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数学工具

杂项

\(\Gamma(z+1)=\int_0^∞ x^{z}e^x~d_x\)，gamma 函数，gamma函数由欧拉提出！！而且 e 也是他发现的，并且 e 以欧拉命名
wallis 公式

真题分析

Note

1987：
- 函数：证明(大题)
- 解析几何：平面方程(填空)
- 极限：求参(大题；结合积分上限函数)
- 级数：敛散性(选择)，收敛域&和函数(大题)
- 微分学：极值(填空)，偏导数(大题)，微分分析(选择)
- 积分学：二重积分(填空)，向量场二维线积分(填空)，积分分析(选择)，向量场曲面积分(大题)
- 微分方程：三阶微分方程(大题)

解题原则

解题原则(p91)

理解:
    - 未知量？已知量？条件/限制？
    - 画图，恰当的符号
思考 - 已知量如何联系未知量？
    - 题目的模式: 几何？数值？代数？
    - 类推
    - 引入额外的东西？(辅助的变量？直线？)
    - 分类讨论（如何组合？比如：求关于绝对值函数的不等式的解）
    - 逆向操作 - 假设问题已经解决，反向一步一步操作，直到推出已知数据？
    - 分治/动态规划？
    - 间接推理（反证。。）？
    - 数学归纳法:  (在解决包含正整数n的题目时，下面的法则经常很有用)
        - 令 S_n 为与正整数 n 有关的陈述
        - 假设:
            1.  S_1 为真
            2.  只要 S_k 真，S_{k+1}就真
            3.  则对所有的正整数n，S_n 真
        - 解决的问题:
            - 通过 数列首项和递推式 求 数列通项
                - 根据数列前几项(至少两项)表达式猜测数列的公式 (寻找模式)
                - 然后通过数学归纳法证明正确性    
    - 反证法：
        - 一个定理除了一个条件外其他条件均成立，假设这个条件成立
        - 但是如果这种假设使得定理的结果不成立，那么这个条件不成立
        - 应用：结合rolle定理反证 函数 f 没有不小于2个的零点
回顾:
    - 检查解题的正确性
    - 思考更简单的解法
    - 使得解题方法更熟系

笛卡尔

我解决过的每一个问题都成为为后来解决其他问题服务的规则

Question

如何计算多项式的因子？
有用的代数方法有哪些？
函数在a处有定义，极限存在，间断，连续，导数不存在(可导)，可微的联系？
平滑？不可微？

graph LR
有定义 --> 连续

Idea

低次多项式除高次多项式会得到两个低次多项式 + 一个常数 => 这个方法可以用来凑因子简化微积分！！！
- 如果这个常数为零，意味着这个低次多项式整除这个高次多项式
- 多项式除法的思想可以借鉴10进制数的除法，x就能代表多少进制
做证明时，注意从证明的假设条件或已知条件出发，并且注意等价化简要证明的数学模型
灵活运用微积分定理的组合！！
要经常给某些重要知识打tag（比如：较为复杂但重要的定理证明，定理需要用到的引理，该定理可以证明的定律）！！

Warning

区间的定义：如\([a, b) \iff \{x | a \le x \lt b \}\)
- 注意到区间是一段连续的点的集合，如果集合内缺少某些点就不叫区间了（在某些定理的条件里一定要注意区间的意思！）

常见函数

\(x^4 + x^4 = c\) (c > 0) - 扁平圆
\(x^2 + y^2 = (2x^2 + 2y^2 - x)^2\) - 心形线
\(x^{2/3} + y^{2/3} = 4\) - 星形线

英语词汇

Note

两个重要人物：Leibniz（莱布尼茨），Newton（牛顿）
事实上，2500年前， Eudoxus（欧多克斯）和 Archimedes（阿基米德）已经研究和揭示了积分的基本思想
Pierre Fermat（费马）和Issac Barrow则率先提出了求切线的方法
格林
斯托克斯，高斯

微积分应用

微积分纵览

1. 面积分问题(5) `->` 立体体积，曲线长度，大坝压力，杆的重力/质心，将水抽出所作的功
2. 切线问题 (引出了微积分的分支——微分学，但积分学比微分学早2000年提出？)
3. 变化率问题(如：速度问题)：实质上是切线问题
4. 序列的极限
5. 级数的和

- 牛顿为了研究行星围绕太阳的运动
- 微积分应用：卫星和航天飞机的轨道，预测人口规模变化，估计咖啡价格的涨落，预报天气，计算人寿保险的赔率...

部分具体应用(应用研究)

1. 太阳光向量 与 从观察者到彩虹最高点的向量 之间的夹角总是 $42\degree$ (4.1)
2. 超市中食品罐的最优形状 (4.2)
3. 电影院中的最佳位置 (6.5)
4. 距离机场多远时，飞机应当开始下落？ (3.7)
5. 激光打印机上的字，如何通过曲线你和设计和构件出来 (10.2 实验)
6. 垒球比赛中，内场手应该如何选择位置，使他能够借助外长投来的球后，迅速投向本垒 (9.4)
7. 竖直投出的球，到达最高点和从最高点返回原始高度，那部分需要的时间更长？ (9.3)
8. 解释行星和卫星运动的轨道是椭圆 (13.4)
9. 如何分配各台涡轮机上的水流量，使得水电站的发电量最大 (14.8)
10. 假设有石头球和皮球各一个，钢制棒和铅制棒各一根(可形变)，它们同时滑下一个斜坡，哪个先到达底部？ (15.8)

微积分贡献者

微分学重要贡献者

- 法国 Pierre Fermat(1601-1665)：
- 英国 John Wallis(1616-1703)：华莱士公式
- Isaac Barrow(1630-1677)
- 英格兰 Issac Newton(1642-1727)
- 德国 Gottfriend Leibniz(1646-1716)：
- Galileo 伽利略
- Euclid 欧几里得
- Descartes 笛卡尔
- Eudoxus
- Archimedes 阿基米德
- Cavalieri
- 巴罗
- Cauchy 柯西
- 伯努利
- 欧拉


多人贡献：

- 古希腊 Elea 学派哲学家 Zeno 提出了四个问题，即芝诺悖论：Achilles，Aristotle，...
- Eudoxus 和 Archimedes 阿基米德：对面积和体积的计算中，暗含最初的微积分

故事：

- p119：牛顿看过伽利略和欧几里得的书，参加过Isaac Barrow的讲座
- p131