1. 函数 & 模型
    1. 表示函数的四种方法
    2. 数学模型
    3. 从基本函数衍生新的函数
    4. 图形计算器 & 计算机
    5. 指数函数
    6. 反函数 & 对数函数
2. 极限 & 导数
    1. 切线 & 速度问题
    2. 函数极限
    3. 极限计算——极限运算法则
    4. 极限的严格定义
    5. 函数的连续性
    6. 无穷远的极限 & 水平渐近线
    7. 切线，速度，其他变化率
    8. 导数
    9. 导函数
3. 求导法则
    1. 
4. 导数应用
5. 积分
6. 定积分应用1
7. 积分方法
8. 定积分应用2
9. 微分方程
10. 参数方程 & 极坐标
11. 无穷级数 & 空间解析几何
12. 向量 & 空间解析几何
13. 向量函数
14. 多元函数的偏导数
15. 多重积分
16. 向量积分
17. 二阶微分方程

微积分

  1. 函数 & 模型
    • 复习题 (p89 - p717)
      • 设 f 的定义域为 A，g 的定义域为 B： f+g, fg, f/g' 的定义域是什么 (9)
      • f o g 的定义域 (10), f 的变换 (11)
      • \(\sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x, \cdots\) 的 定义，定义域，值域 (13)
      • 垂直直线最多与函数图像相交一次？ (判断 5) - true
      • 函数普通变换的组合图像如何画出 - x 轴 和 y 轴 方向的图像分别考虑？考虑某个轴的变换需要看结合性？ (练习题 9)
      • 函数 普通变换 && 反函数 / 复合 的组合图像 (练习 10)
      • 画精确函数图像的步骤 (参考第 4 章) (练习 11-16)
      • 语言描述 转化为 解析表达 (练习 18)
      • 函数复合 && 定义域 (练习 19)
      • 函数拆解为 多个函数的复合 (练习 20)
      • 根据离散图选择一个合理的 函数模型，并预测 (练习 21)
      • 给定原函数 f，求 \(f^{-1}(a)\) (练习 23)
      • 给出表达式的精确值 (练习 25)
      • 元素衰变模型 (练习 27) (tip： 不同于 种群增长模型！！！)
      • 函数族图像 (练习 29, 30) (tip： 注意一个函数如何表现时该函数有 x轴 或 y轴 的变换，注意 变换 和 复合 容易混淆)
    • 解题原则 (p91)
  2. 极限 & 导数
    • 复习题 (p190 - p723)
      • 极限不存在的情形 (2) 
        趋于无穷大 或 振荡
递归定义：左右极限不存在 或 左右极限存在但不相等(如：|x|在 0 处的变化率)
      • 枚举 & 阐述 极限定理 (3)
        • 假设 f 和 g 都存在：和/差/乘/商/常数乘积 法则
        • 幂函数法则 (\(a=\frac 1n\) 或 \(a = n\)，\(n\in N^+\))，有理函数直接替换性质 (前提：x 处有定义)
        • 不等式法则，夹逼原理
        • 复合函数极限定理 (f 在 g(x) 上连续)
      • 垂直 / 水平渐近线 (5/6)
      • 连续 (7)
        • 左右极限存在且相等，并且等于函数值
      • 中值定理 (8)
      • 可微，可微 & 连续 (13)
        • 连续 但 不可微 的点：尖点（如：|x| 在 0 处）
      • 不可微的情形 (14)
      • 判断 (判断题 1~18，尤其是 15, 16)
      • 极限存在性 / 水平渐近线 / 垂直渐近线 / 不连续 (练习 1)
      • 求极限 (练习 3-22)
        • \(\lim\limits_{x\to 0} \frac {1-\sqrt{1-x^2}}{x}\) 试试Taylor会怎么样
        • \(\lim\limits_{x\to 9} \frac {\sqrt r}{(r-9)^4}\) 能否用洛必达
        • \(\lim\limits_{x\to +∞} \frac {\sqrt {x^2-9}}{2x-6}\) 用什么方法最合适
      • \(\frac {(\cos x)^2}{x^2}, \sqrt {x^2+x+1} - \sqrt {x^2-x}\) 的渐近线 (注意 \(|x| = \sqrt {x^2}\))
      • 极限的严格证明 (练习 27-30)
      • 证明连续 (练习 33-34)
      • 证明有根 (练习 35-36)
      • 切线 (练习 37)
      • 根据函数图像画出导函数图像 (练习 44-46)
      • 导数定义求f'... (练习 47-48)
      • 不可微点的判断 (练习 49)
        满足以下条件之一即为不可微点
        1.  不连续：$f_x \to ±∞$ (垂直渐近线) 或 f 左右极限不等(跳跃间断) 或 f 振荡
2.  竖直切线：$f'(x) \to ±∞$
3.  拐角处(尖角)：f' 左右极限不等
4.  f' 振荡
      • 函数 图像 或 图表 估计导函数值 (练习 50-51)
      • 夹逼 (练习 53)
    • 附加题 (p194)

极限

  • 极限大杀器——Taylor公式
    • \(\sqrt {1 ± x^2}\) 只有偶数项非零
    • 泰勒展开的项数 不大于 与之相对的项数
    • 在使用 Taylor 之前分离所有可能的 常数 或 非0非∞的极限(转换为常数)，只有这样才能把握好 Taylor展开的 项数
  • 遇到 \(\frac 1x\) 的复合，不宜直接用 Taylor
  • 遇到分母的不存在的极限，适宜用 L'hospital
  • \(1^∞\) 的两种做法，如 \(f(x)^{g(x)}\)：
    1. \(\lim f^g = e^{\lim (f-1)g}\)
    2. \(\lim f^g = e^{\lim g\ln (f-1)}\) （仅当 g 有明显的分母时才好用）
  • 遇到诸如 \(n!\) 的非初等函数？
    • 夹逼
  • \(\frac00\) 不定型意味着可以尝试消去公分母
  • 代换
    • 正向代换：\(t = f(x)\)
    • 逆代换(逆换元)：\(x = f(t)\)，最常用的是 用于积分的三角代换
    • 隐式代换：\(F(x, t) = 0\)
      • “万能代换”：令 \(t = \tan {\frac x2}\) \(\implies\) \(\displaystyle \sin x = \frac {2t}{1+t^2}, \cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}\)
      • 如果函数出现变量序列 \(\displaystyle A = \{ x^{\displaystyle \frac 1{n_i}} \}\)，可以令 \(\displaystyle t = x^{\displaystyle \frac 1{gcd(n_i)}}\) (\(n_i\in N^+\))，有 \(x^{\displaystyle \frac 1{n_i}} = t^{\displaystyle \frac {gcd(n_i)}{n_i}}\)
graph
a(可积) --> b(连续)
b --> c(可导 = 可微)

b --> 有垂直切线

subgraph " "
    aa("f 在 a 处 左 & 右极限 存在 而且 相等\n (极限存在)") --> cc("左右极限 = f(a)")
    bb(f 在 a 处有定义) --> cc
end
cc --> b

Question

  • Taylor 应该展开多少项？

杂项

  • \(\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil\)
  • \(|x| = \sqrt {x^2}\)