in\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right],\sin^{-1}\sin x=x\)
3. \(\forall y\in[-1,1],\sin\sin^{-1} y=y\)

(2) 假设 \(x\in\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right],x\ne0\)，那么 \(f(x)=\csc x\) 与 \(f^{-1}(x)=\csc^{-1}x\) 互为反函数

注：\(\csc^{-1}x\) 是分段递减的

(3) 假设 \(x\in\left[0,\pi\right]\)，那么 \(f(x)=\cos x\) 与 \(f^{-1}(x)=\cos^{-1}x\) 互为反函数（\(\cos^{-1}x\) 通常记为 \(\arccos x\)）

基本性质：

1. 若 \(x\in\left[0,\pi\right]\)，那么 \(y=\cos x\iff \cos^{-1}y=x\)
2. \(\forall x\in\left[0,\pi\right],\cos^{-1}\cos x=x\)
3. \(\forall y\in[-1,1],\cos \cos^{-1} y=y\)

(4) 假设 \(x\in[0,\pi],x\ne\frac\pi2\)，那么 \(f(x)=\sec x\) 与 \(f^{-1}(x)=\sec^{-1}x\) 互为反函数

注：\(\sec^{-1}x\) 是分段递增的

(5) 假设 \(x\in\left(-\frac\pi2,\frac \pi2\right)\)，那么 \(f(x)=\tan x\) 与 \(f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) 互为反函数（\(\tan^{-1}x\) 通常记为 \(\arctan x\)）

基本性质：

1. 若 \(x\in\left(-\frac\pi2,\frac \pi2\right)\)，那么 \(y=\tan x\iff \tan^{-1}y=x\)
2. \(\forall x\in\left(-\frac\pi2,\frac \pi2\right),\tan^{-1}\tan x=x\)
3. \(\forall y\in\mathbb R,\tan\tan^{-1} y=y\)
4. 水平渐近线：\(y=\pm\pi/2\)

(6) 假设 \(x\in(0,\pi)\)，那么 \(f(x)=\cot x\) 与 \(f^{-1}(x)=\cot^{-1}x\) 互为反函数

注：\(\cot^{-1}x\) 是递减的

	\(\sin^{-1}x\)	\(\csc^{-1}x\)	\(\cos^{-1}x\)	\(\sec^{-1}x\)	\(\tan^{-1}x\)	\(\cot^{-1}x\)
值域 \(R_f\)	\(\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right]\)	\(\left[-\frac\pi2,\frac \pi2\right]\cap\{x\ne0\}\)	\([0,\pi]\)	\([0,\pi]\cap\left\{x\ne\frac\pi2\right\}\)	\(\left(-\frac\pi2,\frac \pi2\right)\)	\((0,\pi)\)
定义域 \(D_f\)	\([-1,1]\)	\([-∞,-1]\cup[1,+∞]\)	\([-1,1]\)	\([-∞,-1]\cup[1,+∞]\)	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\)
单调性	递增	分段递减	递减	分段递增	递增	递减
奇偶性	奇函数	奇函数			奇函数

1. \(f(x)=\begin{cases}\sin^{-1}x&x\in[-1,1]\\\csc^{-1}x&x\not\in[-1,1]\end{cases}\) 是 \(\mathbb R\) 上的连续函数
2. \(g(x)=\begin{cases}\cos^{-1}x&x\in[-1,1]\\\sec^{-1}x&x\not\in[-1,1]\end{cases}\) 也是 \(\mathbb R\) 上的连续函数
3. \(\csc^{-1}x,\sec^{-1}x,\csc^{-1}x\) 的“简化”：
   1. \(\forall x\in[-∞,-1]\cup[1,+∞]\)，\(\csc^{-1}x=\sin^{-1}\frac1x\)
   2. \(\forall x\in[-∞,-1]\cup[1,+∞]\)，\(\sec^{-1}x=\cos^{-1}\frac1x\)
   3. \(\forall x\in\mathbb R\)，\(\cot^{-1}x=\frac\pi2-\tan^{-1}x\)
4. \(f,g\) 是三角函数，计算 \((f\circ g^{-1})(x)\)：记 \(y=g^{-1}(x)\)，有 \(x=g(y)\)，由于 \(\exists p,q,x=p/q\)，即 \(g(y)=p/q\)，于是构造一个包含内角 y 并且有两条边为 \(p,q\) 的直角三角形，进而推断 \(f(y)=(f\circ g^{-1})(x)\) 的值

1. \(\begin{cases}\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac\pi2\\\csc^{-1}x+\sec^{-1}x=\frac\pi2\\\cot^{-1}x+\tan^{-1}x=\frac\pi2\end{cases}\)

(1) \(f(x)\) 是单射的，蕴含 f 有反函数；而 \(f(0)=3+0+e^0=4\)，于是 \(f^{-1}(4)=0\)

(2) \(\forall x_1<x_2\)，(1) \(f(x_1)<f(x_2),g(x_1)<g(x_2)\)，或者 (2) \(f(x_1)>f(x_2),g(x_1)>g(x_2)\)，

那么 (1) \(f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)<0\)，蕴含 \((f+g)(x_1)<(f+g)(x_2)\)

或者 (2) \(f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)>0\)，蕴含 \((f+g)(x_1)>(f+g)(x_2)\)

于是 \((f+g)(x_1)\ne(f+g)(x_2)\)，于是 \(f+g\) 是单射的

补充练习