附录
不等式
琴生不等式
均值不等式
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
伯努利不等式
舒尔不等式
切比雪夫不等式
幂平均不等式
马尔可夫不等式
切尔诺夫限
契比雪夫不等式
基本不等式
卡尔松不等式
几何不等式
外森比克不等式
克拉克森不等式
yu不等式
施瓦尔兹不等式
三角不等式
erdos不等式
Milosevic不等式
等周不等式
芬斯拉不等式
嵌入不等式
杨氏不等式
车贝契夫不等式
典范类不等式
佩多不等式
四边形不等式
肖刚不等式
Arakelov不等式
卡拉玛特不等式
外森比克不等式
宫冈-丘不等式
柯西—施瓦茨不等式
Gronwall不等式
G 复数
复数
我们将 \(a+bi\) 定义为负数，其中 a 和 b 时实数，i 为符号（满足 \(i^2=-1\) 或 \(i=\sqrt {-1}\)），记 \(z = a + bi\)
几何表示：复平面上的一个点 (a,b)
注：复平面类似于二维笛卡尔坐标系，实轴对应 x 轴，虚轴对应 y 轴
复数的模
\(|a + bi| = \sqrt {a^2+b^2}\)；几何意义：它在复平面上与原点的距离
共轭
共轭复数：若 \(z=a+bi\)，那么它的共轭复数 \(\overline z=a-bi\)，其中 \(z\overline z=a^2+b^2\)
性质：
- \(\overline {z+w} = \overline z + \overline w\)，\(\overline {zw} = \overline z\overline w\)，\(\overline {z^n} = \overline {z}^n\)
- \(z\overline z = |z|^2\)
复数的性质
加法：\((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\)
减法：\((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\)
乘法（满足交换律和结合律）：\((a+bi)(c+di) = a(c+di) + (bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd) + (bc+ad)i\)
除法：\(\frac {a+bi}{c+di} = \frac {a+bi}{c+di}\frac {\overline {c+di}}{\overline {c+di}} = \frac {(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}\)，或 \(\frac zw = \frac zw\frac {\overline w}w = \frac {z\overline w}{|w|^2}\)
求根公式中的应用
设二次方程 \(ax^2 + bx + c=0\)，其根为：
\(x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a} = \frac {-b \pm \sqrt {4ac - b^2}i}{2a}\)
代数基本定理
多项式方程 \(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i = 0\) 在复数域内至少有一个解（该定理由高斯证明）
极坐标
由于一个复数 \(z=a+bi\) 可以看作一个笛卡尔坐标系的点 (a,b)，显然也可以表示成极坐标 \((r,\theta)\) （\(r\ge 0\)）
根据极坐标的定义 \(a=r\cos\theta, b=r\sin\theta\)；\(r=\sqrt {a^2+b^2}, \theta = \tan^{(-1)}{\frac ba}\)
z 可以表示为：\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
注意到 \(|z| = r\)；另外，我们记 \(\text{arg}(z) = \theta\)
\([r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})][r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})] = r_1r_2[(\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) + i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1}\sin{\theta_2})]\)
\(= r_1r_2(\cos{\theta_1 + \theta_2} + i\sin{\theta_1+\theta_2})\)
复数的性质(极坐标)
假设 \(z_1=r_1(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})\)，\(z_2=r_2(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2})\)
乘法：\(z_1z_2 = r_1r_2(\cos{\theta_1 + \theta_2} + i\sin{\theta_1+\theta_2})\)
除法：\(\frac {z_1}{z_2} = \frac {r_1}{r_2}(\cos{\theta_1 - \theta_2} + i\sin{\theta_1-\theta_2})\) （\(z_2\ne 0\)）
特别地，\(\frac 1z = \frac 1r (\cos{\theta_1} - i\sin{\theta_1})\)
棣莫弗定理
如果 \(z=r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})\)，并且 n 是一个正整数，则：
\(z^n = r^n(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta})\)
注：该定理以数学家 Abraham De Moivre 命名
假设 \(w = z^n\)，设 \(w=s(\cos\phi + i\sin\phi)\) 和 \(z=r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
由棣莫弗定理，\(w^n=s^n(\cos{n\phi} + i\sin{n\phi}) = r(\cos\theta + i\sin\theta) = z\)
又因为 \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r(\cos{\theta + 2k\pi} + i\sin{\theta + 2k\pi})\)（\(k\in Z\)），
因而 w 对于不同的 k 具有不同的解，那么 \(n\phi = \theta + 2k\pi\) 或 \(\phi = \frac {\theta + 2k\pi}{n}\)
因此 \(w = r^{1/n}[\cos {(\frac {\theta + 2k\pi}{n})} + i\sin {(\frac {\theta + 2k\pi}{n})}]\)
复数的根
设 \(z=r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 并且 n 为正整数，则 z 由 n 个本质不同的 n 次方根：
\(w_k = r^{1/n}[\cos {(\frac {\theta + 2k\pi}{n})} + i\sin {(\frac {\theta + 2k\pi}{n})}]\)，其中 \(k=0..n-1\)
几何意义：根的复数集合 \(\{w_k\}\) 位于半径为 \(|w_k|=r^{1/n}\) 的圆上，向量两个复数极角相差 \(\frac {2\pi}n\)
根据 11.10 \(e^x\) 的泰勒公式有：\(e^z=\sum\limits_{n=0}^∞\frac {z^n}{n!}\)
有：\(e^{iy} = \sum\limits_{n=0}^∞ \frac {(iy)^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^∞(\frac {(iy)^{2n}}{(2n)!} + \frac {(iy)^{2n+1}}{(2n+1)!}) = \sum\limits_{n=0}^∞(\frac {(-1)^{n}y^{2n}}{(2n)!} + i\frac {(-1)^ny^{2n+1}}{(2n+1)!}) = \cos y + i\sin y\)
欧拉公式
\(e^{iy} = \cos y + i\sin y\)
复指数
\(e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\)
Tip
- \(e^{i\pi} + 1 = 0\)，其中包含了数学中 5 个著名的数：0，1，e，i，\(\pi\)
代数学
几何学
三角学
总结
- 定义式：假设斜边长为 c 直角三角形中，某一锐角 x 的对边为 a，临边为 b，那么 \(\begin{cases}\sin x=\frac ac&\csc x=\frac ca&\cot x=\frac ba\\\cos x=\frac bc&\sec x=\frac cb&\tan x=\frac ab\end{cases}\)
- 基本公式：\(\begin{cases}\sin x\csc x=1&\cos x\sec x=1&\cot x\tan x=1\\\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}&\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sin^2x+\cos^2x=1&\csc^2=1+\cot^2x&\sec^2x=1+\tan^2x\end{cases}\)
- 诱导公式：
- 周期性：假设 \(k\in\mathbb Z\)，\(\begin{cases}\sin x=\sin(x+2\pi k)&\csc x=\csc(x+2\pi k)&\cot x=\cot(x+\pi k)\\\cos x=\cos(x+2\pi k)&\sec x=\sec(x+2\pi k)&\tan x=\tan(x+\pi k)\end{cases}\)
- 奇偶性：\(\sin x,\csc x,\cot x,\tan x\) 为奇函数，\(\cos x,\sec x\) 为偶函数
- \(\begin{cases}\sin x=\cos(\frac\pi2-x)&\csc x=\sec(\frac\pi2-x)&\cot x=\tan(\frac\pi2-x)\\\cos x=\sin(\frac\pi2-x)&\sec x=\csc(\frac\pi2-x)&\tan x=\cot(\frac\pi2-x)\end{cases}\)
- 两角和公式：
- \(\begin{cases}\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\end{cases}\)
- \(\begin{cases}\sin(x+y)=\sin x\sin y(\cot x+\cot y)=\cos x\cos y(\tan x+\tan y)\\\cos(x+y)=\sin x\sin y(\cot x\cot y-1)=\cos x\cos y(1-\tan x\tan y)\end{cases}\)
- 推论：\(\begin{cases}\csc(x+y)=\frac{\csc x\csc y}{\cot x+\cot y}&\cot(x+y)=\frac{\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y}\\\sec(x+y)=\frac{\sec x\sec y}{1-\tan x\tan y}&\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}\end{cases}\)
- 两角和推论：
- 积化和差：\(\begin{cases}\sin x\cos y=\frac12(\sin(x+y)+\sin(x-y))\\\cos x\cos y=\frac12(\cos(x+y)+\cos(x-y))\\\sin x\sin y=\frac12(-\cos(x+y)+\cos(x-y))\end{cases}\)