术语和定义

题外

1. 证明题的思路：
   • 分解初始条件和结束条件，寻找等价的能简洁描述的命题
   • 直接从初始条件出发，或者 从初始条件的必要条件(即分解结果)出发
   • 从结果条件出发：将结束条件重新组合
   • 注：初始条件的任何元素，结束条件的限制条件，其他定理的引入 都可以作为推理的筹码
   • 证明一个东西时：如果限定条件不清楚，可以从一个较为“宽限”的条件出发，证明过程中若出现过于复杂的式子，可以限定某些条件以简化式子（证明完毕后将这些后来加上的条件附加到初始条件上）

补充知识

1. 均值不等式：\(\frac n{\sum\limits_{i=1}^n\frac1{a_i}}\le\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^na_i}\le\frac{\sum\limits_{i=1}^na_i}n\le\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}n}\)（调和平均数 \(H_n\) \(\le\) 几何平均数 \(G_n\) \(\le\) 算术平均数 \(A_n\) \(\le\) 平方平均数 \(Q_n\)）
2. 排序不等式：若 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 是非降序数列，那么 \(\sum\limits_{i=1}^na_ib_{n-i+1}\le\sum\limits_{i=1}^na_ib_{\pi_i}\le\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\)（假设 \(\pi_1..\pi_n\) 为 \(1..n\) 的一个排列）
3. 切比雪夫不等式：若 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 是非降序数列，那么 \(\sum\limits_{i=1}^na_i\sum\limits_{i=1}^nb_i\le n\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\)
4. 伯努利不等式：若 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_i>-1\) 并且 \(a_i\) 同号，那么 \(1+\sum\limits_{i=1}^na_i\le\prod\limits_{i=1}^n(1+a_i)\)；特别地，\(1+nx\le(1+x)^n\)
5. 琴生不等式：若 f 在 \([a,b]\) 下凸 而且 \(x_i\in[a,b]\)，那么 \(\frac{\sum\limits_{i=1}^nf(x_i)}n\ge f\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}n\right)\)；推广：\(\sum\limits_{i=1}^na_if(x_i)\ge f\left(\sum\limits_{i=1}^na_ix_i\right)\)（仅当 \(\sum\limits_{i=1}^na_i=1\)，\(a_i>0\)）
6. 柯西-施瓦茨不等式：\((\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\le\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\)
7. 卡尔松不等式：有 k 长度分别为 n 的数列 \(\{a_{ij}\}\)，那么 \(\prod\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^ka_{ij}\ge\left(\sum\limits_{i=1}^k\sqrt[n]{\prod\limits_{j=1}^na_{ij}}\right)^n\) 或 \(\sum\limits_{i=1}^k\prod\limits_{j=1}^na_{ij}\le\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^k\sum\limits_{i=1}^na_{ij}^n}\)；特别地 \((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2\)
8. 其他不等式：绝对值不等式，权方和不等式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，舒尔不等式，切比雪夫定理，幂平均不等式，马尔可夫不等式，基本不等式

1. 函数

1. 函数：函数 f 是一个规则，按照它，集合A 中的每一个元素都恰好在集合 B 中有一个元素与之对应，称之为 f(x)
2. 函数的表示方法：描述法，数值法，直观法，公式法
3. 垂线测试：xOy 平面内的一条曲线是函数的图像 \(\iff\) 没有一条垂线和这条曲线相交一次以上
4. 分段函数：函数的定义域的不同部分用不同公式定义，如：绝对值函数
5. 对称性：见 (5), (6)
6. 偶函数：\(f(-x)=f(x)\)；函数关于 y 轴对称
7. 奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)；关于原点对称
8. 增减性：见 (9), (10)
9. 递增：函数f 称在区间I 上递增，如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 I 上 且 \(x_1 < x_2\)，则 \(f(x_1) < f(x_2)\)
10. 递减：函数f 称在区间I 上递减，如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 在 I 上 且 \(x_1 < x_2\)，则 \(f(x_1) > f(x_2)\)
11. 定义域：

12. 值域：

13. 数学模型：对现实问题某种现象的数学描述；详见 (14)-(24)

14. 线性模型：\(y=mx+b\)
15. 多项式：函数 P 称为 n 次多项式，如果 \(p(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i \cdot x^i (a_n \ne 0)\)
16. 二次函数：二次多项式 \(f(x) = ax^2+bx+c (a\ne0)\)
17. 幂函数：\(f(x)=x^a\)；a 的分类：正奇整数，正偶整数，负整数，0；正奇整数分之一，正偶整数分之一，负整数分之一；其他有理数，无理数
18. 有理函数：\(f(x)=\frac {P(x)}{Q(x)} (Q(x)\ne0)\)
19. 代数函数：从多项式出发，并由代数(+，-，*，/，求方根)构成
20. 三角函数：正弦(sine, sin)，余弦(cosine, cos)，正切(tangent, tan)；余割(cosecant, csc)，正割(secant, sec)，余切(cotangent, cot)
21. 反三角函数：三角函数的逆函数 arc..
22. 双曲函数：
23. 对数函数：\(f(x)=\log_a x (a,x > 0)\)

24. 超越函数：\(\{\text{三角函数}, \text{反三角函数}, \text{指数函数}, \text{对数函数}, \text{级数}, \text{其他未定义函数}\}\)

25. 函数(的图像)变换：通过已知函数的图像进行变换推理出新的函数图像；详见 (26)-(33)

26. 水平平移：\(g(x)=f(x-c)\) 相当于 \(f(x)\) 向右平移 c 个单位距离
27. 垂直平移：\(g(x)=f(x)+c\) 相当于 \(f(x)\) 向上平移 c 个单位距离
28. 水平伸长：\(g(x)=f(\frac1c x)\) 相当于 \(f(x)\) 水平伸长 c 倍
29. 水平压缩：\(g(x)=f(c x)\) 相当于 \(f(x)\) 水平压缩 c 倍
30. 垂直伸长：\(g(x)=cf(x)\) 相当于 \(f(x)\) 垂直伸长 c 倍
31. 垂直压缩：\(g(x)=\frac1c f(x)\) 相当于 \(f(x)\) 垂直压缩 c 倍
32. 关于 x 轴反射：\(g(x)=-f(x)\) 相当于 \(f(x)\) 关于 x 轴反射
33. 关于 y 轴反射：\(g(x)=f(-x)\) 相当于 \(f(x)\) 关于 y 轴反射
34. 组合函数：通过两个已知函数的代数运算(四则运算)组合成的新函数，即 \(f+g, f-g, f\cdot g, f/g\)（\(D_h=D_f\cap D_g\)）

35. 复合函数：通过两个已知函数的映射关系形成的新函数，即 \((f\circ g)(x) = f(g(x))\) 或 \(g\circ f)(x) = g(f(x))\)；具有右结合性；定义域诸如 \(D_{f\circ g}=\{x|g_x\in D_f\}\cap D_g\)

36. 指数函数：\(f(x)=a^x (a>0)\)

37. 指数定律：\(a^{x+y}=a^xa^y, ~a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}, ~(a^x)^y=a^{xy}, ~(ab)^x=a^xb^x\)
38. 对数函数[2]：指数函数的反函数(即参数 a 相同)
39. 对数定律：\(\log_a{xy}=\log_ax+\log_ay, ~\log_a{\frac xy}=\log_ax-\log_ay, ~\log_a{x^r}=r\log_ax\)
40. 换底公式：\(\log_xy=\frac {\log_ay}{\log_ax}\)
41. 单射函数：对于所有 \(x_1\ne x_2\)，\(f(x_1)\ne f(x_2)\)，那么 \(f(x)\) 为单射
42. 水平线判定：\(f(x)\) 是单射 \(\iff\) 没有水平直线与它相交超过一次
43. 反函数：假设 f 为单射，那么 f 的反射 \(f^{-1}\) 构成的函数 \(f^{-1}(x)\) 称为反函数；其图像可以通过 f 的图像关于 \(y=x\) 对称得到

2. 极限&导数

1. 变化率问题：某一微小偏差值之间，函数值的改变率；如：切线问题，速度问题

2. 极限：当 x 趋于 a 时，\(f(x)\) 的极限等于 L，记作 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\) 或者 \(x\to a, f(x)\to L\)

3. 单侧极限：详见 (4)-(5)
4. 左极限：当 x 趋近且严格小于 a 时，\(f(x)\) 的左极限等于 L，记作 \(\lim\limits_{x \to a^-}f(x) = L\)（若左极限存在）
5. 右极限：当 x 趋近且严格大于 a 时，\(f(x)\) 的右极限等于 L，记作 \(\lim\limits_{x \to a^+}f(x) = L\)（若右极限存在）
6. 双侧极限：\(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L \iff \lim\limits_{x \to a^-}f(x) = \lim\limits_{x \to a^+}f(x) = L\)
7. 无穷大极限：当 x 趋近于 a 时，\(f(x)\) 的绝对值可以任意大，记作 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = +∞\) 或 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = -∞\)（a 两边都有定义）

8. 垂直渐近线：\(f(x)\) 在 a 处有垂直渐近线 \(\iff\) \(f(x)\) 在 a 处存在一侧有无穷大极限

9. 极限法则1：若 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x\to a}g(x)\)存在，那么：

   • \(\lim\limits_{x\to a}[f(x) \pm g(x)]=\lim\limits_{x\to a}f(x) \pm \lim\limits_{x\to a}g(x)\)
   • \(\lim\limits_{x\to a}[f(x) \cdot g(x)]=\lim\limits_{x\to a}f(x) \cdot \lim\limits_{x\to a}g(x)\)
   • \(\displaystyle \lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)} {g(x)}=\frac {\lim\limits_{x\to a}f(x)} {\lim\limits_{x\to a}g(x)}\)（\(\lim\limits_{x\to a}g(x) \ne 0\)）
   • \(\lim\limits_{x \to a}[c \cdot f(x)] = c \cdot \lim\limits_{x \to a}f(x)\)
10. 极限法则2：
    • \(\lim\limits_{x\to a}c=c\)，\(\lim\limits_{x\to a}x=a\)，\(\lim\limits_{x\to a}x^n=a^n\)（\(n\in N^+\)）
    • 若 \(n\in N^+\)，则 \(\lim\limits_{x\to a}[f(x)]^n=[\lim\limits_{x\to a}f(x)]^n\)，\(\lim\limits_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\to a}f(x)}\)
11. 极限法则3(直接替换性质)：如果 f 具有直接替换性质，并且在 a 处有定义，那么 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\)
    • 注：具有直接替换性质的函数是 在 a 处连续的函数，如多项式或有理函数
12. 极限法则4：如果 x 在除了点 a 以外的 a 的附近（即 a 的去心邻域）有 \(f(x)\le g(x)\)，那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) \le \lim\limits_{x \to a}g(x)\)（仅当极限存在）

13. 极限法则5(夹逼原理)：如果 x 在除了点 a 以外的 a 的附近（即 a 的去心邻域）有 \(f(x)\le g(x)\le h(x)\)，并且 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}h(x) = L\)，那么 \(\lim\limits_{x \to a}g(x) = L\)

14. 极限[2] (\(\epsilon-\delta\))：对于任意 \(\epsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\) 使得任意 \(x\in\{x~\mid~|x-a|<\delta\}\) 都有 \(|f(x)-L| < \epsilon\)；那么称 x 趋于 a 时 \(f(x)\) 的极限是 L，记作 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = L\) （f 在 a 的去心邻域有定义）

15. 无穷大极限[2]：

    1. 对于任意正数 \(M\)，都存在 \(\delta > 0\) 使得任意 \(x\in\{x~\mid~|x-a|<\delta\}\) 都有 \(f(x)>M\)；记作 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = +∞\)
    2. 对于任意负数 \(N\)，都存在 \(\delta > 0\) 使得任意 \(x\in\{x~\mid~|x-a|<\delta\}\) 都有 \(f(x)<N\)；记作 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = -∞\)

16. 连续性：f 在 a 处连续，当且仅当 \(\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\)；当且仅当 \(\lim\limits_{h\to0}f(a+h)-f(a)=0\)

17. 单侧连续性：详见 (18)-(19)
18. 左连续：函数 f 在 a 点左连续，当且仅当 \(\lim\limits_{x \to a^-}f(x) = f(a)\)
19. 右连续：函数 f 在 a 点右连续，当且仅当 \(\lim\limits_{x \to a^+}f(x) = f(a)\)
20. 区间连续性：f 在区间 I 上连续，当且仅当 对于任意 \(x\in I\) 都有 f 在 x 处连续
21. 连续性法则1：如果 f 和 g 连续，那么 f 和 g 的合法线性组合(\(f\pm g, ~fg, ~f/g ~(g(a)\ne0), ~c~f\))也连续
22. 连续性法则2(直接替换性质)：f 具有 直接替换性质，当且仅当 f 处处连续
    • 如：有理函数（多项式，平方根函数），常见超越函数（三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数；即 “反对指三”）
23. 极限法则6(复合函数极限?)：如果 f 在 b 点连续，并且 \(\lim\limits_{x\to a}=b\)，那么 \(\lim\limits_{x \to a}f(g(x)) = f(b)\)
    • 换句话说 \(\lim\limits_{x \to a}f(g(x)) = f(\lim\limits_{x \to a}g(x))\)
24. 连续性法则3(复合函数连续)：如果 g 在 a 连续，并且 f 在 \(g(a)\) 连续，那么 \((f \circ g)(x)\) 在 a 处也连续

25. 介值定理：如果 f 在非退化区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \(f(a) \ne f(b)\)，那么存在 \(c\in (a,b)\) 使得 \(f(c)\) 介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间

    • 非退化区间：指的是 \([a, b]\) 不会退化为一个点，即 \(a\ne b\)
    • 条件 \(f(a)\ne f(b)\) 等价为 \([\min\{f(a),f(b)\}, ~\max\{f(a),f(b)\}]\) 为非退化区间
    • 定理等价于：如果 f 上能找到非退化矩形，那么存在 \(c\in (a,b)\) 使得 \(f(c)\) 介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间

26. 无穷远处的极限：

    • 如果 f 在 \((a,+∞)\) 处有定义，并且可以通过使 x 足够的大，使得 \(f(x)\) 任意地接近 L；那么称 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 为正无穷远处的极限
    • 如果 f 在 \((-∞,a)\) 处有定义，并且可以通过使 x 从负方向足够的大，使得 \(f(x)\) 任意地接近 L；那么称 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\) 为负无穷远处的极限
27. 水平渐近线：直线 \(y = L\) 为 \(y=f(x)\) 的水平渐近线，当且仅当 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 或 \(\lim\limits_{x \to -∞}f(x) = L\)
28. 无穷远处的极限[2]：
    • 如果 f 在 \((a,+∞)\) 处有定义，对于任意 \(\epsilon>0\)，都存在一个数 N，使得 \(x>N\) 时有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)；称 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 为正无穷远处的极限
    • 如果 f 在 \((-∞,a)\) 处有定义，对于任意 \(\epsilon>0\)，都存在一个数 N，使得 \(x<N\) 时有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)；称 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = L\) 为负无穷远处的极限

29. 无穷远处的无穷大极限：

    • 如果 f 在 \((a,+∞)\) 处有定义，对于任意 \(M>0\)，都存在一个数 \(N>0\)，使得 \(x>N\) 时有 \(f(x)>M\)；称 \(\lim\limits_{x \to +∞}f(x) = +∞\) 为负无穷远处的极限
    • 把 \(x>N, f(x)>M, ∞\) 的符号作合适的更改，可以得到另外三种定义

30. 切线斜率(速度/变化率...)：曲线 \(y=f(x)\) 在 \(P(a,f(a))\) 处的切线斜率为 \(m=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(a+h)-f(a)}h\) （仅当极限存在）

31. 导数：f 在 a 处有导数 \(f'(a)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)，当且仅当 f 在 a 处存在切线斜率 \(m = \lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

    • 导数也是 f 在 a 处的瞬时变化率 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \lim\limits_{x2\to x1}\frac{f(x2)-f(x1)}{x2 - x1}\)
    • 可导：f 在 a 处可导，当且仅当 a 处的左导数等于右导数
32. 导函数：\(f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac {f(x+h)-f(x)}h\)，\(D_{f'}=D_f\cap \{x~|~f'(x) 存在\}\)
33. 导数符号：
    • 通用记号：\(f'(x)=y'=\frac {d_y}{d_x}=\frac {d_f}{d_x}=\frac d{d_x}f(x)=D~f(x)=D_x~f(x)\)
    • 莱布尼茨公式：\(\frac {d_y}{d_x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta x}{\Delta y}\)
    • 特殊点处的导数：\(\left. \frac{d_y}{d_x}\right|_{x=a}\) 或 \(\left. \frac{d_y}{d_x}\right]_{x=a}\)
34. 可微：
    • 点可微：如果导数 f'(a) 存在，则称 f 在点 a 是可微的
    • 区间可微：如果 f 在开区间 (a, b) [或 (a, +∞), (-∞, a), (-∞, +∞)] 内每一点都可微，则称 f 在开区间 (a, b) 上是可微的
35. 可微的必要性：如果 f 在点 a 处可微，那么 f 在点 a 处连续

36. 可微的矛盾条件：

    1. 函数图像有“隅角" 或 “纽结”
    2. f 在 a 处不连续，则 f 在 a 处不可微
    3. f 在 \(x=a\) 处连续，但有垂直切线（即 a 处切线斜率为无穷，也即切线斜率不存在）

37. 将 e 表示为极限：\(e = \lim\limits_{x \to 0}(1 + x)^{1/x}\)，\(e = \lim\limits_{x \to \infty}(1 + \frac 1x)^{x}\)；详见 3.8

38. stolz（斯托尔兹）定理：若 \(\{b_n\}\) 单调增加且 \(\lim\limits_{n\to∞}b_n=+∞\)，\(\lim\limits_{n\to∞}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\) 存在或为 \(\pm∞\)，则 \(\lim\limits_{n\to∞}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to∞}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\)（“差分化”）

39. 平均值定理：
    1. 算术平均值：\(\lim\limits_{n\to∞}a_n\) 存在或为 \(\pm∞\)，那么 \(\lim\limits_{n\to∞}\frac{\sum\limits_{i=1}^na_i}n=\lim\limits_{n\to∞}a_n\)
    2. 几何平均值：\(\lim\limits_{n\to∞}a_n\) 存在或为 \(\pm∞\)，那么 \(\lim\limits_{n\to∞}\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^na_i}=\lim\limits_{n\to∞}a_n\)（\(a_i>0\)）

3. 求导法则

1. 常函数：\(\frac{d}{d_x}(c) = 0\)
2. 幂函数：\(\frac{d}{d_x}(x^n) = n\cdot x^{n-1}\)
3. 指数函数：\(\frac{d}{d_x}(a^x) = f'(0)\cdot a^x\)，\(\frac{d}{d_x}(e^x) = e^x\)
4. 常数因子：\(\frac{d}{d_x}[c\cdot f(x)] = c\cdot \frac{d}{d_x}f(x)\)
5. 和/差函数：\(\frac{d}{d_x}[f(x) \pm g(x)] = \frac{d}{d_x}f(x) \pm \frac{d}{d_x}g(x)\)

6. 积函数：\(\displaystyle \frac{d}{d_x}(f(x) \cdot g(x)) = \frac{d}{d_x}[f(x)]g(x) + \frac{d}{d_x}[g(x)]f(x)\)

7. 商函数：\(\displaystyle \frac{d}{d_x}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\frac{d}{d_x}[f(x)]g(x) - \frac{d}{d_x}[g(x)]f(x)}{[g(x)]^2}\) （\(g(x)\ne 0\)）

8. 微分公式表1（对 (1)-(7) 的总结）：

   • \(\frac d{d_x}c = 0\)，\(\frac d{d_x}x^n= x\cdot x^{n-1}\)，\(\frac d{d_x}e^x = e^x\)
   • \((cf)' = cf'\)，\((f + g)' = f' + g'\)，\((f - g)' = f' - g'\)
   • \(\displaystyle (fg)' = f'g + g'f\)，\(\displaystyle (\frac fg)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\)
   • 注：仅当 f 和 g 均可微

9. 三角函数：

   • \(\frac d{d_x}(\sin_x) = cos_x\)，\(\frac d{d_x}(\csc_x) = -\cot_x \cdot \csc_x\)
   • \(\frac d{d_x}(\cos_x) = -sin_x\)，\(\frac d{d_x}(\sec_x) = \tan_x \cdot \sec_x\)
   • \(\frac d{d_x}(\tan_x) = \frac 1{(\cos_x^2)} = \sec_x^2\)，\(\frac d{d_x}(\cot_x) = -\csc_x^2\)

10. 链式法则：如果 f 和 g 可导，则对于 \(F=f\circ g\) 有 \(F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

    • 莱布尼茨记号：\(\frac {d y}{d_x} = \frac{d y}{d_u}\cdot \frac{d u}{d_x}\) （或 \(\frac {d(f o g)}{d_x}=\frac {d (f o g)}{d_g}\cdot \frac{d g}{d_x}\) ?）

11. 隐函数：

12. 反三角函数：

    • \(\frac d{d_x}(\sin^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)，\(\frac d{d_x}(\csc^{-1}x) = -\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(\frac d{d_x}(\cos^{-1}x) = -\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)，\(\frac d{d_x}(\sec^{-1}x) = \frac 1{x\sqrt{x^2-1}}\)
    • \(\frac d{d_x}(\tan^{-1}x) = \frac 1{1+x^2}\)，\(\displaystyle \frac d{d_x}(\cot^{-1}x) = -\frac 1{1+x^2}\)

13. 高阶导数的记法：\(f', f'', f''', \dots, f^{(n)}\)，\(D^n~f(x)\)，\(y^{(n)}\)，\(\frac {d^ny}{dx^n}\)

    • 注：\(\displaystyle \frac {d^ny}{dx^n} = \frac d{d_x}(\frac {d^{(n-1)}y}{dx^{(n-1)}})\)

14. 对数函数：\(\frac d{d_x}(\log_ax) = \frac 1{x\ln a}\)，\(\frac d{d_x}(\ln_x) = \frac 1x\)（\(x>0\)），\(\frac d{d_x}(\ln(|x|)) = \frac 1x\)（\(x\ne 0\)）

    • 其他：\(\frac d{d_x}\ln u = \frac 1u \cdot \frac {d u}{d_x}\)，\(\frac d{d_x}\ln(f(x)) = \frac {f'(x)}{f(x)}\)，\(\frac d{d_x}ln(\sin x) = \cot x\)，\(\frac d{d_x}ln(\cos x) = -\tan x\)

15. 对数求导法：对于“单项分式函数” \(y=f(x)\)，对 \(y=f(x)\) 或 \(y=|f(x)|\) 两边取对数；两边对 x 求导；求解方程得到 \(y'\)

16. 双曲函数：

    • \(\sinh x=\frac {e^x-e^{-x}}2\)(R, R)，\(\text{csch} x=\frac 1{\sinh x}\)
    • \(\cosh x=\frac {e^x+e^{-x}}2\)(R, [1, +∞))，\(\text{sech} x=\frac 1{\cosh x}\)
    • \(\tanh x=\frac {\sinh x}{\cosh x}\)(R, (-1,1))，\(\coth x=\frac {\cosh x}{\sinh x}\)
17. 双曲恒等式：
    • \(\sinh (-x) = -\sinh x\)，\(\cosh (-x) = \cosh x\)
    • \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)，\(1-\coth^2x=\text{csch}^2x\)，\(1-\tanh^2x=\text{sech}^2x\)
    • \(\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y\)，\(\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\)
18. 双曲函数的性质：\(P(\cosh t, \sinh t)\) 表示 \(x^2-y^2=1\) 的右半支（因为 \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)），t 表示 \(OP, OQ, \mathop{PQ}\limits^{\frown}\) 所围成的有向面积的两倍（O为原点，P为焦点(1,0)，Q为参数方程上的点）
    • 类似地，\(P(\cos t, \sin t)\) 表示 \(x^2+y^2=1\) 的图像，t 表示 \(OP, OQ, \mathop{PQ}\limits^{\frown}\) 所围成的有向面积的两倍（数值上等于从OP开始逆时针旋转的弧度）
19. 双曲函数的导数：
    • \(\frac d{d_x} \sinh x = \cosh x\)，\(\frac d{d_x} \text{csch} x = -\coth x~\text{csch} x\)
    • \(\frac d{d_x} \cosh x = \sinh x\)，\(\frac d{d_x} \text{sech} x = -\tanh x~\text{sech} x\)
    • \(\frac d{d_x} \tanh x = \text{sech}^2x\)，\(\frac d{d_x} \coth x = -\text{csch}^2x\)
20. 反双曲函数的定义：
    • \(y = \sinh^{-1}x \iff \sinh y = x\)
    • \(y = \cosh^{-1}x \iff \cosh y = x\)（限定 \(x\ge 0\) 使\(\cosh\) 单射）
    • \(y = \tanh^{-1}x \iff \tanh y = x\)
21. 反双曲函数的表达式：
    • \(\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt {x^2+1})\) (R, R)
    • \(\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt {x^2-1})\) ([1,∞], [0,∞])
    • \(\tanh^{-1}x = \frac 12\ln (\frac {1+x}{1-x})\) ((-1,1), R)

22. 反双曲函数的导数：

    • \(\frac d{d_x}(\sinh^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{1+x^2}}\)，\(\frac d{d_x}(\text{csch}^{-1}x)=- \frac 1{|x|\sqrt{x^2+1}}\)
    • \(\frac d{d_x}(\cosh^{-1}x) = \frac 1{\sqrt{x^2-1}}\)，\(\frac d{d_x}(\text{sech}^{-1}x)=- \frac 1{|x|\sqrt{1-x^2}}\)
    • \(\frac d{d_x}(\tanh^{-1}x) = \frac 1{1-x^2}\)，\(\frac d{d_x}(\coth^{-1}x) = \frac 1{1-x^2}\)

23. 微分：微分 \(dy\) 是微分 \(dx\) 的函数，满足 \(dy = f'(x)dx\)，表示从 x 开始到另一点，切线函数值上升的数量(可负)

    • 差分：满足 \(\delta y = f(x_1)-f(x), \delta x=x_1-x\)，表示从 x 开始到另一点 \(x_1\)，原函数值上升的数量(可负)

4. 导数的应用

1. 最值：最大值和最小值的统称；详见 (2)-(3)
2. 最大值：如果存在 c 满足 \(f(c)\ge f(x)\)（\(x\in D_f\)）；那么称 f 在点 c 处有绝对(全局)最大值，称 \(f(c)\) 为 f 在定义域 \(D_f\) 中的最大值
3. 最小值：如果存在 c 满足 \(f(c)\le f(x)\)（\(x\in D_f\)）；那么称 f 在点 c 处有绝对(全局)最小值，称 \(f(c)\) 为 f 在定义域 \(D_f\) 中的最小值
4. 极值：极大值和极小值的统称；详见 (5)-(6)
5. 极大值：当 c 的附近都有 \(f(c)\ge f(x)\)；那么称 f 在点 c 处有一个极大值
6. 极小值：当 c 的附近都有 \(f(c)\le f(x)\)；那么称 f 在点 c 处有一个极小值
7. 最值定理：如果 f 在 \([a,b]\) 上有定义并且连续，那么该区间上必然在 c 和 d 处分别取最大值 \(f(c)\) 和最小值 \(f(d)\)
8. 费马定理(fermat theorem)：如果 f 在点 c 处有极值，那么 \(f'(c)=0\)（仅当 \(f'(c)\) 存在）
   • 等价命题1：如果 f 在点 c 处有极值，那么 \(f'(c)=0\) 或 \(f'(c)\) 不存在
   • 等价命题2：如果 f 在点 c 处有极值，那么点 c 是 f 的临界值点，即 \(f(c)\) 为临界值
   • 注：逆命题不一定成立(如 \(f(x)=x^3\))；
9. 临界值点：满足 \(f'(c)=0\) 或 \(f'(c)\) 不存在的点 c

10. 中值定理：

11. 罗尔定理(rolle theorem)：如果 f 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可微，并且 \(f(a)=f(b)\)；那么存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=0\)

12. 拉格朗日中值定理(langrange theorem)：如果 f 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可微；那么存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} = \frac {\Delta y}{\Delta x}\)
13. “常数函数”定理(拉格朗日中值定理推论)：如果对于所有 \(x\in(a,b)\) 有 \(f'(x)=0\)，那么对于所有 \(x\in(a,b)\) 使得 \(f(x)=c\)（c 为常数）
    • 注：对于所有 \(x\in(a,b)\) 有 \(f(x)=c\)（c 为常数） \(\iff\) 对于所有 \(a\le x_1,x_2 \le b\) 有 \(f(x_1)=f(x_2)\)

14. “常数函数”定理的推论：如果对于所有 \(x\in(a,b)\) 有 \(h'(x)=f'(x)-g'(x)=0\)，那么对于所有 \(x\in(a,b)\) 使得 \(h(x)=f(x)-g(x)=c\)，也即 \(f(x)=g(x)+c\)

    • \(f(x)=\tan^{-1}x, g(x)=-\cot^{-1}x\) 时，有结论：\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac\pi2\)

15. 单调性判定：详见 (16)-(17)

16. 增函数：如果对于所有 \(x\in(a,b)\) 有 \(f'(x)>0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 里是增函数（a 或 b 可以指 \(∞\) 或 \(-∞\)）
17. 减函数：如果对于所有 \(x\in(a,b)\) 有 \(f'(x)<0\)，那么 f 在 \((a,b)\) 里是减函数
18. 极值判别法1：
    1. 极大值：如果在 c 点，\(f'\) 由正变为负，那么 f 在点 c 处有一个极大值
    2. 极小值：如果在 c 点，\(f'\) 由负变为正，那么 f 在点 c 处有一个极小值
    3. 无极值：如果在 c 点，\(f'\) 的符号不发生改变，那么 f 在点 c 处没有极值
19. 凹性：详见 (19)-(20)
20. 上凹：如果函数 f 在区间 I 的图形位于它的所有切线的上方，那么称 f 在区间 I 上凹
21. 下凹：如果函数 f 在区间 I 的图形位于它的所有切线的下方，那么称 f 在区间 I 下凹
22. 凹凸性判别法
    • 上凹：如果对于任意 \(x\in I\) 都有 \(f''(x)>0\)，那么 f 在区间 I 内上凹
    • 下凹如果对于任意 \(x\in I\) 都有 \(f''(x)<0\)，那么 f 在区间 I 内下凹
23. 拐点：曲线 \(y=f(x)\) 在 P 点连续，并且在 P 点由上凹变为下凹，或者由下凹变为上凹；那么称 P 为该曲线的一个拐点

24. 极值判别法2：假设 \(f''\) 在点 c 附近连续

    • 当 \(f'(c)=0\)，并且 \(f''(c)>0\)；则 f 在点 c 处有一个极小值
    • 当 \(f'(c)=0\)，并且 \(f''(c)<0\)；则 f 在点 c 处有一个极大值
    • 当 \(f''(c)=0\) 时，函数可能有 极大值 或 极小值 或 不存在极值

25. 商的不定型(\(\frac 00\), \(\frac ∞∞\))：\(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}\) 为商的不定型，仅当满足以下条件之一：

    1. \(\frac 00\) 型：当 \(x\to a, f(x)\to 0, g(x)\to 0\)；此时极限可能存在，也可能不存在
    2. \(\frac ∞∞\) 型：当 \(x\to a, f(x)\to ∞, g(x)\to ∞\)；此时 分子阶数高 / 分母阶数高 / 分子分母同阶 极限分别为 ∞，0，或 可能存在/不存在
26. 柯西均值定理(cauchy theorem)：假设 f 和 g 在 \([a,b]\) 上连续，\((a,b)\) 上可微，并且对于 \(x\in(a,b)\) 有 \(g'(x)\ne 0\)；那么存在 \(c\in(a,b)\)，使得 \(\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)
27. 洛必达法则：假设 f 和 g 在 a 附近可微，并且 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)}\) 是商的不定型；那么 \(\lim\limits_{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a}\frac {f'(x)}{g'(x)}\) （仅当 a 附近 \(g'(x)\ne 0\)；并且 右侧极限存在或是 \(+∞\)或\(-∞\)）
    • 推论：当 \(f(a)=g(a)=0\)，且 \(g'\) 连续，并且 \(g'(a)\ne 0\)；那么洛必达法则可用
    • 注：x 可以趋向于 单侧极限 或 无穷远处；\(g'(x) \ne 0\) 不是指 \(g'(a)\ne 0\) 或 \(\lim\limits_{x\to a}g'(x)\ne 0\)，但通常指的是 分母不能是常数函数
28. 积的不定型(\(0\cdot ∞\))：极限 \(\lim\limits_{x\to a} f(x)g(x)\) 称为积的不定型 \(0\cdot ∞\)，当且仅当 \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = 0, \lim\limits_{x\to a} g(x) = +∞ | -∞\)
    • 两种处理方法：\(fg = \frac f{1/g} = \frac g{1/f}\)
    • 注：如果 f 的影响更大，则极限为 0；如果 f 的影响更大，则极限为 +∞ | -∞；如果 f 和 g 对结果影响差不多，可能这个极限为 某个有限的非零数
29. 差的不定型(\(∞-∞\))：极限 \(\lim\limits_{x\to a} [f(x)-g(x)]\) 称为商的不定型，当且仅当 \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = +∞, \lim\limits_{x\to a} g(x) = +∞\)
    • 处理方法：通过对每一项变换得到公分母；分子分母同时乘一个数；有理化？

30. 幂的不定型(\(0^0\), \(∞^0\), \(1^∞\))：极限 \(\lim\limits_{x\to a} [f(x)]^{g(x)}\) 为幂的不定型，当且仅当满足以下条件之一：

    1. \(0^0\)：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=0, \lim\limits_{x\to a} g(x)=0\)
    2. \(∞^0\)：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=∞, \lim\limits_{x\to a} g(x)=0\)
    3. \(1^∞\)：\(\lim\limits_{x\to a} f(x)=1, \lim\limits_{x\to a} g(x)=±∞\)
    4. 处理方法：设 \(y=[f(x)]^{g(x)}\)，\(y = e^{\ln y} = e^{g(x)\ln f(x)}\)（仅当 \(y>0\)）

31. 曲线绘图：曲线的绘制可以综合以下方面的信息：

    1. 定义域，范围；对称性，周期性；截距
    2. 极限，连续，渐近线(水平 / 垂直 / 斜)
    3. 导数，切线
    4. 零点 / 正负，极值 / 单调性，拐点 / 凹性；洛必达法则
32. 周期性：\(f(x+p)=f(x)\)

33. 渐近线：

    1. 水平渐近线：\(y=L\) 为水平渐近线，当且仅当 \(\lim\limits_{x\to +∞} f(x) = L\) 或 \(\lim\limits_{x\to -∞} f(x) = L\)
    2. 垂直渐近线：\(x=a\) 为垂直渐近线，当且仅当 满足 \(\lim\limits_{x\to a^\pm} f(x) = \pm∞\) 其中之一
    3. 斜渐近线：\(y=mx+b\) 为斜渐近线，当且仅当 满足 \(\lim\limits_{x\to ±∞} [f(x) - (m x + b)] = 0\) 之一（若 \(f(x)\) 为有理函数，即 \(f(x)=\frac {P(x)}{Q(x)}\)，并且 \(P(x)\) 比 \(Q(x)\) 大一阶，那么 \(f(x)\) 存在斜渐近线）

34. 最值判别法(一阶导数)：设 c 为区间上连续函数 f 的临界值

    1. 如果对所有 \(x<c\) 有 \(f'(x)>0\)，对所有 \(x>c\) 有 \(f'(x)<0\)，则 f(c) 是 f 的最大值
    2. 如果对所有 \(x<c\) 有 \(f'(x)<0\)，对所有 \(x>c\) 有 \(f'(x)>0\)，则 f(c) 是 f 的最小值

35. 牛顿法/牛顿插值法/牛顿迭代法：\(x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)}{f'(x_{n})}\)（用于求 \(f(x)=0\) 的解）

36. 原函数：F 为 f 在区间 I 上的一个原函数，当且仅当 对于所有 \(x\in I\) 都有 \(F'(x)=f(x)\)

37. 定理：如果 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数，那么 f 在区间 I 上的原函数通式为：\(F(x) + C\)（C 为常数）
38. 原函数公式表：也就是 “积分公式表”？
39. 微分方程：含有导数的方程
40. “微积分函数的几何依赖”：函数 \(f\) 的值会影响它的祖先的几何特性，祖先的几何特性又反过来暗示 \(f\) 的值：
    • f 零点旁边的正负函数值 \(\iff\) 水平渐近线(或待选极值点)旁边的单调性 \(\iff\) \(f^{(-2)}(x)\) 伪拐点旁边的 凹性
    • 即“n 阶原函数的图像可以决定 f 的零点正负，n 阶导函数的数值可以决定 f 的图像”
    • 例如：二阶原函数 \(f^{(-2)}(x)\) 的 拐点和拐性 可以推出 \(f(x)\) 的 零点和正负；一阶原函数 \(f^{(-1)}(x)\) 的待选极值点和单调性 可以推出 \(f(x)\) 的 零点和正负；一阶导函数 \(f'(x)\) 的 零点和正负 可以推出 \(f(x)\) 的 待选极值点和单调性；一阶原函数 \(f''(x)\) 的 零点和正负 可以推出 \(f(x)\) 的 拐点和拐性

5. 积分

1. 面积问题(距离问题...)：为了计算 \(y=f(x)\) 从 a 到 b 下区域 S 的面积（区域 S 表示：曲线 f，\(x=a\)，\(x=b\)，x 轴围成的范围），将 a 到 b 的区间划分 n 个等宽近似矩形，累计贡献并求和并曲极限有：\(A = \lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n \frac {b-a}n f(a + \frac {(b-a)}ni)\) （样本点取小矩形右侧）；记 \(\Delta x=\frac {b-a}n,~x_i=a+\frac {b-a}ni,~x_i^*\in(x_{i-1},x_i)\) 有：

   1. 样本点取左端点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}L_n = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta x \cdot f(x_i)\)
   2. 样本点取右端点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}R_n = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^n \Delta x \cdot f(x_i)\)
   3. 样本点不取端点：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^n \Delta x \cdot f(x_i^*)\)
   4. 中间值法：\(A = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^n \Delta x \cdot f(\overline x_i)\) （\(\overline x_i=\frac {x_{i-1}+x_i}2\)）

2. 定积分：f 在 \([a, b]\) 上连续，将区间 \([a, b]\) 分割成 n 个等长度的子区间，长度为 \(\Delta x = \frac {b-a}{n}\)，令 \(x_i（i=0..n）\) 为子区间的端点，\(x^*_i（i=1..n）\) 为子区间 i (即区间 \([x_{i-1}, x_i\)]) 的样本点，那么 f 从 a 到 b 的定积分为： \(\int_a^b f(x) d_x = \lim\limits_{n\to +∞}\sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(x^*_i)\)

   • 注：区间中存在 有限多个 可去的 或 跳跃的 不连续点 时，上述极限仍然存在；积分是求和的极限，所以莱布尼茨引进的符号 \(\int\)（即 拉长的 S）
   • a，b，\(f(x)\) 分别称为 上极限，下极限，被积函数；a 和 b 统称 积分极限
   • \(d_x\) 不依赖于 x；x 只是一个迭代变量，可以任意改变符号 x
3. 黎曼和：\(\sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(x^*_i)\)
   1. 对于所有 \(x\in [a,b]\) 都有 \(f(x)\ge 0\) 时，黎曼和解释为 近似矩形的面积和
   2. 存在 \(x\in [a,b]\) 有 \(f(x)<0\) 时，黎曼和称为 净面积 或 面积差：\(\int_a^b f(x) d_x = A_1 - A_2\)
4. 定积分[2]：对于所有 \(\epsilon>0\)，存在 \(N>0\) 使得 \(n>N\) 时有 \(|\int_a^b f(x) d_x - \sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(x_i^*)| < \epsilon\)
5. 求和公式：
   1. \(\sum\limits_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}\)，\(\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\)，\(\sum\limits_{i=1}^n i^3 = (\frac {n(n+1)}{2})^2\)
   2. \(\sum\limits_{i=1}^n c = n c\)，\(\sum\limits_{i=1}^n c\cdot a_i = c\sum\limits_{i=1}^n a_i\)，\(\sum\limits_{i=1}^n (a_i \pm b_i) = \sum\limits_{i=1}^n a_i \pm \sum\limits_{i=1}^n b_i\)
6. 求和方法：\(\sum\limits_{i=1}^n a_i\)
   1. 构造 \(\sum\limits_{i=1}^n a_i = \sum\limits_{i=1}^n d(b_i-b_{i-1}) = d(b_n-b_0)\) （分子分母同乘两个项的数）
7. 定积分的性质：
   • \(\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx\)；\(a = b \implies \int_a^b f(x) dx = 0\)
   • \(\int_a^b c dx = c (b - a)\)，\(\int_a^b cf(x) dx = c\int_a^b f(x) dx\)
   • \(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx\)

8. 定积分的比较性质：

   1. 当 \(a \le x \le b\) 时，\(f(x) \ge 0\)，则 \(\int_a^b f(x) d_x \ge 0\)
   2. 当 \(a \le x \le b\) 时，\(f(x) \ge g(x)\)，则 \(\int_a^b f(x) d_x \ge \int_a^b g(x) d_x\)
   3. 当 \(a \le x \le b\) 时，\(m \le f(x) \le M\)，则 \(m(b-a) \le \int_a^b f(x) d_x \le M(b-a)\)

9. 微积分“恒等式”：\(f(x) = \int_a^x f'(t) d_t\) \(\iff\) \(f^{(-1)}(x) = \int_a^x f(t) d_t\)

10. 微积分基本定理1 (FTC1)：f 在 \([a,b]\) 上连续，定义积分上限函数 g 为：\(g(x) = \int_a^x f(t) d_t\)（\(x\in[a,b]\)），那么 g 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，并且 \(g'(x)=f(x)\)
    • 注：其证明用到了 最值定理，定积分的比较性质3，极限相关定理
    • 由莱布尼茨符号，可以改写成：\(\frac d{d_x}\int_a^x f(t) d_t = f(x)\)
11. 微积分基本定理2 (FTC2)：f 在 \([a,b]\) 上连续，那么 \(\int_a^b f(x) d_x = F(b) - F(a)\)；记 \(F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)
    • 注：\(F'=f\)（或 \((f^{(-1)})' =f\)）

12. 两个互逆过程：假设 f 在 \([a,b]\) 上连续

    1. 若 \(g(x)=\int_a^xf(t)d_t\)，则 \(\frac d{d_x} \int_a^x f(t) d_t = f(x)\)
    2. \(\int_a^b f(x) d_x = F(b) - F(a) \iff \int_a^b F'(x) d_x = F(b) - F(a)\) （\(F'=f\)）

13. 不定积分：\(\int f(x) d_x = F(x)\)，当且仅当 \(F'(x) = f(x)\)

14. 不定积分表：
    1. \(\int c \cdot f(x) d_x = c\cdot \int f(x) d_x, \int [f(x) + g(x)] d_x = \int f(x) d_x + \int g(x) d_x, \int k d_x = k\cdot x + C\)
    2. \(\int x^n d_x = \frac {x^{n+1}}{n+1} + C (n\ne -1), \int \frac 1x d_x = \ln {\mid x \mid} + C\)
    3. \(\int e^x d_x = e^x + C, \int a^x d_x = \frac {a^x}{\ln a} + C\)
    4. \(\int \sin x d_x = -\cos x + C, \int \cos x d_x = \sin x + C\)
    5. \(\int \csc^2x d_x = -\cot x + C, \int \sec^2x d_x = \tan x + C\)
    6. \(\int \csc x\cot x d_x = -\csc x + C, \int \sec x\tan x d_x = \sec x + C\)
    7. \(\int \tan x d_x = \ln {\mid \sec x \mid} + C, \int \cot x d_x = -\ln {\mid \csc x \mid} + C\)
    8. \(\int \sinh x d_x = \cosh x + C, \int \cosh x d_x = \sinh x + C\)
    9. \(\displaystyle \int \frac 1{x^2+1} d_x = \tan^{-1}x + C, \displaystyle \int \frac 1{\sqrt {1 - x^2}} d_x = \sin^{-1}x + C\)
    10. \(\displaystyle \int \frac 1{x^2+a^2} d_x = \frac 1a \tan^{-1}{(\frac xa)} + C, \displaystyle \int \frac 1{\sqrt {a^2 - x^3}} d_x = \sin^{-1}{(\frac xa)} + C\)
    11. \(\displaystyle \int \frac 1{x^2-a^2}~d_x = \frac 1{2a}\ln {\mid \frac {x-a}{x+a} \mid }, \displaystyle \int \frac 1{\sqrt {x^2±a^2}} = \ln {\mid x + \sqrt {x^2 ± a^2} \mid}\)
15. 自然对数相关积分：\(\int \frac {f'(x)}{f(x)} d_x = \ln \mid f(x) \mid\)
    • 如：\(\int \tan x d_x = -\ln {\mid \cos x \mid} = \ln {\mid \sec x \mid}, \int \cot x d_x = \ln {\mid \sin x \mid} = -\ln {\mid \csc x \mid}\)

16. 净值定律：变化率的积分等于“净增长”(即差分 \(\Delta y\))：\(F(b)-F(a) = \int_a^bF'(x)d_x\)

    • 拉格朗日中值定理的推论：f 在 \((a,b)\) 连续可微，那么存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=\frac {\int_a^bf'(x)d_x}{b-a}\)

17. 变量代换法则：\(u=g(x)\) 在区间 I 上可导，那么 \(\int f(g(x))\cdot g'(x) d_x = \int f(u) d_u = F(u) = F(g(x))\)；简记 \(\int (f\circ g) \cdot g' d_x = F\circ g\)

    • \(\int f \cdot f'~d_x = \frac {f^2}2, \int \frac {f'}f~d_x = \ln {|f|}\)
18. 定积分换元法：g' 在 \([a,b]\) 上连续，并且 f 在 \(u=g(x)\) 的值域内连续，那么 \(\int_a^b f(g(x)) g'(x) d_x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d_u = F(u) |_{g(a)}^{g(b)} = F(g(x)) |_a^b\)
19. 定积分计算法则1(对称性)：
    1. 如果 f 在 \((-a,a)\) 上是偶函数，那么 \(\int_{-a}^a f(x) d_x = 2\int_0^a f(x) d_x\)
    2. 如果 f 在 \((-a,a)\) 上是奇函数，那么 \(\int_{-a}^a f(x) d_x = 0\)
    3. 如果 f 在 \(\{x~|~|x-a|\le b\}\) 上关于 \(x=a\) 对称，那么 \(\int_{a-b}^{a+b} f(x) d_x = 2\int_{a}^{a+b} f(x) d_x\)
    4. 如果 f 在 \(\{x~|~|x-a|\le b\}\) 上关于 \((a,f(a))\) 中心对称，那么 \(\int_{a-b}^{a+b} f(x) d_x = 0\)

20. 奇偶性判断：f 和 g 具有奇偶性之一，讨论 \(h=f\cdot g\) 的奇偶性：若 \(f,g\) 具有相同奇偶性，则 h 为偶函数；若 \(f,g\) 具有相反的奇偶性，则 h 为奇函数 （同偶异奇）

21. 自然对数：\(\ln x = \int_1^x\frac 1t d_t\) （\(x>0\)）

22. 凹凸性的推论1(自证)：
    1. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)>0\)，那么存在\(c\in(a,b)\)使得\(\int_a^bf(x)dx\ge\frac {(f(b)-f(a))(b+a)}{2}+(b-a)f(c)-(f(b)-f(a))c\)
    2. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)<0\)，那么存在\(c\in(a,b)\)使得\(\int_a^bf(x)dx\le\frac {(f(b)-f(a))(b+a)}{2}+(b-a)f(c)-(f(b)-f(a))c\)
    3. 注：用到了拉格朗日中值定理；其中 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
23. 凹凸性的推论2(自证)：
    1. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)>0\)，那么 \(\int_a^bf(x)dx \le \frac{f(b)+f(a)}2(b-a)\)
    2. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)<0\)，那么 \(\int_a^bf(x)dx \ge \frac{f(b)+f(a)}2(b-a)\)
24. 凹凸性的推论3(总结)：
    1. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)>0\)，那么 \(\Delta y\overline x + \Delta xf(c) - \Delta yc \le \int_a^bf(x)dx \le \Delta x\overline y\)
    2. 对于所有\(x\in(a,b),f''(x)<0\)，那么 \(\Delta x\overline y \le \int_a^bf(x)dx \le \Delta y\overline x + \Delta xf(c) - \Delta yc\)
25. 函数等价定义(自证)：f 在 \((x,x+h)\) 内连续，那么 \(f(x)=\lim\limits_{h\to 0^+}\int_x^{x+h}f(t)dt\)
26. 对数定律：如果 \(x,y>0\)，\(r\in \mathbb R\)，那么：
    • \(\ln xy=\ln x + \ln y, \ln \frac xy = \ln x - \ln y, \ln x^r = r\ln x\)
    • \(\lim\limits_{x\to +∞}\ln x = +∞, \lim\limits_{x\to0^+}\ln x = -∞\)
27. 自然指数函数：\(e^x = \exp x\)
    • \(\exp(x) = y \iff \ln y = x, \exp(\ln x) = x \iff \ln(\exp x) = x\)
    • \(y=0\) 是 \(e^x\) 的水平渐近线，即 \(\lim\limits_{x\to -∞}e^x = 0\)
    • 指数定律：\(e^{x+y} = e^xe^y, e^{x-y} = \frac {e^x}{e^y}, (e^x)^r = e^{xr}\) （\(x,y>0\)，\(r\in \mathbb R\)）
    • \(\frac d{d_x}e^x=e^x\)
28. 一般指数函数：
    1. \(a^r = (e^{\ln a})^r = e^{r\ln a}\) （\(a>0\)，\(r\in \mathbb R\)）
    2. \(a^x = e^{x\ln a}\)
    3. 指数定律：\(a^{x+y} = a^xa^y, a^{x-y} = \frac {a^x}{a^y}, (a^x)^y = a^{xy}, {(ab)}^x = a^xb^x\) （\(x,y\in \mathbb R\)，\(a, b > 0\)）
    4. \(\frac d{d_x}a^x = a^x\ln a\)
29. 一般对数函数：\(\log_ax=y \iff a^y = x\) （\(a>0,a\ne1\)）
    • \(\frac d{d_x}\log_ax = \frac 1{x\ln a}\)

30. e 的极限形式：\(e = \lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}\)

31. 不定积分表2：

    1. \(\int x^n~d_x=\frac {x^{n+1}}{n+1},\int x^{-1}~d_x=\ln x\)
    2. \(\int e^x~d_x=e^x, \int a^x~d_x=\frac {a^x}{\ln a}\)
    3. \(\int \ln x~d_x=x(\ln x-1) = x\ln \frac xe, \int \log_a x~d_x=x(\log_ax-\log_ae) = x\log_a\frac xe\)
    4. 三角
       • \(\int \sin x~d_x=-\cos x, \int \csc x~d_x=-\ln|\csc x+\cot x|\)
       • \(\int \cos x~d_x=\sin x, \int \sec x~d_x=\ln|\sec x+\tan x|\)
       • \(\int \tan x~d_x=\ln|\sec x|=-\ln|\cos x|, \int cot x~d_x=-\ln|\csc x|=\ln|\sin x|\)

6. 定积分的应用1

1. 两条曲线之间的面积：
   1. \(y=f(x),y=g(x),x=a,x=b\) 围成的区域面积为：\(A = \int_a^b |f(x) - g(x)| d_x\)，记为 \(\int_a^b |y_T - y_B| d_x\)
   2. \(x=f(y),x=g(y),y=c,y=d\) 围成的区域面积为：\(A = \int_c^d |f(y) - g(y)| d_y\)，记为 \(\int_c^d |x_R - x_L| d_y\)
   3. 注：若两个函数之一为 多值函数，那么可以考虑调换 xy 坐标使之为 单值函数
2. 体积定义：设过点 x 并垂直于 x 轴的平面 \(P_x\) 在 S 上的横截面的面积为 \(A(x)\)，那么固体 S 在 \(x\in(a,b)\) 之间的体积为 \(V = \lim\limits_{n\to +∞} \Delta x A(x_i^*) = \int_a^b A(x) d_x\) （\(A(x)\) 为连续函数）；详见 (3)-(4)
   • 推广：x 不一定是迭代一个 直线，也可以是 弧线；与 x 相关的截面不一定是 平面，也可以是曲面(如：求球的体积：可以用 x 迭代其半径，用球壳当作截面)
3. 旋转体积：
   1. 平面法：
      1. \(y=f(x)\) 绕 x 轴(\(y=0\))旋转：\(V=\int_a^b\pi f(x)^2 d_x\)
      2. \(y=f(x)\) 绕 \(y=h\) 旋转：\(V=\int_a^b\pi [f(x)-h]^2 d_x\)
      3. \(x=f^{-1}(y)\) 绕 y 轴(\(x=0\))旋转：\(V=\int_c^d\pi f^{-1}(y)^2 d_y\) （f 单射）
      4. \(x=f^{-1}(y)\) 绕 \(x=h\) 旋转：\(V=\int_c^d\pi [f^{-1}(y)-h]^2 d_y\) （f 单射）
      5. 结论可以推广到两个旋转体之间的体积（注意 \(|f(x)-h|\) 和 |g(x)-h| 在何时取更大值）
   2. 柱面法(柱体薄壳法)：
      1. \(y=f(x)\) 绕 y 轴(\(x=0\)) 旋转，则 \(V=\int_a^b2\pi xf(x)d_x\)（仅当 \(0\le a<b\)）（注：\(V_i = \pi[(x+\Delta x)^2 - x^2]f(x) = 2\pi\Delta x(x+\frac12\Delta x)f(x) \approx 2\pi xf(x)\Delta x\)；该等式不仅限于它是单射 \(f(x)\)）
      2. \(y=f(x)\) 绕 \(x=h\) 旋转：\(V=\int_a^b2\pi |x-h|f(x)d_x\)（仅当 \(h\le a<b\) 或 \(a<b\le h\)）
      3. \(x=f^{-1}(y)\) 绕 x 轴(\(y=0\))旋转：\(V=\int_c^d2\pi yf^{-1}(y)d_y\)（仅当 \(0\le c<d\) 或 \(c<d\le 0\)；f 单射）
      4. \(x=f^{-1}(y)\) 绕 \(y=h\) 旋转：\(V=\int_c^d2\pi |y-h|f^{-1}(y)d_y\)（仅当 \(h\le c<d\) 或 \(c<d\le h\)；f 单射）
   3. 决策：对于 \(y=f(x)\)，根据其绕横轴还是绕纵轴分别选择 平面法 或 柱面法；若 f 单射 并且用第一步相反的方法可以简化运算，则使用后者简化运算

4. 非旋转体积：见 (2)

5. 做功[模型]：\(W = Fs\)（这是常量表达式，即三个量都是常量）

   • 物体受力为恒力时(即 \(d_F\to 0\))：
   • \(W = \int_a^b Fd_s (d_F\to 0)\)（其中 \(F=F(t), s=s(t)\)）
   • \(W = \int_a^b Fd_s = \int_a^b Fs'd_t = \int_a^b ms''s'd_t = \int_a^b m s' d_{s'} = \frac m2\int_a^b d_{s''} = \frac m2[s'(b) - s'(a)]\)
   • 注：\(F(t)=ma(t)=ms''(t)\)
   • 其他应用：对于不是质点的物体，借助微积分的思想将物体分解为无数小质“点”，累加它们的贡献即可

6. 函数的均值：\(\overline {f(x)} = \frac {\int_a^bf(x)d_x}{b-a}\) （\(\overline {f(x)}\) 指的是 f 在 \([a,b]\) 之间的均值）

7. 积分中值定理：若 f 在 \([a,b]\) 之间连续，那么存在 \(c\in [a,b]\) 使得 \(f(c)=\frac {\int_a^bf(x)d_x}{b-a}\)
   • 注：该定理可以应用到 (5.23)

7. 积分方法

1. 分部积分法：\(\int f(x)g'(x)d_x = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)d_x\) （或者 \(\int ud_v=uv-\int vd_u\)）
   • 典例：\(\int ln x~d_x = x(\ln x-1)+C, \int \sin^nx~d_x = -\frac1n\cos x\sin^{n-1}x + \frac {n-1}n\int sin^{n-2}x~d_x\)（\(n\ge 2\)）

2. 分布积分的定积分形式：\(\int_a^b f(x)g'(x) d_x = f(x)g(x) - \int_a^b g(x) f'(x) d_x\)

3. \(\int (\sin x)^m (\cos x)^n~d_x\)：以下简记 \(u=\sin x, v=\cos x\)

   1. \(\displaystyle \int u^mv^{2k+1} ~d_x = \int u^m (1-u^2)^kd_u = \sum\limits_{i=0}^k(-1)^iC_k^i\frac {u^{2i+m+1}}{2i+m+1}\)
   2. \(\displaystyle \int u^{2k+1}v^n ~d_x = -\int (1 - u^2)^{k}v^n~d_v = \sum\limits_{i=0}^k(-1)^{i-1}C_k^i\frac {v^{2i+m+1}}{2i+m+1}\)
   3. 对于 \(2\mid m, 2\mid n\) 的情况，有时会引用到结论 (6)-(7)
4. \(\int (\tan x)^m(\sec x)^n~d_x\)：以下简记 \(u=\tan x, v=\sec x\)
   1. \(\displaystyle \int u^mv^{2(k+1)}~d_x = \int u^m(1+u^2)^k~d_u = \sum\limits_{i=0}^kC_k^i\frac {u^{2i+m+1}}{2i+m+1}\)
   2. \(\displaystyle \int u^{2k+1}v^{n+1}~d_x = \int (v^2-1)^kv^n~d_v = \sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^i\frac {v^{2i+n+1}}{2i+n+1}\)
   3. 对于 \(2\mid m, 2\nmid n\) 的情况：如：\(\int u^av^b~d_x=\int u^av^{b-2}~d_x-\int u^{a+2}v^{b-2}~d_x\)
5. \(\int (\cot x)^m(\csc x)^n~d_x\)：以下简记 \(u=\cot x, v=\csc x\)
   1. \(\displaystyle \int u^mv^{2(k+1)}~d_x = -\int u^m(1+u^2)^k~d_u = -\sum\limits_{i=0}^kC_k^i\frac {u^{2i+m+1}}{2i+m+1}\)
   2. \(\displaystyle \int u^{2k+1}v^{n+1}~d_x = -\int (v^2-1)^kv^n~d_v = -\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^i\frac {v^{2i+n+1}}{2i+n+1}\)
   3. 对于 \(2\mid m, 2\nmid n\) 的情况
6. 半角公式：\((\sin x)^2= \frac 12(1 - \cos {2x})\)，\((\cos x)^2= \frac 12(1 + \sin {2x})\)（两角和公式 和 \(\sin^2x+\cos^x=1\) 的推论）
7. “塌缩公式”：\(\sin x\cos x = \frac 12\sin 2x\)（两角和公式的推论）

8. \(\int \sin {mx} \cdot \cos {nx}~d_x,~\int \sin {mx} \cdot \sin {nx}~d_x,~\int \cos {mx} \cdot \cos {nx}~d_x\) 的积分：需要用到的公式：

   1. \(\sin A\cos B = \frac 12[\sin {(A - B)} + \sin {(A + B)}]\)
   2. \(\sin A\sin B = \frac 12[\cos {(A - B)} - \cos {(A + B)}]\)
   3. \(\cos A\cos B = \frac 12[\cos {(A - B)} + \cos {(A + B)}]\)

9. 逆换元(逆代换)：\(\int f(x)~d_x = \int f(g(t))g'(t)~d_t\)（仅当 \(x=g(t)\) 是单射）

10. 三角换元（属于“逆换元”）：

    1. \(f=\sqrt{a^2-x^2}\)：\(x=a\sin t,t=\sin^{-1}\frac xa,f=a\cos t\)（\(-\frac\pi2\le t\le\frac\pi2\)）
    2. \(f=\sqrt{x^2+a^2}\)：\(x=a\cot t,t=\cot^{-1}\frac xa,f=a\csc t\)（\(-\frac\pi2<t<\frac\pi2\)）
    3. \(f=\sqrt{x^2-a^2}\)：\(x=a\csc t,t=\csc^{-1}\frac xa,f=a\cot t\)（\(\frac\pi2\le t<\pi\) ？）
    4. 注1：一些三角函数必须限制定义域才能单射；类似地，可以将 \(\sin t,\cot t, \csc t\) 分别替换为 \(\cos t,\tan t,\sec t\) 或者双曲函数；若积分结果中含有类似与 \(\sin t\) 的形式，那么可以画图算出 \(\sin t\) 的值
    5. 注2：求不定积分时，逆换元(即在求完积分后替换 \(t=g(x)\))是必要的；求定积分时，不必逆换元

11. 多项式：\(P(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_i \cdot x^i\)（\(a_n \ne 0\)）

    • 度/次数：\(\deg(P)\)
12. 有理函数：\(f(x)=\frac {P(x)}{Q(x)}\)
    • 真分式：\(\deg(P)<\deg(Q)\)
    • 假分式：\(\deg(P)\ge\deg(Q)\)
    • 可以 非正式地 把多项式 f 表示为：\(P_n(a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0)\)（n为度，\(a_i\)为系数）
13. 有理函数积分：\(\int \frac {P_0(x)}{Q(x)}~d_x\)
    1. 辗转相除：\(\frac {P_0(x)}{Q(x)} = R(x) + \frac {P(x)}{Q(x)}\)（\(\deg P<\deg Q\)）
    2. 因子分解：将 \(Q(x)\) 进行因子分解成：\((a_1x+b_1)(a_2x+b_2) \cdots (A_1x^2 + B_1x + C_1) \cdots\)（其中 \(B_i^2 - 4A_iC_i < 0\)）
       • 定理：任何一个多项式都可以分解为 多个一次多项式 和 多个不可约二次多项式 的乘积；
    3. 裂项 & 积分：
       1. \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^k(a_ix+b_i)}=\sum\limits_{i=1}^k\frac{A_i}{a_ix+b_i}\)：此时 \(\sum\limits_{i=1}^kA_i\prod\limits_{j=1}^k[j\ne i] (a_jx+b_j)=P(x)\)；将 \(x=-\frac {b_i}{a_i}\) 分别代入上式中，分别解出待定系数 \(A_i\) （\(1 \le i\le k\)）；套用 \(\int \frac1x~d_x=\ln|x|\) 计算积分
       2. \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^k(a_ix+b_i)^{r_i}}=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{r_i}\frac{A_{ij}}{(a_ix+b_i)^j}\)：此时 \(\sum\limits_{i=1}^nA_i\prod\limits_{j=1}^n[j\ne i] (a_jx+b_j)=P(x)\)（\(n=\sum\limits_{i=1}^kr_i\)）；待定系数只能联立方程求解；套用 \(\int \frac1x~d_x=\ln|x|\) 计算积分
       3. \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^k(a_ix^2+b_ix+c_i)}=\sum\limits_{i=1}^k\frac{A_i}{a_ix^2+b_ix+c_i}\)（\(b_i^2 - 4a_ic_i < 0\)）：此时 \(\sum\limits_{i=1}^kA_i\prod\limits_{j=1}^k[j\ne i] (a_jx^2+b_jx+c_j)=P(x)\)；联立方程求解待定系数；对 \(\int \frac {A_ix+B_i}{a_ix^2+b_ix+c_i}~d_x = \frac 1{P_1'(x)}\int \frac {C_iP_1(x)}{P_1(x)^2+d_i^2} + \frac {D_i}{P_1(x)^2+d_i^2}~d_{P_1(x)}\) 分别套用 \(\int (f~o~g)g'~d_x=F\circ g\) 和 \(\int \frac 1{x^2 + a^2}~d_x = \frac 1a\tan^{-1}(\frac xa) + C\)
          • 注：其中 \(P_1(x)^2+d_i^2=(\sqrt ax+\frac b{2\sqrt a})^2+(\frac{-\Delta}{2\sqrt a})^2\)
       4. \(\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^k(a_ix^2+b_ix+c_i)^{r_i}}=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{r_i}\frac{A_{ij}x+B_{ij}}{(a_ix^2+b_ix+c_i)^j}\)（\(b_i^2 - 4a_ic_i < 0\)）：使用与 (iii) 类似的方法
14. 有理代换(属于“正代换”)：当求包含 \(\sqrt[n] {g(x)}\) 的积分时，可以换元令 \(u = \sqrt[n] {g(x)}\)

15. 积分策略

16. 近似方法：记 \(\Delta x = \frac {b-a}n, x_i = a + i\Delta x\)

    1. 左值：\(\displaystyle \int f(x)~d_x \approx L_n = \sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(x_{i-1})\)
    2. 右值：\(\displaystyle \int f(x)~d_x \approx R_n = \sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(x_{i})\)
    3. 中点方法：\(\displaystyle \int f(x)~d_x \approx M_n = \sum\limits_{i=1}^n \Delta x f(\overline x_{i})\)，\(\overline x_i = \frac {x_{i-1}+x_i}2 = [x_{i-1}, x_i] 的中点\)
    4. 梯形方法：\(\displaystyle \int f(x)~d_x \approx T_n = \sum\limits_{i=1}^n \Delta x \frac {f(x_{i-1})+f(x_i)}2\)
    5. 辛普森法则：\(\displaystyle \int_a^b f(x)~d_x \approx S_n = \sum\limits_{i=1}^{\frac n2} \frac{f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1}) + f(x_{2i})}3\Delta x\)

17. 误差界：

    1. 中点法误差：对于所有 \(x\in [a,b]\)，有 \(|f"(x)|\le K\)；那么 \(|E_r| \le \frac {K(b-a)^3}{24n^2}\)
    2. 梯度误差：对于所有 \(x\in [a,b]\)，有 \(|f"(x)|\le K\)；那么 \(|E_r| \le \frac {K(b-a)^3}{12n^2}\)
    3. 辛普森误差：对于所有 \(x\in [a,b]\)，有 \(|f^{(4)}(x)|\le K\)；那么 \(\displaystyle |E_s| \le \frac {K(b-a)^5}{180n^4}\)

18. 反常积分：详见 (19)-(23)

19. 无穷区间上的积分(反常积分1)：
    1. \(\int_a^{+∞} f(x)~d_x\) 收敛，当且仅当 \(\int_a^{+∞} f(x)~d_x = \lim\limits_{t\to +∞} \int_a^{+∞} f(x)~d_x\) 存在
    2. \(\int_{-∞}^a f(x)~d_x\) 收敛，当且仅当 \(\int_{-∞}^b f(x)~d_x = \lim\limits_{t\to +∞} \int_{-∞}^b f(x)~d_x\) 存在
    3. \(\int_{-∞}^{+∞} f(x)~d_x\) 收敛，当且仅当 \(\int_{-∞}^{+∞} f(x)~d_x = \int_a^{+∞} f(x)~d_x + \int_{-∞}^a f(x)~d_x\) 成立
20. p 级数：\(\int_a^{+∞} \frac 1{x^p}~d_x\) 收敛，当且仅当 \(p>1\)（\(a>0\)？）
21. 无穷区间上的积分的几何意义：假设 \(f(x)\ge 0\)，那么此类积分表示以 \(x=a\)，\(y=f(x)\)，\(y=0\) 为边界的面积（其中 \(x\ge a\) 或 \(a\le a\)） ；如 \(A(S) = A(\{ (x, y) | x\ge a, 0\le y \le f(x) \}) = \int_a^{+∞} f(x)~d_x\)
22. 无界函数的积分(反常积分2)：\(\int_a^b f(x)~d_x\) 收敛，当且仅当满足下列条件之一：
    1. f 在 b 处不连续，但 \(\int_a^b f(x)~d_x = \lim\limits_{t\to b^-} \int_a^t f(x)~d_x\) 存在
    2. f 在 a 处不连续，但 \(\int_a^b f(x)~d_x = \lim\limits_{t\to a^+} \int_t^b f(x)~d_x\) 存在
    3. f 在 c 处不连续，但 \(\int_a^b f(x)~d_x = \int_a^c f(x)~d_x + \int_c^b f(x)~d_x\) 存在（即 \(\int_a^c f(x)~d_x\) 和 \(\int_c^b f(x)~d_x\) 均收敛）
23. 反常积分的比较(比较定理)：对于所有 \(x\ge a\) 有 \(f(x)\ge g(x)\ge 0\)
    1. 如果 \(\int_a^{+∞} f(x)~d_x\) 收敛，那么 \(\int_a^{+∞} g(x)~d_x\) 收敛
    2. 如果 \(\int_a^{+∞} g(x)~d_x\) 发散，那么 \(\int_a^{+∞} g(x)~d_x\) 发散

8. 定积分的应用2

1. 弧长公式：\(y=f(x)\) 的弧长为 \(L = \lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{i=1}^n|P_{i-1}P_i| = \lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} = \int \sqrt {d_x^2 + d_y^2}\)
   1. \(f'\) 在 \([a,b]\) 上连续：\(\displaystyle L = \int_a^b \sqrt {1 + \frac {d_y^2}{d_x^2}}~d_x = \int_a^b \sqrt {1 + f'(x)}~d_x\)
   2. \((f^{-1})'\) 在 \(y\in[f(a),f(b)]\) 上连续：\(\displaystyle L = \int_{f(a)}^{f(b)} \sqrt {1 + \frac {d_x^2}{d_y^2}}~d_y = \int_{f(a)}^{f(b)} \sqrt {1 + (f^{-1})'(y)}~d_y\) （f 单射）

2. 弧长函数：曲线 C 从起点 \(P_0(a,f(a))\) 到终点 \(Q(x, f(x))\) 之间的距离，用积分上限函数表示：\(s(x) = \int_a^x \sqrt {1+[f'(t)]^2}~d_t\)

3. 旋转曲面面积：

   • 推导(\(y=f(x)\) 绕 x 轴旋转)：\(S_i=\pi[(l+\Delta l)(r+\Delta r)-lr]=\pi[l\Delta r+r\Delta l+\Delta l\Delta r]=\pi(2r\Delta l+\Delta l\Delta r)=2\pi\Delta l(r+\frac12\Delta r)\approx 2\pi r\Delta l\approx 2\pi r\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\)
     • 式中使用了圆锥侧面积公式 \(S=\pi rl\)(r 为半径，l 为母线长度或竖直切面的外侧线长)
     • 根据相似三角形有：\(\frac{l}{l+\Delta l}=\frac {r}{r+\Delta r} \implies l\Delta r=r\Delta l\)
     • 式中使用了近似：\(r\approx r+\frac 12\Delta r\)(中点值)，\(\Delta l\approx \Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\)）
     • 注：推导过程中若替换 \(\pi[l\Delta r+r\Delta l+\Delta l\Delta r]=\pi(2l\Delta r+\Delta l\Delta r)\) 而非 \(\pi[l\Delta r+r\Delta l+\Delta l\Delta r]=\pi(2r\Delta l+\Delta l\Delta r)\)，公式会变得难以推导
   • 进而 \(S=\lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{i=1}^nS_i = \lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{i=1}^n2\pi r\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\int2\pi r\sqrt{d_x^2+d_y^2} = \int2\pi r d_s\) （S 与 s 表示不同含义：前者是常量，后者是变量(用于迭代)）
   • \(y=f(x)\) 绕 x 轴旋转：\(S = \int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}d_x\)
   • \(y=f(x)\) 绕 y 轴旋转：\(S = \int_a^b2\pi x\sqrt{1+[f'(x)]^2}d_x\)
   • \(x=f^{-1}(y)\) 绕 x 轴旋转：\(S = \int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+[(f^{-1})'(y)]^2}d_y\)
   • \(x=f^{-1}(y)\) 绕 y 轴旋转：\(S = \int_a^b2\pi x\sqrt{1+[(f^{-1})'(y)]^2}d_y\)
   • 注：可以对“绕 \(y=k\) 或 \(x=k\) 旋转”的情况做类似的推广；根据 r 的意义可以限制其非负，即 \(r\ge 0\)

4. 二维平面图形在垂直液体中的静压力：

   1. 公式：液体深度为 h 处的面积为 A 朝着同一反向的总压力 \(F=mg=\rho hA\cdot g\)，液体深度为 h 处沿着任意反向的压强 \(P=\frac FA=\rho gh\)
   2. 迭代 \(x=h\) 处的压力，然后用积分求和即可
5. 物体的力矩和质心：记 \(m=\sum\limits_{i=1}^nm_i\)
   1. 一维空间：n 个物体的质心：\(\overline x=\frac {\sum\limits_{i=1}^nm_ix_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}\)（第 i 个物体的力矩：\(M_i=x_im_i\)，总力矩：\(M=\sum\limits_{i=1}^nM_i=\sum\limits_{i=1}^nx_im_i\)）
   2. 二维空间：
      1. 关于 y 轴总力矩为 \(M_y=\sum\limits_{i=1}^nm_ix_i\)，关于 x 轴总力矩为 \(M_x=\sum\limits_{i=1}^nm_iy_i\)；质心为 \((\overline x,\overline y)=(\frac {M_y}m, \frac {M_x}m)\)
      2. \(y=f(x)\) 下所围物体薄片：
         • 各轴力矩：\(M_{y,i}=x_im_i=x\cdot \rho s_i=x\cdot \rho\Delta xy, M_y=\int M_{y,i}=\rho\int xf(x)~d_x\)；\(M_{x,i}=y_im_i=x\cdot \rho s_i=\frac12y\cdot \rho\Delta xy, M_y=\int M_{x,i}=\rho\int \frac12f(x)^2~d_x\)
         • 总质量：\(m_i=\rho\Delta x y, m=\int m_i=\rho\int f(x)~d_x\)
         • 质心：\(\displaystyle (\overline x,\overline y)=(\frac {M_y}m, \frac {M_x}m)=(\frac {\int xf(x)~d_x}{\int f(x)~d_x}, \frac {\frac12\int f(x)^2~d_x}{\int f(x)~d_x})\)

6. Pappus 定理：区域 E 完全位于直线 l 的一侧，E 绕 l 旋转所得旋转体的体积等于 E 的面积 A 和 E 的形心旋转经过的距离 d 的乘积，即 \(V=A\cdot d = A\cdot 2\pi R\)

7. 概率：\(P(a\le X\le b)\)

8. 概率密度函数 f：满足 \(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)~d_x\)，\(\int_{-∞}^{+∞}f(x)~d_x=1\)
9. f 的均值（即期望）：\(\mu =\int_{-∞}^{+∞}xf(x)~d_x\)
   • \(\overline x=\frac{\int_{-∞}^{+∞}xf(x)~d_x}{\int_{-∞}^{+∞}f(x)~d_x}=\int_{-∞}^{+∞}xf(x)~d_x=\mu\)
10. 正态分布：\(\displaystyle f(x) = \frac 1{\delta\sqrt {2\pi}} e^{\displaystyle-\frac {(x-\mu)^2}{2\delta ^2}}\)

9. 微分方程

1. 微分方程模型：包含一个 未知函数 及其 多个导数 的等式
   • 阶：微分方程中导数的最高阶
   • 注：微分方程通常有多组解

2. 微分方程举例

   • 种群增长模型1：\(\frac {d_P}{d_t}=kP(t)\)，一个解为 \(P(t)=Ce^{kt}\)（\(C>0\)；\(P(t)>0\)）
   • 种群增长模型2（Logistic 逻辑斯蒂方程）：\(\frac {d_P}{d_t}=kP(1-\frac PK)\)
   • 弹簧振动模型：\(m\frac {d^2_x}{d_{t^2}} = -kx\)（即 \(\frac {d^2_x}{d_{t^2}} = -\frac {kx}m\)）

3. 微分方程的描述：通常没有明确的公式可以解微分方程，但还是可以利用图像或数值方式描述微分方程；详见 (4)-(5)

4. 方向场(斜率场)：形如 \(y'=F(x,y)\) 的一阶微分方程可以画出微分方程的函数族在任意点 \((x,y)\) 上延伸的方向和快慢

5. 欧拉方法：用于求解从已知点 \((x_0,y_0)\) 为初值的微分方程的近似特解

   • 假设步长为 h，初始点为 \((x_0,y_0)\)，那么递推式为 \(y_{i+1} = y_{i} + h \cdot F(x_{i}, y_{i})\)（\(i\ge 0\)）

6. 分离变量法：对于微分方程 \(\frac {d_y}{d_x} = g(x)f(y)\)，可以变换为 \(\int \frac 1{f(y)}d_y = \int g(x)d_x\) 关于 y 的隐函数形式

7. 正交轨线：与曲线族中每条都相交的曲线（即 \(y_1'=-\frac 1{y_2'}\) 恒成立），称为该曲线族的正交轨线
8. (二维)曲线族：\(F(x,y,k)=0\)，其中 k 用于迭代曲线族中的曲线

9. 正交轨线的求法：

   1. 对函数族 \(F(x,y,k)=0\) 的隐函数形式两边对 x 求导得到 \(y'=h(x,y,k)\)
   2. 联立 \(F(x,y,k)=0\) 消去 k 得到 \(y'=f(x,y)\)
   3. 求解正交轨线的微分方程模型 \(y'=-\frac 1{f(x,y)}\)

10. 初值问题：\(\frac {d_y}{d_x} = ky\)，\(y(0) = y_0\) 的解为 \(y(t) = y_0 e^{kx}\)

    • 应用：（生物）种群增长模型，（物理）放射性物质的质量衰变比例和质量成正比，（化学）单分子一阶反应速度和物质浓度成正比，（金融学）复利存款账户的金额增长率和金额成正比

11. 逻辑斯蒂模型：\(\displaystyle \frac {d_P}{d_t} = kP(1-\frac PK)\)（k 为种群增长率，K 为种群承载能力，P为种群数量），其解析解为：\(\displaystyle P = \frac {K}{1+Ae^{-kt}}\)（\(A = ±e^C = \frac {K-P_0}{P_0}\)，\(C = C_2-C_1\)）

12. 线性微分方程：\(\frac {d_y}{d_x} + P(x)y = Q(x)\)

    • 通解为：\(y = \frac {\int R(x)Q(x) d_x + B}{R(x)}\)，其中 \(R(x) = Ae^{\int P(x)d_x}\)（\(A=e^{-C_1}, B=C_2\)）

10. 参数方程&极坐标

1. 参数方程：引入变量 t 使得 曲线运动轨迹 或 向量方程 可以被其统一描述，如：\(\begin{cases} x=f(t)\\y=f(t) \end{cases}~~[a \le t \le b]\)

2. 切线斜率：\(x=f(t),y=g(t)\) 有 \(y=F(x)\)，即 \(g(t)=F(f(t))\)

   • 若 f，g，F 可微，那么 \(g'(t) = F'(f(t)) \cdot f'(t) = F'(x) \cdot f'(t)\)
   • 若 \(f'(t)\ne 0\) 则有 \(F'(x) = \frac {g'(t)}{f'(t)}\)，即 \(\displaystyle \frac {d_y}{d_x} = \frac {\frac {d_y}{d_t}}{\frac {d_x}{d_t}}\)（仅当 \(\frac {d_x}{d_t} \ne 0\)）
3. 切线类型：
   1. \(\frac {d_y}{d_t} = 0\)，\(\frac {d_x}{d_t} \ne 0\) (\(\frac01\))：水平切线
   2. \(\frac {d_y}{d_t} \ne 0\)，\(\frac {d_x}{d_t} = 0\) (\(\frac10\))：垂直切线
   3. \(\frac {d_y}{d_t} \ne 0\)，\(\frac {d_x}{d_t} \ne 0\) (\(\frac11\))：普通切线
   4. \(\frac {d_y}{d_t} = 0\)，\(\frac {d_x}{d_t} = 0\) (\(\frac00\))：计算极限，根据极限值为 \(0\)，\(\pm∞\)，\(k(\ne0)\) 分别对应 水平切线，垂直切线，普通切线
4. 二阶导数：\(\displaystyle \frac {d^2_y}{d_{x^2}} = \frac d{d_x}(\frac {d_y}{d_x}) = \frac {\frac d{d_t} (\frac {d_y}{d_x})}{\frac {d_x}{d_t}}\)
   • 注：\(\displaystyle \frac {d^2_y}{d_{x^2}} \ne \frac {d^2_y/d_{t^2}}{d^2_x/d_{t^2}}\)
5. 凹性：\(\frac {d^2_y}{d_{x^2}}]_{t=k}>0\) 时在 \(t=k\) 处上凹， \(\frac {d^2_y}{d_{x^2}}]_{t=k}<0\) 时在 \(t=k\) 处下凹
6. 函数下的面积：有曲线方程 \(x = f(t), y = g(t)\)，且 t 从 \(\alpha\) 增大到 \(\beta\) 只经过一次，则有 \(A = \int_a^b y~d_x = \int_\alpha^\beta g(t)f'(t)~d_t\)（仅当 \(f(\alpha)=a,f(\beta)=b\)）
7. 函数弧长：有曲线方程 \(x = f(t), y = g(t)\)，f 单射，\(f'(t)>0\)（当 t 从 \(\alpha\) 增大到 \(\beta\) 且 \(f(\alpha) = a, f(\beta) = b\)，从左到右只经过 C 一次）
   • \(L = \int_a^b \sqrt {1 + (\frac {d_y}{d_x})^2}~d_x = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt {1 + (\frac {d_y/d_t}{d_x/d_t})^2}\frac {d_x}{x_t}~d_t = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt {(\frac {d_x}{x_t})^2 + (\frac {d_y}{x_t})^2}~d_t\)
   • 注：公式是否成立与 C 能否表示成 \(y=F(x)\) 无关

8. 函数旋转表面积：有曲线方程 \(x = f(t), y = g(t)\)

   • 参数方程绕 x 轴旋转所得表面积：\(S = \int 2\pi y~d_s = \int 2\pi y \sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2}~d_t\)（\(y\ge 0\)）

9. 极坐标系：在平面上选择点 O（极点 或 原点），然后从 O 出发画一条射线 (半直线)，称作 极轴

   1. 若点 P 是平面中任意另一点，令 r 为 P 到 O 的距离 (r 可负)，\(\theta\) 为 极轴 与 射线OP 直线的夹角 (通常以弧度为单位)，则 P 以有序对 \((r, \theta)\) 表示，称之为 极坐标 （\(\theta\) 从极轴开始逆时针旋转时为 正，反之为 负）
   2. \((0, \theta)\) & \(\theta \in R\) 表示原点 O
   3. \((r, \theta + 2n\pi)\) 和 \((-r, \theta + (2n+1)\pi)\) 均表示同一个点 （\(\theta \in [0, 2\pi), n \in Z\)）
10. 极坐标系 与 笛卡尔坐标系 的映射
    • \(r^2 = x^2 + y^2, \tan \theta = \frac yx\)
    • 极坐标 \(\implies\) 笛卡尔： \(x = r\cos \theta, y = r\sin \theta\)
    • 笛卡尔 \(\implies\) 极坐标： \(r = ±\sqrt {x^2 + y^2}\)，\(\tan \theta = \frac yx\)（或者根据 \(\theta\) 确定的三角形得到 \(\cos, \sin, \tan, \cot, \sec, \csc\)）
11. 极坐标曲线：可以表达为 \(r = f(\theta)\) 或 一般形式 \(F(r, \theta) = 0\)
    • 如：\(r = 2\cos (\theta)\)(圆)，\(r = 1 + \sin \theta\)(心形线)，\(r = \cos (2\theta)\)(四叶玫瑰线)，\(r = \sin\theta + (\sin(\frac {5\theta}{2}))^3\)(荷花)，\(r = \sin (\frac {8\theta}{5})\)(莲花)，\(r = 1 + c\sin \theta\)(蚶线)
12. 曲线近似方法：
    1. 迭代常见的 \(\theta\) 求解 r 得到数对 \((\theta, r)\)
    2. 若 \(r=f(\theta)\)，则迭代 \(\theta\) 得到数对 \((\theta, f(\theta))\)
13. 对称性
    • 若参数方程将 \(\theta\) 替换为 \(-\theta\) 后，与原方程相同，则曲线关于 极轴 对称
    • 若参数方程将 \(r\) 替换为 \(-r\) 或 \(\theta\) 替换为 \(\theta + \pi\) 后，与原方程相同，则曲线关于 极点 对称（曲线旋转 180° 后不变）
    • 若参数方程将 \(\theta\) 替换为 \(\pi - \theta\) 后，与原方程相同，则曲线关于直线 \(\theta = \frac \pi2\) 对称
14. 切线斜率：有极坐标方程 \(r = f(\theta)\)，那么 \(x = r\cos \theta = f(\theta)\cos \theta, y = r\sin \theta = f(\theta)\sin \theta\)
    • 进而 \(\displaystyle \frac {d_y}{d_x} = \frac {d_y/d_\theta}{d_x/d_\theta} = \frac {\frac {d_f}{d_\theta}\sin \theta + r\cos \theta}{\frac {d_f}{d_\theta}\cos \theta - r\sin \theta}\)

15. 切线类型：

    1. \(\frac {d_y}{d_{\theta}} = 0\)，\(\frac {d_x}{d_{\theta}} \ne 0\) (\(\frac01\))：水平切线
    2. \(\frac {d_y}{d_{\theta}} \ne 0\)，\(\frac {d_x}{d_{\theta}} = 0\) (\(\frac10\))：垂直切线
    3. \(\frac {d_y}{d_{\theta}} \ne 0\)，\(\frac {d_x}{d_{\theta}} \ne 0\) (\(\frac11\))：普通切线
    4. \(\frac {d_y}{d_{\theta}} = 0\)，\(\frac {d_x}{d_{\theta}} = 0\) (\(\frac00\))：计算极限，根据极限值为 \(0\)，\(\pm∞\)，\(k(\ne0)\) 分别对应 水平切线，垂直切线，普通切线

16. 扇形面积：有极坐标方程 \(r=r(\theta)\)，根据扇形面积公式(\(S = \frac {\theta}{2\pi}\pi r^2 = \frac 12 r^2\theta\))有 \(A=\lim\limits_{n\to +∞} \sum\limits_{i=1}^n \frac 12 [r(\theta_i^*)]^2\Delta\theta = \int_a^b\frac 12[r(\theta)]^2~d_\theta\)

17. 弧长：有极坐标方程 \(r=r(\theta)\)，
    • \(L = \int_{a_0}^{b_0} \sqrt {1 + (\frac {d_x}{d_y})^2}~d_x = \int \sqrt {(d_x)^2 + (d_y)^2} = \int_{a}^{b} \sqrt {(\frac {d_x}{d_\theta})^2 + (\frac {d_y}{d_\theta})^2}~d_\theta\)
    • \(= \int_{a}^{b} \sqrt{( \frac {d_r}{d_\theta}\sin \theta + r\cos \theta)^2 + (\frac {d_r}{d_\theta}\cos \theta - r\sin \theta)^2}~d_\theta = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac {d_r}{d_\theta})^2+r^2}~d_\theta\)

11. 无穷序列 & 级数

1. 序列：有一定顺序的一列数，并且是定义在 正整数集 上的函数，记作 \(a_n\)，\(\{a_n\}\)，\(\{ a_n \}_{n=1}^∞\)
2. 隐式序列：以 递归，集合，自然语言等描述的序列
3. 序列的几何表示：一维数轴上的离散点 \(a_1,a_2,\dots\) 或 二维笛卡尔坐标系中的离散点 \((1, a_1), (2, a_2), (3, a_3), \cdots\)
4. 序列极限：\(\{a_n\}\) 具有极限 L，记作 \(\lim\limits_{n\to \infty} = L\) 或 “\(a_n\to L\) 当 \(n\to∞\)” 或 若通过取充分大的 n 我们可以使项 \(a_n\) 任意接近 L
   • 若 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n\) 存在，称此序列 收敛
5. 序列极限[2]：序列 \(\{ a_n \}\) 具有极限 L 且记作 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = L\) 或 \(a_n \to L\) 当 \(n\to∞\)
   • 对于所有 \(\epsilon>0\)，都存在 \(N>0\) 使得任意 \(n>N\) 都有 \(|a_n-L|<\epsilon\)
6. 无穷大极限：\(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = ∞\) 意味着对任意正数 M，存在整数 N，对任意的 n > N 使得 \(a_n > M\)
7. 序列极限法则：\(\{ a_n \}\) 和 \(\{ b_n \}\) 收敛，c 为常数
   1. \(\lim\limits_{n\to ∞}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to ∞}a_n \pm \lim\limits_{n\to ∞}b_n\)
   2. \(\lim\limits_{n\to ∞}c\cdot a_n = c\cdot \lim\limits_{n\to ∞} a_n\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}c = c\)
   3. \(\lim\limits_{n\to ∞}a_n\cdot b_n = \lim\limits_{n\to ∞} a_n \cdot \lim\limits_{n\to ∞} b_n\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}\frac {a_n}{b_n} = \frac {\lim\limits_{n\to ∞} a_n}{\lim\limits_{n\to ∞} b_n}\)（\(\lim\limits_{n\to ∞} b_n\ne 0\)）
   4. \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n^p = (\lim\limits_{n\to ∞} a_n)^p\) （\(p>0,a_n>0\)）
8. 夹逼原理：对于所有 \(n\ge N\) 都有 \(a_n\le b_n \le c_n\) 且 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = \lim\limits_{n\to ∞} c_n = L\)，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} b_n = L\)
9. 定理：若 \(\lim\limits_{n\to ∞} |a_n| = 0\)，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = 0\)
10. \(\lim\limits_{n\to ∞} r^n\)： \(\lim\limits_{n\to ∞} r^n = \begin{cases} 0 & |r|<1 \\ 1 & r=1 \\ ∞ & |r|>1 \\ -1\to 1振荡 & r=-1 \end{cases}\)
11. 单调性：
    1. 递增：\(\{a_n\}\)递增，当且仅当对于所有 \(n\ge 1\) 都有 \(a_n<a_{n+1}\)
    2. 递减：\(\{a_n\}\)递减，当且仅当对于所有 \(n\ge 1\) 都有 \(a_n>a_{n+1}\)
    3. \(\{a_n\}\) 对应的连续函数的导函数的正负可以确定其单调性
12. 有界性：
    1. 上界：\(\{a_n\}\) 有上界，当且仅当 对于所有 \(n\ge 1\) 存在 M 使得 \(a_n\le M\)
    2. 下界：\(\{a_n\}\) 有下界，当且仅当 对于所有 \(n\ge 1\) 存在 m 使得 \(a_n\ge m\)
    3. 有界：\(\{a_n\}\) 有界，当且仅当 \(\{a_n\}\) 既有上界又有下界

13. 单调序列定理：\(\{a_n\}\) 有界 并且 单调，那么 \(\{a_n\}\) 收敛

    • 推广：\(\{a_n\}\) 递增并且有上界 或 递减并且有下界，则该数列收敛

14. 无穷级数：将无穷序列 \(\{ a_n \}_{n=1}^∞\) 的各项加起来，记作 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 或 \(\sum a_n\)

    • \(\sum a_i = \sum\limits_{i=1}^∞ a_i = \lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{i=1}^n a_i\)
15. 部分和(前缀和)序列：记 \(s_n=\sum\limits_{i=1}^na_i\)
16. 无穷级数[2]：序列 \(\{s_n\}\) 收敛，当且仅当 \(\lim\limits_{n\to ∞}s_n=s\)（其中 \(s=\sum a_i\)）
17. 几何级数：\(\sum\limits_{n=1}^∞ a\cdot r^{n-1}, a\ne 0\)
    • \(|r|<1\) 时，级数收敛，\(\sum\limits_{n=1}^∞ a\cdot r^{n-1}=\lim\limits_{n\to∞}\frac {a(1-r^n)}{1-r}=\frac a{1-r}\)
    • \(|r|\ge 1\) 时，级数发散；\(|r|>1\) 或 \(r=1\) 时，\(\sum a_n=∞\)；\(r=-1\) 时，\(\sum a_n=∞\) 在 a 和 0 之间振荡
    • 应用：用于表示无穷循环小数
18. 调和级数：\(\sum\limits_{i=1}^∞ \frac 1i\) 发散
19. 级数收敛的必要性：若 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n = 0\)
20. 级数发散的充分性：若 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n\) 不存在 或 \(\lim\limits_{n\to ∞} a_n \ne 0\)，则级数 \(\lim\limits_{n\to ∞} \sum\limits_{i=1}^n a_i\) 发散
21. 级数收敛法则：\(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 收敛，则：
    1. \(\sum\limits_{n=1}^∞ c\cdot a_n = c\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^∞ (a_n \pm b_n) = \sum\limits_{n=1}^∞ a_n \pm \sum\limits_{n=1}^∞ b_n\)

22. 级数收敛的充分性：

    1. \(\sum\limits_{n=N+1}^∞ a_n\) 收敛，那么 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛（\(N\ge0\)）
    2. \(\lim\limits_{n\to∞}\sum\limits_{n=1}^{2^n} a_n\) 收敛，那么 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 收敛

23. 级数不等式：设\(\{a_n\}\) 为 \(f(x)\) 的生成序列（即 \(f(n)=a_n\) 并且 f(x) 在任意处连续）

    1. f 是在 \([0,∞]\) 上连续递减的正值函数，则 \(\int_{i}^{i+1} f(x)~d_x \le a_i \le \int_{i-1}^{i} f(x)~d_x\) \(\implies\) \(\sum\limits_{i=n}^∞\int_{i}^{i+1} f(x)~d_x \le \sum\limits_{i=n}^∞a_i \le \sum\limits_{i=n}^∞\int_{i-1}^{i} f(x)~d_x\) \(\implies\) \(\int_{n}^∞ f(x)~d_x \le \sum\limits_{i=n}^∞a_i \le \int_{n-1}^{∞} f(x)~d_x\)
24. 积分判别法：设\(\{a_n\}\) 为 \(f(x)\) 的生成序列，f 是在 \([0,∞]\) 上连续基本递减的正值函数
    1. \(\sum\limits_{i=1}^∞ a_i\) 收敛，当且仅当 \(\int_1^∞ f(x)~d_x\) 收敛
    2. 推广：\(\sum\limits_{i=n}^∞ a_i\) 收敛，当且仅当 \(\int_n^∞ f(x)~d_x\) 收敛
25. f 基本递减：\(x>N\) 时 f 递减
26. \(\lim\limits_{n\to∞} \frac 1{n^p}\)：\(\displaystyle \lim\limits_{n\to∞} \frac 1{n^p} = \begin{cases} +∞ & p < 0 \\ 1 & p = 0 \\ 0 & p>0 \end{cases}\)
27. p 级数：\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^∞ \frac 1{n^p}\) 收敛，当且仅当 \(p>1\)
28. 余项：收敛级数 \(\sum a_n=s\) 的余项为 \(R_n=s-s_n\)

29. 积分判别法的余项估计：设\(\{a_n\}\) 为 \(f(x)\) 的生成序列，f 是在 \([N,+∞]\) 上连续递减的正值函数，并且 \(\sum a_n\) 收敛

    • 那么 \(\int_{n+1}^{+∞}~d_x \le R_n \le \int_{n}^{+∞} f(x)~d_x\)
    • 而 \(s_n + \int_{n+1}^{+∞}~d_x \le s_n + R_n = s \le s_n + \int_{n}^{+∞} f(x)~d_x\)
    • 实际上 \(\int_{n}^∞ f(x)~d_x \le s \le \int_{n-1}^{∞} f(x)~d_x\)

30. 比较判别法：对于所有 \(n\ge N\)，有 \(0\le l_n \le a_n \le r_n\)

    1. \(\sum l_n\) 发散，则 \(\sum a_n\) 也发散
    2. \(\sum r_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛
31. 极限的比较判别法：\(a_i,b_i\ge 0\)，若 \(\lim\limits_{n\to∞}\frac {a_n}{b_n}=c\)（c 为有限数，且 \(c>0\)），则 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 同时 收敛 或 发散

32. 估计和：对于所有 n，\(a_n \le b_n\)，则 \(R_n \le T_n\)

33. 交错级数：形如 \(\sum\limits_{i=1}^∞ (-1)^{i-1}a_i\) (\(a_i > 0\)) 的级数

34. 交错级数的收敛性：交错级数 \(\sum\limits_{i=1}^∞ (-1)^{i-1}a_i\) 收敛，当且仅当 对于所有 n 有 \(a_n\ge a_{n+1}\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}a_n = 0\)

35. 交错级数估计定理(交错级数估计和)：交错级数 \(\sum\limits_{i=1}^∞ (-1)^{i-1}a_i\) 满足 \(a_n\ge a_{n+1}\ge 0\)，\(\lim\limits_{n\to ∞}a_n = 0\)，那么 \(|R_n| = |s - s_n| \le a_{n+1}\)（即 s 在 \(s_n\) 两侧“波动”，误差为 \(a_{n+1}\)）

36. 绝对收敛：\(\sum a_n\) 绝对收敛，当且仅当 \(\sum|a_n|\) 收敛

    • \(\sum a_n\) 绝对收敛，那么 \(\sum a_n\) 收敛
37. 条件收敛：\(\sum a_n\) 条件收敛，当且仅当 \(\sum a_n\) 但非绝对收敛
38. 比值判别法：
    1. \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = L < 1\)，则 \(\sum a_n\) 绝对收敛
    2. \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = L > 1\) 或 \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = +∞\)，则 \(\sum a_n\) 发散
    3. \(\lim\limits_{n\to ∞}|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = 1\) 判别法失效
39. 根值判别法：
    1. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L < 1\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 绝对收敛
    2. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L > 1\) 或 \(\lim\limits_{n\to ∞}\sqrt[n] {|a_n|} = L = ∞\)，则级数 \(\sum\limits_{n=1}^∞ a_n\) 发散
    3. 若 \(\lim\limits_{n\to ∞} \sqrt[n]{|a_n|} = 1\)，根值判别法失效

40. 重排级数：

    1. 若 \(\sum a_n=s\) 绝对收敛，则 \(\sum a_n\) 的任意重排的和 \(\sum a_{p_n}=s\)
    2. 若 \(\sum a_n\) 条件收敛，则对于所有 \(r\in R\) 都存在 \(\sum a_n\) 的一个重排使得 \(\sum a_{p_n}=r\)（由黎曼证明）

41. 级数收敛性判别策略

    1. 发散判别：若 \(\lim\limits_{n\to∞}a_n\ne0\)，则发散
    2. 将级数化为 p——级数 \(\sum\frac 1{n^p}\)（\(p>1\) 时收敛）或 几何级数 \(\sum a\cdot r^{n-1}\)（\(|r|<1\) 时收敛）
    3. 比较判别：\(a_n\) 是 n 的 有理函数 或 代数函数，则用 \(\sum|a_n|\) 与 p——级数 比较
    4. 比值判别：包含阶乘，几何级数类似形式，其他乘积
    5. 根值判别：\(a_n=(b_n)^n\) 的形式
    6. 积分判别：仅当积分容易计算
    7. 对数判别：
    8. 交错判别：

42. 幂级数：\(\sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots\)（此形式是书写惯例，即使 x = a；x = a 时，对所有 \(n\ge 1\) 的各项都是 0，即 x=a 时该级数总收敛；该形式称为 (x-a) 处的幂级数 或 以 a 为中心的幂级数 或 关于 a 的幂级数）

43. 幂级数收敛性的三种可能：
    1. 级数只有当 x=a 时收敛
    2. 级数对所有的 x 收敛
    3. 存在一个正数 R 使得级数当 |x-a| < R 时收敛，当 |x-a| > R 时发散（注：端点处也可能 收敛！）

44. 幂级数的收敛半径：通过 比值，根值，对数 等判别法对收敛半径进行判断，并且对临界点处也需要特判

    • 注：其他大部分判别法都是间接推理的手段判断收敛性的，因而不具有计算收敛半径的能力

45. 函数的幂级数展开：\(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ c_n(x-a)^n\)，\(|x-a|<R\)

46. 幂级数相关法则：

    1. \(f(x) = \frac {d}{d_x} [\int f(x)~d_x]\)
    2. \(f(x) = \int [\frac {d}{d_x} f(x)]~d_x\)

47. 泰勒级数(Taylor)：

    1. f 在 a 点有幂级数展开，当且仅当 \(f(x) = \sum\limits_{i=0}^∞ \frac {f^{(i)}(a)}{ii!} (x-a)^i\)
    2. f 在点 a 的第 n 次 Taylor 多项式：\(T_n(x) = \sum\limits_{i=0}^n \frac {f^{(i)}(a)}{i!} (x-a)^i\)
    3. f 在点 a 的第 n 次 Taylor 余项：\(R_n(x) = f(x) - T_n = f(x) - \sum\limits_{i=0}^n \frac {f^{(i)}(a)}{i!} (x-a)^i\)
48. 麦克劳林级数(Maclaurin)：f 在 a=0 处的 Taylor 级数：\(f(x) = \sum\limits_{n=0}^∞ \frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)
49. 定理：若 \(f(x) = T_n(x) + R_n(x)\)，其中 \(T_n(x)\) 是 f 在 a 点的第 n 次泰勒多项式，且 \(\lim\limits_{n\to ∞} R_n(x)=0\)；那么，对 \(|x-a|<R\)，则 f 在区间 \(|x-a|<R\) 上等于它的泰勒级数的和
50. Taylor 不等式：对所有 \(|x-a|\le d\) 有 \(|f^{(n+1)}(x)| \le M\)；则泰勒级数的余项 \(R_n(x)\) 满足不等式 \(|R_n(x)| \le \frac {M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\) （对所有 \(|x-a|\le d\)）

51. 常见 maclaurin 级数：

    1. \(\frac 1{\Box}\)算子：\(\frac 1{1-x} = \sum\limits_{i=0}^∞ x^i\)（\(|x|<1\)）
    2. \(e^{\Box}\)算子：\(e^x = \sum\limits_{i=0}^∞ \frac {x^n}{n!}\)（\(|x|<+∞\)）；\(e^x=1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+o(x^4)\)
    3. \(\ln(1+\Box)\)算子：\(\ln(1+x)=\sum\limits_{i=1}^∞ \frac {(-1)^{i-1}}{i}x^i\)（\(-1<x\le1\)）；\(\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3+o(x^4)\)
    4. \(\sin x = \sum\limits_{i=0}^∞ (-1)^i \frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}\)（\(|x|<+∞\)）；\(\sin x=x-\frac16x^3+o(x^4)\)
    5. \(\cos x = \sum\limits_{i=0}^∞ (-1)^i \frac {x^{2i}}{(2i)!}\)（\(|x|<+∞\)）；\(\cos x=1-\frac12x^2+o(x^3)\)
    6. \(\tan^{-1} x = \sum\limits_{i=0}^∞ (-1)^i \frac {x^{2i+1}}{2i+1}\)（\(|x|\le 1\)）
    7. \(\Box^k\)算子：\((1+x)^k = \sum\limits_{i=0}^∞ \left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) x^i\)（\(|x|<1\)；若 \(-1<k\le0\)，则 \(x=1\) 处也收敛）；\((1+x)^k=1+kx+\frac{k(k-1)}2x^2+o(x^3)\)
    8. \(\tan x=x+\frac13x^3+o(x^4)\) （\(|x|<\frac\pi2\)）

52. 二项式定理：\((a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^n \left( \begin{matrix} n\\i \end{matrix} \right) a^{n-i}b^i\)

53. 二项级数：\((1+x)^k = \sum\limits_{i=0}^∞ \left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) x^i\)（\(|x|<1\)）
    • \(|x|<1\) 处收敛；若 \(-1<k\le0\)，则 \(x=1\) 处也收敛
    • 另外，\(k\in N^+\) 时，若 \(i > k\)，则 \(\left( \begin{matrix} k\\i \end{matrix} \right) = 0\)，这意味着 \(k\in N^+\) 时二项式级数将退化为普通的二项级数（项数有限）

12. 向量 & 空间解析几何

1. 笛卡尔乘积：\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R} = \{ (x,y,z) | x,y,z\in \mathbb{R} \}\) 定义 \(\mathbb R^3\) 中所有有序三元实数组
2. 三维坐标系：定义了空间中的点 P 和 \(\mathbb R^3\) 中所有有序三元实数组 \((a,b,c)\) 的一一对应关系
3. 三维坐标平面：x=0/y=0/z=0 分别代表坐标平面 yoz/xoz/xoy
4. 曲面方程(三维)：\(F(x,y,z)=0\)
5. 两点距离(三维)：三维空间上的两点 \(P_1(x_1,y_1,z_1)\) 和 \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) 的距离 \(|P_1 P_2| = \sqrt {(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_1-z_2)^2}\)

6. 球面方程(三维)：\((h, k, l)\)，半径为 r 的球面方程为 \((x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l) = r^2\)

7. 向量：具有 大小 和 方向 的量

   • 几何表示：箭头 或 有向的线段；箭头的长度代表向量的相对大小
   • 记号：v，\(\overrightarrow{v}\)，\(\overrightarrow{AB}\)（起点 A 称为 尾部，终点 B 称为头部）
   • 向量相等：\(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) \(\iff\) u 和 v 长度 和 方向 均相等
   • 零向量：0，长度为 0，并且是唯一没有明确方向的向量
8. 三角形法则(向量加法)：若向量 v 的起点 和 向量 u 的终点相连，那么这两个向量的和 v+u 是一个从 u 的起点到 v 的终点的一个向量
9. 平行四边形法则(加法交换律)：u+v = v+u
10. 向量的数乘：向量的数乘：若 c 为标量，v 为向量，那么数乘向量 cv 表示长度为 v 的 |c| 倍的向量
    • 若 c > 0，则它的方向与 v 相同；若 c < 0，则它的方向与 v 相反
    • 当 c = 0 或 v = 0，则 cv=0
    • 负向量：-v = (-1)v 和 v 具有相同长度，但方向相反
11. 向量分量：将向量 a 的起点放在矩形坐标系的原点，那么根据我们所用的坐标系是二维或者三维的，a 的终点坐标为 \((a_1, a_2)\) 或者 \((a_1, a_2, a_3)\)，这些坐标称为向量 a 的分量，记为 \(\overrightarrow a = \langle a_{1}, a_{2}\rangle\) 或 \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3\rangle\)
12. 位置向量：如从原点到点 P(x, y) 的向量 \(\langle x, y \rangle\)
13. 向量减法：给出点 \(A(x_1, y_1, z_1)\) 和 \(B(x_2, y_2, z_2)\)，则表示 \(\overrightarrow {AB}\) 的向量 a 为 \(\overrightarrow a = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle\)
14. 向量长度
    • 二维空间中的向量 \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2 \rangle\) 的长度为 \(|\overrightarrow a| = \parallel \overrightarrow a \parallel = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}\)
    • 三维空间中的向量 \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) 的长度为 \(|\overrightarrow a| = \parallel \overrightarrow a \parallel = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
15. 向量加法，数乘(代数定义 或 代数运算)：
    • 二维空间中：\(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2 \rangle, \overrightarrow b = \langle b_1, b_2 \rangle\)，那么 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \langle a_1+b_1,a_2+b_2 \rangle\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = \langle a_1-b_1,a_2-b_2 \rangle\)，\(c\overrightarrow{a} = \langle c\cdot a_1, c\cdot a_2 \rangle\)
    • 三维空间中：\(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle, \overrightarrow b = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\)，那么 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \langle a_1+b_1+b_3,a_2+b_2+b_3 \rangle\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = \langle a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3 \rangle\)，\(c\overrightarrow{a} = \langle c\cdot a_1, c\cdot a_2, c\cdot a_3 \rangle\)
16. 向量“空间”：所有 n 维向量的集合为 \(V_n\)，一个 n 维向量是一个有序的 n 元数组：\(\overrightarrow a = \langle a_1,a_2,\dots, a_n \rangle\)；\(a_i \in R\)，称为 a 的分量；如同 n=2，n=3 时的情况一样，我们可以为其定义向量 加法 和 数乘
17. 向量的性质：假设a, b, c 是 \(V_n\) 中的向量，c 和 d 是常数，那么
    • a + b = b + a，a + (b + c) = (a + b) + c，a + 0 = a，a + (-a) = 0
    • c(a + b) = ca + cb，(c + d)a = ca + da，(cd)a = c(da)，1a = a
    • 加法(交换，结合，单位元，逆元)，加法&数乘(分配)，数乘(结合律，单位元)
18. 标准向量基：
    • 二维空间中，i, j 为长度为 1，指向 x / y 轴正方向的向量 \(\langle 1, 0 \rangle\)，\(\langle 0, 1 \rangle\)；\(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2 \rangle\) 可以表示为 \(\overrightarrow a = a_1\overrightarrow i + a_2\overrightarrow j\)
    • 三维空间中，i, j, k 为长度为 1，指向 x / y / z 轴正方向的向量 \(\langle 1, 0, 0 \rangle\)，\(\langle 0, 1, 0 \rangle\)，\(\langle 0, 0, 1 \rangle\)；\(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) 可以表示为 \(\overrightarrow a = a_1\overrightarrow i + a_2\overrightarrow j + a_3\overrightarrow k\)

19. 单位向量：长度为 1 的向量

    • 对于任意非零向量 a，都有与其方向相同的单位向量 \(\overrightarrow u = \frac {\overrightarrow a}{|a|}\)

20. 向量点积：\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2\)(二维)，\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)(三维) （注：点积将两个向量映射到 实数域 上）

21. 向量点积的性质：\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = |\overrightarrow a|^2\)，\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a\)，\(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b + \overrightarrow c) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c\)，\((c\overrightarrow a) \cdot \overrightarrow b = c(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b) = \overrightarrow a \cdot (c\overrightarrow b)\)，\(\overrightarrow 0\cdot \overrightarrow a = 0\)
22. 向量点积的物理意义：向量 a, b 的夹角为 \(\theta\)，那么 \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b = |a||b|\cos \theta\)
    • \(\cos \theta = \frac {\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}\)
    • \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\) \(\iff\) 向量 a, b 正交
    • \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\) \(\iff\) 向量 a, b 完全同向
    • \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = -|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\) \(\iff\) 向量 a, b 完全反向
23. 向量的方向角：非零向量与各坐标轴正方向的夹角；与 x，y，z 轴的方向角分别记为 \(\alpha,\beta,\gamma\)
24. 向量的方向余弦：非零向量与 x，y，z 轴的方向余弦分别记为 \(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\)
    • 假设 \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\)
    • 性质：\(\cos \alpha = \frac {a_1}{|\overrightarrow a|}\)，\(\cos \beta = \frac {a_2}{|\overrightarrow a|}\)，\(\cos \gamma = \frac {a_3}{|\overrightarrow a|}\)（注：\(\overrightarrow a\) 与各个轴所在的公共平面中，\(\overrightarrow a\) 在轴上的投影大小为 \(a_i\)，与该轴的夹角为相应的方向角）
    • \((\cos\alpha)^2 + (\cos\beta)^2 + (\cos\gamma)^2 = 1\)
    • \(\overrightarrow a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle = |\overrightarrow a|\langle \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma \rangle\)
    • \(e_{\overrightarrow a} = \frac {\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|} = \langle \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma \rangle\)

25. 投影：\(\overrightarrow a\) 和 \(\overrightarrow b\) 具有共起点，记 \(\displaystyle proj_{\overrightarrow a} \overrightarrow b\) 为 \(\overrightarrow b\) 在 \(\overrightarrow a\) 上的投影

    • \(\overrightarrow b\) 在 \(\overrightarrow a\) 上的投影大小，记作 \(\displaystyle comp_{\overrightarrow a} \overrightarrow b\)
    • \(\displaystyle comp_{\overrightarrow a} \overrightarrow b = \frac {\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a|}\)，\(\displaystyle proj_{\overrightarrow a} \overrightarrow b = (\frac {\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a|}) \frac {\overrightarrow a}{|\overrightarrow a|} = (\frac {\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{|\overrightarrow a|^2})\overrightarrow a\) （括号不可去掉，否则公式不正确）
    • 注：其中 \(\overrightarrow a\) 可以任意缩放其大小而等式成立

26. 向量的叉积：\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \langle a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1 \rangle = \left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\ \\ a_1&a_2&a_3\\ \\ b_1&b_2&b_3\end{array}\right| = \left|\begin{array}{c c c}{a_{2}}&{a_{3}}\\ {b_{2}}&{b_{3}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{c c}{a_{1}}&{a_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{3}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{c c}{a_{1}}&{a_{2}}\\ {b_{1}}&{b_{2}}\\ \end{array}\right|\overrightarrow{k}\)

27. 向量叉积的性质1：
    1. 向量 \(\overrightarrow a\times \overrightarrow b\) 与 a, b 都正交
    2. 方向：右手从 a 到 b 的方向握住 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\)，拇指所指方向即为 \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\) 的方向（右手法则）
    3. 长度：\(|\overrightarrow a \times \overrightarrow b| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin \theta\)（\(\theta \in [0, \pi]\)，证明详见 P126）；数值上等于 由a, b 所确定的平行四边形的面积
    4. a, b 平行(同向 或 反向) \(\iff\) \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b=\overrightarrow 0\)
    5. 反交换律：\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b \ne \overrightarrow b \times \overrightarrow a\)；反结合律：\((\overrightarrow a \times \overrightarrow b)\times \overrightarrow c \ne \overrightarrow a \times (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)\)
28. 向量叉积的性质2：
    1. 反交换律：\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = -\overrightarrow b \times \overrightarrow a\)
    2. \((c\overrightarrow a) \times \overrightarrow b = c(\overrightarrow a \times \overrightarrow b) = \overrightarrow a \times (c\overrightarrow b)\)
    3. 叉积与加法分配律：\(\overrightarrow a \times (\overrightarrow b + \overrightarrow c) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c\)，\((\overrightarrow a + \overrightarrow b)\times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c\)
    4. 混合积：\(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = (\overrightarrow a \times b)\cdot \overrightarrow c = \left|\begin{array}{l l l}{a_{1}}&{a_{2}}&{a_{3}}\\ {b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\\ {c_{1}}&{c_{2}}&{c_{3}}\end{array}\right|\)
    5. \(\overrightarrow a \times (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c)\overrightarrow b - (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)\overrightarrow c\)

29. 混合积：\(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)\) 称为向量 a, b, c 的混合积

    • 混合积的绝对值数值上等于 a, b, c 所确定的平行六面体的体积：\(V = |\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c)|\)
    • \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b \times \overrightarrow c) = 0\) \(\iff\) a, b, c 共面

30. 三维直线方程：设 \(\overrightarrow r = \langle x, y, z \rangle\)，\(\overrightarrow r_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle\)，\(\overrightarrow v = \langle a, b, c \rangle\)（分别表示 直线上任意一点的位置向量，直线上已知点的位置向量，直线任意一点的方向向量）

    1. 向量方程：\(\overrightarrow r = \overrightarrow r_0 + t \overrightarrow v\)（\(t\in R\)）
    2. 参数方程：\(x = x_0+at, y = y_0+bt, z = z_0+ct\)
    3. 对称方程：\(\frac {x-x_0}a = \frac {y-y_0}b = \frac {z-z_0}c, a, b, c \ne 0\) 或 \(x=x_0, \frac {y-y_0}b = \frac {z-z_0}c, b,c\ne 0\) 或 \(y=y_0, \frac {x-x_0}a = \frac {z-z_0}c, a,c\ne 0\)，\(\dots\) （总共 \(2^3-1=8-1\) 种表示对称方程；v = 0 时仅表示空间上的点 \(P_0\)）
31. 线段方程：有位置向量 \(\overrightarrow r_0, \overrightarrow r_1\)，\(\overrightarrow r_0\) 到 \(\overrightarrow r_1\) 的位置向量方程(线段方程)为：\(\overrightarrow r(t) = \overrightarrow {r_0} + t(\overrightarrow {r_1}-\overrightarrow {r_0}) = (1-t)\overrightarrow {r_0} + t \overrightarrow {r_1}\)（\(t\in[0, 1]\)）
32. 相错直线：两条直线相错 \(\iff\) 这两个直线既 不相交 也 不平行（因而它们不在同一个平面） \(\iff\) \(\overrightarrow {v_1}\ne k\overrightarrow {v_2}, k\in R\) 并且 \(\overrightarrow r_1(t) = \overrightarrow r_2(t)\) 无解
33. 三维平面方程：\(P(x, y, z)\)（即 \(\overrightarrow r\)）为平面上任意一点，\(P_0(x_0, y_0, z_0)\) （即 \(\overrightarrow r_0\)）为平面上已知点，\(\overrightarrow n = \langle a, b, c \rangle\) 为相当于平面的任一法向量(垂直于平面)
    1. 向量方程：由 n 垂直于 \(\overrightarrow {P_0P}\) 有：\(\overrightarrow n \cdot (\overrightarrow r - \overrightarrow r_0) = 0\) 或 \(\overrightarrow n \cdot \overrightarrow r = \overrightarrow n \cdot \overrightarrow r_0\)
    2. 数量方程：\(a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0\) 或 \(ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cy_0\)
34. 三维平面的截距：三个轴的截距分别为 \(t_x,t_y,t_z\)
    • a，b，c 分别为 0 时，三个轴的截距分别为 0
    • a，b，c 均不为 0：\(t_x=\frac {ax_0+by_0+cz_0}{a}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{b}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{c}\)，\(t_y=\frac {ax_0+by_0+cz_0}{a}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{b}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{c}\)，\(t_z=\frac {ax_0+by_0+cz_0}{a}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{b}, \frac {ax_0+by_0+cz_0}{c}\)
35. 三维平面方程的应用：
    1. p，Q，R 三点(位置向量分别为 r1, r2, r3) 能确定一个平面，当且仅当 \([(\overrightarrow r_1-\overrightarrow r_2)\times (\overrightarrow r_1-\overrightarrow r_3)]\cdot (\overrightarrow r_1-\overrightarrow r_2)=0\)（该形式不唯一）
36. 空间解析几何的定理：
    1. 两个平面平行 \(\iff\) 这两个平面的法向量平行
    2. 两个平面不平行 \(\iff\) 这两个平面相交于一条直线，两平面的夹角等于两法向量之间所成的锐角 \(\theta\)（\(0 < \theta < 90°\)）（可以通过 点积 或 叉积 得到） （可以找到两个相交的法线）
    3. 两平面的交线表达式 为 两平面表达式构成的方程组
    4. 求两平面交线：
       1. 法1：在两平面表达式构成的方程组中，任取 x 或 y 或 z = k 求得直线上的一点 \((x_0,y_0,z_0)\)；通过 \(\overrightarrow v = \overrightarrow n_1 \times \overrightarrow n_2\) 得到直线的方向向量
       2. 法2：在两平面表达式构成的方程组中，分别两次消去一个变量，得到新的方程组，稍加“拼接”即可得到直线的对称方程
    5. 点在平面上的投影点：\(\overrightarrow {r_1}=Q(x_1,y_1,z_1)\) 在 \(\overrightarrow n\cdot (\overrightarrow r-\overrightarrow {r_2})=0\) 的投影点为 \(\overrightarrow {r_1}+\overrightarrow n t\)（\(t=\frac{(\overrightarrow {r_1}-\overrightarrow {r_2})\overrightarrow n}{|\overrightarrow n|^2}\)）
       • 包含法线并经过 Q 的直线为：\(\overrightarrow r(t) = \overrightarrow {r_1}+\overrightarrow n t\)，该直线与上述平面的交点即为 Q 在该平面上的投影点，解得此时 \(t=\frac{(\overrightarrow {r_1}-\overrightarrow {r_2})\overrightarrow n}{|\overrightarrow n|^2}\)
37. 重要的算子
    1. 投影：\(\overrightarrow a\) 在 \(\overrightarrow b\) 上的投影长为 \(\text{comp}_{\overrightarrow b}\overrightarrow a=\frac{\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a}{|\overrightarrow b|}\)
    2. 垂线长：\(\overrightarrow a\) 在 \(\overrightarrow b\) 上的垂线长为 \(\text{camp}_{\overrightarrow b}\overrightarrow a=\frac{|\overrightarrow b\times \overrightarrow a|}{|\overrightarrow b|}\)
    3. 恒等式：\(|\overrightarrow a|^2=(\text{comp}_{\overrightarrow b}\overrightarrow a)^2+(\text{camp}_{\overrightarrow b}\overrightarrow a)^2\)

38. 距离问题

    1. 两点距离：\(|\overrightarrow {r_2}-\overrightarrow {r_1}|\)
    2. 点线距离：\(\overrightarrow {r_1}\) 到直线 \(\overrightarrow r(t)=\overrightarrow {r_2}+t\overrightarrow {v_2}\) 之间的距离为 d；\(\overrightarrow {r_1}\) 到直线 \(\overrightarrow r(t)\) 的垂足为 \(\overrightarrow {r_3}\)
       1. \(d=\sqrt{|\overrightarrow {r_1r_2}|^2-(\text{comp}_{\overrightarrow v}{\overrightarrow {r_1r_2}})^2}=\sqrt{|\overrightarrow {r_1r_2}|^2-(\frac{\overrightarrow {r_1r_2}\cdot \overrightarrow v}{\overrightarrow v})^2}\)
       2. \(d=\frac {|\overrightarrow {r_1r_2}\times \overrightarrow v|}{|\overrightarrow v|} = |\text{camp}_{\overrightarrow v}\overrightarrow {r_1r_2}|\)
       3. \(\begin{cases}\overrightarrow {r_1r_3}\cdot \overrightarrow {v_2}=0\\\overrightarrow {r_1r_3}=\overrightarrow {r_3}-\overrightarrow {r_1}=(\overrightarrow {r_2}+t\overrightarrow {v_2})-\overrightarrow {r_1}\end{cases}\) 消去 t 后有 \(d=|\overrightarrow {r_1r_3}|=|\overrightarrow {r_1r_2}-(\frac{\overrightarrow {r_1r_2}\cdot \overrightarrow {v_2}}{|\overrightarrow {v_2}|^2})\overrightarrow {v_2}|\)
    3. 两线距离：\(\overrightarrow r(t)=\overrightarrow {r_1}+t\overrightarrow {v_1}\) 到 \(\frac {|\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {r_1r_2}|}{|\overrightarrow {v_1}|}=|\text{comp}_{\overrightarrow {v_1}}\overrightarrow {r_1r_2}|\) （仅当 \(\overrightarrow {v_1}\times \overrightarrow {v_2}=0\)）
    4. 点面距离：点 \(\overrightarrow {r_1}\) 到 \(\overrightarrow {n_2}(\overrightarrow r-\overrightarrow {r_2})=0\) 的距离为 \(|\frac {ax_1+by_1+cz_1+d}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}| = |\text{comp}_{\overrightarrow {n_2}}\overrightarrow {r_1r_2}|\)
    5. 线面距离：直线 \(\overrightarrow r(t)=\overrightarrow {r_1}+t\overrightarrow {v_1}\) 到 \(\overrightarrow {n_2}(\overrightarrow r-\overrightarrow {r_2})=0\) 的距离为 \(|\frac {ax_1+by_1+cz_1+d}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}| = |\text{comp}_{\overrightarrow {n_2}}\overrightarrow {r_1r_2}|\) （仅当 \(\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {n_2}=0\)）
    6. 面面距离：平面 \(\overrightarrow {n_1}(\overrightarrow r-\overrightarrow {r_1})=0\) 到平面 \(\overrightarrow {n_2}(\overrightarrow r-\overrightarrow {r_2})=0\) 的距离为 \(|\frac {ax_1+by_1+cz_1+d}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}| = |\text{comp}_{\overrightarrow {n_2}}\overrightarrow {r_1r_2}|\) （仅当 \(\overrightarrow {n_1}\times \overrightarrow {n_2}=0\)）

39. 柱面(三维)：直线(母线)沿着定曲线移动所得到的曲面；如：\(f(x,y)=0, f(x,z)=0,f(y,z)=0\)

40. 二次曲面(三维)：关于变量 \(x,y,z\) 的二次方程的图形，记作 \(Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\)
    • 通过变换和旋转，可以变为两种标准形式之一：\(Ax^2+By^2+Cz^2+J=0\) 或 \(Ax^2+By^2+Iz=0\)

41. 二次曲面分类：

    1. \(Ax^2+By^2+Cz^2+J=0\)（\(A,B,C,J\ne 0\)）
       1. 椭球：\(A,B,C\) 全部与 \(J\) 异号
       2. 单叶双曲面：\(A,B,C\) 其二与 \(J\) 异号
       3. 双叶双曲面：\(A,B,C\) 其一与 \(J\) 异号
    2. \(Ax^2+By^2+Cz^2\)（\(A,B,C\ne 0\)）
       1. 锥面：\(A,B,C\) 至少有一个异号
       2. 原点：\(A,B,C\) 全部同号
    3. \(Ax^2+By^2+Iz=0\)（\(A,B,I\ne 0\)）
       1. 椭圆抛物面：\(A,B\) 全部与 \(I\) 异号
       2. 双曲抛物面：\(A,B\) 其一与 \(I\) 异号
    4. \(Ax^2+By^2=0\)（\(A,B\ne 0\)）：z 轴

42. 柱面坐标系：三维空间中的点 P 用有序三元组 \((r, \theta, z)\) 来表示

    • 柱面坐标 \(\implies\) 直角坐标：\(x = r\cos \theta, y = r\sin \theta, z = z\)
    • 直角坐标 \(\implies\) 柱面坐标：\(r^2 = x^2 + y^2, \tan \theta = \frac yx, z = z\)
43. 球坐标系：三维空间中的点 P 用有序三元组 \((\rho, \theta, \phi)\) 表示（\(\rho \ge 0, 0\le \phi \le \pi\)）
    • \(\rho=|OP|\) 为点 P 到原点的距离，\(\theta\) 和柱面坐标表示同样的角度，\(\phi\) 是线段和 z 轴正方向的夹角
    • 方程 r=c 表示半径为 r 的球面，方程 \(\theta=c\) 表示一个竖直的半平面，方程 \(\phi=c\) 表示一个以 z 轴为对称轴的半圆锥
    • 球坐标 \(\implies\) 直角坐标：\(x=\rho\sin\phi\cos\theta, y=\rho\sin\phi\sin\theta, z=\rho\cos\phi\)
    • 直角坐标 \(\implies\) 球坐标：\(\rho^2=x^2+y^2+z^2\)
44. 三维坐标系之间的切换：\(P_1(x, y, z), P_2(r, \theta, z), P_3(\rho, \theta, \phi)\) 分别为点 P 在 直角坐标，柱面坐标，球坐标 中的表示方法
    1. \(P_1(x, y, z) => P_2(\sqrt {x^2 + y^2}, \tan^{-1}\frac yx=\cos^{-1}\frac x\rho=\sin^{-1}\frac y\rho, z)\)
    2. \(P_1(x, y, z) => P_3(\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}, \sin^{-1} \frac y{\rho\sin\phi}=\cos^{-1}\frac x{\rho\sin\phi}=\tan^{-1}\frac yx, \cos^{-1}\frac z\rho)\)
       • 注：\(\rho\sin\phi=\sqrt{x^2+y^2}\)

13. 向量函数

1. 向量函数(三维)：\(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\overrightarrow i + g(t)\overrightarrow j + h(t)\overrightarrow k\)
   • \(r:~\mathbb R \to \mathbb R^3\)
   • f，g，h 分别为 r 的分量函数
2. 向量函数的定义域：由分量函数的 定义域的交集 决定，如三维的情况：\(D_f\cap D_g\cap D_h\)
3. 极限：\(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\overrightarrow i + g(t)\overrightarrow j + h(t)\overrightarrow k\)，那么 \(\lim\limits_{t\to a}\overrightarrow r(t) = \langle \lim\limits_{t\to a}f(t), \lim\limits_{t\to a}g(t), \lim\limits_{t\to a}h(t) \rangle\)（仅当分量函数的极限都存在）
4. 运算法则：和差商积，数乘
5. 连续性：向量函数在 r 处连续，当且仅当 \(\lim\limits_{t\to a}\overrightarrow r(t) = \overrightarrow r(a)\)

6. 连续向量函数 与 空间曲线：假设 \(f,g,h\) 是在区间 l 上连续的实值函数，那么 t 在区间 l 变化，满足 \(x=f(t), y=g(t), z=h(t)\) 的所有点 \((x, y, z)\) 的集合 C 叫做一条 空间曲线；该方程为 C 的 参数方程，t 称为 参数

   • 如果向量函数为 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle\)，那么 r(t) 是点 P(f(t), g(t), h(t)) 在 C 上的位置向量
   • 因此，任意的向量函数 r 定义了一条空间曲线 C，它是以坐标原点 O 为起点的向量 r(t) 末端的运动轨迹

7. 向量函数的导数：\(\frac {d_{\overrightarrow r}}{d_t} = \overrightarrow r'(t) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)}{h}\) （仅当极限存在）

   • 割线向量 \(\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)\)，切向量 \(\lim\limits_{h\to 0}\frac {\overrightarrow r(t+h)-\overrightarrow r(t)}{h}\)，单位切向量 \(\overrightarrow \tau(t) = \frac {\overrightarrow r'(t)}{|\overrightarrow r'(t)|}\)
8. 光滑：如果 \(\overrightarrow r'(t)\) 在区间 I 上满足 r' 连续，\(\overrightarrow r'(t)\ne 0\)（除了端点之外），我们称 r(t) 在区间 I 上是光滑的
9. 分段光滑：向量函数由有限多的光滑片段构成
10. 尖点：存在 \(t=a\)，使得 \(\overrightarrow r'(a)=0\)
11. 求导法则：
    1. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t) + \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t) + \overrightarrow v'(t)\)，\(\frac d{d_t}[c\overrightarrow u(t)] = c\overrightarrow u'(t)\)
    2. \(\frac d{d_t}[f(t)\overrightarrow u(t)] = f'(t)\overrightarrow u(t) + f(t)\overrightarrow u'(t)\)，\(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t)\cdot \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t)\cdot \overrightarrow v(t) + \overrightarrow u(t)\cdot \overrightarrow v'(t)\)，\(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(t)\times \overrightarrow v(t)] = \overrightarrow u'(t)\times \overrightarrow v(t) + \overrightarrow u(t)\times \overrightarrow v'(t)\)
    3. \(\frac d{d_t}[\overrightarrow u(f(t))] = f'(t) \overrightarrow u'(f(t))\)
12. 法则：如果 \(|\mathbf r(t)|=c\) (一个常数)，那么对于所有的 t，\(\mathbf r'(t)\) 和 \(\mathbf r(t)\) 相垂直
13. 积分：\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow r(t_i^*) \Delta t = \lim\limits_{n\to ∞} [(\sum\limits_{i=1}^n f(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow i, (\sum\limits_{i=1}^n g(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow j, (\sum\limits_{i=1}^n h(t_i^*)\Delta t)\overrightarrow k]\)
    • 于是，\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = (\int_a^b f(t)~d_t)\overrightarrow i + (\int_a^b g(t)~d_t)\overrightarrow j + (\int_a^b h(t)~d_t)\overrightarrow k\)

14. 微积分基本定理(扩展)：\(\int_a^b \overrightarrow r(t)~d_t = \overrightarrow R(t)]_a^b = \overrightarrow R(b) - \overrightarrow R(b)\)

    • 这里 R 是 r 的一个原函数，即 R'(t) = r(t)
    • \(\int \overrightarrow r(t)~d_t\) 表示不定积分

15. 空间曲线长度：\(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle, a\le t\le b\) 或者 用参数方程表示为 x=f(t), y=g(t), z=h(t)，这里 f', g', h' 连续；如果变量 t 由 a 增加到 b，正好通过曲线一次，那么我们得到曲线的长度为 \(L = \int_a^b \sqrt {[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}~d_t = \int_a^b \sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2 + (\frac {d_z}{d_t})^2}~d_t\)

    • 对于 n 维向量函数：\(L = \int_a^b |\overrightarrow r'(t)|~d_t\)
16. 弧长函数：假设 C 是由向量方程 \(\overrightarrow r(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle, a\le t\le b\) 所给出的分段光滑的曲线，当变量 t 从 a 增加到 b，正好经过曲线一次
    • 弧长函数：\(s(t) = \int_a^t |\overrightarrow r'(u)|~d_u = \int_a^t \sqrt {(\frac {d_x}{d_u})^2 + (\frac{d_y}{d_u})^2 + (\frac{d_z}{d_u})^2}~d_u\)
    • 使用微积分基本定理有：\(\frac {d_s}{d_t} = |\overrightarrow r(t)|\)
17. 向量函数换元：\(t=t(s)\)（仅当 \(s=s(t)\) 是单射）
18. 单位切向量：\(\mathbf T(t) = \frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\)
19. 曲率：\(K(t) = |\frac {d_{\mathbf T}}{d_s}| = |\frac {d_{\mathbf T}/d_t}{d_s/d_t}| = \frac {|\mathbf T'(t)|}{|\mathbf r'(t)|}\)，用以描述曲线在这一个点方向变化快慢程度
    • \(\displaystyle K(t) = \frac {|\mathbf r'(r)\times \mathbf r^{"}(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3}\)
    • 二维曲线曲率(切线斜率)：\(\displaystyle K(x) = \frac {f^{"}(x)}{[1+f'(x)^2]^{\frac 32}}\) （曲线为 \(y=f(x)\)）
20. 单位法向量：\(\mathbf N(t) = \frac {\mathbf T'(t)}{|\mathbf T'(t)|} = \frac {\mathbf T'(t)}{K|\mathbf r'(t)|}\)
    • \(u=f(\mathbf x)\) 的单位法向量为 \(\mathbf N = \frac{\nabla f}{|\nabla f|}\)
21. 副法线向量：\(\mathbf B(t) = \mathbf T(t) \times \mathbf N(t)\)

22. 法平面，密切面，密切圆，从切面：P 为曲线 C 上任意一点

    1. 法平面：点 P 的单位法向量 \(\mathbf N\) 和 副法线向量 \(\mathbf B\) 所确定的平面
    2. 密切面：点 P 的单位切向量 \(\mathbf T\) 和 单位法向量 \(\mathbf N\) 所确定的平面（“密切面”来自于拉丁语 osculum，“接吻”的意思；这是最接近包含这条曲线，点 P 附近部分的平面）
    3. 密切圆：点 P 的密切面上存在一个圆，其圆心位于曲线 C 的凹面部分（\(\mathbf N\) 指向其圆心），其半径为 \(\rho = \frac 1K\)
    4. 从切面：点 P 的单位切向量 \(\mathbf T\) 和 副法线向量 \(\mathbf B\) 所确定的平面

23. 速度：速度向量等于切向量，\(\mathbf v(t) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {\mathbf r(t+h) - \mathbf r(t)}{h} = \mathbf r'(t)\)

    • \(|\mathbf v(t)| = |\mathbf r'(t)| = \frac {d_s}{d_t}\) = 相应距离关于时间的变化率
    • \(\mathbf r(t) = \mathbf r(t_0) + \int_{t_0}^t \mathbf v(u)~d_u\)
24. 加速度：\(\mathbf a(t) = \mathbf v'(t) = \mathbf r^{"}(t)\)
    • \(\mathbf v(t) = \mathbf v(t_0) + \int_{t_0}^t \mathbf a(u)~d_u\)
25. 牛顿第二定律：在任意时刻 t，一个力 \(\mathbf F(t)\) 作用于一个质量为 m 的物体上产生的加速度为 \(\mathbf a(t)\)，那么 \(\mathbf F(t) = m\mathbf a(t)\)
26. 加速度的分量：\(a_T, a_N\) 分别为 \(\mathbf a(t)\) 在 切线方向 和 法线方向 的分量
    • \(\mathbf a = a_T\mathbf T + a_N\mathbf N\)
    • \(a_T = v' = \frac {\mathbf v\cdot \mathbf a}{v} = \frac {\mathbf r'(t)\cdot \mathbf r^{"}(t)}{|\mathbf r'(t)|}\)，\(a_N = Kv^2 = \frac {|\mathbf r'(t)\times \mathbf r^{"}(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3}|\mathbf r'(t)|^2 = \frac {|\mathbf r'(t)\times \mathbf r^{"}(t)|}{|\mathbf r'(t)|}\) （证明详见 13.4）

14. 多元函数的偏导数

1. 多元函数的描述方法：语言描述（文字），数值描述（数值表格），代数刻画（显式的公式），直观刻画（曲面或等值线图）
2. 二元函数：二元函数 f 是指在集合 D 中的每个有序实数对 (x, y) 都有唯一的实数 f(x, y) 与前者对应
   • D 为定义域，f 的值域指 f 能取到的值（\(\{ f(x, y) | (x, y) \in D \}\)）
   • \(f:~\mathbb R^2\to \mathbb R\)
   • 注：\(\{ (x,y) | y\ge F(x) \}\) 表示 \(y=f(x)\) 及其上半部分，\(\{ (x,y) | x\ge F(y) \}\) 表示 \(x=g(y)\) 及其右半部分
3. 二元函数[2]：二元函数 f 满足： 二维平面 \(\mathbb R^2\) 的子集（即定义域）的每一个点能通过 f 唯一映射到一个一维数轴 \(\mathbb R\) 上的点（这些点构成集合——值域）
4. 二元函数的图像：二元函数 \(z=f(x,y)\) 的图像是 \(\mathbb R^3\) 中的所有在定义中的点 \((x,y,z)\)
   • 连续二元函数的图像是曲面（连续一元函数的图像在 \(\mathbb R^2\) 上是曲线）
5. 平面画图：截线（令 \(x=0, y=0, z=0\) 分别得到 f 在 \(yoz,zox,xoy\) 上的截线），截距（令 \(y=z=0,z=y=0,x=y=0\) 分别得到 f 在 \(x,y,z\) 轴的截距），等高方法(见 (6))
6. 等高方法：
   • 等高线法：迭代 \(k_i=f(x,y)\) 得到一系列平行于 \(xoy\) 的曲线(等高线)，将这些曲线映射到 \(xoy\) 上，并在其周围标上对应的值 \(k_i\)（应用：地形图，温度带）
   • 等高点法：迭代 \(k_i=f(x)\) 得到一系列点(等高点)，将这些点映射到 \(x\) 轴上，并在其周围标上对应的值 \(k_i\)
   • 等高面法：迭代 \(k_i=f(x,y,z)\) 得到一系列曲面(等高面)，将这些曲面映射到一个(或多个，方便观察) \(\mathbb R^3\) 直角坐标系上，并在其周围标上对应的值 \(k_i\)
7. 三元函数：三元函数 f 对于定义域 \(D\subset \mathbb R^3\) 内的每个三元组 \((x, y, z)\) 都有唯一的实数 \(f(x, y, z)\) 与其对应，即 \(f:~\mathbb R^3 \to \mathbb R\)
8. 多元函数：n 元函数是一个数组 \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) 到一个数 \(z=f(x_1,x_2,\dots, x_n)\) 的一个对应，即 \(f:~\mathbb R^n \to \mathbb R\)

9. 多元函数的原像：有三种看待方式：

   1. n 个实变量 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 的函数
   2. 一个点变量 \((x_1,x_2,\dots,x_n)\) 的函数
   3. 一个向量 \(\mathbf x = \langle x_1,x_2,\dots,x_n \rangle\) 的函数；f 可表示为 \(f(\mathbf x)\)

10. 二元函数极限：\(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\) 表示在 f 的定义域点 (x, y) 沿着任何路径趋近于 (a, b) 时，f(x, y) 趋近于一个数 L

    • 其他表示法：\(\lim\limits_{\begin{smallmatrix}x\to a\\ y\to b\end{smallmatrix}} f(x,y)=L\)；\(f(x,y)\to L\) 当 \((x,y)\to (a,b)\)
    • 几何解释：由二元函数的几何定义有 f 在 \(D\subset \mathbb R^2\) 上的每个点都能唯一映射到一维数轴上(设为 z)；如果给定 z 上的任意小区间 \((L-\epsilon, L+\epsilon)\)，我们可以在 D 上找到一个以点 (a,b) 为中心，\(\delta > 0\) 为半径的圆盘 \(D_{\delta}\)，使得 f 可以把所有圆盘 \(D_{\delta}\) 上的点映射带区间 \((L-\epsilon, L+\epsilon)\)
11. 二元函数极限[2]：对于任意 \(\epsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\) 使得任意 \((x,y)\in\{(x,y)~|~\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\}\) 都满足 \(|f(x,y)-L|<\epsilon\)；记作 \(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\)
12. 二元函数极限存在的矛盾条件：如果从路径 \(C_1:(x,y)\to(a,b)\) 使 \(f(x,y)\to L_1\)，而沿路径 \(C_2:(x,y)\to(a,b)\) 使 \(f(x,y)\to L_2\)，而 \(L_1\ne L_2\)，那么 \(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} f(x, y) = L\) 不存在
13. 二元函数极限计算策略：
    1. 法则：\(\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} x = a, \lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} y = b, \lim\limits_{(x,y)\to (a,b)} c = c\)
    2. 分别沿着 \(y=m(x-a)+b\) 和 \(x=a\) 方向接近 \((a,b)\)：将 \(y=m(x-a)+b\) 或 \(y=b\) 代入 \(f(x,y)\)；得到 \(L_1=\lim\limits_{x\to a}f(x,m(x-a)+b)\)，\(L_2=\lim\limits_{y\to b}f(a,y)\)；参数 m 保留 或者 两类极限不相等，则极限不存在
    3. 沿着曲线 \(g(x,y)=0\) 接近（\(z=g(x,y)\) 在 \((a,b)\) 有定义）；若存在沿着某个不同路径使得极限不相同，则极限不存在
    4. 夹逼法则
    5. 根据 \(\epsilon-\delta\) 定义计算极限
14. 二元函数的连续性：f 在点 \((a,b)\) 处连续，当且仅当 \(\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)\)（曲面上没有断面 或 洞）
15. 连续性法则：
    1. 连续函数的 和差积商，导数 在定义域连续
    2. 多项式 \(\sum c_ix_i^{a_i}y_i^{b_i}\) 在任意处连续
    3. 若 \(f(x,y)\) 连续，\(g(x)\) 在 f 的值域上连续，那么复合函数 \(h=g\circ f(x,y)\) 也是连续函数
16. 三元函数的极限：\(\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z) = L\) 表示在 f 的定义域内，当 \((x,y,z)\) 以任意方式趋近 \((a,b,c)\) 时，\(f(x,y,z)\) 趋近于 L
17. 三元函数的极限[2]：对任意 \(\epsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\) 对于任意 \((x,y,z)\in\{(x,y,z)~|~\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<\delta\}\) 使得 \(|f(x,y,z)-L|<\epsilon\)
18. 三元函数的连续性：f 在 \((a,b,c)\) 处连续，当且仅当 \(\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)} f(x,y,z) = f(a,b,c)\)
19. 多元函数的极限：\(\lim\limits_{\mathbf x\to \mathbf a} f(\mathbf x) = L\) 意味着对于任意 \(\epsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\) 对于任意 \(\mathbf x\in\{\mathbf x~|~|\mathbf x-\mathbf a|<\delta\}\) 使得 \(|f(x,y,z)-L|<\epsilon\) （其中 f 定义在 \(D\subset \mathbb R^n\) 上，\(\mathbf x = \langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle\)，\(\mathbf a = \langle a_1, a_2, \dots, a_n\rangle\)）

20. 多元函数的连续性：f 在 \(\mathbf a\) 处连续，当且仅当 \(\lim\limits_{\mathbf x \to \mathbf a} f(\mathbf x) = f(\mathbf a)\)

21. 二元函数的偏导数：f 对 x 和 y 偏导数分别为 \(f_x(x, y) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x+h, y)-f(x,y)}h\)，\(f_y(x, y) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x, y+h)-f(x,y)}h\)

    • \(f_x(x,y)=f_x=\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {\partial}{\partial x}f(x,y) = \frac {\partial z}{\partial x} = f_1 = D_1f = D_xf\)
    • \(f_y(x,y)=f_y=\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {\partial}{\partial y}f(x,y) = \frac {\partial z}{\partial y} = f_2 = D_2f = D_2f\)
    • 注：偏导数表示某个自变量发生微小变化时，因变量发生变化的快慢
22. 偏导数求导法则：对 \(x_i\) 轴求偏导数时，仅将 \(x_i\) 当作变量，其他轴的量当作常数
23. 二元偏导数的几何意义：
    1. \(f_x(a,b)\) 表示曲线 \(z=f(x,y), y=b\)（即 \(F(x,b,z)=0\)） 的斜率
    2. \(f_y(a,b)\) 表示曲线 \(z=f(x,y), x=a\)（即 \(F(a,y,z)=0\)） 的斜率
24. 三元偏导数：\(f_x(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}h\)，\(f_y(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}h\)，\(f_z(x,y,z) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}h\)
25. 多元偏导数：\(f_i = \frac {\partial u}{\partial x_i} = \lim\limits_{h\to 0} \frac {f(x_1,\dots,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\dots, x_n) - f(x_1,\dots,x_i,\dots, x_n)}h\) （\(u = f(x_1,x_2,\dots, x_n)\)）
26. 高阶导数：以 \(f(x,y)\) 为例
    • \((f_x)_x = f_{xx} = f_{11} = \frac {\partial }{\partial x}(\frac {\partial f}{\partial x}) = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} = \frac {\partial ^2z}{\partial x^2}\)
    • \((f_x)_y = f_{xy} = f_{12} = \frac {\partial }{\partial y}(\frac {\partial f}{\partial x}) = \frac {\partial ^2f}{\partial y\partial x} = \frac {\partial ^2z}{\partial y\partial x}\)
    • \((f_y)_x = f_{yx} = f_{21} = \frac {\partial }{\partial x}(\frac {\partial f}{\partial y}) = \frac {\partial ^2f}{\partial x\partial y} = \frac {\partial ^2z}{\partial x\partial y}\)
    • \((f_y)_y = f_{yy} = f_{22} = \frac {\partial }{\partial y}(\frac {\partial f}{\partial y}) = \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} = \frac {\partial ^2z}{\partial y^2}\)
27. 克莱罗定理：如果 \(f_{xy}, f_{yx}\) 都在 \((a,b)\) 的邻域内连续，那么 \(f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)\)
    • 推广1：\(f_{xy},f_{yx}\) 在定义域内连续，那么\(f_{xy}=f_{yx}\)
    • 推广2：f 是多元函数，\(f_1=f_{x_{a_1}x_{a_2}\dots}, f_2=f_{x_{b_1}x_{b_2}\dots}\) 的高阶导数，它们在定义域连续，并且对于所有 \(x_j\) 出现的次数相同；那么 \(f_1=f_2\)

28. 偏微分方程：如 拉普拉斯方程（\(\frac {\partial ^2u}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2u}{\partial y^2} = 0\)，\(e^x\sin y\)），波动方程（\(\frac {\partial ^2u}{\partial t^2} = a^2 \frac {\partial ^2u}{\partial x^2}\)，\(\sin (x-at)\)），考伯-当拉斯产出方程

29. 曲面的切平面：\(f(x,y)\) 有连续的偏导数，\(z=f(x,y)\) 在 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程为 \(z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)（法线：\(\mathbf n=\langle -f_1,-f_2,1\rangle\)）

30. 超几何体的“切体”：\(f:~\mathbb R^n\to \mathbb R\) 有连续偏导数，\(u=f(\mathbf x)\) 在 \(P(\mathbf x_0, u_0)\) 处的切体方程为 \(\Delta u=f(\mathbf x)-f(\mathbf x_0) = \sum\limits_{i=1}^nf_i(\mathbf x_0)\cdot \Delta x_i\) （其中 \(\mathbf x,\mathbf x_0\in\mathbb R^n\)）
31. 二元函数的线性近似：f 在点 \((a,b)\) 处的线性化为：\(L(x, y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)\)，称 f 在点 \((a,b)\) 的 线性近似 或 切平面近似 为：\(f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)\)
32. n 元函数的线性近似：\(f:~\mathbb R^n\to \mathbb R\) 在 \(\mathbf x_0\) 处的线性近似为 \(f(\mathbf x) \approx f(\mathbf x_0) + \sum\limits_{i=1}^nf_i(\mathbf x_0)\cdot \Delta x_i\)
    • 精确表达：\(f(\mathbf x) = f(\mathbf x_0) + \sum\limits_{i=1}^n(f_i(\mathbf x_0)+\epsilon_i)\cdot \Delta x_i\)
    • \(\epsilon_i\to0\)时，\(\Delta \mathbf x\to\mathbf 0\)
33. 可微的充分条件(二元函数)：\(f_x,f_y\) 在 \((a,b)\) 存在并连续，则 f 在点 \((a,b)\) 处可微
34. 二元函数全微分：可微函数 \(z=f(x,y)\) 的全微分为 \(d_z = f_x(x,y)d_x + f_y(x,y)d_y = \frac {\partial z}{\partial x}d_x + \frac {\partial z}{\partial y}d_y\)

35. n 元函数全微分：可微函数 \(u=f(\mathbf x)\) 的全微分为 \(d_u=\sum\limits_{i=1}^nf_i\cdot d_{x_i}\)

36. 链式法则：u 对 t 的偏导数为 \(\displaystyle \frac {\partial u}{\partial_{t}}=\sum\limits_{i=1}^nf_i\prod\limits_{j=2}^{k_i}\frac{\partial x_{i,j-1}}{\partial x_{i,j}}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial_{x_i}}\prod\limits_{j=2}^{k_i}\frac{\partial x_{i,j-1}}{\partial x_{i,j}}\)

    • 在“偏导图”中，对于第 i 条从变量 \(x_i\) 出发以变量 t 为叶子结点的路径，\(k_i\) 为路径上结点(变量)的数量，\(x_{i,j}\) 为第 i 条路径的第 j 个变量；\(\displaystyle\frac{\partial x_{i,k_i-1}}{\partial x_{i,k_i}}=\frac{d_{x_{i,j-1}}}{d_{x_{i,j}}}\)；\(x_{i,1}=x_i,x_{i,k_i}=t\)
    • 注：“偏导图”不一定是 DAG；“偏导图”没有重边
    • 如果所有路径的叶子结点都是 t，那么 \(\frac {\partial u}{\partial_{t}} = \frac {d_u}{d_t}\)
37. 链式法则(推广)：\(\displaystyle \frac {\partial f_{a_1a_2\dots a_s}}{\partial_{t}}=\sum\limits_{i=1}^nf_{a_1a_2\dots a_is~i}\prod\limits_{j=2}^{k_i}\frac{\partial x_{i,j-1}}{\partial x_{i,j}}\)
38. 隐函数导数(一元)：有方程 \(F(x,y)\) 使得 \(F(a,b)=0\)；在点 \((a,b)\) 处的邻域内（圆盘），\(F_x,F_y\) 连续，\(y=f(x)\) 可微；那么导数 \(\frac {d_y}{d_x}=-\frac {F_x}{F_y}\) （\(F_y(a,b)\ne0\)）

39. 隐函数导数(二元)：有方程 \(F(x,y,z)\) 使得 \(F(a,b,c)=0\)；在点 \((a,b,c)\) 处的邻域内（球体），\(F_x,F_y,F_z\) 连续，\(z=f(x,y)\) 可微；那么偏导数 \(\frac {\partial z}{\partial x}=-\frac {F_x}{F_z}\)，\(\frac {\partial z}{\partial y}=-\frac {F_y}{F_z}\)

40. 方向导数(二元)：f 在 \((x_0,y_0)\) 处关于向量 \(\mathbf u = \langle a,b\rangle\) 的方向导数为：\(D_\mathbf u f(x_0,y_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}h\)

    • \(\displaystyle D_{\mathbf i} f = f_x(x_0,y_0) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h\)（\(\mathbf i = \langle 1,0 \rangle\)）
    • \(\displaystyle D_{\mathbf j} f = f_y(x_0,y_0) = \lim\limits_{h\to 0}\frac {f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}h\)（\(\mathbf j = \langle 0,1 \rangle\)）
    • 定理：\(D_{\mathbf u}f(x,y) = f_x(x,y)a + f_y(x,y)b\)
    • 令 \(a^2+b^2=1\)，\(a=\cos \theta, b=\sin \theta\) 有 \(D_{\mathbf u}f(x,y) = f_x(x,y)\cos\theta + f_y(x,y)\sin\theta\)
41. 方向导数(n元)：\(f:~\mathbb R^n\to\mathbb R\) 在 \(\mathbf x_0\) 处关于向量 \(\mathbf u\) 的方向导数为：\(D_\mathbf u f(x_0,y_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(\mathbf x_0+h\mathbf u)-f(\mathbf x_0)}h\)
    • 定理：\(D_{\mathbf u}f(\mathbf x_0) = \sum\limits_{i=1}^nf_i(\mathbf x_0)\cdot u_i = \nabla f(\mathbf x_0)\cdot \mathbf u\)
42. 梯度向量：\(f:~\mathbb R^n\to\mathbb R\) 的梯度向量为 \(\mathbf {grad} f(\mathbf x) = \nabla f(\mathbf x) = \langle f_1(\mathbf x), f_2(\mathbf x), \dots, f_n(\mathbf x)\rangle\) （\(\nabla f~:~\mathbb R^n\to \mathbb R^n\)）
43. 方向导数的最大值：f 沿着单位向量 \(\mathbf u\) 的方向导数 \(D_{\mathbf u}f(\mathbf x)\) 取最大值，当且仅当 \(\mathbf u\) 与 \(\nabla f\) 同向；此时 \(\max\{D_{\mathbf u}f(\mathbf x)\} = |\nabla f(\mathbf x)|\)
44. 定理：对两边求导方程 \(F(\mathbf x) = F(\mathbf r(t)) = k\) 有 \(\sum\limits_{i=1}^nF_i(\mathbf x)\frac {\partial x_i}{\partial t}=\nabla F(\mathbf x)\cdot \mathbf r'(t)=0\)

45. 广义曲面的切平面 & 法向量：有方程 \(F(x,y,z)=k\)

    1. 切平面方程(三维)：\(\nabla F(\mathbf x_0)\cdot (\mathbf x-\mathbf x_0)=0\)
    2. 法线方程(三维)：\(\frac {x-x_0}{F_x(\mathbf x_0)} = \frac {y-y_0}{F_y(\mathbf x_0)} = \frac {z-z_0}{F_z(\mathbf x_0)}\)

46. 极值(二维)：

    1. 极大值：\(f(a,b)\) 为一个极大值，当且仅当对于所有 \((a,b)\) 临近的 \((x,y)\) 均有 \(f(x,y)\le f(a,b)\)
    2. 极小值：\(f(a,b)\) 为一个极小值，当且仅当对于所有 \((a,b)\) 临近的 \((x,y)\) 均有 \(f(x,y)\ge f(a,b)\)
47. 极值的必要条件(费马定理推广)：如果 f 在点 \((a,b)\) 处取极值，则该点处 f 的一阶偏导数存在，且有 \(f_x(x,y)=f_y(x,y)=0\)
48. 临界点(驻点)：\((a,b)\) 为临界点，当且仅当 \(f_x(a,b)=f_y(a,b)=0\) 或者其中之一不存在
49. 鞍点：不是极值点和临界点
50. 二阶导数判别极值：f 的二阶导数在 \((a,b)\) 的领域内连续，并且 \(f_x(a,b)=f_y(a,b)=0\)；令 \(D = D(a,b) = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2 = \left|\begin{matrix}{f_{xx}}&{f_{xy}}\\ {f_{yx}}&{f_{yy}}\\ \end{matrix}\right|\)
    1. \(D>0\)
       1. \(f_{xx}(a,b)>0\)：\(f(a,b)\) 是极小值
       2. \(f_{xx}(a,b)<0\)：\(f(a,b)\) 是极大值
    2. \(D<0\)：\(f(a,b)\) 不是极值
    3. \(D=0\)：判别法无效
51. 集合相关定义：
    1. 闭集：该集合与其所有边界点的并集
    2. 开集：该集合与其边界的差集
    3. 有界集：能被某个圆包含在其中的集合
52. 极值定理(二维)：若 f 在有界闭集 D 上连续，则 f 在 D 中存在最大值以及最小值

53. 计算最值：D 为有界集合

    1. 求 f 在 D 上临界点处的函数值
    2. 求 f 在 D 的边界点上的极值
    3. 步骤 1 和 2 的最大的值为最大值，最小的则是最小值

54. 条件最值：在满足 \(g_i(\mathbf x)=k_i\) 的条件下，计算 \(f(\mathbf x)\) 的最值 （\(f:~\mathbb R^n\to \mathbb R\)，\(i\le n\)）

    • 限制条件也可能是不等式
55. lagrange 乘子算法：\(\begin{cases}g_i(\mathbf x)=k_i\\\nabla f(\mathbf x)=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i(\mathbf x)\end{cases}\)
    • \(\iff\) \(\begin{cases}g_1(\mathbf x)=k_1\\g_2(\mathbf x)=k_2\\\vdots\\g_m(\mathbf x)=k_m\\f_1'(\mathbf x)=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i g_{i,1}'(\mathbf x)\\f_1'(\mathbf x)=\sum\limits_{i=2}^m\lambda_i g_{i,2}'(\mathbf x)\\\vdots\\f_n'(\mathbf x)=\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i g_{i,n}'(\mathbf x)\end{cases}\)
    • 上述方程解出的关于 \(\mathbf x\) 的解集 \(S_\mathbf x\) 中，\(f(\mathbf x)\) 取最小的值为最小值，反之为最大值

15. 多重积分

1. 二重积分(体积)：\(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{i}^*, y_{j}^*)\Delta A\)
   • 其中 \(R=[a,b]\times[c,d],\Delta x=\frac{b-a}n,\Delta y=\frac{d-c}m,\Delta A=\Delta x\Delta y\)；\(x_i=a+i\Delta x,y_j=c+j\Delta y\)，\(x_i^*\in[x_{i-1},x_i], y_j^*\in[y_{j-1},y_j]\)
   • 上述极限是 \(z=f(x,y)\) 在区域 \(R\) 上的体积，仅当 \(f(x,y)>0\) 在 \(R\) 上恒成立
2. 二重积分[2]：对于任意 \(\epsilon>0\)，总存在 \(N>0\) 使得任意 \(n,m>N\) 都有 \(|\iint\limits_R f(x,y)~d_A - \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(x_{i}^*, y_{j}^*)\Delta A|<\epsilon\) （仅当 f 是连续函数 或 极值良好的非连续函数；其中 \((x_i^*,y_j^*)\) 是 \(R_{ij}\) 中的样本点）
3. 二重积分样本点：
   1. 右上角：\((x_i^*,y_j^*)=(x_i,y_j)\)
   2. 中点：\((x_i^*,y_j^*)=(\overline x_i,\overline y_j)=(x_{i-1}+\frac12\Delta x,y_{j-1}+\frac12\Delta y)\)
   3. 梯形法则：\(f(x_i^*,y_j^*)=\overline z_{ij}=\frac{f(x_{i-1},y_{j-1})+f(x_i,y_j)}2\)
   4. 辛普森法则：\(\displaystyle S_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^{\frac n2}\sum\limits_{j=1}^{\frac m2} \frac{[f(x_{2i-2}) + 4f(x_{2i-1}) + f(x_{2i})]\cdot[f(y_{2i-2}) + 4f(y_{2i-1}]}9\Delta A\)
4. 函数的平均值：\(\overline f=\frac{\iint\limits_Rf(x,y)~d_A}{A(R)}\)

5. 二重积分的性质：

   1. \(\iint\limits_R [f(x,y) + g(x,y)]~d_A = \iint\limits_R f(x,y)~d_A + \iint\limits_R g(x,y)~d_A\)
   2. \(\iint\limits_R cf(x,y)~d_A = c\iint\limits_R f(x,y)~d_A\)
   3. 对于所有 \((x,y)\in R\) 都有 \(f(x,y) \ge g(x,y)\) \(\implies\) \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A \ge \iint\limits_R g(x,y)~d_A\)

6. 二重积分1(累次积分 / 部分积分)：二元函数 f 在 \(R=[a,b]\times[c,d]\) 上的累次积分，如：

   1. 对 f 从 \(y=c\) 到 \(y=d\) 部分积分得到\(A(x)\)：\(\int_c^d f(x,y)~d_y=A(x)\)
   2. 对 A(x) 从 \(x=a\) 到 \(x=b\) 积分得到 \(\int_a^b A(x)~d_x = \int_a^b[\int_c^d f(x,y)~d_y]~d_x\)
   3. 性质：\(\int_a^b[\int_c^d f(x,y)~d_y]~d_x = \int_a^b\int_c^d f(x,y)~d_y~d_x\)，\(\int_c^d[\int_a^b f(x,y)~d_x]~d_y = \int_c^d\int_a^b f(x,y)~d_x~d_y\)
7. Fubini 傅比尼定理：如果 f 是定义在 \(R = \{(x,y)|a\le x\le b, c\le y\le d\}\) 上的连续函数，则 \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_a^b\int_c^d f(x,y)~d_y~d_x = \int_c^d\int_a^b f(x,y)~d_x~d_y\)
   • 推广：当 f 是 R 上的只在有限多条光滑曲线上不连续的有界函数，且对 f 的累次积分存在时，上述定理仍然成立

8. 类似积分的性质：\(\int\limits_R f(x)g(y)~d_A = \int_a^b f(x)~d_x\int_c^d g(y)~d_y\)

9. 一般区域上的积分：详见 (10)-(12)

10. 二重积分2.1(第 I 类平面区域)：f 在 \(D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\) 上连续，则 \(\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)~d_y~d_x\)
11. 二重积分2.2(第 II 类平面区域)：f 在 \(D = \{(x,y)|c\le y\le d, h_1(y)\le x\le h_2(y)\}\) 上连续，则 \(\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)~d_x~d_y\)

12. 一般区域上积分的性质：

    1. \(\iint\limits_D [f(x,y)+g(x,y)]~d_A = \iint\limits_D f(x,y)~d_A + \iint\limits_D g(x,y)~d_A\)，\(\iint\limits_D cf(x,y)~d_A = c\iint\limits_D f(x,y)~d_A\)
    2. 对于所有 \((x,y)\in D\) 都有 \(f(x,y)\ge g(x,y)\)，那么 \(\iint\limits_D f(x,y)~d_A \ge \iint\limits_D g(x,y)~d_A\)
    3. \(D_1,D_2\) 是 D 的一个划分（\(D_1 \cup D_2 = D, D_1 \cap D_2 = \emptyset\)），那么 \(\iint\limits_D f(x,y)~d_A = \iint\limits_{D_1} f(x,y)~d_A + \iint\limits_{D_2} f(x,y)~d_A\)
    4. \(\iint\limits_D 1~d_A = A(D)\)
    5. 对于所有 \((x,y)\in D\) 都有 \(m \le f(x,y) \le M\)，那么 \(mA(D) \le \iint\limits_D f(x,y)~d_A \le MA(D)\)

13. 二重积分3（极坐标; 体积）：f 在极矩形 \(R=\{(\theta,r)~|~\alpha\le \theta\le \beta, 0\le a\le r\le b\}\) 上的积分为 \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(r_i^*\cos {\theta_j^*}, r_i^*\sin {\theta_j^*})\Delta A_{ij} = \int_\alpha^\beta\int_a^bf(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_rd_\theta\)

    • 几何证明：\(\Delta A_{ij}\) 为差分的扇形区域，近似矩形的长宽分别为 \(\Delta r\)，\(r\Delta\theta\)，故而 \(\Delta A_{ij}\approx r\Delta r\Delta\theta\)
    • 代数证明：\(\Delta A_{ij}=\frac12[(\theta+\Delta\theta)(r+\Delta r)^2+\theta r^2-\theta(r+\Delta r)^2-(\theta+\Delta\theta)r^2]=\frac12\Delta\theta[(r+\Delta r)^2-r^2]=\frac12\Delta\theta(2r\Delta r+\Delta r^2)=\Delta\theta\Delta r(r+\frac12\Delta r)\approx r\Delta r\Delta\theta\)
    • 注1：\(0\le \beta - \alpha \le 2\pi\)
    • 注2：实际上第一层循环应该迭代 \(\theta\)？最内层循环中 \(\theta\) 是常量，而 r 是变量？
14. 二重积分4.1（第 I 类极矩形区域）：f 在 \(D = \{(r,\theta) | \alpha\le\theta\le\beta, h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)\}\) 内的积分为 \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_\alpha^\beta\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_rd_\theta\)
    • \(A(D) = \iint\limits_D 1~d_A = \int_\alpha^\beta \int_0^{h(\theta)}r~d_rd_\theta = \int_\alpha^\beta \frac 12[h(\theta)]^2~d_\theta\)
    • 注：相关内容参见 10.9-10.17

15. 二重积分4.2（第 II 类极矩形区域？）：f 在 \(D=\{(r,\theta)~|~a\le r\le b,g_1(r)\le\theta\le g_2(r)\}\) 内的积分为 \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \int_a^b\int_{g_1(r)}^{g_2(r)}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r~d_\theta d_r\)

    • 正确性不确定

16. 二重积分的应用：体积(f 为高)，质量(f 为密度)，电荷量(f 为电荷密度)，质心，惯性矩

17. 二维密度 & 质量
    • 二维密度：由两个变量决定的密度，如：薄片单位面积上的质量密度，区域上单位面积的电荷密度
    • 广义质量：如 二维带电量 由 电荷密度 积分得到，二维质量 由 二维密度 积分得到
    • \(m = \lim\limits_{k,l\to ∞}\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^l\rho(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A = \iint\limits_D \rho(x,y)~d_A\)
18. 力矩 & 质心
    • 力矩：质点的质量与其到某条轴的距离的乘积，记为 \(M_d = m r_d\)
    • 由 \(M_d=\lim\limits_{n,m\to∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\rho(x_i^*,y_j^*)\Delta A_{ij}\cdot r_d = \iint\limits_D r_d\rho(x,y)d_A\) 有 \(M_y = \iint\limits_D x\rho(x,y)~d_A\)
    • 质心：\((\overline x, \overline y) = (\frac{M_y}m, \frac{M_x}m) = (\frac 1m\iint\limits_D x\rho(x,y)~d_A, \frac 1m\iint\limits_D y\rho(x,y)~d_A)\)

19. 惯性矩 & 旋转半径：

    • 惯性矩(二阶矩)：质点的惯性矩定义为 \(I_d = m r_d^2\)（\(r_d\) 为质点到 坐标轴 d 或 点 d 的距离）
    • 关于轴的惯性矩：\(I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)~d_A, I_y = \iint\limits_D x^2\rho(x,y)~d_A\)
    • 关于原点的惯性矩：\(I_O = \iint\limits_D x^2+y^2\rho(x,y)~d_A\)（\(I_O = I_x + I_y\)）
    • 旋转半径：薄片对一条轴的旋转半径满足 \(m R_d^2 = I_d\)

20. 曲面积分：\(\Delta T_{ij}\) 是 \(\Delta A_{ij}\) 映射到 \(z=f(x,y)\) 上对应的近似曲面面积；\(\mathbf a = \langle \Delta x, 0, \Delta x f_x\rangle\)，\(\mathbf b = \langle 0, \Delta y, \Delta y f_y\rangle\) 是决定 \(\Delta T_{ij}\) 边界的向量

    • \(\mathbf a \times \mathbf b = \left|\begin{array}{c c c}{\mathbf i}&{\mathbf j}&{\mathbf k}\\ {\Delta x}&{0}&f_{x}'\Delta x\\ {0}&{\Delta y}&f_{y}'\Delta y\\ \end{array}\right|= -f_x'\Delta x\Delta y \mathbf i - f_y'\Delta x\Delta y \mathbf j + \Delta x\Delta y \mathbf k= (-f_x' \mathbf i - f_y' \mathbf j + \mathbf k)\Delta A_{ij}\)
    • \(\Delta T_{ij}=|a\times b|=\sqrt{f_x'^2+f_y'^2+1}\Delta A_{ij}\)
    • \(A(S) = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^∞\sum\limits_{j=1}^∞\Delta T_{ij} = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^∞\sum\limits_{j=1}^∞\sqrt {([f_x(x_i,y_j)]^2 + [f_y(x_i,y_j)]^2 + 1)}\Delta A_{ij}\)
    • 因而 \(z=f(x,y)\) 在 D 内的曲面面积为 \(A(S) = \iint\limits_D \sqrt {([f_x(x_i,y_j)]^2 + [f_y(x_i,y_j)]^2 + 1)}\Delta A = \iint\limits_D \sqrt {1 + (\frac {\partial z}{\partial x})^2 + (\frac {\partial z}{\partial y})^2}~d_A\)

21. 三重积分：\(\iiint\limits_B f(x,y,z)~d_V = \lim\limits_{n,m,o\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(x_i^*, y_j^*, z_k^*)\Delta V\)

    • 其中 \(B=[a,b]\times[c,d]\times[r,s],\Delta x=\frac{b-a}n,\Delta y=\frac{d-c}m,\Delta z=\frac{s-r}o,\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z\)；\(x_i=a+i\Delta x,y_j=c+j\Delta y,z_k=r+k\Delta z\)，\(x_i^*\in[x_{i-1},x_i], y_j^*\in[y_{j-1},y_j], z_k^*\in[z_{k-1},z_k]\)
    • 上述极限是 \(u=f(x,y,z)\) 在区域 \(V\) 上的积分，根据 f 的含义该积分的值表现出不同含义
22. fubini 定理(三重积分)：\(\iiint\limits_B f(x,y,z)~d_V = \int_r^s\int_c^d\int_a^b f(x,y,z)~d_xd_yd_z\)
    • 注：调换 x, y, z 的积分顺序总共有 \(3!=6\) 种等值的公式
23. 三重积分2.1(第 I 类立方体区域)：假设有界区域(几乎处处光滑) \(E \subset B\)，而且 f 是连续的，那么 \(E = \{(x,y,z) | (x,y)\in D, u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}\) （其中假定 \(u_1,u_2\) 是能描述 E 的上下边界的曲面；D 由 x 和 y 共同描述），并且 E 是一个简单区域(能被一个三重积分描述)
    • 若 D 是第 I 类平面区域，则 \(\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z)~d_zd_yd_x\)

24. 应用

    1. 区域体积：\(V(E) = \iiint\limits_E d_V\)
    2. 物体的广义质量：\(m=\iiint\limits_E \rho(x,y,z)~d_V\) （\(\rho(x,y,z)\) 为广义三维密度函数）
    3. 物体关于三个坐标平面的动量为：\(\displaystyle M_{yz}=\iiint\limits_E x\rho(x,y,z)~d_V, M_{xz}=\iiint\limits_E y\rho(x,y,z)~d_V, M_{xy}=\iiint\limits_E z\rho(x,y,z)~d_V\)
    4. 物体质心为 \((\overline x, \overline y, \overline z) = (\displaystyle \frac {M_{yz}}{m}, \frac {M_{xz}}{m}, \frac {M_{xy}}{m})\)（如果 f 是常数，那么立体的质量质心称为 区域 E 的立体形心）
    5. 关于三个坐标轴的转动惯量：\(\displaystyle I_x = \iiint\limits_E (y^2+z^2)\rho(x,y,z)~d_V\)，\(\displaystyle I_y = \iiint\limits_E (x^2+z^2)\rho(x,y,z)~d_V\)，\(\displaystyle I_z = \iiint\limits_E (x^2+y^2)\rho(x,y,z)~d_V\)
    6. 给定区域 E 的电荷密度 \(\sigma(x,y,z)\)，区域内电子总电荷数为 \(Q = \iiint\limits_E \sigma(x,y,z)~d_V\)
    7. 三个连续的随机变量 X, Y, Z 的联合密度为三元函数，在区域 E 上的概率为 \(P((X,Y,Z)\in E) = \iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V\)（联合密度函数满足 \(f(x,y,z)\ge 0\)，\(\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞} \int_{-∞}^{+∞} f(x,y,z)~d_zd_yd_x = 1\)）
       • 特别地，\(P((a\le X\le b, c\le Y\le d, r\le Z\le s)\in E) = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{r}^{s} f(x,y,z)~d_zd_yd_x\)

25. 三重积分3(柱面坐标系)：以 \(xoy\to ro\theta\) 为例：\(\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \int_\alpha^\beta\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(r\cos\theta, r\sin\theta)}^{u_2(r\cos\theta, r\sin\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)~rd_zd_rd_\theta\)

    • 相关内容可以参见 12.42

26. 三重积分4(球坐标系)：f 在球形锲 \(E = \{(\rho,\theta,\phi) | a\le\rho\le b, \alpha\le\theta\le\beta, c\le\phi\le d\}\) 内三重积分 \(\iiint\limits_E f(x,y,z)~d_V = \lim\limits_{n,m,o\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^o f(\rho_i^*\sin{\phi_k^*}\cos{\theta_j^*, \rho_i^*\sin{\phi_k^*}\sin{\theta_j^*}, \rho_i^*\cos{\phi_k^*}})(\rho_i^*)^2 \sin{\phi_k^*} \Delta\rho \Delta\theta \Delta\phi\) \(= \int_c^d\int_\alpha^\beta\int_a^b f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\rho^2\sin\phi~d_\rho d_\theta d_\phi\)

    • 几何证明：球形锲 \(E_{ijk}\) 的长宽高分别为 \(\rho\sin\phi\Delta\theta\)，\(\Delta \rho\)，\(\rho\Delta \phi\)，因而 \(E_{ijk}\approx \rho\sin\phi\Delta\theta\cdot \Delta \rho\cdot \rho\Delta \phi = \rho^2\sin\phi\Delta\rho\Delta\theta\Delta\phi\)
    • 代数证明：利用模型 \(V=\frac13\rho^3\theta(1-\cos\phi)\)，然后进行容斥和近似

27. 重积分的换元：

28. 一维变换(逆变换)：\(x=g(t)\)
    • \(f(x) = (f\circ g)(t)\)
    • 若 g 是单射，那么 \(g(\alpha)=a \implies \alpha=g^{-1}(a)\)
29. 二维变换：从 \(uOv\) 平面到 \(xOy\) 平面的换元(变换)为 \(T(u,v) = (x,y) = (g(u,v), h(u,v))\)
    • \(f(x,y) = (f\circ T)(u,v)\)；\((u,v)\) 称为原像，\((x,y)\) 称为像；\(\mathbf r(u,v)=x\mathbf i+y\mathbf j=g(u,v)\mathbf i+h(u,v)\mathbf j\)
    • 若 T 为一一变换（每个点的象各不相同），则有 \(T^{-1}(x,y)=(u,v)=(G(x,y), H(x,y))\)
    • 我们通常假设 T 是 \(C^1\) 变换（即 g 和 h 有一阶连续偏导数），而 T 通常是定义在 \(\mathbb R^2\) 子集上的函数
30. 雅可比行列式(2维)：\((x,y)=T(u,v) = (g(u,v), h(u,v))\) 决定的变换 T 的也可以行列式为 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial\dot y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\dfrac{\partial x\partial y}{\partial u\partial v}-\dfrac{\partial x\partial y}{\partial v\partial u}\)
31. 二重积分换元法：T 是一个 \(C^1\) 变换，它的雅可比行列式非零，T 把\(uOv\) 平面上的区域 S 映射成 \(xOy\) 平面上的区域 R；那么 \(\iint\limits_R f(x,y)~d_A = \iint\limits_S f(x(u,v), y(u,v))~|\mathbf r_u'\times \mathbf r_v'|~d_ud_v = \iint\limits_S f(x(u,v), y(u,v))~|\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|~d_ud_v\)
    • 注1：通过 \(uov\) 上近似平行四边形的面积近似 \(xoy\) 上的矩形有 \(\Delta x\Delta y\approx |(\Delta u \mathbf r_u)\times (\Delta v \mathbf r_v)|=|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|\Delta u\Delta v\)
    • 注2：设 T 时一个一一映射，在 S 的边界上可以不是
32. 雅可比行列式(3维)：由 \(T(u,v,\omega)=(x,y,z)\) 决定的雅可比行列式为 \(\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\omega)} = \left|\begin{array}{} \frac {\partial x}{\partial u} & \frac {\partial x}{\partial v} & \frac {\partial x}{\partial \omega} \\ \frac {\partial y}{\partial u} & \frac {\partial y}{\partial v} & \frac {\partial y}{\partial \omega} \\ \frac {\partial z}{\partial u} & \frac {\partial z}{\partial v} & \frac {\partial z}{\partial \omega} \end{array}\right|\)
33. 三重积分换元法：\(\iiint\limits_R f(x,y,z)~d_V = \iiint\limits_S f(x(u,v,\omega), y(u,v,\omega), z(u,v,\omega))|\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,\omega)}|~d_ud_vd_{\omega}\)

16. 向量积分

1. 向量场：满足 \(f~:~\mathbb R^n\to V_n\) 或 \(f~:~\mathbb R^n\to \mathbb R^n\) 的函数
2. 二维向量场：\(\mathbf F(x,y) = P(x,y)\mathbf i + Q(x,y)\mathbf j = \langle P(x,y), Q(x,y)\rangle\)（\((x,y)\in D\subset\mathbb R^2\)），简记为 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j\)
3. 三维向量场：\(\mathbf F(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf i + Q(x,y,z)\mathbf j + R(x,y,z)\mathbf k\)（\((x,y,z)\in D\subset\mathbb R^3\)），简记为 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\)
4. 梯度向量场(梯度场)：\(\nabla f(x,y) = f_x\mathbf i + f_y\mathbf j\)，\(\nabla f(x,y,z) = f_x\mathbf i + f_y\mathbf j + f_z\mathbf k\) （对于一般的定义详见 14.42）
5. 梯度向量场的性质：
   1. 梯度向量 和 等高线 正交（\(f~:~\mathbb R^2\to \mathbb R\)）
   2. 梯度向量在等高线密的地方较长，在等高线稀疏的地方较短
   3. 梯度向量的长度是 f 的方向导数的值

6. 保守向量场：向量场 \(\mathbf F\) 称为一个保守向量场，当且仅当 它是某个标量函数的梯度（即 存在一个函数 f 满足 \(\mathbf F = \nabla f\)）；f 称为 \(\mathbf F\) 的一个势函数

   • 向量场 \(\mathbf F\) 是保守向量场，当且仅当 \(\mathbf F\) 有势函数 f
   • 向量场 \(\mathbf F\) 是保守向量场，当且仅当 \(\mathbf {curl~F}=\mathbf 0\)

7. 线积分(二维)：曲线 \(C~:~\mathbf r(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j\) 的曲线积分为 \(\int_C f(x,y)~d_s = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)~\Delta s_i\)（t 从 a 变化到 b 时曲线上的点恰好走过一次）

   1. \(\int_C f(x,y)~d_s = \int_a^b f(\mathbf r(t))\sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2}~d_t\)
   2. \(\int_C f(x,y)~d_s = \int_c^df(x,g(x))\sqrt{(\frac{d_y}{d_x})^2+1}~d_x\)
   3. 性质：\(\int_C f(x,y)~d_s = \sum\limits_{i=1}^n \int_{C_i} f(x,y)~d_s\)（C 分段光滑）
   4. 注：若 t 从 a 变化到 b 时曲线上的点恰好走过一次，并且 \(f(x,y)\ge 0\)，则 \(\int_C f(x,y)~d_s\) 表示 xOy 上的曲线 C 为底，以 f(x,y) 为任意一点处的高 所构成的 “门帘” 或 “围栏”（即 竖直曲面）的面积（仅对 (a) 而言？）
   5. 简写：\(\int_C P(x,y)~d_x + \int_C Q(x,y)~d_y = \int_C P(x,y)~d_x + Q(x,y)~d_y\)
   6. 约定：一个给定的参数 \(x=x(t), y=y(t), a\le t\le b\) 确定了曲线 C 的一个方向，其正方向和参数 t 的增长方向一致；与 C 反向并且经过相同的点的曲线记为 -C，而且 \(\int_{-C} f(x,y)~d_x = -\int_C f(x,y)~d_x, \int_{-C} f(x,y)~d_y = -\int_C f(x,y)~d_y\)，但是 \(\int_{-C} f(x,y)~d_s = \int_C f(x,y)~d_s\)（因为 \(\Delta s_i\) 总是正的，而 \(\Delta x_i\) 和 \(\Delta y_i\) 反向计算时会变号）
8. 线积分“降维”：
   1. 沿 C 关于 x 的 f 的线积分：\(\int_Cf(x,y)~d_x = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)~\Delta x_i = \int_a^b f(x(t),y(t))x'(t)~d_t\)
   2. 沿 C 关于 y 的 f 的线积分：\(\int_Cf(x,y)~d_y = \lim\limits_{n\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)~\Delta y_i = \int_a^b f(x(t),y(t))y'(t)~d_t\)
9. 二维线积分应用：
   1. 曲线质量：\(m = \int_C f(x,y)~d_s\) （f 为曲线的线密度）
   2. 曲线质心：\((\overline x, \overline y) = (\frac 1m\int_C xf(x,y)~d_s, \frac 1m\int_C yf(x,y)~d_s)\)
10. 三维线积分：\(\int_C f(x,y,z)~d_s = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt {(\frac {d_x}{d_t})^2 + (\frac {d_y}{d_t})^2 + (\frac {d_z}{d_t})^2}~d_t\)
    • 简写：\(\int_C P(x,y,z)~d_x + \int_C Q(x,y,z)~d_y + \int_C R(x,y,z)~d_z = \int_C P(x,y,z)~d_x + Q(x,y,z)~d_y + R(x,y,z)~d_z\)
11. 多维线积分：\(\int_C f(\mathbf r(t))~d_s = \int_C f(\mathbf r(t))\mathbf |\mathbf r'(t)|~d_t\)
12. 向量场的线积分：设 \(\mathbf F\) 是定义在光滑曲线 C 上的连续向量场，由向量函数给出，\(a\le t\le b\)，\(\mathbf F\) 沿着 C 的线积分为：\(\int_C \mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = \int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)~d_t=\int_C\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf T(\mathbf r(t))~d_s\) （\(\mathbf T(\mathbf r(t))=\frac {\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\)）
    • 性质：\(\int_{-C}\mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = -\int_C\mathbf F\cdot d_{\mathbf r}\)
    • 意义：向量场沿着曲线向量做的贡献之和

13. 标量场的线积分 与 向量场的线积分 的关系：记 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\)

    • \(\int_C\mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = \int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot \mathbf r'(t)~d_t = \int_a^b (P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k)\cdot (x'(t)\mathbf i + y'(t)\mathbf j + z'(t)\mathbf k)~d_t = \int_a^b [Px'(t) + Qy'(t) + Rz'(t)]~d_t\)
    • 注意到 \(\int_C\mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = \int_C P~d_x + Q~d_y + R~d_z\)

14. 线积分基本定理：C 为由向量函数 \(\mathbf r(t),a\le t\le b\) 给出的光滑曲线；\(f~:~\mathbb R^n\to \mathbb R\) 可微，其梯度向量 \(\nabla f\) 在 C 上连续

    • 那么 \(\int_C \nabla f\cdot d_{\mathbf r} = f(\mathbf r(b)) - f(\mathbf r(a))\)
    • 或者 \(\int_C \mathbf F\cdot d_{\mathbf r} = f(\mathbf r(b)) - f(\mathbf r(a))\) （仅当 \(\mathbf F=\nabla f\)，即 \(\mathbf F\) 是保守场）
15. 与路径无关：\(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r\) 在 D 上是与路径无关，当且仅当 \(\int_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r=0\) 对 D 上的任意封闭路径 C 成立
16. 拓扑学概念：
    1. 邻域：\(\mathbb R^n\) 中的某个点 \(\mathbf x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，广义半径为 r 的邻域为 \(N(\mathbf x, r)=\{(y_1,y_2,\dots,y_n) | \sqrt {\sum\limits_{i=1}^n (y_i-x_i)} \le r\}\) （不一定是开集，也可以是闭集）
    2. 开集：集合 A 中的任意一点 a，都存在一个领域 \(N(a,r)\subset A\)；任意多个开集的交集或并集都是开集
    3. 闭集：若某个集合的补集是开集，那么它是一个闭集
    4. 连通集：一个非空集合，若满足该集合中的任意两个点都可以通过该拓扑空间下的一系列路径相互连通，称其为连通集
17. 图论概念：
    1. 途径 walk：一条连续的线
    2. 迹 trail：一条途径，满足任意两条子途径都不相等
    3. (简单)路径 path：一条迹，满足任意两个点不相等；又称 简单曲线
    4. 回路 circuit：一条迹，满足首尾两点相等；又称 非简单闭曲线
    5. (简单)环/圈 cycle：一条回路，仅有首尾两点相等（即任取两点，只要其中一点不是端点，那么这两个点就不相等）；又称 简单闭曲线
    6. 连通区域：
    7. 单连通区域：一个连通区域 D，其中任意包含于 D 的 简单闭曲线 所包围的点都在 D 中（这意味着 连通区域 不包含 “洞” 且 不能由两个分块的部分组成）
18. 保守向量场的充分条件：\(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r\) 在 D 上路径无关
19. 保守向量场的必要条件：沿着闭曲线走，存在向量场与路径不同向

20. 物理学概念

    • 牛顿第二定律：\(\mathbf F(\mathbf r(t)) = m\mathbf r^"(t)\) （\(\mathbf a=\mathbf r^"(t)\)）
    • 力场对物体的做功：\(W = \int_c \mathbf F\cdot d_\mathbf r = \int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot r'(t)~d_t = \int_a^b m\mathbf r^"(t)\cdot \mathbf r'(t)~d_t = \dots = \frac 12m|\mathbf v(b)|^2 - \frac 12m|\mathbf v(a)|^2\)（\(\mathbf v=\mathbf r'\)）
    • 记 \(K(A) = \frac 12m|\mathbf v(a)|^2\) 有：\(W = K(B)-K(A)\)
    • 势能：\(P(A) = -f(A)\)
    • 假定 \(\mathbf F\) 是保守场，由 \(\mathbf F = -\nabla P\)，进而 \(W = \int_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r = -\int_C\nabla P\cdot d_\mathbf r = -[P(\mathbf r(b)) - P(\mathbf r(a))] = P(A) - P(B)\)，从而 \(W = K(B)-K(A) = P(A) - P(B) \implies P(A)+K(A) = P(B)+K(B)\)
    • 能量守恒定律：假定 \(\mathbf F\) 是保守场，那么 \(P(A)+K(A) = P(B)+K(B)\)

21. 格林定理：C 是平面上沿正方向的，分段光滑的简单闭曲线，D 是 C 限定的区域，若干个 P 和 Q 在一个包含 D 的开区域上有连续的偏导数，那么：\(\int_C P~d_x + Q~d_y = \int_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r = \iint\limits_D (\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})~d_A\)

    • 注：对于简单区域 D，沿着其边界正方向的曲线记为 \(C=\partial D\)；沿着边界曲线的(对向量场的)线积分记为 \(\int_{\partial D}\mathbf F\cdot d_\mathbf r=\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot d_\mathbf r\)
22. 格林定理的应用：
    1. 计算的分段非环的曲线通过可以构造一个环来计算积分，然后减去间断部分曲线的积分（容斥原理）
    2. 构造 P 和 Q 满足 \(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}=1\)，以计算闭区域 D 的面积 \(A = \iint\limits_D 1~d_A = \iint\limits_D \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}~d_A = \oint_C P~d_x + Q~d_y\)
23. 格林定理推广1：简单区域 \(D_1,D_2\) 是 \(D\) 的一个划分，那么 \(\oint_{\partial(D_1\cup D_2)}\mathbf F\cdot d_\mathbf r=(\oint_{\partial D_1}+\oint_{\partial D_2})\mathbf F\cdot d_\mathbf r\)

24. 格林定理推广2：简单区域 \(D_1,D_2\) 满足 \(D_1\subset D_2\)，那么 \(\oint_{\partial(D_2\setminus D_1)}\mathbf F\cdot d_\mathbf r=(\oint_{\partial D_2}-\oint_{\partial D_1})\mathbf F\cdot d_\mathbf r\)

25. \(\nabla\) 算子：\(\nabla = \mathbf i\frac {\partial }{\partial x} + \mathbf j\frac {\partial }{\partial y} + \mathbf k\frac {\partial }{\partial z}\)，\(\nabla\) 读作 del；\(\nabla f = \mathbf i\frac {\partial f}{\partial x} + \mathbf j\frac {\partial f}{\partial y} + \mathbf k\frac {\partial f}{\partial z}\)

26. 旋度：向量场 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 各分量的偏导数存在，其旋度向量场为 \(\mathbf {curl~F} = \nabla \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac {\partial }{\partial x} & \frac {\partial }{\partial y} & \frac {\partial }{\partial z} \\ P & Q & R\end{vmatrix} = (\frac {\partial R}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial z})\mathbf i + (\frac {\partial P}{\partial z} - \frac {\partial R}{\partial x})\mathbf j + (\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})\mathbf k\)
    • 补充：\(\mathbf{curl}(\nabla f)=\mathbf 0\)；如果定义域是单连通的（即没有洞）则逆定理成立
27. 保守向量场的充要条件：\(\mathbf {curl~F} = \mathbf 0\)
28. 散度(divergence)：向量场 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 各分量的偏导数存在，散度多元函数为 \(\text{div}\mathbf F = \nabla \cdot \mathbf F = \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}\)
    • 物理意义：若 \(\mathbf F\) 是液体或气体的速度，那么 \(\text{div}~\mathbf F\) 表示 (x,y,z) 处单位体积上液体或气体流出的质量的增长率的改变量；若 \(\text{div}~\mathbf F=0\)，那么称 \(\mathbf F\) 是不可压缩的
29. 旋度和散度：向量场 \(\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k\) 各分量的二阶偏导数存在，那么 \(\text {div}~\mathbf {curl~F} = 0\)
    • 推论：对于 \(\mathbf F\) 存在 \(\mathbf G\) 满足 \(\mathbf F=\mathbf{curl}~\mathbf G\)；那么 \(\text{div} F=\mathbf 0\)
30. 拉普拉斯算子：\(\nabla ^2 = \nabla\cdot \nabla\)
    1. \(\nabla^2 f = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2}\)，而 \(\text{div}(\nabla f) = \nabla\cdot (\nabla f) = \frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2}\)
    2. 拉普拉斯方程：\(\frac {\partial ^2f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial y^2} + \frac {\partial ^2f}{\partial z^2} = 0\)
    3. 向量场的拉普拉斯算子：\(\nabla^2\mathbf F=\nabla^2\mathbf P\mathbf i + \nabla^2\mathbf Q\mathbf j + \nabla^2\mathbf R\mathbf k\)

31. 格林公式[2]：平面区域 D 的边界曲线是 C，且函数 P 和 Q 都满足格林公式的前提条件，考虑向量场 \(\mathbf F=P\mathbf i + Q\mathbf j + 0\mathbf k\)

    1. 切线方向的线积分：\(\oint_C\mathbf F\cdot d_\mathbf r = \oint_C\mathbf F\cdot \mathbf Td_\mathbf s = \iint\limits_D(\mathbf {curl~F})\cdot \mathbf k~d_A\)
    2. 法线方向的线积分：\(\oint_C\mathbf F\cdot \mathbf T~d_s = \iint\limits_D\text{div}~\mathbf F~d_A\)
    3. 注：二维单位切向量为 \(\mathbf T(t) = \frac {x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i + \frac {y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j\)，单位法向量为 \(\mathbf N(t) = \frac {y'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf i - \frac {x'(t)}{|\mathbf r'(t)|}\mathbf j\)

32. 参数曲面：我们用两个参数 u 和 v 的向量函数表示一个曲面：\(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\) （\((u,v)\in D\)）

    • 平面方程：包含位置向量 \(\mathbf r_0\)，由 \(\mathbf a,\mathbf b\) 张成的平面为 \(\mathbf r(u,v) = \mathbf r_0 + u\mathbf a + v\mathbf b\)（\(\mathbf a,\mathbf b\) 线性无关）
    • 常见转换方法(笛卡尔方程\(\to\)参数曲面)：用 \(u,v\) 表示 \(x,y\) 或 \(y,z\) 或 \(z,x\)，另一个变量的表示通过曲面的方程得到；可以参考 极坐标 或 球坐标系 的换元方法（但不一定可行）
    • 例如：\(\mathbf r(u,v) = a\sin u\cos v \mathbf i + a\sin u\sin v \mathbf i + a\cos u \mathbf k\)；\(\mathbf r_u\times \mathbf r_v = a^2\sin^2 u\cos v\mathbf i + a^2\sin^2 u\sin v\mathbf i + a^2\sin u\cos v\mathbf k = a\sin u \mathbf r, |\mathbf r_u\times \mathbf r_v| = a^2\sin u, \mathbf n = \frac {\mathbf r_u\times \mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|} = \frac 1a\mathbf r\)
33. 常见参数曲面：
    1. 旋转面：如 \(y=f(x)\)（\(f(x)>0\)）绕 x 轴旋转：\(x=u,y=f(u)\cos v,z=f(u)\sin v\)（\(v\in[0,2\pi]\)）
    2. 切平面：参数曲面 \(\mathbf R(u,v)\) 在 \(\mathbf R_0=\mathbf R(u_0,v_0)\) 处的切平面为 \([\mathbf R_{u0}\times\mathbf R_{v0}]\cdot (\mathbf r-\mathbf R_0)=0\) （仅当 \(\mathbf R_{u0}\times\mathbf R_{v0}\ne0\)，即 \(\mathbf R_0\) 处没有拐角；\(\mathbf R_{u0}=\mathbf R_u(u_0,v_0),\mathbf R_{v0}=\mathbf R_v(u_0,v_0)\)）

34. 曲面面积：光滑曲面 \(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\)，当 \((u,v)\) 在整个参数域 D 上变化的时候，S 值覆盖一次；S 的面积为 \(A(S) = \iint\limits_D \left| \mathbf r_u'\times \mathbf r_v' \right|~d_A\)

    • 对于曲面 \(z=f(x,y)\) 有参数曲面 \(\mathbf r(x,y) = x\mathbf i + y\mathbf j + f(x,y)\mathbf k\)；则曲面面积为 \(A(S) = \iint\limits_D \left| \mathbf r_x'\times \mathbf r_y' \right|~d_A = \iint\limits_D \left| 1+f_x'^2+f_y'^2 \right|~d_A\)
    • 旋转曲面 \(x=x,y=f(x)\cos\theta, z=f(x)\sin\theta\)，的曲面面积为 \(A(S) = \iint\limits_D|\mathbf r_x'\times \mathbf r_y'|~d_A = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt {1 + [f'(x)]^2}~d_x\) （\(a\le x\le b, 0\le \theta\le2\pi\)，\(f(x)\ge 0\)）

35. 曲面积分：f 在曲面 S 上的曲面积分为 \(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \lim\limits_{n,m\to ∞}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m f(P_{ij}^*)\Delta S_{ij}\)

    1. 曲面 \(S:~z=g(x,y)\) 的曲面积分为 \(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \iint\limits_D f(x,y,g(x,y))\sqrt {(\frac {\partial z}{\partial x})^2 + (\frac {\partial z}{\partial y})^2 + 1}~d_A\)
    2. 曲面 \(\mathbf r(u,v) = x(u,v)\mathbf i + y(u,v)\mathbf j + z(u,v)\mathbf k\) 的曲面积分为 \(\iint\limits_S f(x,y,z)~d_S = \iint\limits_D f(\mathbf r(u,v))~|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|~d_A\) （\((u,v)\in D\)）
36. 向量场的曲面积分1：如果 \(\mathbf F\) 是一个定义在单位法向量为 \(\mathbf n\) 的有向曲面 S 上的连续向量场，那么 \(\mathbf F\) 在 S 上的曲面积分为 \(\iint\limits_S\mathbf F\cdot ~d_\mathbf S = \iint\limits_S\mathbf F\cdot \mathbf n~d_S\)
    • 又称 \(\mathbf F\) 穿过 S 的通量积分 或 \(\mathbf F\) 在 S 的法向分量上的曲面积分
37. 向量场的曲面积分2：向量场 \(\mathbf F\) 在由 \(z=g(x,y)\) 曲面 S 上的曲面积分为 \(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_D (-P\frac {\partial g}{\partial x} -Q\frac {\partial g}{\partial y} + R)~d_A\) （\((x,y)\in D\)）
    • \(\iint\limits_S\mathbf F\cdot ~d_\mathbf S = \iint\limits_S\mathbf F\cdot \mathbf n~d_S = \iint\limits_S\mathbf F\cdot \frac {\nabla f(x,y,z)}{|\nabla f(x,y,z)|} ~d_S = \iint\limits_D (P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k) \cdot \frac {-g_x\mathbf i - g_y\mathbf j + \mathbf k}{\sqrt {g_x^2 + g_y^2 + 1}} \sqrt {g_x^2 + g_y^2 + 1}~d_A = \iint\limits_D (-Pg_x -Qg_y + R)~d_A\)
38. 向量场的曲面积分3：如果 S 由向量方程 \(\mathbf r(u,v)\) 给定，那么向量场 \(\mathbf F\) 在 S 上的曲面积分为 \(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_D \mathbf F\cdot (\mathbf r_u\times \mathbf r_v)~d_A\)
    • \(\iint\limits_S \mathbf F\cdot~d_\mathbf S = \iint\limits_S \mathbf F\cdot \mathbf n~d_S = \iint\limits_D \mathbf F\cdot \frac {\mathbf r_u\times \mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|}|\mathbf r_u\times \mathbf r_v|~d_A = \iint\limits_D \mathbf F\cdot (\mathbf r_u\times \mathbf r_v)~d_A\)

39. 应用

40. 斯托克斯定理：S 是一个定向的分片光滑的曲面，且由一个简单的，分段光滑，方向为正的闭边界曲线 C 界定；向量场 \(\mathbf F\) 的分量函数在 \(\mathbb R^3\) 上的一个包含 S 的开区域上有连续的偏导数

    • 那么 \(\int_C \mathbf F\cdot d_\mathbf r = \iint\limits_S \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S\)（即 \(\iint\limits_S \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S = \int\limits_{\partial S} \mathbf F\cdot d_\mathbf r\)）
    • 注：S 的正方向 和 C 的正方向满足右手法则
    • 推论：若 \(S_1\) 和 \(S_2\) 是具有相同边界定向曲线 C 的定向曲面，且都满足斯托克斯的前提条件，那么 \(\iint\limits_{S_1} \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S = \int_C \mathbf F\cdot~d_\mathbf r = \iint\limits_{S_2} \mathbf {curl~F}\cdot d_\mathbf S\)

41. (高斯)散度定理：E 是一个单连通区域，并设 S 是 E 的边界曲面，给定正方向（向外）；F 是一个向量场，其分量函数在一个包含 E 的开区域上有连续的偏导数

    • 那么 \(\iint\limits_S \mathbf F\cdot d_\mathbf S = \iiint\limits_E \text{div}~\mathbf F~d_V\)
    • 注：上述积分称为 向量场 \(\mathbf F\) 在闭曲面 S 上的通量

17. 二阶微分方程

1. 微分方程：包含 \(x,y,y',y'',\dots\) 的方程（其中 \(y=f(x)\)）
   • 阶数：微分方程中 y 的导数的最高阶数
2. 线性微分方程：形如 \(\sum\limits_{i=0}^n P_i(x)y^{(i)}(x)=Q(x)\) 的微分方程
   1. 齐次性：线性微分方程齐次，当且仅当 \(Q(x)=0\)
   2. 常系数性质：该线性微分方程是该系数的，当且仅当 对于所有 \(i\le n\) 都有 \(P_i(x)=0\)
3. 方程(2阶)：\(P(x)\frac {d^2y}{d_{x^2}} + Q(x)\frac {dy}{d_x} + R(x)y = G(x)\)
4. 齐次方程(2阶)：\(P(x)\frac {d^2y}{d_{x^2}} + Q(x)\frac {dy}{d_x} + R(x)y = 0\)
   • 通解(一般解)：\(y(x)=c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\) 为通解，当且仅当 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 是线性无关解
5. 齐次常系数方程(2阶)：\(ay^" + by' + cy = 0\)（\(a,b,c\) 为常数；\(a\ne0\)）
   • 性质：\(y=e^{rx}\) 总匹配一个上述方程的特解，代入原方程可得到特征方程 \(ar^2 + br + c = 0\)，记 \(\Delta = b^2-4ac\)
   • \(\Delta > 0\)：\(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\)（\(r_1 = \frac {-b-\sqrt \Delta}{2a}, r_2=\frac {-b+\sqrt \Delta}{2a}\)）为通解
   • \(\Delta = 0\)：\(y=(c_1+c_2x)e^{rx}\) （\(r=\frac{-b}{2a}\)）为通解
   • \(\Delta < 0\)：\(y=e^{Ax}[k_1\cos(Bx)+k_2i\cos(Bx)]\)（\(A=\frac{-b}{2a},B=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\)；\(k_1=c_1+c_2,k_2=c_1-c_2\)）为通解
6. 初值问题：给定 二阶常系数齐次方程，\(y(x_0)=y_0, y'(x_0) = y_1\)，该微分方程总存在唯一解

7. 边值问题：给定 二阶常系数齐次方程，\(y(x_0)=y_0, y(x_1)=y_1\)，该微分方程并不总是有解

8. 非齐次常系数方程(2次)：\(ay^" + by' + c = G(x)\) （\(G(x)\ne0\)）

   • \(y_p\)：该方程的特解
   • \(y_c\)：该方程对应的非齐次方程 \(ay^" + by' + c = 0\) 的一般解
   • 性质：\(y=y_p+y_c\) 为该方程的一般解

9. 非齐次常系数方程求特解方法

   1. 待定系数法：通过观察 \(G(x)\) 的模式构造特解（\(P,Q,R\) 均为多项式），联立方程求解待定系数
      1. \(G(x)=e^{kx}R_n(x)\)：构造 \(y_p=e^{kx}P_n(x)\)
      2. \(G(x)=e^{kx}R_n(x)\cos(mx)\) 或 \(G(x)=e^{kx}R_n(x)\sin(mx)\)：构造 \(y_p=e^{kx}[P_n(x)\cos(mx) + Q_n(x)\sin(mx)]\)
      3. \(G(x)\) 为上述模式的合式：构造 \(y_p = \sum\limits_{i=1}^t y_{p_i}\)
      4. 注：若构造的 \(y_{p0}\) 与 \(y_c\) 匹配，则构造 \(y_p=y_{p0}\cdot x\) 或 \(y_p=y_{p0}\cdot x^2\)
   2. 参数变易法：该方程对应的齐次方程的通解为 \(y_c=c_1y_1+c_2y_2\)，构造该方程的特解 \(y_p=u_1y_1+u_2y_2\)（\(u_1=u_1(x),u_2=u_2(x)\)）
      1. 联立方程组 \(\begin{cases} u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \\ a(u_1'y_1' + u_2'y_2') = G(x) \end{cases}\) 即可得到 \(u_1,u_2\)
      2. \(y=y_c+y_p=(u_1+c_1)y_1+(u_2+c_2)y_2\)
      3. 注：\(u_1,u_2\) 可能是一族函数（这些函数都可以是通解），我们只需选择最简单形式

10. 二阶微分方程的应用：弹簧运动（\(m\frac {d^2x}{d_t^2} + kx = 0\)），阻尼振动（\(m\frac {d^2x}{d_t^2}+c\frac {dx}{d_t}+kx=0\)），强迫振动（\(m\frac {d^2x}{d_{t^2}}+c\frac {dx}{d_t}+kx=F(t)\)）；电路（\(L\frac {d^2Q}{d_{t^2}} + R\frac{dQ}{d_t} + \frac 1CQ = E(t)\)）

11. 幂级数的 n 次导数：\(P(x) = \sum\limits_{i=0}^∞a_ix^i\) 的 n 次导数为 \(P^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^∞a_{i+n}\prod\limits_{j=1}^{n}(i+j)x^i\)

    • \(P^{(n)}=\sum\limits_{i=n}^∞a_i\prod\limits_{j=0}^{n-1}(i-j)x^{i-n}=\sum\limits_{i=0}^∞a_{i+n}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(i+n-j)x^i = \sum\limits_{i=0}^∞a_{i+n}\prod\limits_{j=1}^{n}(i+j)x^i\)

12. 微分方程的级数解：通常可以解决齐次方程 \(\sum\limits_{j=0}^n P_jy^{(j)}=0\) 的通解

    1. 设 \(y=\sum\limits_{i=0}^∞a_ix^i\)，代入方程有 \(\sum\limits_{j=0}^nP_j\sum\limits_{i=0}^∞a_{i+j}\frac{(i+j)!}{i!}x^i=0\)，进而 \(\sum\limits_{i=0}^∞[\sum\limits_{j=0}^nP_j\frac{(i+j)!}{i!}a_{i+j}]x^i=0\)
    2. 适当调整内层循环，消去 x 的次幂，可以得到有关 \(a_i,a_{i+1},\dots,a_{i+j}\) 的线性方程
    3. 若 (b) 中得到的线性方程为 \(a_{i+n}=f(i)\cdot a_i\)，于是 \(a_{h+ni}=a_h\prod\limits_{j=0}^{i-1}f(h+nj)\)；\(y=\sum\limits_{i=0}^∞a_ix^i=\sum\limits_{h=0}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^{∞}a_{h+ni}x^{h+ni}=\sum\limits_{h=0}^{n-1}a_h\sum\limits_{i=0}^{∞}\prod\limits_{j=0}^{i-1}f(h+nj)x^{h+ni}\)

13. 欧拉方程：\(\sum\limits_{i=0}^na_ix^iy^{(i)}=Q_n(x)\)？

    • 构造 \(y_p=P_n(x)\)