跳转至

竞赛题1

Note
  • 1.1 函数与极限
  • 1.2 函数的连续性
  • 1.3 等价无穷小求极限
  • 2.1 用定义讨论函数可导性
  • 2.2 计算导数&微分
  • 3.1 中值定理
  • 3.2 未定型的极限问题
  • 3.3 导数的应用
  • 4.1 不定积分1
  • [] 4.2 不定积分2
  • [] 5.1 定积分的概念及性质

1. 极限与连续

Note

  1. \(f(x)=e^x+2,f(g(x))=x^2\)；计算 \(g(x)\)
  2. \(f,g\) 是分段函数；计算 \((f\circ g)(x)\)
    • 子问题：\(f,g\) 是普通函数；那么 \(D_{f\circ g}=D_f(g(x))\cap D_g\)
  5. 极限
    • \(x_n=\frac1k\sum\limits_{i=1}^kx_{n-i}\) \(\implies\) \(\sum\limits_{i=0}^{k-1}(1-\frac ik)x_{n-i}=\frac1k\sum\limits_{i=1}^kix_i\)；\(\lim\limits_{n\to∞}x_n=\frac{\sum\limits_{i=1}^kix_i}{k(k+1)/2}\)
  6. 夹逼极限
  7. 极限

递推式求解

  1. \(a_n=1+2a_{n-1}\to 2^n[\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{l-1}}{2^{l-1}}]=2^{n-l+1}-1\)
  2. \(a_n=b_n+2a_{n-1}\to 2^n[\frac{a_n}{2^n}-\frac{a_{l-1}}{2^{l-1}}]=\sum\limits_{i=l}^n2^{n-i}b_i\)
  3. \(a_n=b_n+pa_{n-1}\to p^n[\frac{a_n}{p^n}-\frac{a_{l-1}}{p^{l-1}}]=\sum\limits_{i=l}^np^{n-i}b_i=p^n\sum\limits_{i=l}^n\frac{b_i}{p^i}\)
    • 于是 \(a_n=p^{n-l+1}a_{l-1}+p^n\sum\limits_{i=l}^n\frac{b_i}{p^i}\) （其中 \(a_{l-1}\) 可以是已知项或者初值条件）
    • 即 \(a_n=b_n+pa_{n-1}=p^{n-l+1}a_{l-1}+p^n\sum\limits_{i=l}^n\frac{b_i}{p^i}\)
    • 或者 \(a_n=b_{n-1}+pa_{n-1}=p^{n-l+1}a_{l-1}+p^n\sum\limits_{i=l}^n\frac{b_{i-1}}{p^i}\)
  4. 推广：构造某种变换 T 使得 \(T(a_i)=b_i+pT(a_{i-1})\)

极限与连续

1.1 函数与极限

  1. \(f(x)=a,(f\circ g)(x)=b\)；计算 \(g(x)\)
  2. \(f(x)=\begin{cases}\ln x&x>0\\x&x\le0\end{cases},g(x)=\begin{cases}x^2&x\le1\\x^3&x>1\end{cases}\)；求 \((f\circ g)(x)\)
  3. \(2f(x)+f(\frac1x)=\frac ax,f(0)=0\)；证明 \(f(x)\) 是奇函数
  4. \(f(x)=\begin{cases}x&x<1\\x^3&1\le x\le2\\3^x&x>2\end{cases}\)；求 \(f^{-1}(x)\)
  5. \(n\to∞\) 时；计算 (1) \(n(\sqrt{n^2+1}-n)\)，(2) \(\prod\limits_{i=2}^n(1-\frac1i)\)，(3) \(\frac {\sum\limits_{i=1}^{n-1}(x+\frac ina)}n\)，(4) \(\prod\limits_{i=1}^n\sqrt[2^i]2\)，(5) \(\sum\limits_{i=1}^n\frac1{4i^2-1}\)，(6) \(x_1=a,x_2=b,x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}2\)
  6. \(n\to∞\) 时；计算 (1) \(\prod\limits_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}\)，(2) \(\prod\limits_{i=1}^n\frac{i}{n^2+n+i}\)，(3) \(\sqrt[n]{\sum\limits_{i=1}^ka_i^n}~~(a_i>0)\)，(4) \(\frac{2^n}{n!}\)，(5) \(\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin(n!)}{n+1}\)
  7. \(n\to∞\) 时；计算 (1) \(\sum\limits_{i=1}^n\frac1{i(i+1)(i+2)}\)，(2) \(\sum\limits_{i=1}^n\frac i{n^2+i}\)，(3) \(\prod\limits_{i=1}^n\cos\frac x{2^i} ~~(x\ne0)\)
  8. \(n\to∞\) 时；判断极限存在性及其值 (1) \(x_1=2,x_n=\frac12(x_{n-1}+\frac1{x_{n-1}})\)，(2) \(x_n=\prod\limits_{i=1}^n\frac{i+10}{3i-1}\)，(3) \(x_1>a>0,x_n=\sqrt{ax_{n-1}}\)
  9. \(\lim\limits_{x\to∞}\frac{(4x+1)^{30}(9x+2)^{20}}{(6x-1)^{50}}\)，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{\sum\limits_{i=1}^nx^i-n}{x-1}\)，\(\lim\limits_{x\to1}(1+2x)^{3x-1}\)
  10. \(x\to∞\) 时；计算 \(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
  11. \(\lim\limits_{x\to∞}\frac{e^x-x\tan^{-1}x}{e^x+x}\)，\(\lim\limits_{x\to0}(\frac{2+e^{\frac1x}}{1+e^{\frac4x}}+\frac x{|x|})\)，\(\lim\limits_{x\to+∞}\frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)\)，\(\lim\limits_{x\to-∞}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{x^2+\sin x}\)
  12. \(\lim\limits_{x\to+∞}\frac{\sin x}{e^x}\)，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x}\)
  13. 极限存在，并计算常数；\(\lim\limits_{x\to∞}(\frac{x^2}{x+1}-ax-b)=0\)，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=-1\)
  14. \(\lim\limits_{x\to\frac\pi2}\frac{\cos x}{x-\frac\pi2}\)，\(\lim\limits_{x\to\frac\pi4}\tan 2x\tan(\frac\pi4-x)\)
  15. \(\lim\limits_{x\to∞}(\frac{x+1}{x-1})^x\)，\(\lim\limits_{x\to0}(1+3x)^{\frac2{\sin x}}\)，\(\lim\limits_{x\to0}(\cos^2x)^{\frac1{\sin^2x}}\)
  16. 极限存在，并计算常数；\(\lim\limits_{x\to∞}(\frac{x+2a}{x-a})^{\frac x3}=8\)
  17. 证明 \(f(x)=x\cos x\) 在 \((-∞,+∞)\) 上无界，且当 \(x\to∞\) 时，\(f(x)\) 并非无穷大量
  18. 已知 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{xf(x)+\sin 6x}{x^3}=0\)，计算 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+6}{x^2}\)

1.1 提示

(1) \((f\circ g)(x)=b\implies g(x)=f^{-1}(b)\)

(5.6) \(x_n=\frac1k\sum\limits_{j=n-k+1}^{n-1}x_j\)，计算 \(\lim\limits_{n\to∞}x_n=L\)

\(\sum\limits_{i=k+1}^nx_i=\sum\limits\limits_{i=k+1}^n\frac1k\sum\limits_{j=i-k+1}^{i-1}x_j=\sum\limits_{i=k}^{n-k}x_i+\frac1k\sum\limits_{i=1}^{k-1}i(x_i+x_{n-i})\)

\(\sum\limits_{i=n-k+1}^nx_i=x_k+\frac1k\sum\limits_{i=1}^{k-1}i(x_i+x_{n-i})=\frac1k\sum\limits_{i=1}^{k}ix_i+\frac1k\sum\limits_{i=n-k+1}^{n-1}(n-i)x_i\)

\(\sum\limits_{i=n-k+1}^n(k-n+i)x_i=\sum\limits_{i=1}^{k}ix_i\)

当 \(n\to∞\) 时，有 \(L\sum\limits_{i=1}^ki=\sum\limits_{i=1}^{k}ix_i\)，即 \(L=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k}ix_i}{\frac12k(k+1)}\) \(\blacksquare\)

(6) 夹逼原理

(6.1) \(x_i=\frac{2i-1}{2i}\)，令 \(y_i=\frac{2i}{2i+1}\)

由于 \(0<x_i<y_i<1\)，从而 \(x_i^2<x_iy_i=\frac{2i-1}{2i+1}\) 或 \(x_i<\sqrt{x_iy_i}=\sqrt{\frac{2i-1}{2i+1}}\)

所以 \(\lim\limits_{n\to∞}\prod\limits_{i=1}^n\sqrt{x_iy_i}=\lim\limits_{n\to∞}\frac1{\sqrt{2n+1}}=0\)，从而 \(\lim\limits_{n\to∞}x_n=0\)

(7.3) 两角和公式推论

(8.1) 证明存在性 && 无穷远处的递推等式，(8.2) n 足够大时的极限，(8.3) 证明存在性 && 无穷远处的递推等式 或者 直接化简递推式

注：若 f 在 \([a,b]\) 连续，那么就满足 介值定理（进而满足 零点定理），最值定理

1.2 函数的连续性

  1. \(x\to0\) 时；计算 \(\frac{\ln(1+\cos x)}{e^x+2}\)，\(\ln\frac{\sin x}x\)
  2. 分析 \(f(x)=\frac1{1-e^\frac{x}{1-x}}\) 的间断点 && 类型
  3. \(f(x)=\begin{cases}e^\frac1x+1&x<0\\1&x=0\\1+x\sin\frac1x&x>0\end{cases}\) 在何时连续？
  4. 计算 a，b；\(f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+2x)}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}&x<0\\a&x=0\\x^2+b&x>0\end{cases}\) 在任意处连续
  5. \(f(x)=\lim\limits_{n\to∞}\frac{x^{n+2}-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}\) 的连续性！！
  6. \(\forall a,b\)，\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，\(f(x)\) 在 0 处连续；证：\(\forall x\)，\(f(x)\) 连续
  7. \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(0<f(x)<1\)；证：\(\exists x\in(0,1)\)，\(f(x)-x=0\)
  8. \(\exists 0<x\le a+b\)，使得 \(x=a\sin x+b\)（\(a,b>0\)）
  9. \(f(x)\) 在 \([0,2a]\) 连续，且 \(f(0)=f(2a)\)；证：\(\exists x\in[0,a]\)，使得 \(f(x)=f(x+a)\)
  10. \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\(\forall i=1..n\) 有 \(x_i\in[a,b],t_i>0\)，\(\sum\limits_{i=1}^nt_i=1\)；证：\(\exists x\in[a,b]\) 使得 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^nt_if(x_i)\)

注：\(\ln,\tan,\tan^{-1},\sin^{-1},\Box^k\) 的展开都有范围要求（如2.4）；记住常用的麦克劳林展开前几项很有用；如果有必要，则对单侧进行分别求极限

1.3 等价无穷小求极限（麦克劳林公式推论）

  1. \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{(1+x)^n}-1}x\)；\(\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln(1+\sqrt{x-1})}{\sin^{-1}(2\sqrt{x-1})}\)；\(\lim\limits_{x\to∞}x(e^\frac1x-1)\)；\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)
  2. \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{\tan x-\sin x}\)；\(\lim\limits_{x\to∞}\frac{\ln\sqrt{\sin\frac1x+\cos\frac1x}}{\sin\frac1x+\cos\frac1x-1}\)；\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\sin^2x+e^x)-x}{\ln(x^2+e^{2x})-2x}\)；\(\lim\limits_{x\to a}\tan\frac{\pi x}{2a}\ln(2-\frac xa)\)；已知 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1}{e^{3x}-1}=2\)，求 \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)\)
  3. \(\lim\limits_{x\to 0}(\cos 2x)^{\frac1{x^2}}\)；\(\lim\limits_{x\to 0}(1+e^x\sin^2x)^{\frac1{1-\cos x}}\)
  4. \(x\to0\) 时，\(\sqrt{1+ax^2}-1\) 与 \(\cos x-1\) 是等价无穷小；计算 a

1.3 提示

(2.3) 过早的展开很可能会出现计算错误

(2.4) 注意 \(\tan x\) 在 \(x=\frac\pi2+k\pi\) 处不可展开，但可以利用公式 \(\tan x=\frac1{\tan(\frac\pi2-x)}\) 使其可展开

2. 导数与微分

注：差分之比的两侧极限可以定义（等于）导函数；差分之比的单侧极限不总是等于导函数的单侧极限（如：\(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 不总是成立）

  • \(f(a),\lim\limits_{x\to a^-}f(x),\lim\limits_{x\to a^+}f(x),\lim\limits_{x\to a}f(x)\)
  • \(f'(a),\lim\limits_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

  • \(\lim\limits_{x\to a^-}f'(x),\lim\limits_{x\to a^+}f'(x),\lim\limits_{x\to a}f'(x)\)

  • f 在 a 处连续 \(\iff\) \(\lim\limits_{h\to0}f(a+h)=f(a)\) \(\iff\) \(\lim\limits_{h\to0}f(a+h)-f(a)=0\)（a 的左右侧极限值等于 a 处的函数值）

  • f 在 a 处可导 \(\iff\) \(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\) 存在 \(\implies\) \(f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\)

注：根据题给条件，分析哪些性质是给定条件的必要条件？（如：f 可导的必要条件是 f 连续）

2.1 用定义讨论函数可导性

  1. 设 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，求 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x_0+x)-f(x_0-3x)}x\)
  2. \(f(x)=\begin{cases}\frac x{1-e^\frac1x}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处的连续性，可导性
  3. \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x&x>0\\0&x\le0\end{cases}\)：(1) 求 \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x),\lim\limits_{x\to0^-}f(x),f'(0)\)；(2) 求 \(\lim\limits_{x\to0^-}f'(x),\lim\limits_{x\to0^+}f'(x),\lim\limits_{x\to0}f'(x)\)
  4. \(\varphi\) 在 a 处连续，\(f(x)=(x-a)\varphi(x),g(x)=|x-a|\varphi(x)\)；求 \(f'(a),g'(a)\)
  5. \(f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos x}{\sqrt x}&x>0\\x^2g(x)&x\le0\end{cases}\)，其中 \(g(x)\) 是有界函数，求 \(f'(0)\)
  6. \(f(x)=\begin{cases}e^x&x<0\\a+bx&x\ge0\end{cases}\)，f 在 0 处可导；求 a，b
  7. 对于所有 x，\(f(x+y)=f(x)f(y)\)，\(f'(0)=1\)；证：对于所有 x，有 \(f'(x)=f(x)\)
  8. 证明：(1) 可导偶函数的导函数是奇函数；(2) 可导奇函数的导函数是偶函数
  9. f 连续，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}x=A\)，\(\varphi(x)=\int_0^1f(xt)~d_t\)；(1) 求 \(\varphi'(x)\)，(2) 讨论 \(\varphi'(x)\) 在 0 处的连续性

2.2 计算导数&微分

  1. 计算导数：(1) \(\sin^2(\frac{1-\ln x}x)\)，(2) \(e^{\sin^22x}\)，(3) \(\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})\)，(4) \(\sqrt{x+\sqrt{x+\cos x}}\)，(5) \(\frac14\ln\frac{1+x}{1-x}-\frac12\tan^{-1}x\)，(6) \(\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x\)
  2. (1) \(f(x)=\prod\limits_{i=0}^{1000}(x-i)\)，求 \(f'(0)\)；(2) \(f(t)=\lim\limits_{x\to∞}t(\frac{x+t}{x-t})^x\)，求 \(f'(t)\)
  3. (1) \(y=f(\frac{3x-2}{3x+2})\)，\(f'(x)=\tan^{-1}x^2\)，求 \(\frac{dy}{d_x}|_{x=0}\)；(2) \(y=\tan^{-1}f(\sqrt x)+g(\tan^{-1}x^2)\)，求 \(\frac{dy}{d_x}\)（f 和 g 可导）；(3) \(y=e^{f^2(x)}f(e^{x^2})\)，求 \(\frac{dy}{d_x}\)
  4. \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^na_i\sin(ix)\)，\(|f(x)|\le|\sin x|\)，证：\(|\sum\limits_{i=1}^nia_i|\le1\)
  5. (1) \(\tan^{-1}\frac yx=\ln\sqrt{x^2+y^2}\)，求 \(\frac{dy}{d_x}\)；(2) \(\sin xy+\ln(y-x)=x\)，求 \(\frac{dy}{d_x}|_{x=0}\)；(3) \(f(x)+2f(\frac1x)=\frac3x\)，求 \(f'(x)\)
  6. 计算 \(\frac{dy}{d_x}\)：(1) \(x^y=y^x\)，(2) \(y=\frac{(x-2)^3\sqrt{x-5}}{\sqrt[3]{x+1}}\)，(3) \(x^{y^2}+y^2\ln x=4\)
  7. (1) \(\begin{cases}x=t-\ln(1+t)\\y=t^3+t^2\end{cases}\)，计算 \(\frac{dy}{d_x}\)；(2) \(\begin{cases}x=e^{\sin t}\\y=\sin e^t\\z=t^2\end{cases}\)，计算 \(\frac{dx}{d_z},\frac{dy}{d_z}\)
  8. 曲线 \(\begin{cases}x+t(1-t)=0\\te^y+y+1=0\end{cases}\) 在 \(t=0\) 处的切线方程
  9. (1) \(y=e^{\pi-3x}\cos 3x\)，计算 \(dy|_{x=\frac\pi3}\)；(2) \(y=e^{\sin x}+\ln\cos\sqrt x\)，计算 \(dy\)；(3) \(y=f(\tan^{-1}\frac1x)\)，求 \(dy\)（f 可导）；(4) \(e^{x+y}-y\sin x=0\)，求 \(dy\)
  10. (1) \(f'(\cos x)=\cos 2x\)，求 \(f''(x)\)；(2) \(e^{x+y}-xy=1\)，求 \(y''(0)\)；(3) \(\begin{cases}x=e^{2t}-1\\y=2e^t\end{cases}\)，求 \(y''\)；(4) \(u=f(\varphi(x)+y^2)\)，\(y+e^y=x\)，求 \(\frac{d^2u}{d_{x^2}}\)（f 和 \(\varphi\) 二阶可导）
  11. 使用变换 \(\begin{cases}u=\tan y\\x=e^t\end{cases}\) 将方程 \(x^2\frac{d^2y}{d_{x^2}}+2x^2\tan y(\frac{dy}{d_x})^2+x\frac{dy}{d_x}-\sin y\cos y=0\) 化为 u 关于 t 的方程
  12. 计算 \(y^{(n)}\)：\(y=\frac1{x^2-5x+4}\)，\(y=\cos^2x\)，\(y=\frac{x^3}{1-x}\)
  13. \((x^2\sin 2x)^{(n)}\)
  14. 证明 \(y=\tan^{-1}x\) 满足：\((1+x^2)y^{(n)}+2(n-1)xy^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0\)（\(n\ge2\)）

3. 中值定理&导数应用

注：

  1. 等式存在性 \(\iff\) 零点存在性
  2. 介值定理（零点定理），罗尔定理 都可以用于证明零点存在性；罗尔定理可以用于反证“不存在多个零点”
  3. 证明等式存在性：\(\exists x\in(a,b),g(x)=0\)
    1. 充分性：\(\exists x_1<x_2\in[a,b]\)，\(G(x_1)=G(x_2)\)（于是 \(\exists x_3\in(x_1,x_2)\)，\(g(x_3)=0\)；罗尔定理）
    2. 存在性：有介值定理（零点定理），中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西）两大类证明方式
      1. 介值定理：若 \(g(a)<0,g(b)>0\) 或 \(g(a)>0,g(b)<0\)，则 \(\exists x\in(a,b),g(x)=0\)
      2. 罗尔：若 \(G(a)=G(b)\)，则 \(\exists x\in(a,b),g(x)=0\)（注：\(G'(x)=g(x)\)；\(g(x)=0\) 有时候需要乘以适当的因子使得等式左边容易求原函数 ）
      3. 拉格朗日：\(\exists x\in(a,b),g(x)=\frac{G(b)-G(a)}{b-a}\)（通常用于证明 \(\exists x\in(a,b),g(x)=k\)）
      4. 柯西：\(\exists x\in(a,b)\)，\(\forall x\in(a,b),g(x)\ne0\)，有 \(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}\)（通常用于证明 \(\exists x\in(a,b),\frac{f(x)}{g(x)}=k\)）
    3. 唯一性：假设 \(\exists x_1<x_2,g(x_1)=g(x_2)\)，那么 \(\exists x_3\in(x_1,x_2),g'(x_3)=0\)，若与题目假设矛盾，则不唯一
      1. 性质：若等式满足存在性，并且 f 在 \([a,b]\) 单调，则有唯一解（无解 或 有不小于两个解）

3.1 中值定理

  1. \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导；证：\(\exists x\in(a,b)\)，使得 \(f'(x)=\frac{f(x)-f(a)}{b-x}\)
  2. 证：\(4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c\) 至少存在一个小于 1 的正根
  3. f 在 \([0,1]\) 可导，\(\forall x\in[0,1],f(x)\in(0,1)\)，\(\forall x\in(0,1),f'(x)\ne1\)；证：仅有一个 \(x\in(0,1)\)，使得 \(f(x)=x\)
  4. f 在 \([0,1]\) 连续，\((0,1)\) 可微，且 \(f(0)=0,f(1)=1\)；证：存在 \(x\in(a,b)\) 使 \(e^{x-1}(f(x)+f'(x))=1\)
  5. f 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 二阶可导，连接 \((a,f(a))\) 和 \((b,f(b))\) 的直线与 \(y=f(x)\) 交于 \((c,f(c))\)；证：存在 \(x\in(a,b)\) 使得 \(f''(x)=0\)
  6. f 在 \([a,+∞)\) 上连续，且当 \(x>a\) 时，\(f'(x)>k>0\)；证：若 \(f(a)<0\)，则 \(f(x)=0\) 在 \((a,a-\frac{f(a)}k)\) 内有且仅有一个实根
  7. f 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可微，\(f(0)=\frac12,f(1)=1\)；证：\(\exists x\in(0,1)\)，\((1+x)^2f'(x)=1\)
  8. f 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 内可导（\(a,b>0\)）；证：\(\exists x\in(a,b)\)，\(f(b)-f(a)=x(\ln\frac ab)f'(x)\)
  9. 证：\(x>0\) 时，\(x<e^x-1<xe^x\)
    1. 证：\(\forall a<b\)，\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\in(m,M)\)（其中 \(m=\arg\min\limits_xf'(x),M=\arg\max\limits_xf'(x)\)）
  10. 求 \(f(x)=x^2e^{-x}\) 在 \(x=0\) 处的泰勒展开式
  11. f 在 \([0,2]\) 上二阶可导，且 \(|f(x)|\le1,|f''(x)|\le1\)；证：\(\forall x\in[0,2]\)，\(|f'(x)|\le2\)
    1. 证明：f 在 \([s,t]\) 上二阶可导，且 \(|f(x)|\le A,|f''(x)|\le B\)；证：\(\forall x\in[s,t]\)，\(|f'(x)|\le A\frac2{t-s}+B\frac{t-s}2\)

3.1 提示

(9) 证：\(\forall a<b\)，\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\in(m,M)\)（其中 \(m=\arg\min\limits_xf'(x),M=\arg\max\limits_xf'(x)\)）

\(\forall a<b,\exists x\in(a,b),f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)（拉格朗日中值定理）

由于 \(\forall x\in(a,b)\)，\(f'(x)\in(m,M)\)，因此 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\in(m,M)\)

\(\blacksquare\)

推论1：\(f(x)=e^x,a=0,b=x>0\) 有：\(\frac{e^x-1}x\in(1,e^x)\)，于是 \(x<e^x-1<xe\)

推论2：\(f(x)=\ln x\)；\(a=1,b=x>1\) 时有 \(1-\frac1x<\ln x<x-1\)，\(a=x>0,b=1\) 时有 \(-∞<\ln x<x-1\)

推论3：\(f(x)=\sin x,a=0,b=x>0\) 有 \(-x<\sin x<x\)

(11) 证明：f 在 \([s,t]\) 上二阶可导，且 \(|f(x)|\le A,|f''(x)|\le B\)；证：\(\forall x\in[s,t]\)，\(|f'(x)|\le A\frac2{t-s}+B\frac{t-s}2\)

根据泰勒展开 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\frac{f^{(n+1)(b)}}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\)（b 介于 a 和 x 之间）

对于所有 \(a\in(s,t)\)，s 和 t 处的泰勒展开分别为：

\(f(s)=f(a)+f'(a)(s-a)+\frac12f''(b_1)(s-a)^2\)（\(s<b_1<a\)）

\(f(t)=f(a)+f'(a)(t-a)+\frac12f''(b_2)(t-a)^2\)（\(a<b_2<t\)）

以上两式相减并整理得：\((t-s)f'(a)=f(t)-f(s)+\frac12f''(b_1)(s-a)^2-\frac12f''(b_2)(t-a)^2\)

于是 \((t-s)|f'(a)|\le|f(t)|+|f(s)|+\frac12|f''(b_1)|(s-a)^2+\frac12|f''(b_2)|(t-a)^2\le 2A+\frac B2[(s-a)^2+(t-a)^2]\le2A+\frac B2(t-s)^2\)

（第一个不等式是由于 \(a=a+b-b\iff |a|=|a|+|b|+|b|\)；第二个不等式是由于 f 和 \(f''\) 的绝对值上界；第三个不等式是由于关于 a 的二次多项式在有界区间上有最小值）

最后 \(|f'(a)|\le\frac2{t-s}A+\frac{t-s}2B\)

\(\blacksquare\)

3.2 未定型的极限问题

  1. (1) \(\lim\limits_{x\to\pi}\frac{\sin3x}{\tan5x}\)，(2) \(\lim\limits_{x\to+∞}\frac{\ln(1+e^x)}{\sqrt{1+x^2}}\)，(3) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x(x-2)+x+2}{\sin^3x}\)，(4) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x+\ln(1-x)-1}{x-\tan^{-1}x}\)，(5) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^{100}}\)，(6) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)^\frac1x-e}x\)，(7) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)^\frac1x-e}x\)，(8) \(f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=2,\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}\)
  2. (1) \(\lim\limits_{n\to∞}n(a^\frac1n-1)\)（\(n\in\mathbb N,a>0\)），(2) \(\lim\limits_{n\to∞}(1+\frac1n+\frac1{n^2})^n\)
  3. (1) \(\lim\limits_{x\to0}(\cos\pi x)^{\frac1{x^2}}\)，(2) \(\lim\limits_{x\to+∞}(\frac\pi2-\tan^{-1}x)^{\frac1{\ln x}}\)，(3) \(\lim\limits_{x\to∞}[(2+x)e^\frac1x-x]\)，(4) \(\lim\limits_{x\to1}(1-x)\tan\frac\pi2x\)
  4. (1) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac{x^2}2}-\cos x}{x^4}\)，(2) \(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}\)

3.2 提示

3：(3)-(4) 倒代换 或 分子因子变成分母

4：观察到分母均是多项式，分子每项都有简单超越函数或超越函数的乘积，将分子中的超越函数展开为次数不大于分母的项即可

  1. 极值求法：显式函数，隐函数，参数函数...
  2. 证明不等式的基本方法：拉格朗日中值定理，函数单调性/最值/图像凹凸性，泰勒公式
  3. 确定 \(g(x)=0\) 根的数量：假设 \(g(x)\) 分段连续，则在每段连续区间内，对每对相邻临界点（区间端点，无穷远处，极值点）之间判断根的存在性（两种方法：介值定理，中值定理）

3.3 导数的应用

  1. \(x^3+2x^2y-2y^3=2\) 所确定的 \(y=f(x)\) 的极值（f 不是严格的函数）
  2. 证明不等式：(1) \(\forall x>0,\ln(1+x)>\frac{\tan^{-1}x}{1+x}\)，(2) \(\forall x\in(0,1),\frac{1-x}{1+x}<e^{-2x}\)，(3) \(\forall x\in(0,+∞),x\ge e\ln x\)，(4) \(\forall 0<x<y<\frac\pi2,\tan x+\tan y>2\tan\frac{x+y}2\)
  3. 讨论 \(\ln x=ax\)（\(a>0\)）的实根数量
  4. 求 \(\{\sqrt[n]n\}\) 的最大项
  5. \(f(x)=(x^2+3x-3)e^{-x}\) 在 \([-4,+∞)\) 的最大值和最小值
  6. 设 f 在 \(x_0\) 某邻域内有直到 \(n+1\) 阶导数，且 \(\exists k\le n,f'(x_0)=\dots=f^{(k-1)}(x_0)=0,f^{(k)}(x_0)\ne0\)；证：(1) k 是奇数时，\(f(x_0)\) 不是极值，(2) k 是偶数时，\(f(x_0)\) 为极值
  7. 双曲线 \(xy=1\) 在第一象限的分支上有定点 \(P(a,\frac1a)\)，在给定曲线的第三象限的分支上有一动点 Q，试求使线段 PQ 长度最短的点 Q 的坐标
  8. 计算曲线的凹凸区间和拐点：(1) \(y=x^{\frac53}\)，(2) \(y=x^{\frac35}\)，(3) \(y=x^{\frac23}\)
  9. 求 \(y=\frac{x^2}{x+1}\) 的渐近线
  10. \(y=x\sin x\) 在点 \((\frac\pi2,\frac\pi2)\) 处的曲率
  11. \(y=ax^2+bx+c\) 的曲率最大值

3.3 提示

(2) 1~2：单调性，3：最值，4：凹凸性

4. 不定积分

  1. \(\sec x=\frac{\tan x}{\sin x},\csc x=\frac{\cot x}{\cos x}\)，\(\csc 2x=\frac{\sec^2x}{2\tan x}=\frac{\csc^2x}{2\cot x}\)，\(\sec x\csc x=\frac{\sec^2x}{\tan x}=\frac{\csc^2x}{\cot x}\)，\(1+\cos x=2\cos^2\frac x2,1-\cos x=2\sin^2\frac x2\)
  2. 常见不定积分：
    1. \(\tan x\to\ln|\sin x|\)，\(\cot x\to-\ln|\cos x|\)
    2. \(\sec x\to\ln|\sec x+\tan x|\)，\(\csc x\to\ln|\csc x-\cot x|=\ln|\tan\frac x2|=-\ln|\cot\frac x2|\)
  3. \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 或 \(\frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}\) 可以做类似如下的变换：\(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{AQ(x)+BQ'(x)+C}{Q(x)}\)

4.1 不定积分1

  1. (1) \(\frac1{\sqrt{4-x^2}\sin^{-1}\frac x2}\)，(2) \(\sqrt{1+\sin x}\)，(3) \(\frac{\ln\tan x}{\sin 2x}\)，(4) \(\frac{\tan x}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}\)（\(a\ne0\)）
  2. (1) \(x^3\sqrt{4-x^2}\)，(2) \(\frac1{x(x^n+4)}\)，(3) \(\frac1{\sin x+\tan x}\)，(4) \(\frac{e^x}{e^x+2+3e^{-x}}\)
  3. (1) \((x\ln x)^{\frac32}(\ln x+1)\)，(2) \(\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}\)，(3) \(\frac{1+x}{x(1+xe^x)}\)，(4) \(\frac{e^{\sin 2x}\sin^2x}{e^{2x}}\)
  4. (1) \(\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}\)，(2) \(\frac{x+1}{\sqrt{-x^2-4x}}\)
  5. (1) \(\frac1{x^2(2+x^3)^{\frac53}}\)，(2) \(\frac1{x^4\sqrt{1+x^2}}\)
  6. (1) \(\frac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\)，(2) \(\frac1{\sqrt[3]{(1+x)^2(x-1)^4}}\)，(3) \(\frac x{(4-x^2)+\sqrt{4-x^2}}\)，(4) \((\sin^{-1}x)^2\)
  7. (1) \(x^a\ln x\)，(2) \((x+1)\tan^{-1}x\)，(3) \(\frac{\ln\cos x}{\cos^2x}\)
  8. (1) \(\frac{x^2e^x}{(x+2)^2}\)，(2) \(\frac{x^5}{\sqrt{a^3-x^3}}\)，(3) \(\frac{x\tan^{-1}x}{(1+x^2)^{\frac23}}\)，(4) \(\frac{x^2}{(x\cos x-\sin x)^2}\)
  9. 若 \(f(\ln x)=\frac{\ln(1+x)}x\)，计算 \(\int f(x)~d_x\)
  10. f 有一个原函数 \(F(x)=\frac{\sin x}x\)，计算 \(\int xf'(x)~d_x\)

4.1 提示

1.(2) \(\sqrt{1+\sin x}=\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin x}}\)

2.主要考察凑微分

(1) 出现 \(P(x)\sqrt{Q(x)}\) 的形式，可以做变换：\(P(x)\sqrt{Q(x)}=[Q(x)R(x)+T(x)]\sqrt{Q(x)}\)

(3) 注意分母的因子分解，然后裂项；分母的多项合并

3.整除性分析

4.三角代换

5.倒代换：\(x=\frac1t,d_x=-\frac1{t^2}\)

4.2 不定积分2

  1. \(\frac{x^3+x+6}{(x^2+2x+2)(x^2-4)}\)
  2. (1) \(\frac1{x^4(x^2+1)}\)，(2) \(\frac{x^2+1}{x^4+1}\)
  3. (1) \(\frac x{x^8-1}\)，(2) \(\frac1{x(x^{10}+1)^2}\)，(3) \(\frac{x^9-8}{x^{10}+8x}\)
  4. (1) \(\frac1{(2+\cos x)\sin x}\)，(2) \(\frac{1+\cos^2x}{1+\sin^2x}\)，(3) \(\frac{\cos^5x}{\sin^4x}\)
  5. \(\frac1{\sin x\cos^4x}\)
  6. 证明：\(\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{a\sin x+b\cos x}~d_x=Ax+B\ln|a\sin x+b\cos x|+C\)（A，B 为常数）
  7. (1) \(e^{-x}\tan^{-1}e^x\)，(2) \(\frac{x\ln x}{(x^2-1)^{\frac32}}\)，(3) \(\frac{\tan^{-1}x}{x^2(1+x^2)}\)
  8. (1) \(\frac{\cos^2x-\sin x}{\cos x(1+\cos x e^{\sin x})}\)，(2) \(\frac{\cos x+x\sin x}{(x+\cos x)^2}\)，(3) \((\tan x+\sec^2x)e^x\)
  9. \(f'(\ln x)=\begin{cases}1&0<x\le1\\x&x>1\end{cases}\)，\(f(0)=0\)，求 \(f(x)\)
  10. \(f(x)=\max\{x^3,x^2,1\}\)，求 \(I=\int f(x)~d_x\)
  11. \(f'(\sin^2x+2)=4\cos^2x+3\tan^2x\)（\(0\le x\le1\)），求 \(f(x)\)

5. 定积分及其应用

1. 定积分的概念及性质

  1. 估计 \(\int_0^2e^{x^2-x}~d_x\) 的定积分
  2. (1) \(\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}(x^3+\sin^2x)\cos^2x~d_x\)，(2) \(\int_{-2}^2(x+1)\sqrt{4|x|-x^2}~d_x\)，(3) \(\int_0^\pi\frac1{1+x^2}\sin^2x~d_x+\int_{-\pi}^0\frac1{1+x^2}\cos^2x~d_x\)，(4) \(\int_{-\frac12}^{\frac12}[\frac{x\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}-\ln(x+\sqrt{1+x^2})]~d_x\)
  3. 计算 \(\frac d{d_x}F(x)\)：(1) \(F(x)=\int_{x^2}^{\sin x}\cos\pi t^2~d_t\)，(2) \(F(x)=\int_a^x(x-t)^2f(t)~d_t\)，\(F(x)=\int_0^xf(t-x)~d_t\)
  4. \(\lim\limits_{x\to0}\frac{(\int_0^xe^{t^2}~d_t)^2}{\int_0^xte^{2t^2}~d_t}\)
  5. 计算 a 和 b：\(\lim\limits_{x\to0}\frac1{bx-\sin x}\int_0^x\frac{t^2}{\sqrt{a+t}}~d_t=1\)
  6. (1) \(\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}~d_x\)，(2) \(\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}~d_x\)，(3) \(\int_0^{n\pi}\sqrt{1+\sin2x}~d_x\)，(4) \(\int_0^{\frac\pi2}\sin^6x~d_x\)，(5) \(\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac{\sin^2x}{1+e^{-x}}~d_x\)