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练习

\(\lim\limits_{x\to+∞}a^x=\begin{cases}+∞&a>1\\1&a=1\\0&|a|<1\\无定义&a=-1\\\overset{\sim}∞&a<-1\end{cases}\)

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选择题

  1. 计算 k：\(x\to0\) 时，\(x-\tan x\) 与 \(x^k\) 同阶无穷小
  2. \(f(x)=\begin{cases}x|x|&x\le0\\x\ln x&x>0\end{cases}\)；讨论 \(x=0\) 处的可导性，极值
  3. \(\{a_n\}\) 严格单调增加，并且有界，那么 \(\sum\limits_{i=1}^∞(a_{n+1}^2-a_n^2)\) 的收敛性为？
  4. 对于所有 \(y>0\) 的光滑曲线 C，都有 \(\oint_CP(x,y)~d_x+Q(x,y)~d_y=0\)；那么 \(P(x,y)\) 为？
  5. A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，\(A^2+A=2E\)，\(|A|=4\)；那么 \(x^TA\mathbf x\) 的规范型为？
  6. \(\forall i=1..3\)，\(a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i\)，其中定义的三个 3 维平面两两相交，每条交线两两平行；那么系数矩阵 A 和增广矩阵 \(\bar A\) 的秩分别为?
  7. \(A,B\) 为随机事件，则 \(P(A)=P(B)\) 的充要条件是？
  8. 独立随机变量 \(X,Y\)，都服从同样的正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)；则 \(P\{|X-Y|<1\}\) 是否与 \(\mu\) 或 \(\sigma^2\) 有关

提示

(1) \(\tan x=x+\frac13x^3+o(x^3)\)

(2) 可导性：讨论 \(\lim\limits_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim\limits_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}h\) 是否成立

极值：若 0 处可导，那么 1 或 2 阶极值判别法均可用；若 0 处不可导，但在 0 处连续，那么判断 f 在 0 的左右领域是否同号

（问：在 x 处不可导，不连续，但有定义时，是否有极值？）

(3) 级数存在的必要性 \(\lim\limits_{n\to∞}a_n=0\)；审敛法

(4) 路径无关

(5) \(\sum\limits_{i=0}^nc_iA^i=\mathbf0\)，蕴涵 \(\sum\limits_{i=0}^nc_i\lambda^i=\mathbf0\)

(6)

(8) 由于 X 和 Y 独立同分布，有 \(E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0,\text{var}(X-Y)=\text{var}(X)+\text{var}(Y)=2\sigma^2\)，有 \(\frac{(X-Y)-0}{\sqrt{2\sigma^2}}\sim N(0,1)\)

\(\bar{\bar{\bar{\bar |}}}\bar-\bar{\bar{\bar{\bar |}}}\)

填空题

  1. 函数 \(f(u)\) 可导，\(z=f(\sin y-\sin x)+xy\)；计算 \(\frac1{\cos x}\cdot\frac{\partial z}{\partial_x}+\frac1{\cos y}\cdot\frac{\partial z}{\partial_y}\)
  2. \(2yy'-y^2-2=0\)，\(y(0)=1\)；计算 y 的特解
  3. \(\sum\limits_{n=0}^∞\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n\)；计算其在 \((0,+∞)\) 内的和函数 \(S(x)\)
  4. \(\Sigma:x^2+y^2+4z^2=4\)（\(z\ge0\)）；计算 \(\iint\limits_\Sigma\sqrt{4-x^2-4z^2}~d_xd_y\)
  5. \(A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]\) 为 3 阶矩阵，\(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，且 \(\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2\)；计算线性方程组 \(A\mathbf x=\mathbf 0\) 的通解
  6. 随机变量 X 的概率密度为 \(f(x)=\begin{cases}\frac x2&0<x<2\\0&其他\end{cases}\)，\(F(x)\) 为 X 的分布函数，\(E[X]\) 是 X 的数学期望；计算 \(P\{F(X)>E[X]-1\}\)（注：这里的 \(f(x),F(x),F(X)\) 应为 \(f_X(x),F_X(x),F_X(X)\)；；byd，喜欢混淆概念是吧？）
  1. 微分方程：
    1. 一阶：若是非线性方程，一般可以分离变量；若是线性方程，可以使用通解（公式法？\(y=\left[\int e^{\int P(x)~d_x}Q(x)~d_x+C\right]/e^{\int P(x)~d_x}\)）
    2. 二阶（一般是线性的）：
      1. 齐次常系数：构造 \(y=e^{rx}\)
      2. 非齐次常系数：先计算对应齐次方程通解 \(y_c\)；然后构造如 \(y_p=e^{kx}[P_n(x)\cos(mx) + Q_n(x)\sin(mx)]\) 的形式

提示

(2) 使用分离变量法

(3) 泰勒公式的套用，注意 x 的范围

(4) 由于 \(\forall (x,y,z)\in\Sigma,x^2+y^2+4z^2=4\)，有 \(\sqrt{4-x^2-4^2}=\sqrt{y^2}=|y|\)

(5) （基础解系？）

计算题

  1. \(y(x)\) 是微分方程 \(y'+xy=e^{-x^2/2}\)，\(y(0)=0\) 的特解
    1. 求 \(y(x)\)
    2. 求 \(y=y(x)\) 的凹凸区间及拐点
  2. \(a,b\in\mathbb R\)，\(z=2+ax^2+by^2\) 在 \((3,4)\) 处的方向导数中，沿 \(\mathbf l=-3\mathbf i-4\mathbf j\) 的方向导数最大，其值为 10
    1. 求 \(a,b\)
    2. 求 \(z=2+ax^2+by^2\)（\(z\ge0\)）的面积
  3. \(y=e^{-x}\sin x(x\ge0)\) 与 x 轴之间的面积
  4. \(a_n=\int_0^1x^n\sqrt{1-x^2}~d_x\)（\(n=0,1,\dots\)）
    1. 证明：\(\{a_n\}\) 单调递减，且 \(a_n=\frac{n-1}{n+2}a_{n-2}\)（\(n=2,3,\dots\)）
    2. \(\lim\limits_{n\to∞}\frac{a_n}{a_{n-1}}\)
  5. 锥面 \(\Omega\) 是锥面 \(x^2+(y-z)^2=(1-z)^2\)（\(0\le z\le1\)）与平面 \(z=0\) 围成的椎体，求 \(\Omega\) 的形心坐标
  6. \(\alpha_1=(1,2,1)^T,\alpha_2=(1,3,2)^T,\alpha_3=(1,a,3)^T\) 为 \(\mathbb R^3\) 的一个基，\(\beta=(1,1,1)^T\) 在这个基下的坐标为 \((b,c,1)^T\)
    1. 求 \(a,b,c\)
    2. 证明 \(\alpha_2,\alpha_2,\beta\) 也是 \(\mathbb R^3\) 的一个基；求 \(\alpha_2,\alpha_3,\beta\) 到 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 的过渡矩阵？
  7. \(A=\begin{bmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{bmatrix}\)
    1. 求 \(x,y\)
    2. 求可逆矩阵 P 使得 \(P^{-1}AP=B\)
  8. 随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从参数为 1 的指数分布，Y 的概率分布为 \(P\{Y=-1\}=p,P\{Y=1\}=1-p\)（\(0<p<1\)），\(Z=XY\)
    1. 求 Z 的概率密度
    2. p 为何值时，X 与 Z 不相关
    3. X 与 Z 是否相互独立
  9. 总体 X 的概率密度为 \(f(x;\sigma^2)=\begin{cases}\frac A\sigma e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}&x\ge\mu\\0&x<\mu\end{cases}\)；其中 \(\mu\) 是一直参数，\(\sigma>0\) 是未知参数，A 是常数；\(X_1,\dots,X_n\) 是来自总体 X 的简单随机样本
    1. 求 A
    2. 求 \(\sigma^2\) 的最大似然估计